八年级数学第十七章《勾股定理》单元检测题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.若直角三角形的一条直角边长为9,斜边长为10,则另一条直角边长为（）.

A.1B.V19C.19D.3

2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,

内壁高12cm,则这只铅笔的长度可能是（）

A.9cm

B.12cm

C.15cm

D.18cm

3.如图，数轴上点4,B表示的数分别是1,2,过点B作

PQ14B,以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于

点C,以原点。为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点

M,则点M表示的数是（）

A.V3

B.V5

C.V6

D.V7

4.如图，圆柱的底面周长是14cm,圆柱高为24cm,一只蚂蚁如果

要沿着圆柱的表面从下底面点4爬到与之相对的上底面点B,那

么它爬行的最短路程为（）

A.14cm/--------、、

B.15cm

C.24cm

D.25cm

5.如图，从笔直的公路1旁一点P出发，向西走6/on到达Z；从P

出发向北走6/cni也到达，.下列说法错误的是（）

A.从点P向北偏西45。走3/nn到达，

B.公路，的走向是南偏西45。

C.公路1的走向是北偏东45。

D.从点P向北走3/on后，再向西走3km到达/

6.如图，在中，4c=90。，分别以各边为直径作

半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月

牙”，当AC=4,8C=2时，则阴影部分的面积为（）

A.4

B.47r

C.87r

D.8

7.在△力BC中，AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论正确的是（)

A.△4BC是直角三角形，且44=90°

B.△ABC是直角三角形，且48=90。

C.△力BC是直角三角形，且4c=90。

D.△4BC不是直角三角形

8.如图，在3x3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点4

B,C都在格点上，若BO是AABC的高，则BD的长为（）

A.0

C.弗

D.犷

9.如图，在中，Z.BAC=90°,AB=6,AC=8,

。为4c上一点，将448。沿80折叠，使点4恰好落在BC上

的E处，则折痕8。的长是（）

A.5

B.V34

C.3V5

D.闹

10.设三角形的三边长分别等于下列各组数，能构成直角三角形的是（)

遮，pill

A.VLV5B・394f5

C11±

G6’8,10D.4,5,6

11.在Rt△ABC中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示,

48的长为（）

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A.49

B.VH

C.3V2

D.7

12.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格

点上，在△4BC内部有E、尸、G、H四个格点，至必/lBC

三个顶点距离相等的点是（）

A.点E

B.点F

C.点G

D.点H

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.如图，数轴上点4所表示的实数是.

-2-I0I22

14.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内,

木筷露在杯子外面的部分至少有cm.

15.如图，已知44=90。，AC=AB=4,CD=2,BO=6.则

Z-ACD=度.

16.如图，已知1号、4号两个正方形的面积为和为7,2号、3号两个正方形的面积和为

4,则a,b,c三个方形的面积和为.

17.在正方形网格中，A.B、C、。、E均为格点，则

Z.DAE=°.

三、解答题(本大题共5小题，共40.0分)

18.有一块空白地，如图，4WC=90%CD=6m,AD=8m,

AB=26m,BC=24m,试求这块空白地的面积.

19.如图，一架2.5m长的梯子4B斜靠在一竖直墙40上，这时4。为

2.4m.

(1)求。8的长度；

(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C,那么梯子顶

端4下移多少小？

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20.如图，在△ABC中，AD1BC,垂足为。，BD=CD,延长BC至E,使得CE=C4,

(1)求证：NB=Z_ACB；

(2)若4B=5,AD=4,求△ABE的周长和面积.

21.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点，以格

点为顶点分别按下列要求画三角形(用阴影表示).

(1)在图(a)中，画一个不含直角的三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)在图(b)中，画一个直角三角形，使它的斜边长为旧；

(3)在图(c)中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5,直角边长都是无理数.

22.已知：如图，在四边形ABCD中，Z.DAB=90°,AD//BC,AD=1,4B=3,将△力BD

沿直线B。翻折，点A恰好落在CD边上点4处.

(1)求证：BC=DC；

(2)求BC的长.

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1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题直接根据勾股定理求解即可.

本题考查勾股定理的应用，较为简单.

【解答】

解：由勾股定理的变形公式可得：另一直角边长=-92=g.

故答案为：B.

2.【答案】D

【解析】解：根据题意可得图形：AB=12cm,BC=9cm,

在Rt△力BC中：AC2=AB2+BC2=122+92=152,

•••AC-15(cm)

则这只铅笔的长度大于15cm.

故选：D.

首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长

此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是勾股定理和实数与数轴，直接利用勾股定理得出0C的长，进而得

出答案.

【解答】

解：由题意可得：0MleM,OB=2,BC=1,

则OC=V224-12=V5,

故点M对应的数是：V5.

故选8.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确

定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角

形解决问题.

把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B',利用两点之间线段最短可判断

蚂蚁爬行的最短路径为AB',如图，由于4c=24,CB'=7,然后利用勾股定理计算出力B'

即可.

【解答】

解：把圆柱沿母线4C剪开后展开，点B展开后的对应点为夕，则蚂蚁爬行的最短路径为

在Rt△ACB',AB'2==72+24=625=252,

所以它爬行的最短路程为25cm.

故选D.

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5.【答案】A

【解析】解：如图，

由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，

则力B=6V2km，

则PC=3V2km,

则从点P向北偏西45。走3a府到达1,选项A错误；

则公路，的走向是南偏西45。或北偏东45。，选项8,C正确;

则从点P向北走3k机后，再向西走3/cni到达1,选项正确.

故选：A.

先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解.

本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确

的示意图.领会数形结合的思想的应用.

6.【答案】A

【解析】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=20,

则阴影部分的面积=9x4CxBC+卜兀x（争2+1x7rx（掌）2三x7rx（第2

111,,,

=-x2x4+-x?rx-x（AC2+BC2-AB2）

=4,

故选：A.

根据勾股定理得到482=AC2+BC2,根据扇形面积公式计算即可.

本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，根据题意判断出△ABC的形状是

解答此题的关键.

先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再根据直角三角形的性质进行逐一判断

即可.

【解答】

解：•••△ABC中，AB=8,BC=15,AC=17,

AB2+BC2=82+152=AC2=172,

是直角三角形，

•••AC为斜边，48=90。，

故选B.

8.【答案】D

【解析】解：由勾股定理得：AC=VF+3^=V13，

vSMBC=3X3—^xlx2—|xlx3—^X2X3=3.5,

•••-2AC-BD=2-,

:.尼•BD=7,

二吁咨

13

故选：D.

根据勾股定理计算4C的长，利用面积差可得三角形4BC的面积，由三角形的面积公式

即可得到结论.

本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：在中，^BAC=90°,AB=6,AC=8,

BC=>JAB2+BC2=V62+82=10，

•••将AABD沿BD折叠，使点A恰好落在BC上的E处，

AD=DE,4DEB=44=90°,BE=AB=6,

■■■4CED=90°,CE=10-6=4,

•••CD2=DE2+CE2,

(8-AD)2=AD2+42,

・•・AD=3,

•••BD=yjAB2+AD2=V62+32=3后

故选：C.

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根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论.

本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根

据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

10.【答案】A

【解析】解：4、(V2)2+(V3)2=(V5)2.是直角三角形，故此选项正确；

8、(；)2+©)2羊©)2,不是直角三角形，故此选项错误；

C、©)2+舄)2=(/不是直角三角形，故此选项错误；

D、42+5262,不是直角三角形，故此选项错误.

故选：A.

判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方

即可.

此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满

足a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.

11.【答案】D

【解析】解：•••两个正方形的面积为35和14,

•••AB2=AC2+BC2=35+14=49,

则AB=7(负值舍去)，

故选：D.

根据勾股定理可知：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边

长的正方形的面积和.

本题考查勾股定理的实际应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,h,斜边长为

c,那么a2+b2=c2.

12.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的求出BF=4F=CF是解题的关

键.

根据勾股定理即可得到结论.

【解答】

解：BF=AF=CF=Vl2+42=VT7，

二到△ABC三个顶点距离相等的点是尸，

故选B.

13.(答案】V5—1

【解析】

【分析】

本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜线的长是解题关键.根据勾股定理，可得

斜线的长，根据圆的性质，可得答案.

【解答】

解：由勾股定理，得

斜线的为，22+12=V5,

由圆的性质得：点4表示的数为一1+遥，即遍一1.

故答案为6-1.

14.【答案】5

【解析】解：由题意可得：

杯子内的筷子长度最多为：V122+92=15cm>

则筷子露在杯子外面的筷子长度至少为：20—15=5(cm).

故答案为：5.

根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案.

此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键.

15.【答案】45

【解析】解：•••=90°,AC=AB=4,

：.Z.ACB=乙ABC=45°,

第12页，共16页

在Rt△ABC中，BC=\lAC2+AB2=4vL

CD2+BC2=22+(4圾2=36,BD2=62=36,

CD2+BC2=BD2,

•••4BCD=90°,

•••Z.ACD=45°,

故答案为：45.

根据勾股定理求出BC,根据勾股定理的逆定理得到NBC。=90。，结合图形计算，得到

答案.

本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=

c2,那么这个三角形就是直角三角形.

16.【答案】15

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理的运用，结合正方形的面积公式求解是解题的关键.由直角三角形

的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积,

b的面积等于2号的面积加上3号的面积，据此可以求出三个的面积的和.

【解答】

解：利用勾股定理可得Sa=S]+S2,Sb=S2+S3,SC=S3+S4,

所以Sa+S》+Sc=S]+S?+S2+S3+S3+S4=7+4+4=15.

故答案为15.

17.【答案】45

【解析】解：连接AF、EF,

贝此C4B=AFAD,

vZ-FAB—Z-DAE=Z-FAE,

・••Z-BAC-Z.DAE=Z.FAEf

设小正方形的边长为1,

则川=*，EF=V5，AE=V10.

AF2+EF2=AE2,

.•.△AFE是等腰直角三角形，

/.FAE=45。，

即NB4C-ADAE=45°,

故答案为：45.

根据题意，作出合适的辅助线，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断aAEF的形状,

从而可以求得484c-4D4E的度数.

本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

在Rt△ACD中，

vCD=6米，AD=8米，

•••AC2=AD2+CD2=82+62=100,

••.AC=10米，（取正值）.

在44BC中，vAC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676.

AC2+BC2=AB2,

；.△ACB为直角三角形，乙4cB=90。.

•••S空向=^ACxfiC-|/lDxCZ）=|xl0x24-|x8x6=96（平方米）.

答：这块空白地的面积是96平方米.

【解析】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾

股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△力CB为直角三角形.

连接AC,根据勾股定理可求出AC的长，再证明AACB为直角三角形，根据空白地的面

积=4ABC面积一△ACD面积即可计算.

19.【答案】解：(1)在Rt△4OB中，OB=5MB2-4。2=

J1/-争2=o.7(m);

(2)设梯子的A端下滑到。，如图，

OC=0.7+0.8=1.5,

第14页，共16页

.♦.在Rt/iOCD中，OD=VCD2-OC2=J(|)2-(|)2=2(m),

12

•••4。=。4-。。若一2=0.4,

二梯子顶端4下移0.4m.

【解析】(1)根据勾股定理即可得到结论；

(2)设梯子的4端下滑到。，如图，求得0C=0.7+0.8=1.5,根据勾股定理即可得到结

论.

本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理，注意掌握勾股定理

的表达式.

20.【答案】解：(1)证明：在AAOB和A40C中：

AD=AD

^LADB=Z.ADC,

BD=CD

.-.AADB=AADC(SAS),

■1•Z.B-Z.ACB；

(2)在Rt△4DB中，BD=y/AB2-AD2=<52-42=3.

:.BD=CD=3,AC=AB=CE=5,

・・・BE=2BD+CE=2x3+5=11,

在Rt△ADE中，AE=>JAD2+DE2=V42+82=4西，

•••ChABE=AB+BE+AE=5+11+4>/5=16+4圾,

S^ABE=iBE