第一章集合与常用逻辑用语（知识梳理热考题型）

第一章集合与常用逻辑用语单元复习【知识梳理】一、元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.二、集合中元素的特征集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.三、元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.四、常用的数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR五、列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.六、描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.七、子集的含义(1)在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.(2)子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)八、真子集与集合相等(1)集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集.九、空集一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.十、并集自然语言符号语言图形语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}十一、交集自然语言符号语言图形语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}十二、交集与并集的运算性质(1)A∪A＝A，A∪∅＝A；A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)若集合A是集合B的子集，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.十三、全集与补集的含义一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言十四、补集的性质①∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.②A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.十五、全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x).十六、存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”十七、全称量词命题的否定(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.(2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.全称量词命题全称量词命题的否定结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题十八、存在量词命题的否定存在量词命题存在量词命题的否定结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题十九、充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件二十、充要条件命题真假若“p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题推出关系p⇔q条件关系p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件【热考题型】【考点1】集合及其表示方法一、单选题1．（2022秋·广东汕头·高一校考期中）下列说法中，正确的个数是（

）①的近似值的全体构成一个集合②自然数集N中最小的元素是0③在整数集Z中，若，则④一个集合中不可以有两个相同的元素A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.【详解】①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；②自然数集N中最小的元素是0，正确；③在整数集Z中，若，则，整数的相反数还是整数，正确，④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，故选：C．2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合【答案】A【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；集合，集合，故C错误；集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.故选：A.3．（2023春·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合，逐个元素判定，即可求解.【详解】由集合，因为，所以．故选：B．4．（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知集合，，则（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.【详解】∵，∴或，若，解得或，当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立，若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，综上所述，．故选：B．5．（2022·高一课时练习）若，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），此时，符合题意；综上所述：.故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用元素与集合的关系判断即可.【详解】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.所以，，，故选：D7．（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或；③一次函数y＝x＋2和y＝－2x＋8的图像象交点组的集合为{x＝2，y＝4}，正确的个数为（）A．3 B．2C．1 D．0【答案】D【分析】对于①，通过解方程求出的值，即可判断出结果的正误；对于②，根据集合的表示方法即可判断出结果的正误；对于③，通过联立方程，得出交点坐标，从而判断结果的正误.【详解】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或，故②不正确．联立，解得，∴一次函数与y＝－2x＋8的图像交点为（2，4），∴所求集合为且，故③不正确．故选：D.8．（2022秋·高一课时练习）若，则可用列举法将集合表示为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据元素与集合的关系，以及集合的表示方法，即可求解.【详解】因为集合是点集或数对构成的集合，其中均属于集合，所以用列举法可表示为．故选：D.9．（2021·全国·高一专题练习）给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用实数的理论和元素与集合之间的关系即可得出．【详解】解：（1），正确；（2）是无理数，，不正确；（3），正确；（4），不正确．（5）∵0是自然数，∴，不正确.综上可知：正确命题的个数为2．故选：．【点睛】本题借助于几个数所属数集的关系，着重考查了集合的元素与集合的关系和大写字母表示数集的含义等知识点，属于基础题．二、多选题10．（2023秋·高一单元测试）下列四个命题：其中不正确的命题为（

）A．是空集 B．若，则；C．集合有一个元素 D．集合是有限集.【答案】ABD【分析】根据空集的定义可判断A；根据元素与集合的关系可判断B；解方程求出集合中的元素可判断C；为正整数的倒数时，都有可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：含有一个元素，所以不是空集，故选项A不正确；对于B：当时，，则，故选项B不正确；对于C：只有一个元素，故选项C正确；对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故选项D不正确；故选：ABD.11．（2023秋·高一单元测试）设集合，且，则x的值可以为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】BC【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.【详解】∵，则有：若，则，此时，不符合题意，故舍去；若，则或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；综上所述：或.故选：BC.三、填空题12．（2022·高一课时练习）用区间表示下列集合：；；；.【答案】【分析】根据等号对应闭区间，不等号对应开区间，大于对应右边是，小于对应左边是，对应都是开区间.表示区间即可.【详解】集合表示大于的所有实数，可用开区间表示为；集合表示大于2且小于或等于5的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示小于或等于的所有实数，可用左开右闭区间表示为；集合表示大于或等于2且小于或等于4的所有实数，可用闭区间表示为.【点睛】本题考查区间的表示，难度较易.集合与区间都能表示范围，使用的时候注意选择其中更方便的一种.13．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）是单元素集，则实数的取值是．【答案】0或【分析】分和两种情况讨论计算即可.【详解】当时,符合题意;当时,只有一个根,所以,即得,符合题意;故答案为:0或.14．（2022秋·高一单元测试）已知集合，则集合B中有个元素．【答案】6【分析】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案.【详解】因为，所以．当时，；当时，或；当时，．故集合，即集合B中有6个元素，故答案为：6【考点2】集合的基本关系一、单选题1．（2023春·江西九江·高二统考期末）已知集合，则集合的子集个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先化简集合A，再求得其子集即可【详解】由已知可得，其子集为，子集个数为4个故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【答案】C【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：七种可能.故选：C3．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】结合题意写出集合中的具体元素，然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即可求解.【详解】因为集合，对于A，因为，故选项A错误；对于B，是一个集合，且，故选项B错误；对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，故选：D.4．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案.【详解】当时,即,时成立;当时,满足,解得;综上所述:.故选:C.5．（2021秋·浙江台州·高一台州市书生中学校考阶段练习）若，则的值为（

）A． B．3 C． D．7【答案】C【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：C.6．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1【答案】D【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集，（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，，（2）当a≠0时

则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，，当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，．综上所述，a的取值为﹣1，0，1．故选：D．二、多选题7．（2022秋·陕西西安·高一高新一中校考期中）若集合，则之间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据集合间的关系分析理解.【详解】∵，，且为奇数，为整数，∴，即，A、D错误，C正确；又∵，且均为整数，∴，B正确；故选：BC.8．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或【答案】ABC【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．【详解】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．三、填空题9．（2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）设集合，只有一个子集，则满足要求的实数．【答案】0【分析】由题意可得A是空集即可求解.【详解】集合，只有一个子集，则，，所以方程无解，即．故答案为：0．10．（2021秋·高一课时练习）已知集合，若，则实数a的取值范围为．【答案】．【解析】分和两种情况讨论，分别求得满足题意的a的范围，综合即可得答案.【详解】当时，方程化为，解得，此时，满足题意，当时，要使，则，解得且，所以使的实数a的取值范围为．故答案为：．【考点3】集合的基本运算一、单选题1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简集合，再根据交集的定义即可求解.【详解】∵集合，，∴．故选：D．2．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）已知集合，，，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或或【答案】B【分析】由，，以及与的交集为，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】集合，，且，或，解得：或或，由元素的互异性得不合题意，舍去，则或．故选：B3．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出集合A、B，即可求出结果.【详解】因为，，所以.故选：D.4．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）已知集合，，，则（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】分析可知，利用集合的包含关系可出关于的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数的值.【详解】因为，，，则，所以，或，若，则，此时，，集合中的元素不满足互异性，故；若，可得，因为，则，此时，，合乎题意.因此，.故选：B.5．（2023春·江西萍乡·高一萍乡市安源中学校考期末）已知集合或，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合补集和交集的运算计算即可.【详解】因为或，则集合，又集合，则.故选：D.6．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解.【详解】画出维恩图如下：设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，则：，；故答案为：32人.7．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求得结合，结合阴影部分表示的集合为，即可求解.【详解】由集合，又由阴影部分表示的集合为.故选：C.二、多选题8．（2022秋·广东潮州·高一校考阶段练习）设全集，集合，若，则（

）A． B． C． D．，【答案】BC【分析】分析可知，根据元素满足互异性可求得的值，可确定集合，由此可得出合适的选项.【详解】若，则，则集合不满足元素的互异性，不合乎题意.所以，，解得，故，所以，，故或，则，则AD选项错误，BC选项正确.故选：BC.9．（2021秋·高一单元测试）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（）A．={1} B．={1,2,3,4,5,6}C．={1,2,4,6} D．={3,5}【答案】ACD【分析】根据集全的交并补运算求解.【详解】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}，∴={1}，={1,2,3,4,5}.又={2,4,6}，={3,5,6}，∴={1,2,4,6}，={3,5}.故选：ACD.三、填空题10．（2022春·山西临汾·高二校考阶段练习）某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有人.【答案】5【分析】设三类课程都选择参加的学生有x人，由题意得，解方程可求得结果【详解】设三类课程都选择参加的学生有x人，由题意得，解得.故答案为：511．（2021秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考开学考试）设全集U={1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）={1}，A∩（∁UB）={3，4，5}，则集合B=【答案】【分析】由求出，再由A∩（）={3，4，5}，即可求出.【详解】因为，，所以，因为A∩（）={3，4，5}，所以,故答案为：12．（2022·高一课时练习）函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有个元素.【答案】4【解析】由函数的图象转化条件得，，再由并集的定义即可得解.【详解】由图象可得，若，则或或，所以或或或，所以；若，则或，所以或或，所以；所以，共4个元素.故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的表示及集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.【考点4】命题与量词一、单选题1．（2020秋·云南德宏·高一校考阶段练习）下列语句是命题的一句是A．x—1=0 B．2+3=8 C．你会说英语吗 D．这是一棵大树【答案】B【详解】命题是能判断真假的语句，由命题概念来对四个选项分别进行判断．解答：解：x-1=0，无法判断真假，故A不是命题；2+3=8不正确，故B是命题；命题不能是疑问句，故C不是命题；这是一棵大树，无法判断真假，故D不是命题．故选B．2．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中真命题有（）①是一元二次方程；②函数的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断.【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误；②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确；③中，互相包含的两个集合相等，③正确；④中，空集不是本身的真子集，④错误．故选：B3．（2021·高一课前预习）命题“正方形的四条边都相等”中的条件是A．正方形 B．正方形的四条边 C．四条边 D．四条边都相等【答案】A【分析】将其改为“若，则”的形式后直接判断哪一部分是条件.【详解】将命题改写成“若，则”的形式，“若四边形为正方形，则它的四条边都相等”，所以正确选项为A.【点睛】命题一般是由：前提、条件、结论这几个基础部分组合而成的.4．（2021·高一单元测试）命题,若是真命题,则实数的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因为,要保证命题是真命题,只需保证大于在上的最小值,即可求得答案.【详解】利用参数分离法可得:要保证命题是真命题只需保证大于等于在上的最小值当,当且仅当时取等号.故选:C.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数,解题关键是掌握含参一元二次不等恒成立的解法和灵活使用参数分离法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.【考点5】全称量词命题与存在量词命题的否定一、单选题1．（2022秋·辽宁大连·高一大连市第十二中学校考阶段练习）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A．， B．所有的正方形都是矩形C． D．至少有一个实数x，使【答案】A【分析】写出命题的否定形式并判断真假即可.【详解】A中，命题的否定是：，，是真命题，也是全称量词命题，A正确；B中，命题的否定是：有的正方形不是矩形，假命题，也是特称量词命题，B错误；C中，命题的否定是：，假命题，是特称量词命题，C错误；D中，命题的否定是：，，是假命题，D错误.故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）命题的否定为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出即可.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定为.故选:D.【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．3．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（

）A．真真 B．假假 C．假真 D．真假【答案】D【分析】对于命题：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题：根据存在命题结合二次函数的判别式分析判断.【详解】对于命题：令，则开口向上，对称轴为，且，则，所以，，即命题为真命题；对于命题：因为，所以方程无解，即命题为假命题；故选：D.4．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若命题“，”为真命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解的最大值即可.【详解】由已知，，则，即，所以的取值范围是.故选：C.5．（2022秋·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.【详解】命题，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，所以命题，，则为：，.故选：B6．（2022秋·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）若命题:，则（

）A．命题为真命题，且：B．命题为真命题，且：C．命题为假命题，且：D．命题为假命题，且：【答案】B【分析】本题主要考查命题的真假判断和存在量词的否定，先根据二次函数的性质判断命题的真假，再根据存在量词的否定要将“”改为“”，结论否定即可.【详解】因为，所以命题:为真命题；排除选项；又因为存在量词的否定要将“”改为“”，结论否定，所以：，排除选项，故选：.7．（2022·江苏·高一期中）命题p：，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得为真命题，再参变分离求解即可.【详解】由题意，p为假命题，故为真命题，故，，故，，又当时，，当且仅当时，等号成立，所以的取值范围是.故选：A.8．（2021秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]【答案】A【详解】p，q都是假命题．由p：∃，为假命题，得∀，，∴.由q：∀，为假，得∃，∴，得或.∴.故选A.二、多选题9．（2023春·新疆·高二统考期末）下列四个命题中假命题是（

）A．， B．，C．，使 D．，【答案】ABD【分析】根据全称命题与存在性命题的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，，所以A为假命题；对于B中，当时，，所以B为假命题；对于C中，当时，，所以C为真命题；对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题.故选：ABD.10．（2023·全国·高一假期作业）已知命题，，若p为真命题，则实数a的值可以是（

）A． B．0 C． D．【答案】ABC【分析】根据条件，可知方程有实根，分和两种情况，求出的范围，再结合选项得到的值即可.【详解】因为，为真命题，所以方程有实根.当时，符合题意；当时，由方程有实根，可得，所以.综上，实数的值可以是，和.故选:ABC.三、填空题11．（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）设命题，，则命题p的否定为.【答案】【分析】由全称命题的否定是特称命题即可求得.【详解】命题，，命题的否定是：.故答案为：.12．（2022秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）若“”是假命题，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由已知是假命题可得，“”为真命题，列不等式解出实数的取值范围即可．【详解】已知“”是假命题，所以“”为真命题，即，解得故答案为：【考点6】充分条件、必要条件一、单选题1．（2023春·江西九江·高二校考期末）“”是“方程无实数解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次方程根的情况，由判别式即可得，由集合间的关系即可求解.【详解】方程无实数解,则需满足，解得，，由于，所以“”是“方程无实数解”的充分不必要条件，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】若“”是“”的充分不必要条件，则，列出不等式组求解即可.【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，所以，解得，即的取值范围是.故选：B.3．（2023春·江西·高一吉安三中校考期末）“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式所表示的集合的包含关系以及必要不充分条件的判定方法即可得到答案.【详解】因为，所以前者无法推出后者，后者可以推出前者，故“”是“”的必要不充分条件，故选：A.4．（2022春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）已知，，若P是Q的必要条件，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题可得，列出不等式组，解之即可得解