高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (六)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(6)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知向量五=(2+sinx,1),b=(2,-2)，c=(sinx-3,1),d=eR,ke7?).

(1)若xe[-](]，且五〃(方+分求x的值.

(2)若函数f(%)=五不，求/(x)的最小值.

(3)是否存在实数k,使得位+办1①+?)?若存在，求出人的取值范围;若不存在，请说明理由.

2.已知向量五=(cosx,sinx),b=(3,-\/3),xG[0,7r].

(1)若有〃3，求x的值；

(2)记函数/•(%)求函数/(x)的最大值和最小值以及相应x的值.

3.在四边形ABCZ5中，|前|=2,瓦？•阮=7,E为AC的中点.

(1)若cos-lBC=茅求4ABC的面积SMBC；

(2)若说=2前，求方•反的值.

4.在平行四边形48CD中，AB=2,AD=1,NB4D=60。.

⑴求而•前的值；

(2)求COSNBAC.

5.已知圆。内接AABC,点。为边BC上一点，点E为边AC中点,A£＞与8E交于点P,且而=4呢.

(1)用向量嬴和配表示前;

(2)若而=xM+y配(x,yeR),求y-X的值;

(3)若|AB|=|AC|=2,则前.四是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.

6.如图，四边形48C。是正方形，延长C。至E,使得。E=CD,连接4E.若动点P从点4出发,

按如下路线运动：ATBTCTDTETATD,其中存=x荏+〃荏，

(1)当点P为8C的中点时，求;1+〃的值;

(2)满足;I+“=1的点P有几个•

7.已知向量瓦，部,且|可'|=|宅|=1,瓦与石的夹角为半m=Xe[+ei，布=3瓦一2或⑴若

|m|=\n\,求2的值;

(2)若沅与元的夹角为会求;I的值.

8.已知向=4，亩=2,且五与E夹角为120。，求:

(l)(a-2i)-(a+b)；

(2)|2a-bp

(3)a与a+b的夹角.

9.如图所示，在四边形A8CD中：乙4cB=g,AB=有,AC+BC=3,AC>BC,AB]ICD点、

E为四边形ABCD的外接圆劣弧cL(不含a。)上一动点.

(1)证明：4B1BC；

(2)若充工工万+(H,yeR),设N£ME=a,y=f(a),求/(a)的最小值.

10.已知胃=(1,2),3=(1,2),分别确定实数4的取值范围，使得:

⑴怎与石的夹角为直角;

(2万与石平行;

(3)1与石的夹角为锐角.

11.己知四边形A8CD中，BC//AD,BC=1,AD=3,ZkABC是等边三角形，E为C£＞的中点，设

AB=五，AV=b

(1)请用区方来表示近，AE

(2)求向量荏与向量四的夹角的余弦值.

12.在△48C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=在b.

2

⑴若C=2B,求COSB的值；

(2)若而-AC=CA-CB,求cos(B+》的值.

13.在平行四边形ABCD中，AB2.AD1.ZB.4DW).

⑴求荏•前的值；

(2)求cos/-BAC.

14.已知三个点4(2,1),B(3,2),D(-l,4).

(1)求证：ABLAD,

(2)要使四边形A8C£＞为矩形，求点C的坐标以及矩形A8C。的两对角线所成的锐角的余弦值.

15.如图所示，在回ABC中，AQ=QC，AR=^AB,8Q与CR相交于点/,A/的延长线与边8C交

于点P-

⑴用荏和就分别表示的和丽;

(2)如果可=屈+2的=近+〃欣，求实数a和〃的值;

(3)确定点P在边BC上的位置.

16.如图，已知彳|=1，\OB\=2，\OC\=10,而与万京的夹角为120。,

瓦?与灰的夹角为60。，用画与至表示灵.

17.如图1,在边长为3的正三角形A8C中，D,E,尸分别为BC,AC,AB边上的点，且满足4尸=

EC=CD=1.将△AEF沿EF折起到A&EF的位置，使平面4EF1平面EFB,连接为B,ArD,

如图2.

(1)证明：DEI平面4EF；

(2)求平面4BC与平面4EF所成锐二面角的余弦值.

18.已知|五|=四，同=3,向量方与向量石夹角为45。，求使向量k+4方与4不+方的夹角是锐角时,

a的取值范围.

19.已知|不=1.|b|=V2.

(1)若向量往与向量石的夹角为135。，求|方+方|及由上的投影向量；

(2)若向量五-B与向量五垂直，求向量五与方的夹角.

20.在平面直角坐标系xOy,O为坐标原点，做一1,0),B(cosO,sinO)(。6(0,兀))，Q(l,8)，C为平

面内一点，且满足氏=嬴+科，设四边形。ACB的面积为S,

(I)^OQ10C,求。的值；

(n)-ia/(0)=oA-oc+s,求/'9)的取值范围.

21.已知椭圆氏捻+\=1(£1＞。＞0)过点(2(¥，小椭圆上的动点P与其短轴两端点连线斜率乘

积为一a

(1)求椭圆E的方程;

(2)设Fi，F2分别为E的左、右焦点，直线/过点片且与E相交于A,B两点，当面•庭=2时，求

△ABF2的面积.

22.已知向量五=(cosx,sinx),b=(cosy,siny)(l)若2|五+方|=|五一)|，求cos(x-y)的值;

(2)若沅=(—1,1),rnib.X,y为锐角，求本方的取值范围

23.在锐角44BC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,。点是BC边上的中点.

⑴求|初(励,c,4表示)；

(2)若8c=2,且满足c(l+cosA)=a(2cosA+cosB),求中线AD的取值范围.

24.已知向量苍=&sin2x),3=(1+cos2x,?),设函数/(%)=五•反

(I)若函数y=+<p),36(0,兀)为偶函数，求卬的值；

(n)若f(e)=i,。e(。,兀)，求cos。的值.

25.已知向量五=(1,73)5=(-2,0).

(1)求五-5的坐标以及百-E与丘之间的夹角；

(2)当te时，求.一)司的取值范围.

26.如图，点C是点8关于点A的对称点，点。是线段08的一个靠近点B的三等分点，设而=

a,A0=b.

H

(1)用向量五与3表示向量0?,而；

(2)若而=：瓦乙求证：C,D,E三点共线.

27.设尸是椭圆C：搐+3=l(a>b>0)上异于长轴顶点人,上的任意一点，过尸作C的切线与

分别过久,心的切线交于Bi，为两点.已知141A21=4,椭圆C的离心率为;.

(1)求椭圆C的方程；

(2)以当为为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过

定点，说明理由.

28.已知落石是两个不共线的非零向量.

(1)记a=示0B=tb，0C=|(a+K),则当实数f为何值时，A,B,C三点共线.

⑵若|五|=|至|=1，且五与石的夹角为120。，则当实数x为何值时，|方-X司的值最小•

29.已知%b，下在同一平面内,且>=(1,2).

(1)若花|=34，SM//C,求人

(2)若|了且位+2石)1位一尤)，求日与方的夹角的余弦值.

30.已知向量五=(sin%,—8)，B=(l,cosx)，且函数/(%)=4•9.

(1)若五工E，求tan2%的值；

(2)在13ABe中，AC=2且f(8)=0,求团ABC面积的最大值.

【答案与解析】

L答案:解：(1)vK+c=(sinx—1,—1),

又五〃@+0，

:,—(2+sinx)=sinx—1,BRsinx=一：.

又xe㈢山，

n

•­X=——.

6

(2)va=(2+sin%,1),b=(2,—2)，

・•・/(%)=a-Z?

=2(2+sinx)—2=2sinx+2.

又・•・当sinx=-l时，/(x)有最小值，且最小值为0.

(3)va4-d=(34-sinx,1+k)，K+c=(sinx-1,-1)，

若0+%)l3+3),则0+办•@+0=0，

即(3+sinx)(sinx—1)—(1+A)=0,

/.k=sin'x+2siiix-4=(sinz+1)'—5.

由sinx6[—1,1]>得ke[—5,—1].

工存在k€[-5,-1],使得0+2)1(石+?).

解析：本题主要考查向量的数量积，向量的坐标运算，以及向量平行的充要条件，属于中档题.

(1)先求出3+乙再根据五〃@+?)找到向量坐标满足的关系式，根据x的范围，就可求出x的值;

(2)根据向量的数量积求出/(%)=2sinx+2,然后根据正弦函数的图象和性质即可求出/(x)的最小

值；

(3)先假设存在实数上使(五+办1①+办则(五+办.1+?)=0,再利用向量数量积的坐标公式

计算，若能解出左的值，则存在，否则，不存在.

2.答案：解：(1)因为五=(cos%sinx),b=(3,-V3)，a//b>

所以一V5cos%=3sinx.

若COST=0,

则sin%=0,与siMx+cos2%=1矛盾，

故cos%H0.

于是tanx=——

3

又X6[0,7r],所以％=警.

6

(2)/(%)=ab=(cosx,sinx)•(3,-V3)

=3cosx—V3sinx

=2V3cos(x+-).

6

因为xG[0,n],

所以日襄已分

从而一1<cos(x+-)<—.

62

于是，当=3即x=0时，/(%)取到最大值3；

当*+?=兀,即x=?时,f(x)取到最小值-2百.

解析：本题考查向量共线、数量积的概念及运算、平面向量的坐标运算、同角三角函数的基本关系、

辅助角公式、三角函数的值域.

(I)利用向量共线的坐标运算法则，结合同角三角函数的基本关系求解；

(n)利用数量积的坐标运算、辅助角公式化简/(x),再结合x的范围求解.

3.答案：解：（1）,**cosZ-ABC=—,Z.ABC6

sin〃BC=Jl-（守=

,..—1if♦,♦12

vBA-BC=\BA\\BC\cos^ABC=\BA\\BC\•^=79

•••S^ABC=\\BA\\BC\sm^ABC=1xx=g;

(2)以E为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系:

则A(-1,0),C(l,0),设D(x,y)；

由而=2前，可得8(-2%—2y)；

则以•近=7=(-1+2/2y)•(1+2x,2y)=4x2-1+4y2，

・•・+y2=2;

:.・DC=(-1—x,-y)•(1—%,—y)=%24-y2-1=1.

解析：本题考查了同角三角函数的基本关系，数量积的计算公式，三角形的面积公式，通过建立平

面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，以及向量数量积的坐标运算.

(1)容易求出sin/ABC=V，并且可求出|瓦？府|的值，根据三角形面积公式即可求出△ABC的面

积;

(2)可以E为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并可得到4(-1,0),C(l,0),并设

O(x,y),根据条件可求得E点坐标，从而求出瓦?，刀的坐标，进行数量积的坐标运算即可求得产+

y2=2,这样便可求出丽•小的值.

4.答案：解：(1)由题意，在oABCD中，AB=2,AD=1,^BAD=60°,

所以荏-AC=AB-（AB+AD）=AB2+AB-AD=4+2xlxcos600=5：

(2)|而|=IAB+ADl=J(AB+AD)2=JAB2+2AB-AD+AD^=5

BCAC

由正弦定理得

sinZ.BACsinZ.ABC

即____1

sinZ.BACsin1200

所以sinNB.AC=必;

11

_____________/y

所以eo«N3AC=一由JNZMC=*r

14

解析：本题主要考查平面向量的加、减运算，平面向量的数量积和正弦定理和同角三角函数的基本

关系，属于中档题.

(1)利用向量的加法和数量积运算即可求解;

(2)先求出|前|=夕，然后利用正弦定理即可得zinNB.AC：噜，再由同角三角函数基本关系即

可求解；

5.答案：(I)因为点E为边AC中点,AO与8E交于点P,且晶=4赢,

所以丽=£届=2x2(左+赢)=2/+三盛；

552\)55

(2)因点。为边BC上一点，所以存在实数f,使得应;=£访，

因此最=|品+|或=|t而+|最,

因为A,P,力三点共线，所以|t+|=l,贝亚=|,

即立=|访，所以小易=|须-硝，整理得：同=浑+押,

(l

又AC=+yAC，所以|x_=2,因此丫一4=]；

(口)分别取四，4c的中点M,N,连接OM,ON,贝IJ0MJ.4B,ON1AC,

—>—>[1—>12TT[1—>12

所以40・48=第回，AO-AC=^\AC\，

又|4B|=\AC\=2,

所以A=A0-(^AB+^AC)=^A0-AB+^A0-AC=^\AB\+||AC|

='+[=2(定值).

解析：本题考查了平面向量的基本定理及其应用，以及向量的加法、减法、数乘运算、考查了学生

的运算能力，属于中档题.

(1)根据平面向量基本定理，由向量的运算法则，得到而；

(2)设盛=t访，根据三点共线的充要条件，得到t=|，再由向量运算法则，用法和后表示出访，

结合题中条件，即可得出结果；

22

⑶根据向量数量积的几何意义，得到八.法=曰/|,公.品=31后「即可求出筋.筋的值・

6.答案：解：(1)连接AC,

因为点P为BC的中点，

所以9=：而+：前，①

因为DE=CD,

所以荏=2CD,

所以荏=而+而=近+2而=前—2荏，

因为9=4同+〃荏,

所以通=(4-2〃)四+〃才？，②

\A-2n=-A=-

因为四，而不共线，由①②可得｛I2,解得12,

所以4+〃=2.

(2)若4+〃=1,则4=1—〃，

因为而=4荏+“荏，

所以存=(1一〃)四+〃荏，

所以存一荏=〃(荏一荏)，所以丽=“而，

所以B,P,E三点共线，

所以动点P运动至点B,E以及BE与边AD的交点时满足条件，

即满足;l+〃=1的点P有3个.

解析：本题考查平面向量的计算及平面向量的基本定理，属于中档题，

(1)先得到方=1AB+IAC,再得到方=(2-2〃)茄+〃前,根据向量相等的条件，建立方程组,

解方程组即可.

(2)根据而=，而+〃荏，得到希—荏=〃(同一荏)，分析可得结果.

7.答案：⑴由|沆|=|力得(4誉+疏尸=(3瓦一2苟2,

即(M-9)可+(22+12)瓦••石一3筱2=o,

因为内I=I可=1，(死磅=g，所以前2=十=],齐怎=1x1xcos；=g

所以(万-9)x1+(2A+12)x1-3x1=0,

即入2+a—6=o.所以a=2或a=—3；

(2)由前面解答知瓦＞2=可2=],冤.行=之，|n|=V7.

而|沆产=(2区+与)2="瓦>2+24药.石+石2="+1+1，

所以|沅|=y/A2+X+l,南下=(4可+可)•(3瓦—2五)=34否2+(3—24)可•誉—2五2=24—

1

2,

因为〈沆，元)=p由记•n=\m\\n|cos(记用得24—^=VA24-A4-1-V7x

化简得3M-52一2=0,

所以义=2或；1=一薮.经检验知"一杯成立，故4=2.

解析：本题考查向量的模、数量积问题，属于较难题.

(1)利用模相等可得("-9)宕+(24+12)由•孩-3名2=o,结合数量积公式解方程即可；

(2)利用数量积公式结合万•元=|记||菊cos〈沆，元)解决.

8.答案：解：

(1)由题意，a-h=4x2xcos120°=-4，

所以(己—2b)-(a+b)=a2—a-b—2b=16+4—8=12；

(2)因为(2方—b)2=4a2—4a-b+b=64+16+4=84，

所以|2五一3|=2V21；

(3)因为0+务2=f+2五不+,=16—8+4=12，

所以|行+方|=2V3,又心@+母=射+方小=16-4=12，

所以cos<a,a+b>—二鼠?1—«?后—印

|a||a+b|4x2b2

所以西3+%的夹角为也

解析：本题考查了向量的数量积、模长的计算，考查了向量的夹角公式，属于基础题.

(1)先计算摄.人再把G-2b)-G+b)展开，代入已知计算可得答案;

(2)先对2；-%进行平方运算，再开方可得答案;

(3)先对之+%进行平方运算，再开方求其模长，再计算；.6+%),最后代入夹角公式可得答案.

9.答案：解：(1)在△ABC中，Z-4CB；,AB=收,

<5

由余弦定理得4依=AC2+BC2-2AC-BC-cos乙4c8•,

所以3=(AC+BC)2-3AC-BC,

又因为4C+BC=3,所以AJBC=2,

所以AC,8C分别为方程/—3x+2=0的两根，

因为4C>BC,所以4c=2,BC=1,

所以AC?=4B2+BC2,所以4BJ.BC,

(2)因为ABIBC,所以AC是四边形ABC。的外接圆的直径，AD1DC,

所以四边形A8CO为矩形，连接OE,乙4ED=N4CD=£

设4E交CO于尸，作CG平行于AF且交AB于G,则四边形AGC尸为平行四边形,

所以前=南+方，

因为尼=xAB+y~AE(x,yGR)，

由平面向量基本定理知：AF=yAE，

所以y=笫

在AADE中，因为乙AED=%^DAE=a,

6

所以乙4DE=口一心

6

由正弦定理知：金=号，所以4E=2si唁-a),

1

在RCZL4DF中，AF=—

cosa，

所以f(a)=y=族=2c°sa"(*a)a6(o,»

_______1_______________1________

所以/(a)=2cosasin(^-a)cos2a+\/3sinacosa

_______2_________2

l+cos2a+V3sin2al+2sin(2a+4)'

6

因为ae(o*),所以2a+geG，9),

3666

所以2<l+2sin(2a+m)W3,

6

所以，当。=，时，/(a)取最小值，最小值为|.

解析：本题考查了三角函数和向量知识的综合运用，难度较大，

⑴在△ABC中，^ACB=pAB=6,由余弦定理求出，AC=2,BC=1,应用勾股定理可得答

案，

(2)首先说明四边形48CD为矩形，连接£>E,^.AED=Z.ACD=

然后说明四边形AGC尸为平行四边形，可得y=箓，利用正弦定理结合三角函数的化简求值可得答

案；

10.答案：解：设不与石的夹角为0,向=，/+22=瓜,|h|=VT+I2,

a•b=(1,2)-(1.A)=14-2A-

(1)因为Z与石的夹角的直角，所以a-b0，

所以1+2，=0,所以;1=一点

(2)因为Z与石平行，所以4-2=0,；"=2；

(3)因为不与石的夹角为锐角，

所以COS。<0且cos©H—1,

即［石>1)且2、石不同向.

由不•<>>()，得，>

由不与石同向得；1=2.

所以;I的取值范围为彳：.2)U(2.+x).

解析：本题考查的是向量的夹角以及数量积的运算.

(1)根据两个向量的夹角为直角，即可求出4的值；

(2)根据向量平行得出坐标的比例关系，求出4的值.

(3)根据两个向量的夹角为锐角，得到cos。的范围，继而得到有关；I的不等式，求解即可.

11.答案：解：(1)由图可知前=荏+就=荏+9同=五+：及

因为E是CD的中点，

所以荏=：(而+而)=家五+：3+3)=：五+|反

(2)因为BC//A。,△ABC为等边三角形，BC=1,

所以乙BAD120,AB=1,

―>—>1O

所以五-b=\a\\b|cosZ,BAD=1x3x(--)=--,

所以荏・荏=©为+|另)・方=：有2+|造方=：xl+|x(_|)=一(

II=Jc五+|3)2=五+|五.石+一2/3、，4cV13

~AE21H—x(—)H—x9=—

3'2，92

设荏与丽的夹角为仇

则cos6=AEABV13

I^E||AB|13

所以向量荏与荏夹角的余弦值为-鲁.

解析：本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质、向量的夹角公式，考查了推理能力和计

算能力，属于中档题.

⑴利用向量加法运算，直接计算配=而+配=荏+9近，荏="而+而)即可.

(2)利用向量的数量积性质和模的计算公式可得荏•荏=/\AE\=柠+须2=竽再利用

向量夹角公式，即可计算荏与荏夹角的余弦值.

12.答案:解：(1)因为c=^b,

则由正弦定理，得sinC=叱sin8.

2

又C=28,所以sin2B=—sinB,

2

即4sin8cos8=V5sin^.

又5是△4BC的内角，

所以sinB>0,故cosB=渔.

4

(2)因为荏•前=石？•而，

所以cbcosA=bacosC,

则由余弦定理，

得炉+—小=匕2+@2一。2,

得Q=C

从而cosB="+'-'

2ac

=巴士量^=2

2c215

又因为0<BV7T,

所以sinB=Vl-cos2^=

从而cos(B+3=cosBcos?—sinBsin^

解析：本题考查正余弦定理以及两角和与差的三角函数公式.

⑴由正弦定理，得sinC=苧sinB,又C=2B,即sin2B=qsinB,即4sinBcosB=V5sinB,从而可

求cosB的值；

⑵由荏•前=/•谓，可得cbcosA=bacosC,

由余弦定理得炉+c2—a?=b2+a2—c2,得到a=c,从而可求cosB和sinB的值，然后利用两角

和的余弦公式求cos(B+》的值.

13.答案：解：(1)由题意，在MBCD中，AB=2,AD=1,/.BAD=60°,

匕LI、I■■■-"1>>一一一>>).....->2>1——―,

所以48-AC=AB-(AB+AD)=AB+AB-AD=4+2xlxcos600=5；

222

(2)||=\AB+AD\=)=JAB+2AB-AD+AD二近，

由正弦定理得.与「-

sinZ.UACsinZ.ABC

即____1

sinZ.BACsin120

所以sinNBACV」

14

_____________r

所以eo«NZL4C=-sin2ABAC=-

14

解析：本题主要考查平面向量的加、减运算，平面向量的数量积和正弦定理和同角三角函数的基本

关系，属于中档题.

(1)利用向量的加法和数量积运算即可求解；

(2)先求出|笈|=迎，然后利用正弦定理即可得此1NB.AC—答，再由同角三角函数基本关系即

可求解；

14.答案：⑴证明:v4(2,1),8(3,2),0(-1,4)，

.-.AB=(1,1).而=(-3,3)，

.-.ABAD=lx(-3)+1x3=0,即通1AD,

：•ABLAD,

(2)解：•••AB1AD，四边形ABC。为矩形,

AB=DC-

设点C的坐标为(x,y),

则反=(x+l,y-4).

又•••7?=(1,1).

(%+1=1,

,,(y-4=1,

解得｛；：5：

•••点C的坐标为(0,5).

AC=(-2,4)>丽=(-4,2),

|宿=2遍，|前|=2遮，宿前=8+8=16.

设而与前的夹角为。，

则COS。=|竺;竺j=,「「=--

|4C||BD|2>/5X2\/55

故矩形ABC。的两条对角线所夹的锐角的余弦值为g.

解析：本题主要考查了向量垂直的判定与运用、向量相等的坐标间关系、向量的夹角与数量积，向

量的坐标运算，属于中档题.

(1)计算向量荏，前的坐标，通过计算它们的数量积为0判定垂直即可；

(2)根据题意得到向量而=求进而列方程组求得点C坐标，最后利用向量的数量积及夹角公式求得

结果.

15.答案：解：(1)BQ=AQ-AB=—4B,CR=AR—AC=-AB—AC

N3

(2)由(1)知：AI=AB+AAC-AB)=(1-X)AB+^AC

AI=AC+fl-ACJ=jAB+(1-^AC

T2TTTA="

A(1-A)AB4--AC=-AB+(1-i£)AC二卜，解得：(；

236=1-〃

(3)设丽=m品，/=71扇由(2)知：AI=^AB+^AC

TTTT—/1T2T\T/Tl\T271T

:.BP=AP-AB=nA!-AB=n+-ACj-AB=[--1)AB+—AC

—>T/TT、TT

又BP=mBC=myAC—ABj=mAC—mAB

Q-1)/W+^-AC=mAC-mAB

：.BP=-BC，即装=2..•.点P为靠近点C的BC的三等分点.

3PC

解析：本题考查平面向量的加减数乘运算、平面向量基本定理的应用，考查计算能力，属中档题.

(1)直接利用平面向量的加减数乘运算法则计算即可解答；

(2)由⑴知：AI=AB+A(|/1C-AB)=(1-X)AB+^AC,Al=AC+n-/1C)=^AB+

[1-A=

(1—〃)4C，利用平面向量基本定理2__3.即可求实数;I和〃的值；

⑶设晶=m/'，G=n方由⑵知：力/=+2/1C利用平面向量基本定理可得黑=2.即可判

断点P为靠近点C的8c的三等分点.

16.答案：解：以。为坐标原点，向量瓦?所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如下图：

因为|初|=1，|而|=2，\0C\=10,面与丽的夹角为120。，而与云的夹角为60。,

所以苏=(1,0).OB=(2cosl20o,2sinl20°)=(-1.V3),

OC=(10cos60°,10sin60°)=(5,573).

设沆1=x0/4+yOB，

贝4(5,56)=x(l,0)+y(-l,V3)=(x-y,V3y),

因此(XL募＜：5°

所以历=100A+50B.

解析：本题考查了向量的模，向量的夹角，向量的加法和数乘运算，平面向量的基本定理及其应用

和平面向量的坐标运算，属于中档题.

以。为坐标原点，向量列所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示得向量

而、而和记的坐标，设沆耐+y而，利用向量加法和数乘的坐标运算得(5,5次)=

(x-y,V3y),再利用平面向量的基本定理得｛总)；力,最后计算得结论.

17.答案：(1)证明：图1中，NA=60。，AF=1,AE=2,所以2FJ.EF,

由正三角形性质知。E〃BF,所以DE1EF,

所以在图2中，AXFLEF,DE1EF,

因为平面AiEF_L平面EF8,平面n平面EFB=EF,DEu平面EF8,

所以OE1平面

(2)解：据(1)知&F,EF,8/两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz,

则8(2,0,0),0(1,73,0).做0,0,1),

所以前=BA^=(-2,0,1).

设平面4道。的法向量为记=(x,y,z),则

(氏吗，所以令x=l,得记=(1心,2),

(mLBA1(-2x+z=0-3一

平面&E尸的一个法向量为元=(1,0,0),

|mn|1V3

设平面4BD与平面&EF所成锐二面角为a,则"Sa=向而=不工=了，

所以，平面&BD与平面&EF所成锐二面角的余弦值为它.

4

解析：本题主要考查面面垂直的性质以及二面角的求解，建立坐标系，利用法向量是解决本题的关

键，是中档题.

（1）利用面面垂直的性质即可证明DE1平面4EF；

（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面为B0与平面&EF所成锐二面角的

余弦值.

18.答案：解：a-b=|a||h|cos45°=V2x3xcos450=3>

设五+焉与4五+石的夹角为仇则。为锐角,

..・cos”需舒>。，且"高与高+环同向共线,

(a+Xb)-(Aa+b)>0,

^A~a+(l+A2>)a-b+Ab2>0-

2X+3（1+A2）+94>0,即3万+11A+3>0,

解得4<二X或;I>二1±竺，

66

当五+aB与;1五+方共线且方向相同时，

存在k>0,使得五+49=/£（4五+尤），

即得｛仪［1,.•4=4=1,

因为乙石不同向共线，所以；I羊1,

综上，4的取值范围为（一8,二匕竺）u（二3,l）U（l,+8）.

66

解析：本题考查向量的数量积和夹角，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的

能力，属于中档题.

根据题意，由向量丘+4方与，方+石的夹角是锐角可得@+/1方)•(Aa+K)>0月万+与;I苍+E不同

向共线，利用向量的数量积运算以及向量共线的条件即可得到结果.

19.答案:解:(1)由已知得|五+>|2=0+1)2=苍2+2为南+一

=l+2xlxV2x(-y)+2=l,

・•・|五+b|=1;

亩钮上的投影向量为同cos135°-a=V2x(―y)-a=—a-

(2)由已知得(五一尤).方=0，即42一万.方=(),...日不=1.

a-b1_V2

・•・cos(a,b)=

|a||K|-1xV2-2

v(a,b)E[0,7r],

，向量4与方的夹角为%

解析：本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，投影向量的求解，属于中档题.

(1)根据平面向量数量积的运算律求出|方+同，再根据投影向量公式求出方在三上的投影向量;

(2)根据向量垂直，数量积为零，即可得到五不=1,再根据夹角公式计算可得.

20.答案：解：(I)由已知条件况=d+3总=(860-1,由曲)，

因为。Q1OC,所以的•O?=0，

即cues。—1+、&siu0(),

2sin(0+=1,

6

又一OVJVTT,，—V8d—V—,

666

所以9+2=7,可得。

663

(ni-cosO,

由元=瓦5+而，可知四边形。4c8为平行四边形，

则S=sin(zr—0),

所以f(。)—O^A•OC+S=sin(7r—0)4-1—cos0=V2sin(0一：)+1,

•.-0<e<7T,.-.--<0--<—,

444

<sin(。一3)〈1，

即f(。)e(0,72+1].

解析：本题考查的是平面向量的坐标运算，数量积，辅助角公式，正弦型函数的性质，属于中档题.

(I)EhO<21OC,所以的.元=0，即2而(。+,)1,即可得出。的值；

(11)由沅=次+而，可知四边形04cB为平行四边形，则S=sin(兀一。)，所以

，⑼=olo^+s=sin(7T-0)4-1-0)80=y/2sin(£>一。+1,即可得出f(8)的取值范围.

21.答案：解：⑴设&(0,b),B2(0,-b)为短轴两端，则捻+《=1；

由于Tx"=^=—所以a2=2b2,①

xxx2a227

又。在£上，所以点+亲=1②

解①②得a2=2,b2=1,

所以椭圆E的方程为J+y2=i；

2

(2)设直线I：x=my—1,代入^■+y2=1得(―+2)y2—2my—1=0(3)

设4(%1，%)，8(小/2)则+丫2=高^，丫1y2=一高④

取•所=(久1-l.yi)(x2-1/2)=0]一l)(x2-1)+y02=gyi-2)(my2-2)+yxy2=

2

(m+l)y,2-27noi+y2)+4⑤，

把④代入⑤中得取•用=急=2,解得m=±l,

由于对称性不妨取m=1,则③变为3y2-2y-1=0,解得y1=一],%=1，

所以另4晒=：x2(y2-yx)=1+1=^.

解析：本题考查了椭圆的性质，以及直线和椭圆的相交问题，属于中档题.

⑴设Bi(O,b),B2(0,-b)为短轴两端，则与+[=1；由于Tx"=====，所以a2=

abxxxCL2

2b2,①又Q在£上，所以非+*=1②求得〃，〃的值即可；

(2)设直线/：x=my-1,代入^■+y2=1得(环+2)y2-2nly-1=o③设以不义)则

%+.及=而2m,%、2=一过1G④

布•可=(%1-l,yi)(x2-1，为)=01—1)(%2-1)+y02=(巾月—2)(my2-2)+yry2=

2

(m+l)yxy2一2m(乃+y2)+4⑤，把④代入⑤中得布•F^B=3弁=2,解得爪=±1,

即可得答案.

22.答案：解：(l)a=(cosxtsinx)9b=(cosy,siny)，

可得有2=石2=i，五.b=cosxcosy+sinxsiny=cos(x—y)，

由2|五+b|=|五一bI，可彳导4^+4方4-8a-K=a24-K-2a-bf

即为6+10cos(x-y)=0,

解得cos(x-y)=-|；

(2)若沅=(-1,1),m1b，

贝!Jcosy—siny=0,即cosy=siny,

因为x,y为锐角，所以％=y=£所以方=(¥，¥),

-rV2,Vz..(,7r\

a-b=—cosxH——sinx=sinI%+-)»

22\4/

因为xe(0,》x+书,

所以苧<sin(x+§S1,即当<a-b<1.

解析：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，考查正弦型函数的性

质，属于中档题.

(1)运用平方法，结合向量的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，再由两角的差的

余弦公式，计算即可得到所求值；

(2)运用向量垂直的数量积的坐标表示，可得方=弓,字)，利用数量积运算可得小心sin1+胃

从而可得答案.

23.答案：解：⑴由同=*荏+而)，

得|而|=」(荏+正)2

1I——>2——>——>~——>2

."B+2AB-AC+AC

_Vb2+c2+2bccosA

2

(2)因为c(l+cosA)=a(2cosA+cosB),

由正弦定理得sinC(l+cos/l)=sinA(2cos力+cosB),

即sinC+sinCcosA=2sin4cos4+sinAcosB,

由sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cos/sinB,

所以sinZcosB+cosAsinB+sinCcosA=2sirt4cos4+sinAcosB,

所以cosAsinB+sinfcos/l=2sin/cos4,

易知cosA勿0,得sinB+sinC=2sin4

所以b+c=2。=4,即c=4-h,

阳2

由锐角g"得竹蓑*02+4>(4-b)解转<b<I，

1l(4—b)2+4>b2'

由।।_Vb2+c2+2bccos4_]炉+〃+22zb。

y/2b2+2c2-4_y]2b2+2(4-b)2-4

2=2

j4(b-2)2+12

-------------------,

2

由;<b<|,得回亘三亘e[g,西).

222L2y

解析：本题考查向量的加法运算，考查正弦定理、余弦定理，考查三角恒等变换及二次函数性质,

属于较难题.

(1)由4D=；(AB+AC),结合|而|='J(而+而)2，即可求得；

(2)由正弦定理及三角恒等变换可得b+c=2a=4,由锐角SABC得b的范围，结合(1)可得|AD\=

“32)2+12,即可求得中线AO的取值范围.

2

24.答案：解：(I)•.•万=G，sin2%)]=(14-cos2%,/),

・•・/(x)=a-K=|(1+cos2x)+苧sin2%=?sin2久+|cos2x+)=sin(2x+))+、，•••〃=/(%+

(P)=sin[2(x+*)+,]+,=sin(2x+2g+》+%

因为函数y=/(%+s)为偶函数,

•••2*+?=；+k7r(kCZ),即w屋+与(A6Z),

又(PG(0,7T)，

n_p,2n

8=盛了

(口),."(。)=1,

.../(6)=Sin(20+^)+1=1,即sin(28+，)=：，

解得：2。+gg+2kn(kGZ)或2。+-=—+2kn(keZ),

即。=fc7T(fceZ)或。=^+kn(k6Z),

又06(0,兀)，可得。=%

所以cos。=I，

所以cos。的值为也

解析：本题考查函数y=4sin(3x+e)的奇偶性、平面向量的数量积、两角和与差的三角函数公式，

属于中档题.

(I)利用平面向量的数量积及两角和的正弦公式化简f(x),再利用y=/(x+s)为偶函数，即可求得

W的值；

(II)由/(。)=1,可求得。的值，进而求得cos。的值.

25.答案：解：(1)因为向量乙=(1,V3)>b=(-2,0)>

所以五一方=(1,73)-(-2,0)=(3,回

设3—方与五之间的夹角为。，

人JC°S0-j5Z丽-7973x7173一T,

而0W。W7T,故。=£,

所以向量在-B与为之间的夹角为?

D

(2)-：a-tb=(1,V3)-t(-2,0)=(1+2t,V3)

/.|a-tb|=+2t/+3=4(t+2)+3

在卜1,心］上递减，在［一表1］上递增，所以"一封，区一国最小值为g,

t=1时，区一词最大值为2遥，故同一t司的取值范围为［遮,2百］.

解析：本题主要考查向量的坐标运算，向量的数量积和向量的模，考查了二次函数的单调性，考查

学生综合分析及解决问题能力，属于中档题.

(1)由已知条件能表示出3-石的坐标，设了-3与1之间的夹角为仇根据cos。=雷器，代入求值即

可得出结果；

(2)求出3-t另的坐标，由