2021-2022学年上海市虹口区复兴某中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学

试卷

一、填空题

i.过平面外一点与这个平面平行的直线有条.

2.若正三棱锥的高和底面边长相等，则侧棱和底面所成角为.

3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为n,则该球的表面积是.

4.设a,6是平面M外两条直线，且“〃M,那么a〃人是的条件.

5.将一段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3c/n、4cm,5cm,则

原铁丝的两个端点之间的距离为cm.

6.在无穷等比数列｛%｝中，0=1,公比q=仔,记q尸苏+苏+加+…+s“2.则二金■乙

7.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖腌，如图，若四面体ABC。为鳖

腌，且平面BCD,AB=BC=CD,贝ljAD与平面ABC所成角大小为

（结果用反三角函数值表示）

8.已知两条异面直线a与〃所成角为30,P是空间一点，若过点尸与a和6所成角都是0

的直线有4条，则0的范围是.

9.设数列｛〃”｝的前n项和为S“,且a,,=log2（1+—）,则满足Sn>10的n最小值为.

10.我们知道，在平面几何中，已知aABC三边边长分别为a、b、c,面积为S,在△ABC

内一点到三条边的距离相等设为r,则有（a+b+c）=S.现有三棱锥A-88的两条

棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,三棱锥A-BCD内有一点。到四个面的距离相等，

则此距离等于

BD

11.若集合A={(m,")|(w+1)+(ZM+2)+…+(m+n)=2020,m—Z,/JGN*},则集合

A中的元素个数为.

12.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-48C5中，E为棱CG的中点，点P,。分

别为面A\B\C\D\和线段BC上的动点，则△PEQ周长的最小值为.

二.选择题

13.设Pl、Pa、P3、P4为空间中的四个不同点，则“Pl、P2、凸、P4中有三点在同一条直

线上”是“Pl、巴、R、24在同一个平面上”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

14.用数学归纳法证明关于/(〃)=(«+1)(n+2)…(n+n)的命题时，f(k+1)=f(k)

X,左为正整数，则空格处应填()

A.2k+\B.

k+1

C2k+lD2k+2

'k+1'k+1

15.如图1,点E为正方形ABC。边BC上异于点B、C的动点，将aABE沿AE翻折，得

到如图2所示的四棱锥8-AECD,且平面平面AECD,点F为线段3。上异于点

B、力的动点，则在四棱锥B-4EC。中，下列说法：

①直线BE与直线CF必不在同一平面上；

②存在点E使得直线BE，平面DCE；

③存在点F使得直线CF与平面BAE平行；

④存在点E使得直线BE与直线CD垂直.

以上叙述正确的是（）

A.①②B.①③C.①④D.③④

16.在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=®BD=2®二面角A-BO-C是钝

角.若三棱锥A-8CZ）的体积为2.则三棱锥4-BCO的外接球的表面积是（）

3752

A.127TB.—7iC.13nD.—n

34

三、解答题

17.在①S“=〃2+〃+c；②〃3+。5=16且53+55=42；③现工=旦旦且$7=56.

ann

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

设等差数列｛a,,｝的前〃项和为S”｛6｝是等比数列，6=m,。2=32.

2

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）求数歹必白+5｝的前”项和.

3n

18.（20分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.己知球的

直径是6cm,圆柱筒长2cm.

（1）这种“浮球”的体积是多少CM?（结果精确到0」）？

（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需

胶多少？

19.如图，长方体ABC。-45GU中，DA=DC=2,DD[=J§,E是CQi的中点，F是

CE的中点.

(1)求证：EA〃平面B。凡

(2)求证：平面平面BCE；

(3)求二面角£>-£8-C的正切值.

—7A

:'A'、/

-----

20.如图所示，圆锥的顶点为P,底面中心为。，母线PB=5,底面半径OA与。8的夹角

为。，且08=4.

(1)求该圆锥的表面积；

(2)求过顶点P的平面截该圆锥所得的截面面积的最大值；

(3)点E在线段OP上，且OE=1,是否存在。使得异面直线4E与PB所成角大小为

60°?若不存在，请说明理由，若存在，请求出9.(结果用反三角函数值表示)

21.已知数列｛0｝与｛仇｝满足斯+i-%=入(加1-5)(人为非零常数)，neN*.

(1)若｛5｝是等差数列，求证：数列｛〃“｝也是等差数列；

(2)若ai=2,入=3,bn=sin■吟，求数列｛小｝的前2021项和；

(3)设aHb0」-，b=bn-1+bn-2(〃》3,〃€N*),若对｛““｝中的任意两

/2n2

项3、aj(i,./GN*,话j),la-勾|<2都成立，求实数入的取值范围.

参考答案

一、填空题

1.过平面外一点与这个平面平行的直线有无数条.

【分析】根据面面平行的性质定理可判断.

解：在过该点且与已知平面平行的平面上的每一条直线均与已知平面平行，故有无数条

直线符合题意，

故答案为：无数.

2.若正三棱锥的高和底面边长相等，则侧棱和底面所成角为々.

【分析】令。到正三棱锥底面上的中心，则NPAO即为侧棱和底面所成角，解RtZXPA。

即可得到答案.

解：设正三棱锥的棱长为

令0为正三棱锥底面上的中心，则P0即为棱锥的高，

P

C

B

则NPA。即为侧棱和底面所成角，

V正三棱锥的棱和底面边长都为a,

.•.在Rt△尸A。中，AO="a，所以P0=“，

3

a_

/.tanZPA0=^/3=F，

Ta

JT

：.ZPAO=—,

3

故答案为：一丁.

3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为m则该球的表面积是8n.

【分析】由已知中一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为TT,我们可以求出

该圆的半径，其中根据球半径、截面圆半径及球心距构成直角三角形，满足勾股定理，

我们可以求出球半径，进而代入球的表面积公式，即可得到该球的表面积.

解：由己知中与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为7T,

故该圆的半径为1,

故球的半径为我

故该球的表面积S=4TTR2=87T

故答案为：87r

4.设a,Z?是平面M外两条直线，且a//M,那么a//b是b//M的充分不必要条件.

【分析】判断由a〃人能否得到6〃M,再判断由匕〃M能否得到a〃匕即可.

解：证明充分性：若。〃6,结合“〃M,且Z?在平面M外，可得b〃M,是充分条件；

证明必要性：若6〃M,结合且a,b是平面M外，则a,匕可以平行，也可以相

交或者异面，所以不是必要条件.

故。〃匕是匕〃M的“充分不必要”

故答案为：充分不必要.

5.将--段长12cm的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3c/n、4cm5cm,则

原铁丝的两个端点之间的距离为

【分析】作图，根据题设条件可证CO,AC,再直接计算求解即可.

解：如图所示，铁丝被折成了两两垂直的三段AB,BC,CD,其中AB=5,8c=4,CD

—3,

由CO_LA8,CDIBC,ABQBC=B,可知CQ_L平面ABC,

.'.CD±AC,

于是AD2=Ciy+AC2-CD^+AB^BC1=52+42+32=50,

-'-AD=5V2.

故答案为：572-

D

6.在无穷等比数列｛〃〃｝中，。1=1,公比q=《,记。尸帚+靖+0+…+劭?.则"y4=

2n—8

4

-15—,

【分析】利用等比数列的性质，判断仅2〃2｝是等比数列，然后利用数列和的极限的运算法

则求解即可.

解：在无穷等比数列｛如｝中，6/1=1,公比4记A=。22+042+〃62+…+〃2后

可知｛。2〃2｝是等比数列，公比为：上，首项为：

164

2—

故答案为：—

15

7.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖膈，如图，若四面体A8CQ为鳖

膈，且ABL平面BCD,A8=BC=CQ,则A。与平面A8C所成角大小为arcsin返(结

-----------3-

果用反三角函数值表示)

【分析】推导出BCLOC,以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面8OC的

垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与平面A8C所成角大小.

解：•.•四面体ABC。为鳖腌，且A8_L平面BCD,AB=BC=CD,

：.BCLDC,

以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系，

设AB=BC=C£>=1,

则A(0,1,1),D(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),

标=(1,-1,-1),平面ABC的法向量若=(1,0,0),

设AD与平面ABC所成角为0,

则sine=叵•可工=返

IADI•InV3V

9=arcsin^-?-,

3

，AD与平面ABC所成角大小为arcsin

故答案为：arcsin返.

8.已知两条异面直线a与〃所成角为30,P是空间一点，若过点尸与a和〃所成角都是。

的直线有4条，则0的范围是75°＜。＜90°.

【分析】过点。作ai〃a,b\//b,则相交直线“i,历确定一个平面a,且m，bi所成的

角为150°或30°,设直线0A与ai,加均成。角，作ABL平面a于点8,8cl.创于

点C,BDLbi于点D,记/AOB=8,ZBOC=Qi,(02=15°或75°),利用cos0=

cosO—cos版,进行角之间的大小比较，从而得到答案.

解：过点。作ai〃a,b\//b,

则相交直线G,加确定一个平面a,且m,外所成的角为150°或30°,

设直线0A与小，力均成9角，

作AB,平面a于点8,BCLai于点C,80,次于点。，

记NAOB=8,NBOC=&(02=15°或75°),

则有COS0=COS01*COS92,

因为。W&W90。，

所以OWcosOWcosO2,

当。2=15°时，由0Wcos0Wcosl5°,可得15°W0W90°；

当b=75°时，由OWcosOWcos75°,可得75°WOW90。；

故当。＜15°时，直线/不存在：

当9=15°时，直线/有且仅有1条；

当15°＜。＜75°时，直线有且仅有2条；

当8=75°时，直线/有且仅有3条；

当75°<0<90°时，直线有且仅有4条;

当9=90°时，直线/有且仅有1条.

综上所述，6的范围是75°<0<90°.

故答案为：75°<0<90°.

9.设数列｛〃〃｝的前n项和为S”且6Z„=log2(1+—)，则满足5/：>10的〃最小值为1024.

n

【分析】根据题意可得4〃=10g2(1+—)=10g2(生L，则S〃=10g2W)+10g2(当+…

nn12

+log2("I)=log2(2义旦X…X)=log2(n+1),从而令S〃=log2(n+1)>10,

n12n

结合即可求出满足S〃>10的n最小值.

解：根据题意，z=log2(1+-)=log(―),

n2n

所以Sn=log2(―)+log23)+…+log2(k')=log2(―X-^-X・・・X“±1)=log2(H+1),

12n12n

令S"=log2(n+1)>10,则“+1A2、,由于〃€N*,所以〃21024(nGN),

所以满足S,>10的〃最小值为1024.

故答案为：1024.

10.我们知道，在平面几何中，已知AABC三边边长分别为a、b、c,面积为S,在AABC

内一点到三条边的距离相等设为r,则有/厂(a+6+c)=S.现有三棱锥A-BCD的两条

棱AB=C£>=6,其余各棱长均为5,三棱锥A-BCD内有一点。到四个面的距离相等，

则此距离等于为2.

-8一

BD

【分析】把三棱锥A-BCD放置在一个长方体中，设四面体所在长方体的棱长分别为x,

y,z,由已知对角线长列式求得x,y,z的值，得到四面体A-BCD的体积，再求出四面

体的表面积，由等体积法求点。到四个面的距离.

解：如图，把三棱锥A-BCC放置在一个长方体中，

设四面体所在长方体的棱长分别为x,y,z,

则由x2+>,2=36,x2+z2=25,y2+z2=25,

解得x=y=3、历,z=有,则四面体A-BCD的体积X哂X372X、。=依/斤(长

0

方体体积的方)，

又四面体的表面积为S=4xlx6x752-32=48(每个面都是腰长为5,底边长为6

的等腰三角形)，

点0到四个面的距离为丝=3-6行=3板.

S488

故答案为：近.

8

11.若集合A={(机，〃)|(m+1)+(m+2)+…+("z+〃)=2020,m=Z,〃WN*},则集合

A中的元素个数为8.

【分析】(〃计1),(m+2),­••(m+n)构成等差数列，2〃任〃+1与〃的奇偶性不同.

解：v(2m+^+1)n=2020,

即(2m+〃+1)〃=4040,

又4040=23X5X101,而2m+〃+1与n的奇偶性不同，

.••只能有数5或101,

所以有2X2X2=8种,

分别为：(248,8),(-241,505),(30,40),(-31,101),(-402,808),

(401,5),(-2020,4040),(2019,1),共8种.

12.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-A山iGA中，E为棱CG的中点，点P,Q分

别为面ABCQi和线段8C上的动点，则周长的最小值为一百5_.

【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在BCi上，在平面BCCB上，设E关

于3c的对称点为M关于8G的对称点为M,求出即可得出结论.

解：由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在上，

在平面BCiCB上，设E关于BiC的对称点为N,关于BiCi的对称点为〃，则

EM=2.EN=&,/MEN=135°,

；.MN=j+2-2X2X亚X(-^)=万・

故答案为J而.

二.选择题

13.设Pl、P2、P3、24为空间中的四个不同点，则“尸1、P2、尸3、P4中有三点在同一条直

线上”是“P、P2、鼻、尸4在同一个平面上”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【分析】“Pl、P2、P3、尸4中有三点在同一条直线上”=“尸1、%、P3、尸4在同一个平

面上”，“P、22、23、巴在同一个平面上”知“P、22、P”尸4中可以任意三点不在

同一条直线上”，由此能求出结果.

解：设外、P2、23、孔为空间中的四个不同点，

则“尸|、P2、尸3、P4中有三点在同一条直线上”="Pl、P2、P3、24在同一个平面上”，

“尸1、「2、23、丹在同一个平面上”知“Pl、P1、「3、P4中可以任意三点不在同一条直

线上”，

，“尸1、Pl、P3、Pa中有三点在同一条直线上”是“Pl、尸2、P:、尸4在同一个平面上”

的充分非必要条件.

故选：A.

14.用数学归纳法证明关于/(〃)=(〃+1)(〃+2)…(〃+〃)的命题时，/(%+1)=/(%)

X,左为正整数，则空格处应填()

A.2k+\B.(2k+l)(2k+2)

k+1

C.2k±LD.2ki2.

k+1k+1

【分析】分别求出〃=k时左边的式子，n—k+\时左边的式子，用n=k+\时左边的式子,

除以〃=%时左边的式子，即得所求.

解：由题意可得

当〃=々时，左边等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(&+1)(氏+2)-(2k),

当〃=%+1时，左边等于(火+2)(什3)…(,k+k)(2^+1)(2Z+2),

故从"k"到“A+1”的证明，左边需增添的代数式是&k+l)(2k+2),

k+1

故选：B.

15.如图1,点E为正方形ABC。边BC上异于点8、C的动点，将△ABE沿AE翻折，得

到如图2所示的四棱锥8-AECZ),且平面846，平面4£8,点F为线段8。上异于点

B、。的动点，则在四棱锥8-4EC。中，下列说法：

①直线BE与直线CF必不在同一平面上；

②存在点E使得直线BE,平面DCE-,

③存在点尸使得直线CF与平面BAE平行;

④存在点E使得直线BE与直线CD垂直.

以上叙述正确的是()

A.①②B.①③C.①④D.③④

【分析】在①中，若直线BE与直线CF共面，则点8,E,C,F,。五点共面，由已知

得B在平面OCE外，从而直线BE与直线CF必不在同一平面上；

在②中，当BELCE时，必同时垂直AE,但AE与BE不垂直，从而不存在点E使得

直线平面DCE；

在③中，当E是8c中点，且F为BO中点时，直线CF与平面BAE平行；

在④中，CD与平面BCE不垂直，从而不存在点E使得直线BE与直线CD垂直.

解：在①中，若直线BE与直线CF共面，则点B,E,C,F,。五点共面，

由已知得B在平面DCE外，

所以直线BE与直线CF必不在同一平面上，故①正确；

在②中，若存在点E使得直线BE,平面。CE,

贝i」BE_LCE,且8E_LC。，

因为平面平面AECD,平面BAEQ平面AECD=AE,

所以当BEX.CE时，BE必同时垂直AE,

由于AE与8E不垂直，

所以不存在点E使得直线BE,平面DCE,故②错误；

在③中，当E是BC中点，且F为BO中点时，直线CF与平面BAE平行，故③正确；

在④中，因为/AEB是锐角，ZDC£=90°,

所以C。与平面8CE不垂直，

所以不存在点E使得直线8ELCO,故④错误，

故选：B.

16.在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=yfy,BD=273>二面角A-BO-C是钝

角.若三棱锥A-BCD的体积为2.则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（）

3753

A.12nB.—nC.I3nD.—n

34

【分析】取8。的中点K,连结AK,CK,得到NAKC为二面角4-B。-C的平面角，V

=Lx』AKXCKXsin/AKCXBO=2,进而求得/AKC=120°,数形结合，得到外接

32

球半径即可.

解：取30的中点K,连结AK,CK,由己知△A3。和△8。是全等的等腰三角形，所

以AK_L8。，CK±BD,

.♦.NAKC为二面角4-B。-C的平面角，且BO_L平面AKC,AK=CK,

所以V=—X—AKXCKXsmZAKCXBD=2,

32

又AK=VAD2-KD2=2,故sin/AKC=^^，

因为NAKC为钝角，

所以NAKC=120。，

设△AB。，△BC。的外接圆的圆心分别为例，N,

则M,N分别在AK,CK上且MK=NK,连结。M,

77

由(2-AM)2+3=。"，其中AM=OM,解得AM=-!-,同理CN=-!-,

44

所以MK=NK=」，

4

过M,N分别作平面48。，平面的垂线，两垂线的交点。为四面体ABC。的外接

球的球心，

连结OK,则OK平分/AKC,；.NOKN=60°,

从而0、=退，OK=—,

42

在Rtz^O/VC中，。、=返，CN=AM=J

44____

外接球的半径为"=｛0/4<«=\但-+41'=^^

VlblbZ

所以四面体A8C£>外接球的表面积S=4TT产=4TTX1^=13TT,

故选：C.

17.在①S"=〃2+〃+c；②43+45=16且S3+55=42；③一^■=三包且$7=56.

ann

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.

a1aD2

设等差数列他"｝的前〃项和为Sn,｛d｝是等比数列，b\—a\,b2=.

2

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

(2)求数列｛£-+为｝的前〃项和.

S，n=l

【分析】(1)在选择条件①的情况下根据公式m=《、代入初步计算为

区%了n>2

的表达式，并根据等差数列的性质计算出c的值，即可计算出数列｛小｝的通项公式；在选

择条件②的情况下先根据题意设等差数列｛““｝的公差为d,然后根据己知条件列出关于首

项m与公差d的方程组，解出m与d的值，即可推导出数列｛分｝的通项公式；在选择条

件③的情况下先根据递推公式的特点运用累乘法推导出数列｛%｝的通项公式，然后根据

57-56计算出小的值，进一步可推导出数列｛如｝的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出等比数列｛仇｝的通项公式，进一步计算出;的表达

式，再运用分组求和法、裂项相消法、以及等比数列的求和公式即可计算出数列｛白+d｝

的前〃项和.

解：(1)方案一：选择条件①

由题意，当〃=1时，a\=Si=l2+l+c=c+2,

22

当时，an=Sn-Sn-\=n+n+c-(n-1)-(n-1)-c=2nf

故〃2=2义2=4,〃3=2X3=6,

•.•〃]+〃3=2〃2,

・・・c+2+6=2X4,解得c=0,

a,i=2nfneN*.

方案二：选择条件②

由题意，设等差数列｛。〃｝的公差为d,

a[+2d+aj+4d=16

则<3X25X4，

3al方■二d+5ai+\U=42

aj+3d=8

整理，得《

,

8a1+13d=42

a,=2

解得1

d=2

.,.an=2n,HGN*.

方案三：选择条件③

由题意，可得==告，—=A•••,—2-=—

al1a22an-ln-1

各项相乘，可得氏=圣堤....一二=〃，

at12n-1

••Cln=RCl\,

故S7=ai+〃2+・•・+。7

=〃I+2〃I+・・・+7Q]

=28。”

VS7=56,KP28^I=56,

♦・。1=2,

:.a〃=2n,7?GN*.

(2)由(1),可知加=ai=2,

历=2="=4,

22

bn

设等比数列｛瓦｝的公比为小则q=/=2,

bl

nn

：.bn=2*21=2,

又Sn=1)•2=n(〃+1),

2

,_L_i_ii

Snn(n+l)nn+1'

・•・数歹i」｛；+为｝的前〃项和为：

1、11、

(丁+4)++岳)+•••+(7―+仇)

“bn

111

=(丁+丁+…+丁)+("+历+…+仇)

>1bn

=(1-—+--A+...+A+(2422+…+2”)

223nn+1

1n41

_11,2-2-

n+1-1-2

=2"+i-i.

n+1

18.（20分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的

直径是6c777,圆柱筒长2cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少(结果精确到o.l)?

(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需

【分析】(1)根据圆柱筒的直径，可得半球的半径R=3c〃?，从而得到上下两个半球的

体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；

(2)由球的表面积公式和圆柱侧面积公式，算出一个“浮球”的表面积S,进而得到2500

个“浮球”的表面积，再根据每平方米需要涂胶100克，即可算出总共需要胶的质量.

解：(1)•••该“浮球”的圆柱筒直径

.,.半球的直径也是6c〃?，可得半径R=3a*,

.•.两个半球的体积之和为丫球=■^兀R3V兀・27=36兀c加'…

而V圆柱=兀区24=兀X9X2=18兀CT«3…

3

.•.该“浮球”的体积是：V=VJS+Viatt=36n+18TC=54n^l69.6cTO-

(2)根据题意，上下两个半球的表面积是

S球表=4兀R2=4X71X9=36兀…

而“浮球”的圆柱筒侧面积为：SHttM-2-nRh=2XnX3X2=l2ncw2--•

36兀+12兀48

个“浮球”的表面积为S=------7—1•冗而

104104

48

因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500S=2500X—「11=12打病…

104

•.•每平方米需要涂胶100克，

总共需要胶的质量为：100X12n=1200n(克)…

答：这种浮球的体积约为169.6513：供需胶I200TT克.…

19.如图，长方体A8CD-4BICIQI中，DA=DC^2,DD[=J§,E是CiDi的中点，尸是

CE的中点.

(1)求证：EA〃平面2OF：

(2)求证：平面8£)£L平面BCE；

(3)求二面角O-EB-C的正切值.

【分析】(1)连接AC交8。于。点，连接OF,欲证£4〃平面8。凡在平面BOB内

寻找一直线与直线EA平行即可，而。尸是△ACE的中位线，。尸〃4E,又4E0平面BDF,

OFu平面BQF,满足定理条件；

(2)欲证平面BDF，平面8CE,找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知QF_L平面

8CE,又OFu平面80凡从而得到结论；

(3)由(2)知。凡L平面BCE,过尸作FG_LBE于G点,连接DG,则DG在平面BCE

中的射影为FG,则/OGF即为二面角D-EB-C的平面角，在三角形。GF中求出此角

的正切值即可.

解：(1)连接AC交8。于O点，连接。凡可得。尸是△ACE的中位线，O尸〃AE,

又AEC平面BDF,OFu平面BDF,所以E4〃平面BDF；

(2)计算可得。E=OC=2,又尸是CE的中点，所以。FLCE

又5CJ_平面CDDiG,所以。凡LBC,又BCr)CE=C,所以DF_L平面BCE

又OFu平面BDF,所以平面B£＞凡L平面BCE(理)：

(3)由(2)知。口L平面BCE,过/作FG_LBE于G点，连接DG,则力G在平面BCE

中的射影为FG,从而DGJLBE,所以NZJGF即为二面角。-EB-C的平面角，设其大

小为S,计算得DF=FG=^^，tan8=黑-=^

20.如图所示，圆锥的顶点为P,底面中心为。，母线PB=5,底面半径OA与08的夹角

为&且08=4.

（1）求该圆锥的表面积；

（2）求过顶点P的平面截该圆锥所得的截面面积的最大值；

（3）点E在线段OP上，且0E=l,是否存在。使得异面直线AE与PB所成角大小为

60°?若不存在，请说明理由，若存在，请求出0.（结果用反三角函数值表示）

【分析】（1）利用圆锥的表面积公式求直接解.

⑵设截面的顶角为a,则截面面积"/x5X5sina=蓍sina'则当a=9。。

时，截面面积最大，从而求出最大值.

（3）取08的靠近点O的三等分点F，连接EF,AF,由E尸〃PB可知NAEF或其补角

为异面直线AE与P8所成角，从而得到NAEF=60°或120°,再利用余弦定理，即可

求出0的值.

解：（1）圆锥的表面积S=nXP8XOB+nXOB2=20n+16iT=36Tt.

（2）过顶点尸的平面截该圆锥所得的截面为等腰三角形，腰长为母线长，即腰长为5,

设截面的顶角为a,则截面面积M得X5X5sina得.’

易知轴截面△PC8为钝角三角形，

.•.当a=90°时，截面面积最大，最大值为餐.

(3)'：PB=5,08=4,.,.PO=^pB2_0B2=3,

又•；OE=l,：.点、E为P0的靠近点。的三等分点，

取08的靠近点。的三等分点F,连接EF,AF,如图所示,

22=

则°尸=4，EF^VOE-K)FvAE=｛OA24E2=VT?，

oJ

或其补角为异面直线AE与PB所成角

/.ZA£F=60°或120°,

①当NAEF=60°时，在△4EF中,

由余弦定理可得AF2=AE2+EF2-2AE・EF・cos60°=174T",

93

在中，由余弦定理得2%黯心雪品

/•0=«crcos(―VTZ.__?_)

3216

②当/4E尸=120°时，在△4后尸中,

由余弦定理可得4产=4〃+E产-2/lE«EF«cosl20o=17

93

在△AO/中，由余弦定理得cos8=这也.

20A-0F3216

;.。=…“cos