2021-2022学年初中数学讲义-全等三角形方法课之旋转模型

2021-2022学年初中数学精品讲义-全等三角形方法课之旋转

模型（解析版）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点A,8,C分别是三个正方

形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（）.

【答案】B

【分析】

如图：连接AP,AN,点4是正方形的对角线的交点，易证AW丝可得ANAP

的面积是正方形的面积的J,即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的,，即可解答.

44

【详解】

解：如图，

连接AP,AN,点A是正方形的对角线的交点,

则=ZAPF=^ANE=4y,

NPAF+NFAN=/FAN+NNAE=90,

:,NPAF=NNAE,

:.^PAF丝ANAE,

四边形AENF的面积等于ANAP的面积,

而的面积是正方形的面积的9,而正方形的面积为4,

二四边形AENF的面积为la/,三块阴影面积的和为3CQ2.

故选民

【点睛】

本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都

等于正方形面积的?，据此解题•解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正

方形面积的9.

4

2.如图，正方形ABC。的边长是2,对角线4C、〃。相交于点。，点E、厂分别在边

40、A3上，K0EL0F,则四边形AF0E的面积是()

A.4B.2C.1D.1

【答案】C

【分析】

根据正方形的性质可得。4=。8,NOAE=NOBF=45。,AC1BD,再利用ASA证明

△AOE^/XBOF,从而可得△A0E的面积=△8。尸的面积，进而可得四边形A尸。E的

面积=!正方形ABC。的面积，问题即得解决.

【详解】

解：:四边形43CD是正方形，

：.OA=OB,NOAE=NOBF=45。,ACLBD,

・・・乙4。3=90。，

•:OELOF,

：./EOF=90。,

・•・NAOE=NBOF,

：./\A0E^/\B0F(ASA),

・・・AAOE的面积=△BOF的面积，

/.四边形AFOE的面积=；正方形ABCD的面积=gx2?=1；

44

故选c.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性

质，证明三角形全等是解题的关键.

3.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能

与AACP重合，如果AP=3cm,那么PP的长为（）

A.4百B.4应C.3百D.372

【答案】D

【分析】

由题意易证^ABP^^ACP',则有AP==3,NB4P=NC4尸，进而可得NR4P=90°,

最后根据勾股定理可求解.

【详解】

解：:△ABC是等腰直角三角形，

.".ZBAC=90°,AB=AC,

:将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△AC严重合，

^ABP^^ACP,

VAP=3cm,

・・・AP=AP'=3,NBAP=/CAP,

,：ZBAP+ZPAC=90°f

...NC4Pz+NB4C=90。，即NP4P=90。，

•••ARW是等腰直角三角形，

•*-PP'=EAP=30;

故选D.

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质及等腰

直角三角形的性质与判定是解题的关键.

4.如图，在△ABC中，NACB=90。，AC=BC,D是AB边上一点（点D与A,B

不重合），连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90。得到线段CE,连结DE

交BC于点F,连接BE.当AD=BF时，NBEF的度数是（）

A.45°B.60°C.62.5°D.67.5°

【答案】D

【分析】

根据旋转的性质可得CD=CE和NDCE=90。，结合NACB=90。，AC=BC,可证

△ACD^ABCE,依据全等三角形的性质即可得到/CBE=/A=45。，再由AD=BF

可得等腰4BEF,则可计算出/BEF的度数.

【详解】

解：由旋转性质可得：CD=CE,ZDCE=90°.

VZACB=90°,AC=BC,

.,.ZA=45°.

AZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB.

即NACD=NBCE.

.".△ACD^ABCE.

/.ZCBE=ZA=45°.

VAD=BF,

/.BE=BF.

；.NBEF=NBFE=67.5°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键

是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等

三角形性质解决相应的问题.

5.如图，AB//CD,㈤C与ZACO的平分线相交于点G,£0,47于点《，F为AC

中点，GHLCD于H,2FGC=4FCG.下列说法正确的是（）

①4GLCG；②ZBAG=NCGE；③SgFG=S、GFc；④若NEGH:NECH=2:7,贝!）

ZAFG=150°.

B

G

D

FEC

A.①③④B.②③C.①®@D.①②③④

【答案】C

【分析】

根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到NGAC+NGC4=90。从而根据三角形

的内角和定理得到NAGC=90。，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知

NCGE=NGAC,再由角平分线的定义与等量代换可知N8AG=NCGE,即可判断②正

确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过

角度的和差计算先求出NEGa,NECH的度数,再求出NEGR=50。，再由三角形内角

和定理及补角关系即可判断④是否正确.

【详解】

①中，"."AB//CD,

：.ZBAC+ZACD=180°,

：NB4C与/OC4的平分线相交于点G,

：.ZGAC+ZGCA=-ZBAC+-ZAC£>=12x180°=90°,

22

NGAC+ZGC4+ZAGC=180°,

，ZAGC=90°

J.AGLCG,

则①正确；

②中，由①得4G_LCG,

VEGA.AC,NFGC=NFCG,

.，.根据等角的余角相等得NCGE=ZGAC,

：AG平分NBAC,

ZBAG=ZGAC,

ZBAG=ZCGE,

则②正确；

③中，根据三角形的面积公式，•..尸为AC中点，；.AF=CF,与AGFC等底等

ICTJ»1•S14AFG=SbGFC，则③正确；

④中，根据题意，得：在四边形GEC"中，NEG〃+NEC”=180。,

又：NEGH:NECH=2:7,

27

二NEGH=180°x-=40°,ZECH=180°x-=l40°,

99

：CG平分NECH,

NFCG=-ZECH=70°,

2

根据直角三角形的两个锐角互余，得NEGC=20。.

,：ZFGC=ZFCG,

：.4FGC=4FCG=70°,

NEGF=NFGC-NECG=50°,

EGLAC,

ZGFE=90°-NEGF=40°,

/•ZAFG=180°-ZGFE=180°-40°=140°,则④错误.

故正确的有①②③，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补

角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想,

熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.

6.在RtAABC中，AC=BC,点D为AB中点.ZGDH=90°,NGDH绕点D旋转,

DG,DH分别与边AC,BC交于E,F两点.下列结论：①AE+BF=4AB；

2

②AE2+BF2=EF2；③S四硼CEDF=^SAABC;④4DEF始终为等腰直角三角形.其中正确

C.①③④D.①®®®

【答案】D

【分析】

连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE丝aCDF,就可以得出AE=CF,

进而得出CE=BF,就有AE+BF=AC,由勾股定理就可以求出结论.

【详解】

连接CD,VAC=BC,点D为AB中点，ZACB=90°,

；.AD=CD=BD二AB.ZA=ZB=ZACD=ZBCD=45°,ZADC=ZBDC=90°.

.\ZADE+ZEDC=90°,

ZEDC+ZFDC=ZGDH=90°,

.\ZADE=ZCDF.

NA=N£)CB

在△ADE和ACDF中，,AD=CD

NADE=NCDF

AAADE^ACDF(ASA),

.*•AE=CF,DE=DF,SAADE=SACDF.

VAC=BC,

AAC-AE=BC-CF,

ACE=BF.

VAC=AE+CE,

：.\C=AE+BF=—AB.

2

：DE=DF,ZGDH=90°,

...△DEF始终为等腰直角三角形.

VCE2+CF2=EF2,

.*.AE2+BF2=EF2.

•S四边彩CEDF=SAEDC+SAEDF,

••S㈣边心CEDF=SAEDC+SAADE="ySAABC-

正确的有①②③④.

故选D.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理

的运用，解题关键是证明△ADEgZXCDF.

7.如图，在等腰HAABC中，ZBAC=90°,AB=3,点。在8c上，以AO为边向右作

等腰R/AWE,ZDAE=90°,连接BE,若NE8C=30。，则8。的长为（）

A.2B.25/3C.卡D.4

【答案】C

【分析】

连接CE,根据题意可证得三AACE,所以8。=CE,NACE=NAfiC=45。，所以

NECB=90°,在等腰HAABC,根据4?=3,可求出BC=3&，在R/V3CE中，

ZEBC=30°,所以BE=2CE,设CE=x,则8E=2x,根据勾股定理可得出关于x的方

程，解出即可得出答案.

【详解】

解：如图，连接CE,

-,-ZBAC=ZBAD+ZDAC=90°,

ZDAE=ZCAE+ZDAC=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在△ABD与△ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

:.^ABD^ACE（SAS）,

BD=CE,ZACE=ZABC=45°,

vZACB=45°,

Z£CB=90°；

在等腰RfAABC,

AB=AC=3,

8c=30，

•.,在RfV8C£中，ZEBC=30°

BE=2CE,

设CE=x,则BE=2x,

,V+(30『=(2x『

解得：x=娓＞

BD=CE=娓;

故选：C.

【点睛】

本题考查全等三角形以及勾股定理解特殊直角三角形；题中如果出现两个等腰三角形，

顶角相等且重合，则可以考虑手拉手证明全等三角形，题中如果出现等腰直角三角形或

者含有3(r的直角三角形，可利用这两种特殊三角形边之间的关系，已知一边长度，即

可求出其他两条边的长度.

8.如图，在AA8C中，40是8c边上的高，NBAf=NC4G=90。，AB=AF,AC=AG,

连接FG,交DA的延长线于点E,连接BG,CF,则下列结论：①BG=CF；②8G_LCF；

@ZEAF=ZABC^④EF=EG,其中正确的有()

A.①②③B.①②④C.D.①②@@

【答案】D

【分析】

证得△。尸且aGAB(SAS),从而推得①正确；利用△C4尸丝△GA8及三角形内角和与

对顶角，可判断②正确；证明△AFM且△54。(AAS),得出FM=AQ,AFAM=ZABD,

则③正确，同理AANG丝△CD4,得出NG=AO,则FM=NG,证明△FME经△GNE

(A45).可得出结论④正确.

【详解】

解：；NBAF=NCAG=90°,

/BAF+NBAC=NCAG+NBAC,即/CAF=NGAB,

又：A8=AF=AC=AG,

：.ACAF^AGAB(SAS),

：.BG=CF,故①正确；

VAMC^ABAG,

：.ZFCA=ZBGA,

又：BC与AG所交的对顶角相等，

，BG与FC所交角等于NGAC,即等于90。，

：.BG±CF,故②正确；

过点F作FMVAE于点M,过点G作GNLAE交AE的延长线于点N,

'：ZFMA=ZFAB=ZADB=9O°,

：.ZFAM+ZBAD=90°,ZFAM+ZAFM=90°,

：.ZBAD=ZAFM,

又

也△BAO(AAS),

：.FM=AD,NFAM=NABD,

故③正确，

同理△ANG9XCDA,

：.NG=AD,

；.FM=NG,

,：FM1AE,NGJ.AE,

：.NFME=NENG=90°,

,/ZAEF=ZNEG,

：./\FMEqAGNE(A4S).

:.EF=EG.

故④正确.

故选：D.

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角,

三角形内角和等儿何基础知识.熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

9.如图，正方形ABCO中，E,尸分别为AB,上的点，AF=BE,CE,BF交

于点H,3F交AC于点M,。为AC的中点，0B交CE于点N,连接下列结论：

①②的W=CN；③NFHO=45°；④=正确的个数是（）

【答案】D

【分析】

①可证AABFMABEC得々CE=NABF,所以N"8C+/HCB=90°,由此得证.②由题

意正方形中NABO=N8CO,在上面所证N3CE=NABF,得ZECO="BO,结合正方

形性质易证AQSM=“WC(AAS)得到BM=CN即得证.③过。点作0G垂直于OH,

0G交CH于G点、,可证得=A。/汨.得AOHG是等腰直角三角形，由

ZFHO=AFHC-ZOHC=45°,④由AOGC*OHB得CG=BH,所以

CH-BH=HG=®OH.

【详解】

解：-.AF=BE,AB=BC,ZABC=NBAD=90。,

MABFMABEC(SAS),

:"BCE=ZABF,

又,:ZABC=ZABH+ZHBC=90P,

：.ZHBC+ZHCB=90°,

即3RLEC,故结论①正确；

四边形是正方形，

BOLAC,BO=OC,

由题意正方形中NABO=/BC。，在上面所证N8CE=NABk,

:.^ECO=ZFBO,

=^ONC(AAS),

：.BM=CN,即结论②正确；

过。点作0G垂直于OH,0G交CH与G点、,

'：ZHON+ZNOG=ZNOG+ZGOC,

：."ON=ZGOC,

在AOGC与ACWB中，

ZOCN=NOBH

■OC=OB,

/HON=4G0C

故.aOGC译OHB(ASA),

OH=OG,

-.OHLOG,

.•.ZCWG=45°,

AFHO=ZFHC-ZOHC=90°-45°=45°,故结论③正确；

AOGC-OHB，

:.BH=CG,

：.CH-BH=CH—CG=HG,

■.■ZHOG=90°,OH=OG,

CH-BH=HG=y/2OH,故结论④正确；

综上所述，①②③④正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的证明以及等腰直角三角形性质，充分利用线段

和角证明三角形全等，转化线段和角的关系是解题关键，比较综合，有一定难度.

10.如图，在正方形48。中，点。为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分

别交A3、8c于点E、F,且/£0尸=90。，BO、E尸交于点P.则下列结论中：

（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形A8CD的面积等于四边形。EB尸面积

22

的4倍；（3）BE+BF=yf2OA;（4）AE+CF=2OP*OB.

正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出（1）错误；由

△AOEg430F,得出四边形0E8F的面积=的面积=J正方形A8C。的面积，

4

得出（2）正确；由得出8£=CF,得出8E+BF=AB=&OA,得出

（3）正确；由/\AOE^/\BOF得出AE=3尸，进而AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=2OF2，

再证明△OPFSAOFB,得出OR2=OP・OB,得出（4）正确.

【详解】

解：（1）不正确；图形中全等的三角形有四对：△45C=4A£>C,^OB^COB,

△AOEwABOF,△BOEwACOF;

理由如下：

•.•四边形A8C3是正方形，

:.AB=BC=CD=DA,NBAD=ZABC=NBCD=ZD=90°,ZBAO=ZBCO=45°,

在A/WC和AAOC中，

AB=AD

-BC=DC,

AC=AC

:.^ABC=^ADC(SSS).

•・・点。为对角线AC的中点,

OA=OC,

在和△COB中，

OA=OC

AB=CBf

OB=OB

.•.△AO8=△COB(SSS)；

,.・AB=CB,OA=OC,ZABC=90。，

.,•NAOB=90。，ZOBC=45°t

又・.・NEOF=90。，

/.ZAOE=ZBOFf

在△AOE1和尸中，

NOAE=NOBF=45。

<0A=OB,

ZAOE=/BOF

:.^AOE=^BOF(ASA)；

同理：△8OEmZ\COF；

(2)正确.理由如下：

•；AAOEW止OF,

••・四边形OEBF的面积=△AB。的面积=!正方形ABC。的面积；

4

(3)正确.理由如下：

•但。EwXCOF,

:.BE=CF,

BE+BF=CF+BF=BC=AB=0OA:

(4)正确.

AE2+CF1=BE1+BF2=EF2=(0OF)2=20产，

在小OPF与X。fB中，

NOBF=NOFP=45。,

4POF=4FOB,

：.^\OPF^/\OFB,

OP：OF=OF：OB,

OF1=OP»OB,

AE^+CF^^OP'OB.

正确结论的个数有3个；

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判

定和性质等.解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考

题型.

二、填空题

11.两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点0处,

AB=13,CD=7.保持纸片A08不动，将纸片绕点0逆时针旋转a（0<a<90。）,

如图2所示.当80与CD在同一直线上（如图3）时，则A48C的面积为•

【答案】30

【分析】

设A0与BC的交点为点G,根据等腰直角三角形的性质证△AOCgABOD,进而得出

△ABC是直角三角形，设AC=x,BC=x+7,由勾股定理求出x,再计算△ABC的面积

即可.

【详解】

解：设A0与BC的交点为点G,

VZAOB=ZCOD=90°,

AZAOC=ZDOB,

在4AOC和^BOD中，

OA=OB

"ZAOC=ZBOD,

OC=OD

.".△AOC^ABOD(SAS),

；.AC=BD,ZCAO=ZDBO,

VZDBO+ZOGB=90°,

VZOGB=ZAGC,

.".ZCAO4-ZAGC=90°,

...NACG=90。，

；.CG_LAC,

设AC=x,则BD=AC=x,BC=x+7,

；BD、CD在同一直线上，BD1AC,

...△ABC是直角三角形，

.".AC2+BC2=AB2,

X2+(X+7)2=132,

解得x=5,即AC=5,BC=5+7=12,

在直角三角形ABC中，S=1x5xl2=30,

故答案为：30.

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等

知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题.

12.如图，在中，ZACB=90°,AC点尸在斜边A8上，以PC为直角边作

等腰直角三角形尸C。，NPCQ=90。,则PAjPB'PC?三者之间的数量关系是.

P

【答案】PA2+PB2=2PC2

【分析】

把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合RtAPCD中，可找到PC和PD和CD的

关系，从而可找到PA?,PB?,PC?三者之间的数量关系：

【详解】

解：过点C作CDLAB,交AB于点D

•.•△ACB为等腰直角三角形，CD1AB,

；.CD=AD=DB,

VPA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD«PD+PD2,

PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2-2CD«PD+PD2,

，PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2),

在RtAPCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2,

.\PA2+PB2=2PC2,

故答案为PA2+PB2=2PC2.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合

一进行论证.

13.如图，AABC和AZJCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90P,ZEBD=42°,

则ZAEB=___________度.

【答案】132

【分析】

先证明△BDC^^AEC,进而得到角的关系，再由NEBD的度数进行转化，最后利用

三角形的内角和即可得到答案.

【详解】

解：VZACB=ZECD=90°,：.NBCD=ZACE,

AC=BC

在K3DC和MEC中，-NBCD=AACE,

DC=EC

：.ABDC咨MEC(SA5),/.Z.DBC=ZEAC,

NEBD=ZDBC+NEBC=42°,

/•NEAC+ZEBC=42°,，ZABE+NEAB=90°-42°=48°,

ZAEB=180°-(NABE+ZEAS)=180°-48°=132°.

故答案为132

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻

找全等三角形解决问题.

14.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等

腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.

(D在旋转过程中，当A,D,M为同一直角三角形的顶点时，AM的长为一；

(2)若摆动臂AD顺时针旋转90。，点D的位置由AABC外的点Di转到其内的点D2

处，连结D1D2,如图2,此时NAD2c=135。，CD2=60,BD2的长为.

【答案】10函或200.30新

【分析】

(1)由题意DM不是最长边，所以NMAD不能为直角.当NAMD为直角时，根据

AM2=AD2-DM2,计算即可，当NADM=90。时，根据.2=4)2+。“，计算即可.

(2)连接CR.首先利用勾股定理求出C。，再利用全等三角形的性质证明BQ=Cn即

可.

【详解】

解：(1)由题意D0不是最长边，所以NMAD不能为直角.

当NAMD为直角时，AM2=AD2-DM2=302-102-800，

AM=205/2或(-200舍弃).

当ZADM=90。时,AM2=AD2+DA/2=302+102=1000.

AAM=loVio或(-10而舍弃).

综上所述，满足条件的AM的值为20夜或.

(2)如图2中，连接CQ,

图2

由题意：NRAD2=90°,AD]=AD2=30,

ZAD2Dt=45°,DR=30A/2,

VNAO2c=135°,

ZCD2D,=90°,

，CR=y/CD；+DR=30#,

VZBAC=ZD1A£)2=90°,

NBAC-NCAQ=NH-NCAD],

ABAD,=NCAD],

VAB=AC,AD2=ADt,

ABA£>2名ACA。(SAS),

BD?=CD\=30>/6.

故答案为：(1)20夜或10面,(2)30娓.

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

15.如图，正方形A3CD中，48=4石，。是8c边的中点，点E是正方形内一动点，

OE=4,连接OE,将线段OE绕点。逆时针旋转90。得。尸，连接AE、CF,则线段。尸

长的最小值为

【答案】100-4.

【分析】

连接。0，将线段力。绕点。逆时针旋转90。得OM,连接。凡FM,OM,证明

△EDO^/\FDM,可得FM=OE=4,由条件可得OM=10底,根据OF+M"OM,即

可得出0斤的最小值.

【详解】

解：如图，连接。。，将线段。。绕点。逆时针旋转90。得QM,连接OF,FM,OM,

'：NEDF=NODM=90。,

：.NEDO=ZFDM,

,:DE=DF,D0=DM,

：.4EDO经丛FDM(SAS),

；.FM=OE=4,

:正方形ABC。中，AB=4有，。是8C边的中点，

♦■OC—25/5)

OD=J(4@+(2府=10,

°"=>/102+102=10无，

:OF+MF>OM,

,•10V2—4，

二线段。尸长的最小值为10匹-4.

故答案为：［0&-4.

本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质、正方形的性质和两点之间距离，熟练

掌握并准确应用是解题的关键.

16.如图，等边中，ZAOB=\\50,ABOC=\25°,则以线段。A,08,0C为边构成

的三角形的各角的度数分别为.

B

【分析】

通过旋转AAOB至可得ABOD是等边三角形，将OA,OB,OC放在一个三角形

中，进而求出各角大小。

【详解】

解：将AAOB逆时针旋转60。，得到△CDB,

:AAO的ACDB,是等边三角形，且旋转角相等，则08=08,ZOBZ>60°

：.ABOD是等边三角形.则OB=DB=0D

又；AAO瞄ACDB；.ZAQB=NCD3=115°OA=DC

故以线段。A,OB,OC三边构成的三角形为AOCD

所以ZODC=Z.CDB-ZODB=115°-60°=55°

ZCOD=ZBOC-ZBOD=125。-60。=65°

NOCD=180°-ZODC-COD=180°-65°-55°=60°

故答案为：55。,60。,65°.

【点睛】

此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋

转的应用是解题的关键.

17.已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC,BD相交于点O.过

点O作一直角NMON,直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转NMON,

旋转角为。(0°<0<90°),OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB

于点G,则下列结论中正确的是(填序号).

①EF=\[2OE;②S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:2；③BE+B尸=\[2OA;©OG*BD=AE2+CF2；

3

⑤在旋转过程中‘当ABEF与ACOF的面积之和最大时'AE=-.

【答案】①③④

【分析】

①②③证明△BOEgZXCOF,结合正方形的性质可判断；④证明△OEG〜△OBE,结合

△BOEgZiCOF的性质即可证得；⑤作OHLBC,表示出S4BEF+S^COF,即可判断.

【详解】

①•・,四边形ABCD是正方形，

AOB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,ZBOC=90°,

・•・ZBOF+ZCOF=90°,

ZEOF=90°,

AZBOF+ZCOE=90°,

AZBOE=ZCOF,

在^BOE和4COF中，

NBOE=/COF

<OB=OC,

NOBE=NOCF

AABOE^ACOF(ASA),

AOE=OF,BE=CF,

AEF=V2OE；故①正确；

(§)•S四边形OEBF=SABOE-*-S△BOE=S△BOE+SACOF=SABOC="S正方形ABCD,

4

二・S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4;故②错误；

③・・・BE+BF=BF+CF=BC=&OA；故③正确；

④•.*NEOG=ZBOE,ZOEG=NOBE=45°

:.AOEG〜AOBE

.OEOG

^~OB~~OE

:.OGOB=OE2

1万

•/OB=-BD.OE=^-EF

OGBD^EF2

：在Rt/XBEF中，EF2=BE2+BF1

：.EF2=AE2+CF2

^OG-BD^AE'+CF-,故④正确;

⑤过点。作OHJ_BC,

.".OH=yBC=1,

设AE=x,贝ljBE=CF=1-X,BF=x,

SABEF+SACOF=GBE・BF+：CF・OH=4x(1-x)(1-x)x4=-：(x—)2H----,

222222432

«=--<0,

2

・,•当X=!时，SaBEF+SACOF最大；

4

即在旋转过程中，当ABEF与aCOF的面积之和最大时，AE=J；故⑤错误；

故答案为①③④.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知以上知识点是解题的关键.

18.如图，在四边形ABCD中，A3=BC,NABC=NCD4=90°,8E_LAO于

E,S四边形ABCD=1°，则BE的长为

【答案】M

【分析】

过点B作BF_LC£>交DC的延长线交于点F,证明AAEB丝ACFB(AAS)推出BE=BF,

S&ABE，可得S四边形ABCD=S正方形BEDF=12,由此即可解决问题;

【详解】

解：过点B作“J_8交DC的延长线交于点F,如右图所示，

VBF1CD,BEA.AD

NBFC=/BEA=90

・・・/ABC=/ADC=90

.•./ABE+/BC=90,ZEBC+/CBF=90‘

.•.NABE=/CBF

vAB=CB

，AAEBgACFB(AAS)

BE=BF，S.ABE=S^BFC

•Q=s=1()

,•°四边形ABCD一°正方形BEDF-I”，

/.BExBF=10,

即BE2=10.

BE=M，

故答案为JHL

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角

形解决问题，属于中考常考题型.

19.如图，在中，分别以A3、BC为边向外作正方形ABFG、BCED,连接A。、

CF、CD、AF,若小＞=6,则四边形AFDC的面积=.

E

【答案】18

【分析】

根据四边形A8FG、8CEZ）是正方形得到两对边相等，一对直角相等，根据图形利用等

式的性质得到一对角相等，利用SAS即可得到AABO丝△«（?；得到AD=FC,NBAD

=/BFC,利用等式的性质及垂直定义得到4。与CF垂直，由四边形4尸DC面积=

△ACO面积+△AFQ面积，求出即可.

【详解】

解：连接尸£）,设C尸与交于点M,CF与4B交于点M如图：

；四边形A"G、BCED是正方形,

：.AB=FB,CB=DB,NABF=NCBZ)=90°,

ZABF+ZABC=ZCBD+AABC,

即NABD=/CBF,

在△AB。和AF8C中,

AB=FB

</ABD=/CBF,

DB=CB

：.AABD^/^FBC(SAS)；

：.AD=FC,/BAD=/BFC,

：.ZAMF=\SO°-ABAD-ZCNA=\SO°-(ZBFC+ZBNF)=ISO0-90°=90°,

：.AD1,CF9

•・・AO=6,

/.FC=AD=69

一•四边形ACDF的面积=SJCD+S“力「

=-xADxCM+-xADxFM

22

=-xADxCF

2

1//

=—x6x6

2

=18.

故答案为：18.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形、四边形的面积，以及三角形的三边关系，

属于多知识点的四边形综合题.能求出5c并证明ACCF是解此题的关键.

20.如图，折线AB-8C中，AB=3,BC=5，将折线AB-8C绕点A按逆时针方向旋

转，得到折线4>-QE,点8的对应点落在线段8c上的点。处，点C的对应点落在点E

处，连接CE,若CELBC,贝！|tan/EDC=°,

【答案】y

【分析】

连接AC、AE,过点A作AF_LBC于F,作AHJ_EC于H.再证明四边形AFCH是矩

形，可得AF=CH,由旋转的性质可得AD=AB=3、BC=DE=5,ZABC=ZADE,贝ij

△ABC^AADE,即AC=AE；再由等腰三角形的性质和勾股定理可得BF、AF、EC、

CD的长，最后根据正切定义解答即可.

【详解】

解：如图：连接AC、AE,过点A作AFJ_BC于F,作AHLEC于H.

VCE1BC,AF1BC,AH±EC

・・.四边形AFCH是矩形，

AAF=CH,

•・•将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD-DE

・・・AD=AB=3、BC=DE=5,ZABC=ZADE

AAABC^AADE

AAC=AE,

VAC=AE,AB=AD,AF1BC,AH1EC,BF=DF,CH=EH

:.AB2=AF2+BF\DE2=DC2+CE2

：.9=AF2+BF2,25=(5-2BF，+4AF2

912

・・・BF=一，AF=—

55

2497

:.EC=2CH=2AF=-,CD=5-2x-=-

555

EC24

，tanZEDC=—=—

CD7

故答案为：2

【点睛】

本题考查了旋转的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐

角三角函数等知识，根据题意求得EC、CD的长是解答本题的关键.

三、解答题

21.为等边三角形，AB=8,E、尸分别是5C、AB.AC的中点，连接ER

CE,分别取ERCE的中点M、N,连接MN、DN.

(1)如图1,MN与的数量关系是,NDNM=；

(2)如图2,将△AE尸绕点A逆时针旋转，旋转角为a,

①当0。＜，＜90。时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由；

②连接BN,在“EF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，求△AON的面积.

【答案】（1）MN=DN,120°；（2）①成立，见解析：②+6

【分析】

（1）利用三角形中位线定理以及等边三角形的性质即可解决问题.

（2）①如图2中，连接BE,CF,延长BE交CF的延长线于点7.证明△BAE^ACAF（SAS）,

可得结论.

②当点N在区/的延长线上时，BN的值最大，如图3-2中，过点N作NHLAD于H,

设交于K,连接4N.想办法求出AD,M7即可解决问题.

【详解】

解：（1）如图1中，

图1

：△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,

；EM=MF,EN=NC,BD=DC,

:.MN"FC,DN//BE,MN=』CF,DN=；BE,

"：AE=EB,AF=CF,

：.BE=CF,EF=；BC=gAC=CF,

:.MN=DN,

"：CA=CB,AE=BE,

：.CE±ABfZACE=ZBCE=|ZACB=yx60°=30°,

：.ZCEB=90°f

FDN〃BE,MN//CF,

:./END=90。,/ENM=/ECF=30。,

：.ZZ)W=90°+30°=120°.

故答案为：MN=DN,120°.

⑵①成立.

图2

VZBAC=ZEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAF,

*：AB=ACfAE=AFf

：./\BAE^/\CAF(SAS)9

；.BE=CF,ZABE=ZACFf

•.*/AOB=NCOT,

/.ZT=ZBAO=60°,

，/EBC+/TCB=120。,

•；EM=MF,EN=NC,BD=DC,

J.MN//FC,DN〃BE,MN=gcF,DN=』BE,

:・MN=DN,NNDC=/EBC,NENM=NECT,

：.ZDNM=4DNE+/ENM=NNDC+/DCN+NECF=/TBC+/TCB=120°.

②(3)如图3-1中，取AC的中点，连接区/,BN.

图3-1

'：AJ=CJ,EN=NC,

：.JN=^AE=4i,

'：BJ=AD=2,

：.BN<BJ+JN,

：.BN<4y/3+2,

当点N在87的延长线上时，BN的值最大，如图3-2中，过点N作AWLA。于，,

设即交于K,连接AM

图3-2

KJ=AJ-tan30°=勺叵，JN=2,

3

：.KN=^-+2,

3

在.RtAHKN中,NNHK=9Q°,NNKH=60°,

.•.”N=NK・s山60。=(生叵+2)x3=2+6,

32

5AADN=g・AD・NH=1x4V3x(2+6)=4石+6.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角

形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题，属于中考压轴题.

22.在AABC和ACOE中，ZACB=ZDC£=90°,AC=BC,CD=CE,点0在边AC

上，点E在边BC上，如图1将△。£出绕点。按顺时针方向旋转,旋转角为凉0。〈任90。).

图3

(1)连接AO,BE.求证：AD=BE,ADA.BE；

(2)当旋转至图2位置时，点A,D,E在一条直线上，连接BD,BE,若4。=2近，

CD=1,贝!]8。=；

(3)当a=90。时，如图3,连接AZ),BE,延长AZ)交BE于点尸，连接C尸，若OF

=1.EF=V3.贝UCF=.

【答案】(1)见解析；(2)VTo；(3)2+6

2

【分析】

(1)如图1中，延长AO交BE'的延长线于7,设AT交BC于J.证明

(SAS),推出AO=BE,NCAD=NCBE,可得结论.

(2)利用勾股定理求出。E,再根据8E=A£>=2&,AEVBE,利用勾股定理求出3。

即可.

(3)如图3中，过点C作CPLBE于P,CQJ_AF于。.证明四边形QCP尸是正方形，

求出PF的长，可得结论.

【详解】

(1)证明：如图1中，延长A。交BE的延长线于T,设A7交BC于J.

NACD=NBCE,

在△48和4BCE中,

CA=CB

<ZACD=/BCE,

CD=CE

：.(SAS),

:.AD=BE9NCAD=NCBE,

♦：4CJA=/BJT,

：.ZBTJ=ZACJ=90°f

：.AD±BE.

(2)解：如图2中，

图2

•:CD=CE=\,/DCE=90。,

・•・DE=DC?+DE?=Vl2+12=V2，

•；AD=BE=2亚,ZAEB=90°,

・，・BD=dDE?+BE?=J(扬?+&扬2=弧.

故答案为：M.

(3)如图3中，过点。作CBE于P,CQLA/于Q.

图3

VAACD^ABCE,CQLAD,CP_LBE,

:・CQ=CP,

平分NAEE,

*.<NAFE=90。,

：・NCFP=NCFQ=45。,

'：ZCPF=ZCQF=90°f

:.QC=QF=CP=PF,

・・・四边形0cp/是菱形，

VZPF(2=90°,

・・・四边形QCPF是正方形，

,：ZDCE=ZQCP=90°f

：.ZQCD=ZPCEf

在RIACQD和RmCPE中，

[CD=CE

[CQ=CP9

・•・7?/△CQDqRibCPE(HL),

:.DQ=PE,

・・・DF+EF=FQ-DQ+PF+PE=2PF=1+73,

・・.尸尸=匕立，

2

：.CF=41PF=血丁.

故答案为：一+一.

2

【点睛】

此题考查旋转与儿何图形综合题，全等三角形的判定及性质，正方形的判定及性质，勾

股定理，正确掌握各知识点，综合的推理能力是解题的关键.

23.(1)问题发现：

如图1,