高一年级数学秋季后十次课

高一年级数学教材

目录

第十一课时函数的单调性...........................................................2

第十二课时函数的值域和最值.......................................................8

第十三课时函数的周期性和零点.......................................................15

第十四课时函数性质综合.............................................................20

第十五课时察函数的图像与性质......................................................26

第十六课时指数函数的图像与性质....................................................32

第十七课时对数的概念及运算........................................................38

第十八课时反函数...................................................................44

第十九课时函数综合复习.............................................................52

第二十课时期末复习试卷.............................................................60

高一年级数学学科总计20课时第11课时

课题函数的单调性

【知识要点】

一、函数单调性的定义、判断及证明

1.单调性的定义：当XG(-00,0),X逐渐增加时，函数值y逐渐减小；而当XG(0,+00),x逐渐增

加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性。

【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的，有些函数在它的整个定义域上不存在单调性,

而在定义域的某个区间存在单调性。y=x?；y=-

X

2.增减函数的定义

对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值X］、x2,当X1<X2时都有

,那么称f(X)在这个区间上是增函数；当XJX2时都有，那么称

f(X)在这个区间上是减函数.

3.利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤：

第一步：取值。即设X］、X?是指定区间内的任意两个值，且X1<X2；

第二步：作差变形。即作差f(X］)-f(x2),并通过因式分解、配方、分母有理化等方法，向有利

于判断差的符号的方向变形；(部分题目，若能够确定f(x)恒为正，亦可采用作商的方法)；

第三步：定号。确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；

第四步：判断。由定义得出结论。

4.判断函数单调性的常见方法

(1)定义法

(2)直接法

运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出,

直接判断函数的单调性，可用到以下结论：

①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相

②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y=」一与y=f(x)的单调性相

/(%)一

③在公共区间内，增函数+增函数=____函数，增函数-减函数=____函数

(3)图像法

根据函数图像的升、降情况进行判断

【常用性质】

1.一些重要函数的单调性

(1)y=xH—的单调性：(-8,-1)/,(-1,0)(0,1)\9(1,+oo)/

.X

biF，0)(0,、口)\(、区，+00)

(2)y=ax+-(ab>0)的单调性：(-oo,

xVaVaVa

2.单调性与奇偶性

若奇函数f(x)在区间［a,b］上单调递增(减)，则f(x)在区间Lb,-a］上单调递增(减)；

若偶函数f(x)在区间［a,b］上单调递增(减)，则f(x)在区间Lb,-a］上单调递减(增)。

奇函数：对称区间单调性偶函数：对称区间单调性

X

例1：判断函数f(x)=——在区间(-1,1)上的单调性。

%2-1

3

例2：已知f(x)=x+x,判断f(x)在(-oo,+oo)上的单调性，并证明。

二、函数单调区间及图像特点

【注意】

1.书写函数单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写

成闭区间，写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

2.求复合函数的单调区间的一般步骤是：(1)求函数的定义域；(2)求内层函数的单调区间；(3)考察

外层函数的单调性；(4)由“同增异减”确定复合函数的单调区间

例3：求下列函数的单调区间：

12x—2

(1)y=x2+—(x<0)；(2)y=---------；(3)y=-x2+2|x+3|

xx+1

例4：作出函数f(x)=|x-3|+|x+3|的图像，并指出函数f(x)的单调区间。

例5：已知f(x)为偶函数，且当xG[O,+00)时单调递减，求f(2x-x?)(X<1)的单调区间。

三、函数单调性的应用

例6：设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间，且X]G(a,b),x2e(c,d),X[<x2,则

flx1)与flx?)的大小关系是()

(A)f(X])<f(x2)(B)f(X])>f(x2)

(C)f(X])=f(x2)(D)不能确定

2

例7：求函数y=——在区间[2,6]上的最大值和最小值。

x-1

例8：已知函数f(x)=x-3+巴在(1,+00)上是增函数，求实数a的取值范围。

x2

例9：函数f(x)对任意的a,beR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)=5,解不等式fUm?-m-2)<3.

【练习一】

1.已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，且为(-1,1)上的减函数，若f(1-m)+f(1-m2)

<0,求实数m的取值范围。

2.定义在实数集上的偶函数f(x)在(0,+8)上是递增的，试判断f(-不)和f(-3)的大小关系。

2

3.已知函数f(x)对任意x、yGR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=--

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值及最小值。

-x2+2x(x>0)

4.已知奇函数f(x)=<0(x=0)

x2+mx(九<0)

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间［-1,⑶-2］上单调递增，求实数a的范围。

X

5.证明函数f(x)=——在区间［1,+oo)上是减函数，试问f(x)在区间(-oo,-1］上是否也是减函

1+X

数？在(-00,-+00)上呢？

培优训练

1.求函数/(%)=次―4|%|+3的定义域和单调区间。

2.求函数)=/(%)=—4a+/+1,=、［—1,1］的最小值。

3.已知函数/(%)=—工/+%的定义域是［Q,瓦值域是［2a,%］,求a,b的值。

4.设函数/(x)={r：(；；L)，g(x)=/(xi，T，3]，其中心。。记函数

g(x)的最大值与最小值的差为h(a)，求h(a)的表达式并求h(a)的最小值.

5.已知工£[0,1],则函数y=，2x+2-Jl-x的最大值为最小值为

6.函数f(x)=竺里在区间(-2,+8)上是增函数,那么a的取值范围是(

x+2

(A)0<〃<一(B)a>-(C)av-1或a>l(D)a>-2

22

fx2+4x,x>0,

7.已知函数/(%)=，2c若八2一/)次a),则实数。的取值范围是(

4x-x，尤<0.

(A)(-00,-1)U(2,+oo)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(D)(-oo,-2)U(1,+00)

8.函数f(x)对任意的a、bGR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-l,并且当x>0时，f(x)>l,

(1)求证：f(x)是R上的增函数(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3。

9.设f(x)的定义域为(0,+oo),且在(o,+oo)是递增的，/(-)=/(x)-/(y)

y

(1)求证：f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y)；

(2)设f(2)=1,解不等式/(x)-/(4-)42。

x-3

高一年级数学学科总计20课时第12课时

课题一函数的值域及最值

一、知识要点

1.函数最值的定义：

一般地，设函数y=/(x)的定义域为A.

若存在定值/eA,使得对于任意XGA,有恒成立，则称/(x0)为y=f(x)的最大值,

记为'max=/(X。)；

若存在定值与wA,使得对于任意A,有恒成立，则称/(%)为y=/(x)的最小值，记为

Omin=/(/)；

2.单调性与最值：

设函数y=/(x)的定义域为［a,可

若y=/(%)是增函数，则Nmax=，Jmin=------------；

若丁=/(X)是减函数，则丁2=，Xnin=--------------

二、双基训练

求下列函数的值域

(1)y=V—2］；(2)/(x)=—,xe［l,3］

三、例题讲解

1.根据函数图像写单调区间和最值：

例1：如图为函数y=/(x),7］的图像，指出它的最大值、最小值及单调区间.

2.求函数值域方法

(1)观察法：利用常见函数的值域来求

例1：求函数的值域

(1)y=3-Vx(2)/(九)=2+j4—光

(2)配方法：求二次函数值域最基本的方法之一

例2：求函数的值域

y=x2-4x+l；

变式1：y=x2—4X+1,XG[3,4]；

变式2：y=/_4%+l,x£[0,1]；

变式3：y=—_©+],%$[0,5]

(3)换元法：适用于形如y=+d+形式

例3：求函数y=x+Jx+1的值域。

练习：求函数y=2%+4a二^的值域

(4)分离常数法：适用于形如7=竺±2(。。0)形式

cx+d

例4：求下列函数的值域

xX/\x2-l

(3)y=——

⑴⑵厂二"叱)x2+l

2x—1r\X2+X

练习：⑴j=⑵7=忑Px«0,2)(3)y=--------

J7-rNX+X+1

(5)分段函数

例5：求函数y=|x+l|+|x-2|的值域.

练习：|x+2|+|x-3Ra恒成立，求a的取值范围

(6)判别式法

将函数转化为x的二次方程F(x,y)=O,通过方程有实根，判别式＞=0,从而求得函数的值域,

2d+4x-7

例6：求函数的值域:y=-----------

x2+2x+3

(7)不等式法：利用基本不等式：

例7：若函数f(x)的值域为[1/2,3],则函数F(x)=f(x)+」一的值域为_____

/(尤)

练习：求函数y=i4x+5(无丁)值域

2x-42

(8)数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，可用数形结合的方法。

例8：对a,b€R.设记max{a,b}=|：'"-?求函数f(x)=max{|x+ll,|x-2|},xeR的最小值

\b,a<b

四、能力训练

1.函数/(X)=——1——的最大值是

)

1—x(l—X)

4534

(A)-(B)-(C)-(D)-

5443

2.函数/(%)="2+2以+1(。>0)在区间［一3,2］上的最大值为4,则〃=

x+3(x<0)

3.函数/(%)=<的最大值为____________

5-x2(x>0)

4.①y=,3-2%+%2的值域是

@y=x+2A/X+1的最小值是

2x+1

③y=的值域是

-x-3

5.(1)求函数>值域(2)求函数、=X+4+A/^二系最值

6.求函数值域

3x+5(A：<0)

(1)y=・x+5(0<x<l)(2)求函数y=|x-3|+|x+l|

—2x+8(x>1)

X+"7y-U/7

7.已知函数/(%)=，%e[l,+oo),

(1)当a=；时，求函数/(x)的最小值；

(2)若对于任意xe[1,+0。)时，/(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。

培优训练

1.函数£良)=2*2-22*+2+155>0)在区间[2,3]上的最大值为5最小值为2,求a,b的值。

2.⑴设二次函数f(x)=x2-2x-l在区间［t,t+l］上的最小值是g(t),求g(t)的解析式.

(2)已知函数f(x)=x2+ax+3在区间［-2,2］上的最大值为g(a),求g(a)。

3.已知/(%)=，l+x+J1—%，

(1)求/(x)的值域;

(2)设g(x)=加,1-X?+/(%),记g(x)的最大值为人(机)，求丸(加)的表达式。

1(1_'_2),双幻=/(龙)一外；，xG3］,其中吟0,记函数g

4.设函数y(x)=<x)的最

%—1(2<x<3)

大值和最小值的差为h(a),求h(a)的表达式并求h(a)的最小值。

课后练习

1.求下列函数的值域:

X1-X

(1)y=—^-------(2)y=x-Jl-2x

x2-x+1

2.已知XI、X2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(k£R)的两个实根，求xj+x?2的最大值。

3.已知函数y=7mx2-6mx+m+8的定义域为R.

(1)求实数m的取值范围。(2)当m变化时，若y的最小值为f(m),求f(m)的值域。

13

4.若函数y一x+5的定义域和值域都是n,b](b>l),求b的值。

高一年级数学学科总计20课时第13课时

课题函数的周期性和零点

一、知识要点

1.周期性的定义：对定义域内的任意%,若有/(x+T)=/(x)(其中T为非零常数)，则称函数/(%)为

周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周

期都指最小正周期

周期函数的重要结论

a.f[x)=f(x+a),则y=是以T=a为周期的周期函数；

b.若函数y/切满足#x+a)=T")(a>0),则力劝为周期函数且2a是它的一个周期。

c.若函数/(x+a)=/(x—a),则/(%)是以T=2a为周期的周期函数

d.y=/次)满足#x+a)=―、(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

f\x)

e.若函数产/㈤满足#x+a片(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

例：已知对于定义域内的任意一个x都有f(x+2)=f(x),且当时，有f(x)=/,求f(2014),f(2013.5)

2.函数的零点：

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

零点等价性：方程f(x)=0有实数根O函数y=f(x)的图象与x轴有交点O函数y=f(x)有零点

零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么函

数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在ce(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

例：函数/(x)=(f—1)。+2)2(%2—2x—3)的零点是

二、双基训练

1.定义在R上的函数八》)满足：人尤)皿彳+2)=13,八1)=2,则八99)=

2.设函数y=f(x)是周期为2的周期函数，已知xe[―2,2]时，函数f(x)=—x?+1,则xe[―6,—2]

时，f(x)=____________

3.函数/(x)(xeR)是周期为3的奇函数，且/(—l)=a,则/(20口的值为(

(A)a(B)-a(C)0(D)la

4.已知函数/(x)=/+法+1具有以下性质：

①对任意实数占分2，且/5)=f(X2)时，满足XI+X2=2;

②对任意XI、X2e(1,+oo),总有了(丑士三)>/(^)+/(^2)

22

则方程a£+6x+l=0根的情况是()

(A)无实数根(B)有两个不等正根

(C)有两个异号实根(D)有两个相等正根

5.已知二次函数=-(〃Z-1)X+27找在［0,1］上有且只有一•个零点，求实数m的取值范围？

三、例题讲解

例1：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x),则,f(6)的值为

练习：

1.已知函数y=/(x)是一个以4为最小正周期的奇函数，则/(2)=

2.若汽工)是R上周期为5的奇函数，且满足八1)=1,犬2)=2,贝U五3)-A4)=

例2：已知/(x)是定义在R上的偶函数，并满足/(x+2)=———,当lWx<2时，f(x)=x-2,

/(X)

则/(6.5)=

练习：已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

W+l)=(1+%)/(%)，贝u/(/(|))的值是

例3：已知f(x)是R上的偶函数，对xeR都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f(l)=2,则f(2011)=

练习：y=定义域为R，且对任意xeR都有〃共1)=；(；)(+；,若/(2)=1-亚则f(2009)=_

例4：已知函数«r)=d—1,则函数兀r—1)的零点是.

练习：

1.已若函数/(x)=ar+b只有一个零点2,那么函数g(x)=b£—ax的零点是

2.若函数八x)=f+2x+。没有零点，则实数。的取值范围是

例5：若函数兀0=3办一2a+l在区间［—LU上存在一个零点，则a的取值范围是

练习：

1.下列说法正确的有

①对于函数式的=?+蛆+",若八°)>0,共b)>0,则函数小)在区间(a,b)内一定没有零点；

②函数7(x)=2X—X?有两个零点；

③若奇函数、偶函数有零点，其和为0；

④当a=l时，函数五%)=|尤2—2元|一a有三个零点。

四、能力训练

1.设危)是定义在R上的奇函数，且>=式无)的图象关于直线x=3对称，则川)+八2)+八3)+八4)+八5)=

2.已知人无)在R上是奇函数，且满足犬x+4)=/(x),当尤e(0,2)时，黄x)=2f,则八7)等于

3.函数7U)是周期为4的偶函数，当XG［O,2］时，y(x)=x-l,则不等式状x)>0在［-1,3］上的解集为

4.给出两个函数性质：

性质1：兀v+2)是偶函数；

性质2：五x)在(一处2)上是减函数，在(2,+对上是增函数.

对于函数：①/(x)=|x+2|,②/(x)=(x-2R③/(x)=cos(x—2),上述两个函数性质都具有的所有函数的

序号是________

5.已知人龙)是以2为周期的偶函数，且当xd(0,l)时，犬x)=x+l.则加尤)在(1,2)上的解析式

6.设函数f(x)在(―8,+8)上满足道2—*)=其2+*),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间

［0,7］上只有f(l)=f(3)=0.

(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；

(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数，并证明你的结论。

7.设/(x)是定义在区间(—oo,+oo)上且以2为周期的函数，对上eZ,用人表示区间(2左—1,2左+1),

已知当xe4时，/(%)=尤2.求/(x)在Ik上的解析式。

8.设/(x)是定义在(-oo,+oo)上以2为周期的周期函数，且/Xx)是偶函数，在区间［2,3］上,

/(x)=—2(x—3)2+4.求为式1,2]时，/(x)的解析式。

9.设/(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=l对称对任意孙々,都有

f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且/(l)=a>。.

(1)求/d),/d)；(2)证明/(X)是周期函数。

24

10.设函数负尤)的最小正周期为2002,并且用001+x)=/U001—x)对一切xdR均成立，试讨论其龙)的奇偶性。

11.已知函数/(x)=ar+/c#0,常数aGR).(1)讨论函数/(x)的奇偶性，并说明理由;

(2)若函数五元)在xG[3,+oo)上为增函数，求。的取值范围。

12.研究方程上一2x—3|=a(a>0)的不同实根的个数。

13.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线尤=1对称.

(1)求证：/U)是周期为4的周期函数；

(2)若式x)=/(0〈止1),求xd[—5,—4]时，函数/(无)的解析式。

培优训练

(07交大冬令营)设函数f(x)满足2f(3x)+f(2-3x)=6x+l,则f(x)=

(复旦05)数x满足x+^=-l,求/。。+±=

(复旦06)试构造函数f(x),g(x)其定域为(0,1),值域为[0,1]

(1)对于任意“£[0,1],/(X)=Q只有一解；(2)对于任意〃£[0,1],g(x)=〃有无穷多个解。

高一年级数学学科总计20课时第14课时

课题函数性质综合

一、知识要点

1.函数的单调性：

2.函数的奇偶性：

3.函数的最值：

4.函数的周期性：

5.函数的零点：

二、综合训练

1.下列哪组中的两个函数是同一函数()

(A)y=(6)2与y=x(B)y=(私『与y=x

(C)y=E马y=(G¥⑴)产匠与yW

x

2.已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0,+8)上是增函数，则f(-2),f(-»),f(3)的大小关系是()

(A)f(-^-)>f(-2)>f(3)(B)f(3)>f(-/z-)>f(-2)

(C)f(-2)>f(3)>f(-7r)(D)f(-;z-)>f(3)>f(-2)

3.已知函数/(x)=办2+次+(:(存0)是偶函数，那么g(x)=ax3-\-bx,-\-cx()

(A)奇函数(B)偶函数(C)既奇又偶函数(D)非奇非偶函数

4.若函数/(x)在区间(a,b)上为增函数，在区间(b,c)上也是增函数，则函数/(x)在区间(a,c)

上()

(A)必是增函数(B)必是减函数

(C)是增函数或是减函数(D)无法确定增减性

5.7(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正顾的是()

(A)/(-%)+/(x)=0(B)/(-x)-/(x)=-2/(x)

(C)/(x)-/(-x)<0(D)等7=-1

于(-X)

6.函数/(X)的定义域为(。力)，且对其内任意实数石,々均有：(%玉)一/(%2)]<0，则/(X)在

(。力)上是()

(A)增函数(B)减函数(C)奇函数(D)偶函数

7.若函数/(x)(/(x)丰0)为奇函数，则必有)

(A)/(x)-/(-x)>0(B)/(x)-/(-x)<0

(C)/(%)</(-%)(D)/(%)>/(-%)

8.函数/(x)是(-oo,+oo)上的增函数，若对于％,尤2eH都有/(尤1)+/(x2)2/(—X)+/(—%)成立，则

必有()

(A)x1>x2(B)x1<(C)+x2>0(D)%1+x2<0

9.已知函数f(x)、g(x)定义在同一区间D上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)四，则在

D上()

(A)f(x)-g(x)一定是增函数(B)f(x>g(x)一定是增函数

(C)一定是减函数(D)f(x)+g(x)一定是减函数

g(x)

10.函数f(x)=x?-2ax-3在区间口，2］上是单调函数的条件是

11.若函数是奇函数，当x<0时，f(x)的解析式是f(x)=x(l-x),则当x>0时，f(x)的解析式是

12.定义在(-1,1)上的函数/(x)是奇函数，并且在(-1,1)上/(x)是减函数，求满足条件

/(I—a)+/(I—片)<0中a取值范围___________

13.已知函数门>)是定义在区间［-2,2］上的偶函数，当xe［0,2］时，/(x)是减函数，如果不等式

/(1-m)</(m)成立，求实数m的取值范围_______

14.己知函数/(%)=2%—3尤e{xeN|l«x<5},则函数的值域为

15.已知/(的=炉+ad+bx—8且/(—2)=10,那么/(2)=

16.若/(x)是一次函数，/［/(%)］=4尤—1且，则/(x)=

17.已知函数/'(x)的图像关于直线x=2对称，且在区间(-*0)上，当x=-1时，/(x)有最小值3,则

在区间(4,+8)上，当％=—时，/(X)有最值为

18.若f(x)是偶函数，其定义域为R,且在［0,+8)上是减函数，则f(2a2+a+l)<f(3a2-2a+l)WaKl

取值集合为___________________

19.已知f(x)是奇函数，定义域为{x|xeR且xWO},又f(x)在(0,+oo)上是增函数，且f(-l)=0,则满足f(x)>0

的x取值范围是

20.若f(x)是定义在R上的偶函数，且当xNO时为增函数，那么使f(不)<f(a)的实数a的取值范围是

21.0(x),g(x)都是奇函数，f(x)=G0(%)+bg(%)+2在(0,+oo)上有最大值5,则f(x)在(-oo,0)上

有最—值__________

解答题

22.已知。£氏，函数jf(x)=12|x-a|.

(1)当a=2时，求f(x尸x使成立的x的集合;

(2)求函数y=f(x)在区间［1,2］上的最小值。

23.设f(x)是定义在(0,+8)上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=l,求使不

等式f(x)+f(x-3心2成立的取值范围.

24.若二次函数f(x)=-x2+2ax-a在［0,1］上的最大值为2,求a的值。

产g是定义在(-1』)上的奇函数，且了

25.函数/(%)=0=1

(1)确定f(X)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;

(3)解不等式f式1)+f(t)<0

培优训练

1.设xeR,/0)=(匕叫若不等式/(%)+/(2；0<左对于任意的％6夫恒成立，则实数上的取值范围

是____________

2.对a,beR,记max{a,Z?}=<函数f(x)=max"?,2x+3,-x+l}(xe7?)的最小值

[b,a<b

是__________

3.已知用是正整数，若关于x的方程2九一〃八/10—x—加+10=0有整数解,则加所有可能的取值集合

是______

4.已知函数/■(x)=e，—2无+。有零点，则。的取值范围是

5.7(x)=Y+2x+2,在+上最小值为g(t),求g(t)。

1fz

6.函数y=­—当x=l时，y=---1+5,贝Uf(x)=__________________________

2x2

课后作业：

1.函数/(x)在R上为奇函数，且/(%)=。+1,%>0,则当x<0,/(%)=

2.函数y=--+|x|,单调递减区间为，最大值和最小值的情况为

3.定义在R上的函数s(x)(已知)可用/■。)送(%)的=和来表示，且/(x)为奇函数，g(x)为

偶函数，则/(x)=.

4.构造一个满足下面三个条件的函数实例，

①函数在(-8,-1)上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为；.

5.己知/■(九)=(尤—2)2,xw[—1,3],求函数/(x+1)得单调递减区间.

6.判断下列函数的奇偶性

①y=H；②y—J2x—1+Jl—2%；

x

x2+2(x>0)

@y=x4+x；®y=<0(x=0)。

-x1-2(%<0)

b

7.已知/(%)=%2。。5+依3----8,/(—2)=10,求/(2).

X

8.函数/(x),g(x)在区间上都有意义，且在此区间上

①/(%)为增函数，/(无)>。；

②g(%)为减函数，g(x)<0.

判断了(%)g(%)在［。,切的单调性，并给出证明.

9.已知函数y=/(x)是定义在R上的周期函数，周期7=5,函数y=/(x)(—l<x<l)是奇函数,又知

y=/(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5。

①证明：/(1)+/(4)=0；

②求y=/(尤),尤e［1,4］的解析式；

③求y=/(X)在［4,9］上的解析式。

10.已知函数/■(无)=*+1,且g(x)=/"(x)］,G(x)=g(x)—歹(x),试问,是否存在实数2,使得

G(x)在(-a),-l］上为减函数，并且在(-1,0)上为增函数.

高一年级数学学科总计20课时第15课时

课题累函数的图像与性质

【知识要点】

一、幕函数的概念

函数(k为常数，k£Q)叫做幕函数，其中x是自变量，k是常数.

31-31

例1：有下列函数：y=2x,y=x,y=—,y=—,y=3x2,y=x4,y=x2+x2,其中哪些为基函数？

xx

二、幕函数的性质及其定义域

1.性质:

p,q符号正半轴图像p,q奇偶幕函数奇偶性幕函数单调性

1

在X负半轴单调减少；

p偶数偶函数

在X负半轴单调增加

p,q同号

(a>0)

q奇数奇函数在定义域上单调增

u1〃奇数

q偶数(定义域为［0,+℃))在定义域上单调增

在X负半轴单调增加；

p偶数偶函数

y在X负半轴单调减少

P，q异号

(a<0)I/q奇数奇函数在定义域上单调减

1_p奇数

q偶数(定义域为(0,+8))在定义域上单调减

01一人

2.定义域

(1)若k=n(n£N*),其定义域是一切实数

n__

(2)若k=K(n、mGN*,m>2,m、n互质)，贝丘*叱，其定义域满足：奇次方根被开方数为实数,

m

偶次方根被开方数为非负实数。

(3)若k=-n(n£N*),则x-〃=

x

n

——1

(4)若k=---(n、m£N",m>2,m、n互质)，则xm=—

n

m则X

j__3

例2：求函数y=x"+x(x-2)。定义域。

例3：若/(x)=X"『-2，"-3(mez)的图像与坐标轴没有公共点，且关于y轴对称，求了(无)的表达式。

例4：比较下列各组中两个数的大小：

11

(1)3.15与3.22；(2)2"与a"(a>0)

三、暴函数图像及其简单应用

例5：幕函数/(x)=(t-1)x-2-3的大致图像是如图所示的)

【练习一】

1左

1.基函数yi=kx"的图像经过点(2,—),哥函数y2=v则下列四个函数+y2，、、7-、g?，

2x

&中，是塞函数的是

为

11

2.已知函数/(x)=--,g(x)与/(x)关于M(-一对称，(1)求g(X)的解析式，并求出

x2

13

g(x)的单调区间；(2)若a>b>0,c=--------，求证：g(a)+g(c)>—

(a—b)•b4o

i

3.写出下列各个函数的单调区间：(1)y=(|x|-1)(2)y=|x-11-1

」_1_2

4.解下列各不等式：(1)(1+x)-5>(2-x)一、(2)x2>x3

5.已知幕函数y=(m2-9m+19)的图像不过原点，则m的值为

_4_4

6.已知(a-3)?<(l+2a)一工，求a的取值范围。

【练习二】

1

1.幕函数y=x",x£[1,4]的值域为

2.函数y=(x-2)M(x-3)-2+(x-5)。的定义域为

3.两个不同的幕函数图像最多有个交点，最少有个交点。

4.下列函数中，不是暴函数的是()

_£

(A)y=x-1(B)y=y[x(C)y=x3(D)y=2x

」_1

5.要作出函数y=(x+3)的图像，将函数y=x-5的图像向平移个单位。

6.幕函数f(x)的图像经过点(2,),则f(3)=

7.函数/(X)=x"J2"-3(neZ)在第一象限单调减，且为偶函数，则!!=

mr2m+m1

8.已知函数/(x)=-^(mGR),试比较f(5)与f(-〃)的大小

x—2x+1