高中数学-定积分的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

课标分析

1、知识与技能目标：

通过问题情景，经历求曲边梯形的面积的形成过程，了解定积分概念的实际

背景。理解求曲边梯形面积的一般步骤。

2、过程与方法目标：

通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。通过类比体

会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观目标：

体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯

物主义思想处理数学问题的积极态度。

教材分析

《曲边梯形的面积》是人民教育出版社普通高中课程标准试验教科书A版选修2-2第一

章第五节的内容，本节共两课时，这是第一课时，主要内容是曲边梯形的面积求解.

1、曲边梯形的面积在教材中的地位和作用

教材借助于求曲边梯形的面积这一直观具体的实例来引入到定积分的学习中，为定积分

概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了抛砖引玉的铺垫作用。同时也为今

后大学进一步学习微积分打下基础.

2、曲边梯形的面积对思维发展的地位与作用

求曲边梯形面积的过程中蕴涵、渗透定积分的基本思想方法，贯穿于整个定积分学习的

始终，作为定积分的前奏曲，《曲边梯形的面积》是定积分概念的引例和重要铺垫材料，故

本节课显得至关重要.

3、教学重点和难点

重点：直观体会定积分的基本思想方法："以直代曲"、"无限逼近"的思想；

初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤-"四步曲"

（即：分割、近似代替、求和、取极限）。

难点："以直代曲"、"无限逼近"思想的形成过程及理解.

4、本节课可以采取探究式教学方法，也可以采用教师讲授式教学方法.

5、例题选取

本节课采用了课本中的例题.

学情分析

高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力，学生在初中学习过网格法估算面积,

在高一学过随机模拟法估算面积，对求不规则图形面积有一定的认识，本节课的数学思想分

割，近似代替，以直代曲等思想，学生基本没有接触，因此课前让学生搜集这方面的资料,

比如刘徽的割圆术，学生做好这些准备工作后，本节课的学习应该比较顺利。

教学设计

一、创设问题情景

【问题一】：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状如下图所

示，其最上端弧48是一段抛物线，中间部分是线段3C,最下端

部分是圆弧CD建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计

算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积.

请同学们想一想，能否求出该断面的面积？

上节课我们留了一下作业：

1.在以前的学习经历中我们知道常见多边形、圆、扇形等图形的面积可借助公式来求,

对于不规则图形，有什么办法求面积？这些方法有什么优缺点？

2.请想办法了解刘徽的割圆术，体会其思想。

22

3.熟记公式1+2+“2=〃(〃+1*2〃+1)

6

二、设置问题，引导探究

师：想一想：以前的学习经历中有没有计算不规则图形面积的方法？

生：网格法、随机模拟法、铺沙法等等.

师：这些方法有什么有优缺点？.

生：操作很简单，但是误差较大，随机性强.

师：那我们有没有更好的方法呢？大家看能否从下面的思考题中得到启示.

思考：在有测量长度工具的情况下，如何求以下多边形的面积？

则与圆周合体而无所失矣…”我们今天就用这些思想来解决我们本节课的问题.

师：板书新课.

缺点？

生：可以用梯形，矩形等代替，梯形误差小，但是不好计算，矩形误差大，但是好计算.

师：好计算是我们的标准，但是准确是我们的目的，两者能兼顾吗？误差的原因是什么？我

们可以在很小的范围内以直代曲，这样，就可以是误差变小了。

思考：如何求其面积.

先研究一个特殊情形:如何求直线x=O,x=l,y=O与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积（图

中阴影部分）？

思考：曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形的面

积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？

师：我们分别尝试一下这两个方案，大家讨论交流后，找小组展示

三.方法尝试

(1)分割

1］等分成n个小区间：［0,工］,…,［曰,上］,…，［2二！,2］,过各区间端点作

把区间［0,

nnnnnnn

x轴

的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作AS”AS2,…,AS”…,AS”.

(2)以直代曲

'/-I/'

对区间—上的小曲边梯形，用如图的相应小矩形近似代替，则矩形的长

nn

为，宽为，矩形的面积为,从而

AS,«_____________

(3)求和

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的___________值，所以n个小矩形的

面积之和，就是所求曲边梯形的面积S=的近似值即

S=AS|+-I--HkSjH---FkSa

号小

(4)逼近

当分割无限变细，即以f0(亦即〃­钟)时，-4［02+l2+22+---+(n-l)2］^5

而当时+F+22+…+(〃-1)2]

T.由此可知曲边梯形的面积S=—.(学生板书)

师：求极限是难点，但不是我们的重点，直接给出求极限的方法.然后我们得出一般曲

边梯形面积的求法

(设函数丁=/(x)在［a,加上连续.

由曲线y=/(x)与直线x=a、x=b、

x轴所围成的图形称为曲边梯形(图5-

1).为讨论方便，假定/(x)N0.

(1)分割

由于函数y=/(x)上的点的纵坐

标不断变化，整个曲边梯形各处的高不

相等，差异很大.为使高的变化较小，

图5-1

先将区间例分成〃个小区间，即插入

分点.

a=<玉<x2<•••<%„=b

在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成〃个小曲边梯形，其中第i

个小区间的长度为M=%-再_。=1,2,「”.由于/(x)连续，故当乂很小时，第i个

小曲边梯形各点的高变化很小.在区间［巧巧］上任取一点多，则可认为第i个小曲边梯形

的平均高度为/(4)，

(2)近似代替，第i个曲边梯形的面积用代替.

(3)求和：曲边梯形面积s的近似值为s“/(&)©,•

i=\

(4)取极限：曲边梯形面积s==iims„=limt/©・)¥・

〃一»+oo“f+oo/=1

四、应用

下面请同学们求解：求直线x=0,x=l,y=0与曲线y=/所围成的曲边梯形的面积.

学生黑板展示，教师点评.

本例要求学生利用本节课所学方法来求解，一是体会本节数学思想，二是体会该方法的

繁琐，为后面给出微积分基本定理做好铺垫.

五、小结(师生共同完成)

(1)求曲边梯形面积的四个步骤；

(2)用到的数学思想：以直代曲，无限逼近.

六、课后作业

L复习本节课体现的数学思想

2.预习1.5.2

评测练习

题目：求直线x=O,x=l,y=O与曲线y=/所围成的曲边梯形的面积.

参考公式:尸+23+……〃3=俏〃+1)一

4

评测结果及分析：本题与例题相比只是换了一个函数解析式，没有刻意提高难度，意在

让学生能简单地进行模仿，从结果上来看，学生能够简单地模仿计算，但是规范性上有待加

强，再者，学生不善于用符号语言，抽象思维能力，概括能力有待于进一步加强，通过本题

学生可以体会出这个方法可以用来求解面积，但是运算较繁琐，为以后学习微积分基本定理

做好铺垫.

效果分析

本节课是第一课时，学生课前收集了很多资料，做了很多准备工作，为本节课的探究降

低了难度，通过长江溢流坝的例子引入，让学生明白数学在生活中无处不在，通过让学生收

集刘徽的资料，让学生看到我国古代数学家的伟大成绩，激发学生的民族自豪感，通过一节

课的学习，学生理解了求曲边梯形面积的步骤和数学思想，进一步让学生明白了转化与化归

思想在数学中的重要性，例题中两种方案的实践，让学生体会出无限逼近的思想，最后推广

到一般情况，让学生体会出从特殊到一般的研究思路，当堂练习，让学生再次经历探究过程，

体会探究过程，巩固了本节课的知识.

观评记录

一、创设问题情景

【问题一】：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状如下图所

示，其最上端弧4日是一段抛物线，中间部分是线段BC,最下端

部分是圆弧CD.建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计

算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积.

请同学们想一想，能否求出该断面的面积？

上节课我们留了一下作业：

1.在以前的学习经历中我们知道常见多边形、圆、扇形等图形的面积可借助公式来求,

对于不规则图形，有什么办法求面积？这些方法有什么优缺点？

2.请想办法了解刘徽的割圆术，体会其思想。

22

3.熟记公式1+2+……“2=，("+M2〃+1)

【点评】从实际例子入手引入，既激发学生的求知欲望，又能让学生体会到数学无处

不在，通过提前预留作业，思考的办法，让学生提前做准备工作，降低了本节课的探究难

度.

二、设置问题，引导探究

师：想一想：以前的学习经历中有没有计算不规则图形面积的方法？

生：网格法、随机模拟法、铺沙法等等.

师：这些方法有什么有优缺点？.

生：操作很简单，但是误差较大，随机性强.

师:‘那我们有没有更好的方法嚼大家看能否从下面的思考题中得到启示.

思考：在有测量长度工具赢况下，如何求以下多边形的面积？

生：可以通过分割转化为多个小多边形逐个求解，最后求和.

师：这种分割思想早在三国时期，刘徽在九章算术中就有所记载，请同学介绍以下刘徽

的割圆术.

生：（上台展不）

师：（点评），用刘徽的话讲就是“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割,

则与圆周合体而无所失矣…”我们今天就用这些思想来解决我们本节课的问题.

师：板书新课.

缺点？

生：可以用梯形，矩形等代替，梯形误差小，但是不好计算，矩形误差大，但是好计算.

师：好计算是我们的标准，但是准确是我们的目的，两者能兼顾吗？误差的原因是什么？我

们可以在很小的范围内以直代曲，这样，就可以是误差变小了。

思考：如何求其面积.

先研究一个特殊情形:如何求直线x=O,x=l,y=O与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积（图

中阴影部分）？

思考：曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形的面

积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？

y

y=x2

生：用三角形，梯形，矩形等都可以近似代替，矩形面积最好算..

师：我们就用矩形来代替进行计算，在选矩形时，它的高可以取每个区间左端点处的

函数值，也可选右端点处的函数值，其它的自变量的函数值可以吗？

生：(讨论交流后)，都可以，但是端点值好算.

师：我们分别尝试一下这两个方案，大家讨论交流后，找小组展示

【点评】层层推进，设置问题串，突破一个又一个障碍，最终找到解决问题的方法.

三.方法尝试

(1)分割

1］等分成n个小区间：…，［上…，［土口,与，过各区间端点作

把区间［0,

nnnnnnn

x轴

的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作AS?,…,ASj

(2)以直代曲

对区间—上的小曲边梯形，用如图的相应小矩形近似代替，则矩形的长

nn

为,宽为，矩形的面积为,从而

AS,«_____________

(3)求和

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的___________值，所以n个小矩形的

面积之和，就是所求曲边梯形的面积S=的近似值即

S-AS〕+AS,H------FAS,H------h

xX/(-)^

,=!n

(4)逼近

当分割无限变细，即Ax—>0(亦即>+x))时,+l2+22+---+(n-l)2]TS

而当—时，3［。2+F+22+…+(〃-1)2］

T.由此可知曲边梯形的面积S=—.(学生板书)

师：求极限是难点，但不是我们的重点，直接给出求极限的方法.然后我们得出一般曲

边梯形面积的求法

(设函数丁=/(x)在［a,。］上连续.

由曲线y=/(x)与直线x=a、x=b、

x轴所围成的图形称为曲边梯形(图5-

1).为讨论方便，假定/(x)20.

(1)分割

由于函数y=/(x)上的点的纵坐

标不断变化，整个曲边梯形各处的高不

相等，差异很大.为使高的变化较小，

图5T

先将区间［a,切分成〃个小区间，即插入

分点.

a=Xo<X］<x2<---<xn=b

在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成〃个小曲边梯形，其中第i

个小区间的长度为M=%-匕_。=1,2,-、".由于/(尤)连续，故当此很小时，第i个

小曲边梯形各点的高变化很小.在区间［巧上任取一点多，则可认为第i个小曲边梯形

的平均高度为了(4)，

(2)近似代替，第i个曲边梯形的面积用代替.

(3