高中数学必修一必修四知识点总结

数

学

知

识

点

总

结

中学数学必修1学问点

第一章集合和函数概念

K1.1H集合

[]集合的含义和表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

(2)常用数集及其记法

N表示自然数集，N*或乂表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

（3）集合和元素间的关系

对象a和集合”的关系是。eM,或者。史M,两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：晨lx具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元

素的集合叫做空集（0）.

[]集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称记号意义性质示意图

(1)c

A^B

(2)0cA

A中的任一元

(或

子集或

(3)若且8=C,则

素都属于B

AqC

(4)若AqB且3=A,则A=B

(1)0uA(A为非空子集)

A^B,且B中*

U

真子*

(2)若AuB且5uC,则AuC

至少有一元素**H

(或n)

集*

不属于A

A中的任一元

集合素都属于B,B(1)q

A=B

相等中的任一元素⑵q

都属于A

（7）已知集合4有个元素，则它有2"个子集，它有2"-1个真子集，它有2"-1个非空子集,

它有2"-2非空真子集.

n集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

名记

意义性质不意图

称号

(1)AA=A

交4且

AB(2)A0=0

集xeB)

(3)ABcAGD

ABcB

(1)AA=A

并{x|A,或

(2)A|J0=A

集xeB]

(3)ABqAGD

AB^B

补1A(4，A)=0

{x\xeA]物AB)=(")(%fi)u

集期A3)=(⑷(")2A@A)=U

【补充学问】含肯定值的不等式和一元二次不等式的解法

（1）含肯定值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x\-a<x<a}

|x|>a(a>0)x\x<-a^Lx>a]

把办+匕看成一个整体，化成|x|<a,

|cvc-^-b\<c,lax+b\>c(c>0)

|x|>a{a>0）型不等式来求解

（2）一元二次不等式的解法

判别式

A>0△=0A<0

A=/72-4ac

二次函数I1

1/

3・

y=ax2+bx+c(a>0)°丐

,J0

的图象

一元二次方程

ax2+bx+c=0(〃>0)（其中％!<々）无实根

的根

ax2+hx+c>0(〃>0)

{x|x<%或X>&}{x|R

的解集

ax2+0x+c<0(«〉0)

{x|X<X<x2}00

的解集

n.23函数及其表示

（]函数的概念

（1）函数的概念

①设A、8是两个非空的数集，假如依据某种对应法则/,对于集合A中任何一个数X,在集

合B中都有唯一确定的数/（X）和它对应，那么这样的对应（包括集合A,B以及A到8的对

应法则/）叫做集合A到8的一个函数，记作

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.

（2）区间的概念及表示法

①设。力是两个实数，且满意8的实数x的集合叫做闭区间，记做值口；满意

的实数x的集合叫做开区间，记做（a,b）；满意a4x<b,或的实数x的集合叫

做半开半闭区间，分别记做[。力），3,勿；满意的实数x的集合分别记做

[a,+oo）,（a,+oo）,（^ao,b],（^»,b）.

留意：对于集合｛x|a<x<勿和区间（a,6）,前者a可以大于或等于人，而后者必需

a<b,（前者可以不成立，为空集；而后者必需成立）.

(3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①“X)是整式时，定义域是全体实数.

②Ax)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.

③"X)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，.

⑥零(负)指数基的底数不能为零.

⑦若/(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初

等函数的定义域的交集.

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为出口，其复合函数/[g(X)]

的定义域应由不等式8解出.

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题详细状况需对字母参数进行分类探讨.

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.

(4)求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，假如在函数的值域中

存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值和值域，其实

质是相同的，只是提问的角度不同.求函数值域和最值的常用方法：

①视察法：对于比较简洁的函数，我们可以通过视察干脆得到值域或最值.

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式和常数的和，然后依据变量的取值范围确

定函数的值域或最值.

③判别式法：若函数y=/(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程

a(y)x2+b(y)x+c(y)=O,则在a(y)wO时,由于为实数，故必需有△=/,)_4a(y).c(y)NO,

从而确定函数的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问

题转化为三角函数的最值问题.

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域和值域的互逆关系确定函数的值域或最值.

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.

⑧函数的单调性法.

n函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两

个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

（6）映射的概念

①设A、B是两个集合，假如依据某种对应法则了,对于集合A中任何一个元素，在集合B中

都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A,8以及A到8的对应法则/）叫做

集合A到B的映射，记作f

②给定一个集合A到集合8的映射，且“eA力假如元素。和元素人对应，那么我们把元

素b叫做元素。的象，元素a叫做元素人的原象.

K1.33函数的基本性质

[]单调性和最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

函数的

定义图象判定方法

性质

假如对于属于定义(1)利用定义

域I内某个区间上(2)利用已知

的随意两个自变量函数的单调性

的值X|、X2,当X1<X2(3)利用函数

f(Xj

时，都有图象(在某个区

f(X1)<f(x2)，那么就]

X,hX间图

说f(x)在这个区间象上升为增)

上是单照里(4)利用复合

函数的函数

单调性(1)利用定义

假如对于属于定义

(2)利用已知

域I内某个区间上

函数的单调性

的随意两个自变量

Jy=f(X)(3)利用函数

的值X1、X2»当X1<x?f(x^

图象(在某个区

r.

时，都有

0

X,x:X间图

f(X1)>f(x?)，那么就

象下降为减)

说f(x)在这个区间

(4)利用复合

上是诚明教.

函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个

减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.

③对于复合函数y=/[g(x)],令”=g(x),若y=_/■(〃)为增，〃=g(x)为增，则y=/[g(x)]为增;

若y=/(〃)为减，”=g(x)为减，贝!Iy=/lg(x)]为增；若y=/(w)为增，〃=g(x)为减，则y=/Ig(x)]

为减;若y=f(u)为减,u=g(x)为增,则y=/[g(x)]为减.

(2)打“J”函数的图象和性质

/(X)分别在(-oo,r份］、［6,+oo)上为增函数，分

在［-6,0)、(0,6］上为减函数.

(3)最大(小)值定义

①一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,假如存

实数M满意：(1)对于随意的xe/,都有

f(x)<M；

(2)存在x。e/,使得/Oo)=M.那么，我们称M是函数f(x)的最大值,记作篇x(x)=A7.

②一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,假如存在实数相满意：(1)对于随意的xe/,都有

/(x)>m-,(2)存在/e/,使得/(%)=加.那么，我们称机是函数f(x)的最小值，记作

盘x(x)=%.

［］奇偶性

(4)函数的奇偶性

①定义及判定方法

函数的

定义图象判定方法

性质

假如对于函数f(x)(1)利用定义

定义域内随意一个(要先推断定

X,都有f(―x)=—y义域是否关于

函数的(a,f(a))

fg),那么函数f(x)-a原点对称)

oax

奇偶性

叫做可单戮(-a.f(-a))(2)利用图象

(图象关于原

点对称)

假如对于函数f（x）（1）利用定义

定义域内随意一个（要先推断定

X,都有“:功⑻，y义域是否关于

(~a,f(-a))^.(a,f(a))

那么函数f（x）叫做原点对称）

-aoax

假班教.（2）利用图象

（图象关于y轴

对称）

②若函数/（x）为奇函数，且在x=0处有定义，则/（0）=0.

③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在）,轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶

函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数和一个奇函数的积（或商）是奇函数.

K补充学问X函数的图象

（1）作图

利用描点法作图:

①确定函数的定义域;②化解函数解析式;

③探讨函数的性质（奇偶性、单调性）;④画出函数的图象.

利用基本函数图象的变换作图:

要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、募函数、三角函数等

各种基本初等函数的图象.

①平移变换

"/a）镶蠹侏堪->y=/（x+&）尸/a）吃牯需喘=/a）+k

②伸缩变换

伸>y=f(cox)

y=/(x)81,缩

③对称变换

y=/(x)"%y=-f(x)y=f(x)速।>y=f(—x)

y=/(x)一点,Ty=-/(-x)y=/(x)真配x_>y=/T(x)

去掉)，轴左边图象

y=f(x)保留了轴右边图象，并作其关于)，轴对称图象>y=/(|x|)

保留询上方图象

y=/(x)将X轴下方图象翻折上去

(2)识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、改变趋势、对称性等方面探讨函

数的定义域、值域、单调性、奇偶性，留意图象和函数解析式中参数的关系.

(3)用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为探讨数量关系问题供应了“形”的直观性，它是探求

解题途径，获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

其次章基本初等函数(I)

K2.1》指数函数

1】指数和指数幕的运算

(1)根式的概念

①假如x"=a,aeR,〃>1,且〃e乂，那么x叫做。的〃次方根.当〃是奇数时，a的〃次

方根用符号心表示；当〃是偶数时，正数a的正的〃次方根用符号右表示，负的〃次方根用

符号-标表示；。的〃次方根是0;负数。没有〃次方根.

②式子标叫做根式，这里“叫做根指数，。叫做被开方数.当〃为奇数时，a为随意实数;

当〃为偶数时，

③根式的性质：丽)"=a；当〃为奇数时，而=a；当〃为偶数时，折工小F3及).

-a(a<0)

(2)分数指数幕的概念

①正数的正分数指数毒的意义是：肃=叱5>0,九〃GN*,且〃>1).0的正分数指数嘉等

于0.

②正数的负分数指数事的意义是：a-=d)；=《H7(a>(),加,且”>1).0的负分数

a

指数累没有意义.留意口诀：底数取倒数，指数取相反数.

(3)分数指数幕的运算性质

①".a'=ar+s(a>0,r,se7?)②(优)'=ar\a>0,r,seR)

③(abY=arb'(a>0,6>0,re/?)

n指数函数及其性质

(4)指数函数

函数名称指数函数

定义函数y=a，(a>0且a")叫做指数函数

a>\0<6/<1

图象

y=lx.(o,i)

。|X,

定义域R

值域(0,+oo)

过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=l.

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数

函数值的

改变状况

。改变对图象在第一象限内，a越大图象越高；在其次象限内，a越大图象

的影响越低.

K2.2U对数函数

n对数和对数运算

(1)对数的定义

则x叫做以a为底N的对数，记作x=log〃N,其中a叫做底数，N叫

做真数.

②负数和零没有对数.

③对数式和指数式的互化：x=log,N=a，=N(a>0,awl,N>0).

(2)几个重要的对数恒等式

log„1=0,log„a=\,log„a*=b.

(3)常用对数和自然对数

常用对数：IgN,logl0N；自然对数：InN,BPlog,N(其中e=2.71828…).

(4)对数的运算性质假如a>0,a#l,M>0,N>0,那么

①加法：log„M+log“N=Iog„(MN)②减法：log„M-logN=log„—

nN

③数乘：〃log“"=log"M"("€R)@a'os-N=N

⑤log“M"=41og“M("0,〃eR)⑥换底公式：logaN=座也g>0,且匕*i)

ablog”a

1］对数函数及其性质

值域R

过定点图象过定点(1,0),即当x=l时，＞=0.

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+00)上是减函数

函数值的

改变状况

a改变对图象的在第一象限内，。越大图象越靠低；在第四象限内，。越大图

影响象越靠高.

(6)反函数的概念

设函数y=/(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=/(x)中解出x,得式子x=e(y).假如

对于y在C中的任何一个值，通过式子x=e(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式

子x=9(y)表示x是y的函数，函数x=*(y)叫做函数y=/(x)的反函数，记作》=尸］(田，习惯上

改写成y=/T(x).

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=/(x)中反解出x=_ny)；

③将x=7-l(y)改写成y=/-'(x),并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质

①原函数y=/(x)和反函数y=/T(x)的图象关于直线丁=》对称.

②函数y=/(x)的定义域、值域分别是其反函数)，=广|。)的值域、定义域.

③若P(a,b)在原函数y=/(x)的图象上，则PS,a)在反函数y=广1(x)的图象上.

④一般地，函数y=/(x)要有反函数则它必需为单调函数.

K2.33嘉函数

(1)基函数的定义

一般地，函数y=x"叫做幕函数，其中X为自变量，a是常数.

（2）基函数的图象

（3）幕函数的性质

①图象分布：幕函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.募函数是偶函数时，图象

分布在第一、二象限（图象关于），轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原

点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

②过定点：全部的幕函数在（0,+8）都有定义，并且图象都通过点（1,1）.

③单调性：假如a〉0,则幕函数的图象过原点，并且在［0,+oo）上为增函数.假如a<0,则幕函

数的图象在（0,+oo）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴和y轴.

④奇偶性：当a为奇数时，基函数为奇函数，当a为偶数时，塞函数为偶函数.当（其中互

11

质，p和qeZ),若〃为奇数q为奇数时，则y=x。是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y=W是

偶函数，若p为偶数4为奇数时，则>=)是非奇非偶函数.

⑤图象特征：幕函数y=xa,xw(0,+oo),当a>l时，若0<x<l,其图象在直线y=x下方，若x>l,

其图象在直线y=x上方，当1<1时，若0<x<l,其图象在直线y=x上方，若x>l,其图象在直

线y=x下方.

工补充学问》二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一■般式：/(xXor?+bx+c(a/0)②顶点式：f(x)=a(x-〃)2+Z(aw0)③两根式：

/(x)=a(x-x,)(x-x2)(a^0)(2)求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或和对称轴有关或和最大(小)值有关时，常运用顶点式.

③若已知抛物线和x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求"X)更便利.

(3)二次函数图象的性质

①二次函数/(x)=o?+公+c(aH0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是.

②当。>0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当。<()时，抛物线开口向下,

函数在上递增，在上递减，当时，.

③二次函数f{x)=ax2+"+c(a/0)当A=0?一4ac>0时，图象和x轴有两个交点

愿(而,0)此隹,0),|MM1%-引=奈•

(4)一元二次方程片+法+。=0(。*0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分学问在初中代数中虽有所涉及，

但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根和系数关系定理(韦达

定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布.

设一元二次方程or?+bx+c=0(a#0)的两实根为外,々，且看令/(xXaf+bx+c,从以下

四个方面来分析此类问题：①开口方向：。②对称轴位置：③判别式：A④端点函数值符

号.

®k<XiW及o

@ki<x^x2<k2<=>

⑤有且仅有一个根X(或至)满意左〈入(或及)<k2=f(kC<3并同时考

虑f(L)=0或f(£)=0这两种状况是否也符合

⑥k<x<kWp、<x?<pzo

此结论可干脆由⑤推出.

(5)二次函数f(x)-ax2+bx+c(a*0)在闭区间上的最值

设/(x)在区间［p,q］上的最大值为M,最小值为机，令.

(I)当”>0时(开口向上)

①若，则m=/(p)②若，则③若，则/n=f(q)

rr

①若，则M=/(q)②,则M=/(p)

\［j/;

T

(H)当。<0时(开口向下)

①若，则M=/(p)②若，则③若，则M=/(q)

①若，则帆=/(q)②，贝=

中学数学必修4学问点

第一章三角函数

'正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角〈负角：按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2、角a的顶点和原点重合，角的始边和x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a为第

儿象限角.

第一象限角的集合为{。k360<a<h360+90,ZeZ}

其次象限角的集合为{啡-360+90<&-360+180,ZeZ}

第三象限角的集合为{啡-360+180<a<h360+270JeZ)

第四象限角的集合为{a,-360+270<a<k-360+360,%"}

终边在x轴上的角的集合为„=上180次eZ}

终边在y轴上的角的集合为{a|a=H180+90，左eZ}

终边在坐标轴上的角的集合为{Ha=h90,keZ}

3、和角a终边相同的角的集合为加忸=h360+a,ZwZ}

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

5、半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,则角a的弧度数的肯定值是.

6、弧度制和角度制的换算公式：2万=360,,.

7、若扇形的圆心角为a(a为弧度制)，半径为「，弧长为/,周长为C,面积为S,则/=r|a|,

8、设a是一个随意大小的角，a的终边上随意一点P的坐标是（X,），），它和原点的距离是

厂(r=\元2+与＞0卜则，，.

9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，其次象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正.

10、三角函数线：sina-MP,cosa=OM,tana=AT.

11、角三角函数的基本关系：(I)sin2a+cos2a=lkin2a=l-cos2a,cos%=l-sin%)；

sina=tanacosa,cosa=------..(3)倒数关系：tanacota=l

Itana)

12、函数的诱导公式：

(l)sin(2Z;r+a)=sina，cos(2攵万+a)=cosa,tan(2A7T+a)=tana(%£Z)・

(2)sin(»+a)=-sina，cos(乃+a)=-cosa,tan(»+a)=tana.

(3)sin(-«)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin(7-a)=sina，cos(7一cr)=-8sa,tan(»-a)=-tana.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

,・(6)sinH+a)=cosa,・

口诀：正弦和余弦互换，符号看象限.

13、①的图象上全部点向左（右）平移网个单位长度，得到函数丁=面（尢+。的图象；再将函数

y=sin（x+0的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原来的十倍（纵坐标不变），得到函数

y=sin（5+0）的图象；再将函数3；=疝（8+夕）的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A

倍（横坐标不变），得到函数^=人而（5+夕）的图象.

②数y=sinx的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原来的工倍（纵坐标不变），得到函数

（0

>=sins的图象；再将函数>=如5的图象上全部点向左（右）平移的个单位长度，得到函数

（0

y=sin（s+0的图象；再将函数y=sin（s+。的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A

倍（横坐标不变），得至（J函数y=Asin（5+0）的图象.

14、函数y=Asin（5+0）（A>O,@>O）的性质：

①振幅：A；②周期：；③频率：；④相位：5+0；⑤初相：(p.

函数y=Asin3x+0)+B,当x=%时，取得最小值为为访；当％时，取得最大值为＞max，则，一

(丘Z)上是减函(A:eZ)上是减函

数.数.

对称中心对称中心

对称对称中心对称中心

伙万,0)(%eZ)对称轴

性无对称轴无对称轴

对称轴x=%万(左eZ)

其次章平面对量

16、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量和任一向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算：1;

⑴三角形法则的特点：首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点：共起点.

<?+K=AB+BC=ACa+K=AB+AD=AC

⑶三角形不等3或：

卜|一例〈卜+同训+6.

⑷运算性质：①交换律：a+b=b+d;

②结合律：(a+b)+c=a+(A+<:j；③。+0=0+。=。.Q

，b=(x,y),则/

⑸坐标运算：设a=22

a+b=(x]+x2,yi+y2).

18、向量减法运算：

a-b=AC-AB=BC

⑴三角形法则的特点：共起点,，连终点，方向指向被减向量.

⑵坐标运算：设a=(x],yj,贝(I。-6=(%-%2，%一必).

设A、B两点的坐标分别为(％,yj,(x2,y2),则AB=(x-w,y-%)•

19、向量数乘运算：

⑴实数4和向量。的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作痛.

①阳|=|川同;

②当4>0时，羽的方向和a的方向相同；当4<0时，痴的方向和a的方向相反；当;1=0时，

Aa=0.

(2)运算律：①之(〃。)=(办)a；②+=+；③4(a+b)=2a+.

⑶坐标运算：设a=(x,y),则=2(x,y)=(%x,4y).

20、向量共线定理：向量a(a*0)和b共线，当且仅当有唯一一个实数九，使人=船.

设a=(jq,yJ,b-(x2,y2),其中6/0,则当且仅当玉%-WM=0时，向量a、Z?(b*O)共线.

21、平面对量基本定理：假如4、e；是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的随

意向量a,有且只有一对实数4、4,使&=(不共线的向量e；、e；作为这一平面内全

部向量的一组基底)

22、分点坐标公式：设点P是线段PH上的一点，P「P?的坐标分别是(如乂)，(孙必)，当P|P=%PP2

时，点P的坐标是.(当4=1时，就为中点公式。:

23、平面对量的数量积：

(l)a-Z>=|a||/?|cos<9(a^0,b^0,0零向量和任一向量的数量积为0.

(2)性质：设a和3都是非零向量，则①a_L8=a"=0.②当a和同向时，ab-|a||/?|；当a和3

反向时，ab=-|«||^|;a•a=4=|a『或同=.③"〃卜同忖.

(3)运算律：①a•b=b•a；②=2(a/)=a,(zlb)；@^a+b^-c=a-c+b-c.

⑷坐标运算：设两个非零向量。=(X|,yJ,b=[x2,y2),贝U。力+X%•

若a=(x,y),贝！I同=J+y?,或同=Jd+y2.设%,yj,Z?=(x2,y2),贝！14_1_/<=>百/+=。•

设a、h都是非零向量，a=(N，x),8=(尤,,%)，。是a和人的夹角，则cos6=/+”.

\a\\b\&+芥4考+£

学问链接：空间向量

空间向量的很多学问可由平面对量的学问类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值

的应用进行总结归纳.

1、直线的方向向量和平面的法向量

(1).直线的方向向量：

若A、B是直线/上的随意两点，则A8为直线/的一个方向向量；和平行的随意非零向量

也是直线/的方向向量.

(2).平面的法向量：

若向量〃所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作假如〃"La,那

么向量〃叫做平面a的法向量.

⑶.平面的法向量的求法(待定系数法)：

①建立适当的坐标系.

②设平面a的法向量为〃=(x,y,z).

③求出平面内两个不共线向量的坐标a=(a”生,生)，。=(伪也也).

④依据法向量定义建立方程组.

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面a的法向量.

(如图)

1、用向量方法判定空间中的平行关系

(1)线线平行

设直线/r4的方向向量分别是〃、匕，则要证明《〃心只需证明。〃8，即a=kb(&eR).

即：两直线平行或重合令两直线的方向向量共线。

⑵线面平行

①(法一)设直线/的方向向量是a,平面a的法向量是〃，则要证明/〃a,只需证明

即a•〃=0.

即：直线和平面平行Q直线的方向向量和该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量和已知直线的方向向

量是共线向量即可.

⑶面面平行

若平面a的法向量为〃，平面户的法向量为八要证a〃尸，只需证〃〃>即证a=

即：两平面平行或重合=两平面的法向量共线。

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直

设直线//的方向向量分别是a、b,则要证明/J4，只需证明即。山=0.

即：两直线垂直=两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直

①（法一）设直线/的方向向量是。，平面a的法向量是〃，则要证明/La,只需证明a〃〃，

即a=X”.

②（法二）设直线/的方向向量是。，平面a内的两个相交向量分别为相、人若

即：直线和平面垂直=直线的方向向量和平面的法向量共线o直线的方向向量和平面内两条

不共线直线的方向向量都垂直。

⑶面面垂直

若平面a的法向量为“，平面夕的法向量为v,要证a_L[,只需证即证"”=（）.

即：两平面垂直O两平面的法向量垂直。

4、利用向量求空间角

⑴求异面直线所成的角

已知为两异面直线，A,C和B,D分别是"/上的随意两点，a泊所成的角为。，

则

⑵求直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角.

②求法：设直线/的方向向量为。，平面a的法向量为，，，直线和平面所成的角为。，。和〃的

夹角为8，则。为。的余角或夕的补角

的余角.即有：

(3)求二面角

①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线动

身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的

面.

二面角的平面角是指在二面角a-/-尸的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作射线

AOll,BOLl,则NA05为二面角4-/-尸的平面角.

②求法：设二面角6的两个半平面的法向量分别为〃?、〃，再设机、〃的夹角为°,二面角

a-/-夕的平面角为则二面角。为根、〃的夹角e或其补角TC-(p.

依据详细图形确定且是锐角或是钝角：

♦假如。是锐角，则，

即；

m-n

♦假如。是钝角，贝Ucose=-|cose|=1，

m\\n

即.

5、利用法向量求空间距离

⑴点Q到直线J距离

若Q为直线7外的一点，P在直线/上，。为直线/的方向向量，b=PQ,则点Q到直线/距离为

⑵点A到平面区的距离

若点月为平面a外一点，点〃为平面a内任一点，

平面a的法向量为人则P到平面a的距离就等于在法向量〃方向上的投影的肯定值.

⑶直线4和平面0之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距

离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

即

⑷两平行平面。之间的距离

利用两平行平面间的距离到处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

即

⑸异面直线间的距离

设向量〃和两异面直线a/都垂直，M尸£上则两异面直线〃/间的距离d就是M尸在向量〃

方向上投影的肯定值。

即

6、三垂线定理及其逆定理

⑴三垂线定理:在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这

条斜线垂直.

POLa.Oea

推理模式：PA(a=A

QU_LOA

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和

这条斜线的射影垂直.

POLa.Oea

推理模式：PAf]a=A.na_LA。

aua,。_LAP

概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7、三余弦定理

设是平面a内的任一条直线，是a的一条斜线在a内的射影，且，，垂足为D.设和a（）所

成的角为4，和所成的角为。”和所成的角为8.则cos6=cosqcos%.

8、面积射影定理

己知平面用内一个多边形的面积为S（S原），它在平面a内的射影图形的面积为£（5射），平面a

和平面夕所成的二面角的大小为锐二面角6,则

9、一个结论

蔽为两线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为小小