数学六年级下册第十五讲真题拓展-几何提升版（含答案、教师版学生版）北师大版

第15讲真题拓展——几何一．选择题〔共11小题〕1．〔2021•鸡西〕一个边长为8的正立方体，由假设干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体外表涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色？〔〕A．296B．324C．328D．384【分析】根据题意可知，正立方体总共有8×8×8个小立方体组成，处于最外层的小立方体全部被涂上了颜色，那么没有涂上颜色的小立方体有6×6×6个，两者之差即为涂上颜色的小立方体的个数。【解答】解：8﹣2＝6〔个〕8×8×8﹣6×6×6＝512﹣216＝296〔个〕答：一共有296个小立方体被涂上了颜色。应选：A。【点评】把大立方体看成由1×1的小立方体组成，那么涂色的就是最外面的立方体，而里面的没有．那么总的减去里面的就是所求的个数。2．〔2021•鸡西〕如图中心线上半部与下半部都是由3个红色小三角形，5个蓝色小三角形与8个白色小三角形所组成。当把上半图沿着中心线往下折叠时，有2对红色小三角形重合，3对蓝色小三角形重合，以及有2对红色与白色小三角形重合，试问有多少对白色小三角形重合？〔〕A．4B．5C．6D．7【分析】上下半局部各有16个小三角形，其中有2对红色、3对蓝色、2对红色与白色小三角形重合，那么剩下重合的小三角形只有9对；红色小三角形还有3×2﹣2×2﹣2＝0〔个〕，蓝色还有5×2﹣3×2＝4〔个〕，所以在这9对中，应还包括上半局部2蓝对应于下半局部2白，与上半局部2白对应于下半局部2蓝的情形，即再排除4对，因此，只有5对白色小三角形重合。【解答】解：红色三角形剩余：3×2﹣2×2﹣2＝6﹣4﹣2＝0〔个〕所以，没有红色三角形和蓝色三角形重合，蓝色三角形剩余：5×2﹣3×2＝10﹣6＝4〔个〕这4个蓝色三角形不与自身重合，只能与白色三角形重合，白色三角形剩余：8×2﹣4﹣2＝16﹣4﹣2＝10〔个〕10个白色三角形互相重合：10÷2＝5〔对〕答：有5对白色小三角形重合。应选：B。【点评】此题主要考查了染色问题，根据每种颜色的三角形的总量，以及重合的数量关系，求出剩余的数量，是此题解题的关键。3．〔2021•郑州〕如下图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的格点上，点C也在小方格的格点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，那么满足条件的C点的个数为〔〕A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，可知△ABC的面积为1可分两种情况，①底边为2，高为1；②底边为1，高为2，解答即可．【解答】解：由分析可知：△ABC的面积为1时，可分两种情况；当底边为2，高为1时，如图：有6种情况；当底边为1，高为2时，没有符合的点使三角形的面积为1，所以符合条件的格点C共有6个．应选：D．【点评】此题考查了三角形的面积公式来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．4．〔2021•嘉峪关〕某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，那么此时刻为〔〕A．10点15分B．10点19分C．10点20分D．10点25分【分析】在钟面上，分针每分钟走360°÷60＝6°，时针走360°÷〔60×12〕＝0.5°。由于再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，此时针与分针的夹角为180°﹣6°×6﹣0.5°×3＝142.5°，10时整时，时针与分针相差60°〔钟面上12个数字把钟面平均分成12大格，每大格所对应的圆心角是360°÷12＝30°，10时，时针指向10，分针指向12，夹角为60°〕。时针与分针每分钟夹角相差6°﹣0.6°＝5.5°，根据追及问题，用〔142.5°﹣60°〕除以5.5°就是10时后经过的分钟数，再加10就是此题的时刻。【解答】解：分针每分种走6°时针每分种走0.5°再过六分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上此时刻分针和时针夹角＝180°﹣6°×6﹣0.5°×3＝142.5°10点时分针和时针夹角＝60°分针和时针夹角每分种增加6﹣0.5＝5.5°〔142.5﹣60〕÷5.5＝82.5÷5.5＝15此时刻为10点又过了15分即10点15分。应选：A。【点评】此题较难。关键弄清以下几点：分针每分针走的度数、时针每分钟走的度数、时针与分针在方向相反一条直线上，相差180度。除按上述解答方法外，也可设此时为10点x分，6分钟后的分针度数为〔6x+36〕度，3分钟前的时针度数为〔300+0.5x﹣0.5×3〕度，根据上此分针与时针相差180°即可列方程解答。5．〔2021•亳州〕一次游泳比赛，由甲、乙、丙、丁四个人参加决赛，赛前他们比照赛进行了预测。甲说：“我第一，乙第二。〞乙说：“我第一，甲第四。〞丙说：“我第一，乙第四。〞丁说：“我第四，丙第一。〞比赛结果无并列名次，且四人各都只说对了一半，那么丁是第〔〕名。A．二B．三C．四【分析】此题可通过假设法进行分析，假设甲的说法中“甲第一〞正确，那么根据乙说：“我第一，甲第四。〞可得：甲第四正确；丙的说法“我第一，甲第四〞都不正确，与题意不符，所以甲的说法中“乙第二〞正确；由此推知中丙第一，丁第三，甲第四。【解答】解：假设甲的说法中“甲第一〞正确，那么根据乙说：“我第一，甲第四。〞可得：甲第四正确；丙的说法“我第一，甲第四〞都不正确，与题意不符，所以甲的说法中“乙第二〞正确，甲不是第一；因为每人都说对了一半，根据乙的说法可得甲第四；根据丙的说法确定了丙第一；剩下的丁是第三名。即丙第一，乙第二，丁第四，甲第四。答：丁是第三名。应选：B。【点评】此题主要考查了学生的逻辑推理能力，要求具有较好的逻辑思维能力。6．〔2021•鸡西〕林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。假设不考虑食物的挑选次序，那么他可以有多少不同选择方法？〔〕A．4B．24C．72D．144【分析】三种肉选一个有3种选法，四种蔬菜选两种有4×3÷2＝6种选法，四种点心选一个有4种选法，根据乘法原理，他可以有3×6×4＝72种不同选择方法．【解答】解：3×〔4×3÷2〕×4＝3×6×4＝72〔种〕答：他可以有72种不同选择方法．应选：C。【点评】乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法。7．〔2021•平原县〕小张、小王和小李三人中有一位是工程师，一位是战士，一位是工人．小李比战士的年龄大；小王与工程师不同岁；工程师比小李的年龄小．那么他们当中〔〕是工人．A．小张B．小王C．小李D．无法确定【分析】由“小李比战士的年龄大〞可知，小李不是战士，由“工程师比小李的年龄小〞可知，小李不是工程师，而小李即不是战士也不是工程师，只能是工人，据此选择。【解答】解：由“小李比战士的年龄大〞可知，小李不是战士，由“工程师比小李的年龄小〞可知，小李不是工程师，而小李即不是战士也不是工程师，只能是工人。应选：C。【点评】此题主要考查了逻辑推理，需要学生具有较好的推理能力。8．〔2021•荥阳市〕甲、乙、丙、丁四位同学比赛跳远．乙说：“我不是跳得最远的，但比甲、丙跳得远．〞甲说：“我比丙跳得远．〞他们四人跳远距离按从远到近排是〔〕A．丁、甲、乙、丙B．甲、乙、丙、丁C．丁、乙、甲、丙【分析】根据乙说：“我不是跳得最远的，但比甲、丙跳得远．〞可得：乙排在第二，丁排在第一；又因为甲说：“我比丙跳得远．〞可得他们四人跳远距离按从远到近排是：丁、乙、甲、丙；据此解答即可．【解答】解：根据乙说：“我不是跳得最远的，但比甲、丙跳得远．〞可得：乙排在第二，丁排在第一；又因为甲说：“我比丙跳得远．〞可得他们四人跳远距离按从远到近排是：丁、乙、甲、丙．应选：C．【点评】此题主要考查了学生的逻辑推理能力，要求具有较好的逻辑思维能力，关键是确定乙排在第二，丁排在第一．9．〔2021•温州〕如图，沿图中的路线，从A地经P点到B地，走最短路线共有〔〕种不同的走法．A．1B．4C．30D．100E．9【分析】想要路线最短，那么移动时只能向上移动一格或者向右移动一格；先算从A地到P点，有多少种走法．从A到P需要向上移动2格，向右移动3个，也就是将“上、上、右、右、右〞进行排列组合，第一个“上〞在一个位置时，第二个“上〞有4种情况；第一个“上〞在第二个位置时，第二个“上〞有3种情况；第一个“上〞在第三个位置时，第二个“上〞有2种情况，第一个“上〞在第四的位置时，第二个“上〞有1种情况．相加即可求得从A到P有几种走法；再算从P点到B地，有多少种走法．从P到B需要向上移动1格，向右移动2格，也就是将“上、右、右〞进行排列组合，有3种情况；两数相乘，即为一共有多少种不同的走法．【解答】解：由分析知，从A到P有：4+3+2+1＝10〔种〕从P到B有3种，一共有：10×3＝30〔种〕答：走最短路线共有30种不同的走法．应选：C．【点评】此题主要考查了排列组合，分别求出从A到P和从P到B有多少种走法，两者相乘即为所求．10．〔2021•长沙〕如图，要从A点沿线段走到B点但不能经过C、D两点，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方，问有〔〕种不同的走法。A．17B．19C．20D．15【分析】根据题意，利用标数法，把每点的走法都一一标出来，从A到B的走法数量，等于从A到A右边一个点的走访数量+从A到A上边一个点的走法的数量，即可进行求解。【解答】解：如图：答：一共有17种不同的走法。应选：A。【点评】此题主要考查排列组合，关键是根据图意找到从A向上和向右的不同走法的数量。11．〔2021•长沙县〕王老师昨天按时间顺序先后收到了A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下面的排列中，王老师可能回复邮件的顺序是〔〕〔填数字编号〕A．ABECDB．BAECDC．CEDBAD．DCABEE．ECBAD【分析】这道题如果正向分析有很多种情况，然而选项只有5个，所以用逆向思维去分析答案，用排除法做更快．【解答】解：A选项的顺序是ABECD，王老师最先回复A，证明王老师刚开始回复邮件时只收到了A邮件，回复A时收到了B邮件，回复完A后除了B没有其他未回复的邮件，接下来回复E，证明王老师再回复B邮件时收到了CDE三封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师CDE都收到了，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故错误．B选项的顺序是BAECD，王老师最先回复B，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了AB两封邮件，回复完B后没有收到新邮件，只能回复A，接下来回复E，证明王老师再回复A邮件时收到了CDE三封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师CDE都收到了，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故错误．C选项的顺序是CEDBA，王老师最先回复C，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了ABC三封邮件，回复完C后，王老师没有回复B，证明他又收到了新邮件，发现王老师接下来回复E，证明王老师再回复C邮件时收到了DE两封．这样才会先回复最新收到E，既然王老师DE都收到了，那回复完E，应该先回复D，回复完D，回复BA，故正确．D选项的顺序是DCABE，王老师最先回复D，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了ABCD四封邮件，回复完D后，王老师回复C，证明他没有收到新邮件，回复完C后没有回复E证明王老师还没有收到邮件E，那他就应该先回复B而不是A，故错误．EA选项的顺序是ECBAD，王老师最先回复E，证明王老师刚开始回复邮件时已经收到了ABCDE五封邮寄邮件，按照先回复最新收到的一封电子邮件的要求，那回复完E，应该先回复D，而不是先C后D，故错误．应选：C．【点评】此题正向分析有很多情况，从正确的里面挑选ABCDE五个选项那个正确工作量很大，如果反向去看，只需要分析5种情况，工作量大大减小，排除法时选择题的一个重要解题方法．二．填空题〔共15小题〕12．〔2021•岳麓区〕如图是由9个棱长为1厘米的正方体搭成的，将这个立体图形外表涂上红色.其中只有三个面涂上红色的正方体有5个.【分析】观察图形，找出这9个小正方体只露出3个面的小正方体个数，即可得出只有三个面涂上红色的正方体个数，据此解答问题。【解答】解：观察图形标出三个面露在外部的小正方体如下图：所以这个立体图形外表涂上红色.其中只有三个面涂上红色的正方体有5个。故答案为：5。【点评】解答此题关键是明确出露在外部的面是3个面的小正方体的个数，即可确定只有三面涂上红色的小正方体的个数。13．〔2021•岳麓区〕平面上有3条直线两两相交，最多可产生3个交点，100条直线两两相交，最多可产生4950个交点。【分析】根据题干，3条直线最多有1+2＝3个交点，4条直线最多有1+2+3＝6个交点，5条直线最多有1+2+3+4＝10个交点，6条直线最多有1+2+3+4+5＝15个交点，…，据此可得：n条直线最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n(n-1)【解答】解：根据题干分析可得：3条直线最多有1+2＝3个交点，4条直线最多有1+2+3＝6个交点，5条直线最多有1+2+3+4＝10个交点，6条直线最多有1+2+3+4+5＝15个交点，…，n条直线最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n当n＝100时，n=＝4950答：100条直线两两相交，最多可产生4950个交点。【点评】此题主要考查了多条直线相交时的交点个数问题，解答此题关键是找出规律，n条直线n条直线最多有1+2+3+4+5+…+〔n﹣1〕=n14．〔2021•平罗县〕有11个相同的长方体，每一个长、宽、高分别是2、3、4个单位.如果先把所有长方体的外表全部涂色，再把它们全部截成棱长为1个单位〔与原长方体单位相同〕的正方体，那么这些正方体：〔1〕两面有颜色的共有132个.〔2〕一面有颜色的的共有44个.【分析】每一个长方体的长、宽、高上分别切割成2个、3个、4个小正方体，由此根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体4×3的面上，只有2面涂色的小正方体在长方体的3和4个单位的棱长上〔不包括8个顶点处的小正方体〕，3面涂色的在8个顶点处，即可解答问题。【解答】解：每个长方体只有一面涂色的有：〔4﹣2〕×〔3﹣2〕×2＝2×2＝4〔个〕一面有颜色的的共有：4×11＝44〔个〕只有两面涂色的有：2×3×4＝24〔个〕〔24﹣8﹣4〕×11＝12×11＝132〔个〕答：两面有颜色的共有132个，只有一面涂色的有44个。故答案为：132；44。【点评】抓住外表涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，由此即可解决此类问题。15．〔2021•长沙〕在以下数表中，第2021行左边的第一个数是8070543267891312111014151617…【分析】这个数表中开始的最小的一个数为2，每4个数一行，奇数行是从右到左的顺序依次增加的；偶数行的数是从左到右依次增加的；整个数表可以看成是以2开始的自然数列，2021是偶数，所以是从左到右依次增加的，到第2021行共有2021×4＝8072个数，再加1减去3即可．【解答】解：2021×4＝8072〔个〕又因为这个数表中开始的最小的一个数为2，所以，依数列的排列规律可知，第2021行的左边第1个数为：8072+1﹣3＝8070．答：第2021行左边的第一个数是8070．故答案为：8070．【点评】考查了数表中的规律，解决此题关键是找出这些数的排列规律，然后根据规律求解．解答此题也可以先求出前2021行的个数，再加2，即〔2021﹣1〕×4+2＝8070．16．〔2021•长沙县〕现在都是由边长为1厘米的红色、白色两种正方形分别组成边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的大小不同的正方形，他们的特点都是正方形的四边的小正方形都是涂有红颜色的小正方形，除此以外都是涂白颜色的小正方形，要组成这样4个大小不同的正方形，总共需要红色小正方形76个，白色小正方形89个【分析】如图，边长为2厘米的正方形有〔2×2〕个红色小正方形，无白色小正方形；边长为4厘米的正方形有[〔4﹣1〕×4]个红小正方形，有[〔4﹣2〕×〔4﹣2〕]个白色小正方形；边长为8厘米的正方形有[〔8﹣1〕×4]个红色小正方形，有[〔8﹣2〕×〔8﹣2〕]个白色小正方形；边长为9厘米的正方形有[〔9﹣1〕×4]个红色小正方形，有[〔9﹣2〕×〔9﹣2〕]个白色小正方形．再分别求出红色小正方形、白色小正方形的总个数．【解答】解：如图红色小正方形：2×2＝4〔个〕白色小正方形：0个红色小正方形：〔4﹣1〕×4＝12〔个〕白色小正方形：〔4﹣2〕×〔4﹣2〕＝4〔个〕红色小正方形：〔8﹣1〕×4＝28〔个〕白色小正方形：〔8﹣2〕×〔8﹣2〕＝36〔个〕红色小正方形：〔9﹣1〕×4＝32〔个〕白色小正方形：〔9﹣2〕×〔9﹣2〕＝49〔个〕红色小正方形共有：4+12+28+32＝76〔个〕白色小正方形共有：4+36+49＝89〔个〕答：总共需要红色正方形76个，白色正方形89个．故答案为：76，89．【点评】关键是弄清边长为2厘米、4厘米、8厘米、9厘米的正方形各有多少个边长为1厘米的小正方形组成，这些边长为1厘米的小正方形中，红色的、白色的各有多少个．17．〔2021•西城区〕如图，三个图形的周长相等，那么a：b：c＝20：25：24．【分析】4b+a＝6a，也就是4b＝5a，即a：b＝4：5，即b是a的54；6a＝5c，即a：c＝5：6，即c是a的65；所以a：b：c＝a：：65a＝20：25：24【解答】解：4b+a＝6a，也就是4b＝5a，即b是a的546a＝5c，即c是a的65a：b：c＝a：54a：6＝20：25：24．答：a：b：c＝20：25：24．故答案为：20：25：24．【点评】此题可根据周长计算公式，对以上即个图形进行计算，然后得出三个字母间的关系，然后都用一个字母表示，进行比，得出结论．18．〔2021•绵阳〕如图，三角形ABC各边的三等分点分别是D、E．F．假设三角形ABC的面积是210平方厘米，那么阴影局部的面积是30平方厘米．【分析】根据三角形ABC的面积等于三角形ABF面积+三角形BCE面积+三角形ACD面积+阴影局部面积﹣重合局部面积，可求将阴影局部面积转化为三个小三角形的面积；根据两个三角形同底或同高时的面积比与高或底的关系，求出小三角形面积，即可作答．【解答】解：三角形ABC面积用a表示，a＝210cm2，如图，设点A到CD的高为hA，点F到CD的高为hF，连接DF，S△ABC＝S△ACD+S△ABF+S△BCE+S△OPQ﹣S△ADO﹣S△BFQ﹣S△CPE，又∵S△ACD＝S△ABF＝S△BCE=13S△ABC=可得：S△OPQ＝S△ADO+S△BFQ+S△CPE，根据三角形面积与底的关系，可知：S△AFC=23a，S△ABF=S△ADF=13S△ABF=13×13a=19a，S△DFC三角形ADC和三角形DFC同底，所以，S△ADC：S△DFC＝hA：hF=13：49=三角形ADO和三角形FDO同底时，S△ADO：S△FDO＝hA：hF＝3：4，三角形ADO和三角形FDO同底时，S△ADO：S△FDO＝AO：FO＝3：4，所以，S△ADO=37S△ADF=37同理可求，S△BFP＝S△PCE=121所以，S阴影局部＝S△OPQ＝S△ADO+S△BFQ+S△CPE=121×3a=17×故答案为：30．【点评】此题主要考查两个三角形同底或同高时的面积比与高或底的关系，并运用转化思想，把阴影局部面积转化为可求的小三角形面积，解答过程中要求仔细认真．19．〔2021•深圳〕如图中共有27个等边三角形．【分析】根据图形，单个的小三角形有16个，由4个小三角形组成的三角形有7个，9个小三角形组成的大三角形有3个，16个小三角形组成的大三角形有1个，再相加即可求解．【解答】解：单个的小三角形有16个，由4个小三角形组成的三角形有7个，9个小三角形组成的大三角形有3个，16个小三角形组成的大三角形有1个，16+7+3+1＝27〔个〕答：如图中共有27个等边三角形．故答案为：27．【点评】解答此题的关键是利用分类的思想，分别找出各种三角形的个数，即可得出三角形的总个数．20．〔2021•长沙〕有13个不同的正整数，它们的和是100，其中偶数最多有7个.【分析】根据题意，要想使偶数最多，从最小的开始〔正整数〕，使连续偶数的和小于或等于100。因为9个连续偶数的和：2+4+……+16+18＝90，100﹣90＝10，1+3+5+7＝16，16＞10，所以偶数个数应该小于9个；且偶数个数为奇数个，所以偶数个数最多是7个。【解答】解：2+4+……+16+18＝90100﹣90＝101+3+5+7＝1616＞10所以偶数个数应该小于9个所以偶数个数最多是7个。故答案为：7。【点评】此题主要考查最大与最小问题，关键是根据连续偶数的和，找到符合图意的偶数个数，完成题目。21．〔2021•长沙〕现在是北京时间上午8点，再过18613分时，时针和分针离“6【分析】分针每分钟绕中心旋转360°÷60＝6°，时针每分钟绕中心旋转360÷12÷60＝0.5°．在钟面上每相邻两个数字间的角度是360°÷12＝30°．设8点x分时时针和分针离“6〞字的距离相等．8时整时，时针离开“6〞〔60+0.5x〕度，分钟离开“12〞6x度，它与到“6〞还有〔180﹣6x〕度．根据题意即可列方程解答。【解答】解：8点x分时时针和分针离“6〞字的距离相等．60+0.5x＝180﹣6x60+6.5x＝1806.5x＝120x＝186答：再过18613分时，时针和分针离“6故答案为：18613【点评】关键是明白分针、时针每分钟旋转的度数，相邻两个数字之间的度数，然后根据题意列方程．也可这样列，既然分时，时针和分针离“6〞字的距离相等，离开“12〞也相等，根据题意，120﹣0.5x＝6x。22．〔2021•长沙〕在射击游戏中，一名“恐怖分子〞隐藏在10个排成一行的窗户后面，一位百发百中的狙击手只要射中“恐怖分子〞所在的窗户就能射中这名“恐怖分子〞，每次完成射击后，如果“恐饰分子〞没有被射中，那么他就会向右移动一个窗户，一旦他到了最右边的窗户，就停止移动.为了确保射中这名“恐怖分子〞.狙击手至少需要射击6次.【分析】因为“恐怖分子〞会向右移动，一旦他到了最右边的窗户，就停止移动，所以每次射击都射击最右侧的窗口即可。【解答】解：因为“恐怖分子〞会向右移动，一旦他到了最右边的窗户，就停止移动，所以每次射击都射击最右侧的窗口，将窗口从左到右编号1～10考虑最坏状况，“恐怖分子〞在1号窗口，设射击x次后命中，“恐怖分子〞向右移动了〔x﹣1〕次，此时恐怖分子移动到了1+x﹣1＝x号窗口，此时射击的窗口是10﹣〔x﹣1〕＝11﹣x号窗口，x＝11﹣xx＝5.5所以，至少要射击6次，才能确保射中这名“恐怖分子〞。故答案为：6。【点评】此题主要最大与最小问题，根据“恐怖分子〞的移动方式，得出射击的方式，是此题解题的关键。23．〔2021•长沙〕小刚骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟，每次只能两匹马同时过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少需18分钟．【分析】骑甲赶乙过河，骑甲回，需要3+2＝5分钟，再骑丙赶丁过河，骑乙回，需要7+3＝10分钟；再骑甲赶乙过河不回，需3分钟．据此解答．【解答】解：最少需要的时间是：3+2+7+3+3＝18〔分钟〕答：最少需要18分钟．故答案为：18．【点评】此题的关键是让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河，然后再骑用时最少的回来，然后再过河．24．〔2021•长沙〕在10点与11点之间，钟面上分针与时针在10时5511或38211【分析】由于时针1分钟旋转的圆心角度数为0.5度，分针1分钟旋转的圆心角度数为6度．当两针成直角时，两针所走度数差为〔90﹣60〕或〔300﹣90〕，又知两针每分钟所走度数差为〔6﹣0.5〕，那么时针与分针成直角所用的时间是：[90﹣〔360﹣30×10〕]÷〔6﹣0.5〕或〔30×10﹣90〕÷〔6﹣0.5〕，计算出结果，再加上10时即可。【解答】解：[90﹣〔360﹣30×10〕]÷〔6﹣0.5〕＝30÷5.5=＝5511即10时5511或〔30×10﹣90〕÷〔6﹣0.5〕＝210÷5.5=＝38211即10时38211答：时针与分针成直角的时间是10时5511分或10时382【点评】解决此题关键是求出时针和分针的速度差，讨论两种不同的情况，得出路程差，再用路程差÷速度差＝时间，从而解决问题。25．〔2021•陇县〕王阿姨、李阿姨、刘叔叔、张叔叔分别是农民、工人和军人．只有两位阿姨职业相同，张叔叔是农民，李阿姨不是军人，刘叔叔的职业是军人．【分析】张叔叔是农民，只有两位阿姨职业相同，即只有两位女性职业相同，即王阿姨、李阿姨职业相同，又因为李阿姨不是军人和农民，那么只能是工人，那么剩下的刘叔叔的职业只能是军人．【解答】解：根据分析可得，张叔叔是农民，只有两位阿姨职业相同，即只有两位女性职业相同，即王阿姨、李阿姨职业相同，又因为李阿姨不是军人和农民，那么只能是工人；那么剩下的刘叔叔的职业只能是军人．答：刘叔叔的职业是军人．【点评】此题主要考查了学生的逻辑推理能力，要求具有较好的逻辑思维能力，关键是明确王阿姨、李阿姨职业相同．26．〔2021•通许县〕某班学生去买语文书、数学书和英语书．买书的情况是：有买一本的，有买两本，有买三本的，至少要去20人才能保证一定有两位同学买到相同的书．【分析】如果买一本的有3种买法，如果买两本的有6种买法，如果买三本的有10种买法，共有3+6+10＝19种买法，看作19个抽屉，每个抽屉里有1个人，共需要19人，那么再有1个人，就能满足一定有两位同学买到相同的书．【解答】解：有3+6+10＝19〔种〕19+1＝20〔人〕答：至少要去20人才能保证一定有两位同学买到相同的书．故答案为：20．【点评】此题考查了利用排列组合和抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定抽屉数，再从最差情况考虑即可．三．应用题〔共5小题〕27．〔2021•长沙〕如图，△ABC的面积为27，且BD=12DC，AF=12FD，CE=【分析】根据三角形面积公式：S＝ah÷2，可知，高相等时，面积比等于底的比，据此依次计算出△ACD、△CDF、△DEF的面积即可。【解答】解：根据BD=12DC，AF=12FD，可知，CD=23BC，DF=23AD，△ABC与△ADC等高，底CD=23所以，S△ACD＝S△ABC×2同理可得：S△CDF=23S△ACD，S△DEF=23所以，S△DEF=23×=8＝8答：△DEF的面积为8。【点评】此题主要考查了三角形面积与底的正比关系，根据条件求出底边的关系是此题解题的关键。28．〔2021•岳麓区〕D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点．△ADG的面积比△EFG的面积大6平方厘米，△ABC的面积是多少？【分析】观察图形可知，△ADG的面积比△EFG的面积大6平方厘米，那么△ADG的面积+三角形DEG的面积比△EFG的面积+三角形DEG的面积大6平方厘米，即三角形ADE的面积比三角形FDE的面积大6平方厘米，由中点的性质可明显求的，三角形ADE面积等于三角形ABC面积的14，三角形FDE面积等于三角形ABC面积的18，所以三角形ADE的面积与三角形FDE的面积之差就是三角形ABC面积的18，所以三角形ABC面积面积为6【解答】解：根据题干和图形可得：因为△ADG的面积﹣△EFG的面积＝6平方厘米，所以三角形ADE的面积﹣三角形FDE的面积＝6平方厘米，因为D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，所以三角形ADE的面积=12三角形ADC的面积=1三角形FDE的面积=12三角形FDC的面积=14三角形ADC的面积所以14三角形ABC的面积-18三角形ABC即18三角形ABC的面积＝6所以三角形ABC的面积为：6÷18答：三角形ABC的面积是48平方厘米．【点评】解答此题的关键是，由割补法得出三角形ADE的面积比三角形FDE的面积大6平方厘米；再由中点的性质将它们分别化成三角形ABC的14和18，从而求出三角形ABC的面积的1829．〔2021•长沙〕如图，平行四边形ABCD的面积是96平方厘米，EC＝2AE，BF＝3FC。三角形DEF的面积是多少平方厘米？【分析】观察图形可以发现：三角形DEF的面积＝三角形DEC面积+三角形EFC的面积﹣三角形DFC的面积，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，可知，高相等时，底边长的比等于面积比，据此计算出△EDC、△EFC、△DFC的面积和平行四边形面积的关系，然后计算求出△DEF的面积即可。【解答】解：设平行四边形ABCD的面积为S，连接AF，由图可知：S△DEF＝S△DEC+S△EFC﹣S△DFC根据三角形和平行四边形的面积公式可知，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半，S△ADC＝S△ABC=1对于△ADC和△EDC，高相同，底AC＝EC+12EC=所以，S△DEC=23S△ADC=2对于△ABC和△AFC，高相同，底BC＝FC+BF＝FC+3FC＝4FC，所以，S△AFC=14S△ABC=1对于△AFC和△EFC，高相同，底AC=32所以，S△EFC=23S△AFC=23对于平行四边形ABCD和△DFC，高相同，底BC＝4FC，所以，S△DFC=14×1所以，S△DEF＝S△DEC+S△EFC﹣S△DFC=13S+1＝〔824+=7=7＝28〔平方厘米〕答：三角形DEF的面积是28平方厘米。【点评】此题主要考查了平行四边形、三角形的面积公式的应用，需要学生掌握等底等高平行四边形与三角形的面积的关系，以及等高的两个三角形面积之比与底边之比的关系。30．〔2021•长沙〕如图，棱长为4cm的正方体木块的每个面的中心打上一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形，求挖洞后木块的体积及外表积.【分析】观察图形可知，挖洞后，体积减少了3个宽1厘米、高1厘米、长4厘米的小长方体的体积，因为中间的棱长是1厘米的小正方体被重复多减了2次，所以体积＝正方体的体积﹣3个小长方体的体积+2个棱长是1厘米的小正方体的体积；挖洞后，忽略正中间挖掉的小正方体，外表积可以看作是增加了12个宽1厘米、长4﹣1＝3厘米的长方形的面积，外表积＝正方体的外外表积+挖洞里面形成的外表积，再减去正中间减少的棱长1厘米的正方体的外表积，据此计算即可解答问题。【解答】解：木块的体积：4×4×4﹣1×1×4×3+1×1×1×2＝64﹣12+2＝54〔立方厘米〕木块的外表积：〔4×4﹣1×1〕×6＝15×6＝90〔平方厘米〕1×〔4﹣1〕×12＝1×3×12＝36〔平方厘米〕90+36＝126〔平方厘米〕答：这个木块的体积是54立方厘米，外表积是126平方厘米。【点评】解答此题的关键是掌握切割后的体积与外表积的计算方法，明确体积＝正方体的体积﹣3个小长方体的体积+2个棱长是1厘米的小正方体的体积；外表积＝正方体的外外表积+挖洞里面形成的外表积，再减去正中间减少的棱长1厘米的正方体的外表积。31．〔2021•广州〕如图，△AEF、△ABF、△BFD的面积分别是3，2，1，阴影局部的面积是多少？【分析】在△ABF与△AFE中，高相等，面积的比就是对应的底的比，在△BDF与△DFE中，高相等，面积的比就是对应底的比，由此求出阴影局部的面积．【解答】解：因为△ABF与△AFE的高相等，所以S△ABF：S△AFE＝BF：EF＝2：3，在△BDF与△DFE的高相等，所以S△BDF：S△DFE＝BF：EF＝2：3，因为△BFD的面积是1，所以S△DFE＝1.5，答：阴影局部的面积：1.5．【点评】此题主要考查了高一定，面积与底成正比的性质的灵活应用．四．解答题〔共12小题〕32．〔2021•长沙〕思考题：在直角梯形ABCD中，AD＝12厘米，AB＝8厘米，BC＝15厘米，且三角形ADE，三角形CDF和四边形DEBF的面积相等，求阴影局部的面积．【分析】由题意可知：梯形的面积可求，那么S四边形DEBF、S△ADE、S△DCF可求，从而可以求出AE、BE，S△CDF可求，那么CF、BF可求，从而可以求出S△EBF，阴影局部的面积＝S四边形DEBF﹣S△EBF，问题得解．【解答】解：S梯形==＝108〔平方厘米〕S△ADE＝S梯形DEBF＝S△CDF＝108÷3＝36〔平方厘米〕AE＝36×2÷12＝72÷12＝6〔厘米〕BE＝8﹣6＝2〔厘米〕CF＝36×2÷8，＝72÷8＝9〔厘米〕BF＝15﹣9＝6〔厘米〕所以S△EBF＝6×2÷2＝6〔平方厘米〕阴影局部的面积＝36﹣6＝30〔平方厘米〕答：阴影局部的面积是30平方厘米．【点评】解答此题的关键是利用等量代换，将阴影局部利用其他图形的面积转化出来．33．〔2021•长沙〕如图C、E、B三点共线，CB⊥AB，AE∥DC，AB＝8，CE＝5，那么△AED的面积为多少？【分析】根据三角形等高模型可知△AED的面积＝△AEC的面积=12CE×【解答】解：连接AC，因为AE∥DC，所以根据等号模型可知△AED的面积＝△AEC的面积，又因为CB⊥AB，所以△AED的面积＝△AEC的面积=12CE×AB=【点评】此题考查三角形面积，三角形等高模型知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题。34．〔2021•徐州〕数学课上，老师给同学们出了一道题，要大家求出一个四边形的面积〔如图1〕．奇奇一看，顿时就为难了，这是一个不规那么的四边形啊！怎么计算它的面积呢？老师提示说：想想我们学过哪些平面图形的面积计算方法？能不能把它变成我们熟悉的图形来计算它的面积呢？奇奇眼前一亮，想到了一个好方法，他把四边形的两条边延长，使它们相交于E点〔如图2〕．他发现：因为∠C＝45°，∠B＝90°，所以BCE是个等腰直角三角形，∠E＝45°，△BCE的面积就是70×70÷2＝2450〔平方米〕；又因为∠ADE＝90°，∠E＝45°，所以△ADE也是个等腰直角三角形，它的面积是30×30÷2＝450〔平方米〕；所以原来四边形的面积＝△BCE的面积﹣△ADE的面积＝2450﹣450＝2000〔平方米〕．〔1〕上面奇奇解决问题的过程中，用到了转化策略．〔2〕运用上面的策略，尝试解决下面的问题．在六边形ABCDEF中〔图3〕，六个角相等，均为120度．AB＝1厘米，BC＝CD＝3厘米，DE＝2厘米，这个六边形的周长是多少？【分析】〔1〕奇奇解决这个四边形的面积时通过作辅助线，把这个不规那么的四边形转化成了两个直角三角形的面积差，这是运用了转化的策略；〔2〕解决这个问题也可以运用转化的策略，六边形ABCDEF，并不是一规那么的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．【解答】解：〔1〕上面奇奇解决问题的过程中，用到了转化策略．〔2〕如图，分别作边AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．六边形ABCDEF的六个角都是120°，六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形GC＝BC＝3厘米，DP＝DE＝2厘米GH＝GP＝GC+CD+DP＝3+3+2＝8〔厘米〕FA＝HA＝GH﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4〔厘米〕EF＝PH﹣HF﹣EP＝8﹣4﹣2＝2〔厘米〕六边形的周长为1+3+3+2+4+2＝15〔厘米〕答：这个六边形的周长是15厘米．故答案为：转化．【点评】此题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地把六边形转化成等边三角形，从而求得周长．转化的策略是常用的解题策略，注意学习并掌握．35．〔2021•长沙〕如下面图1那样，在用塑料制的三棱柱形的筒里装着水，这个筒的展开图如下面图2．现在，如图1那样，把这个筒的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm．按上面讲的条件答复以下问题：〔1〕把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米？〔2〕把C面〔直角三角形的面〕作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？【分析】此题要借助画图来帮助分析，先标出各顶点的字母，借助直角三角形及体积知识求出水的体积〔1.5+3〕×2÷2×12＝54〔cm3〕；当把B面作为底面时，因为△YZM与△XYP完全一样．故水深1.5cm；当把C面作为底面时，用体积除以底面积即可．【解答】解：在图中标上字母如以下图所示，因X是MN的中点，故Y也是MP的中点，△MXY，△MNP都是直角三角形；利用勾股定理，可求出XY＝1.5cm，水的体积为：〔1.5+3〕×2÷2×12＝54〔cm3〕；当YZ与PN垂直，交NP于Z时，XY＝NZ＝ZP＝1.5cm，XN＝YZ＝2cm；故三角形XYM与三角形YZP完全一样．〔1〕当B作底面时，侧面PMN如以下图所示，因为△YZM与△XYP完全一样．故水深1.5cm．〔2〕因高＝体积÷底面积，所以△NMP面积：3×4÷2＝6〔cm2〕；高为：54÷6＝9〔cm〕．答：把B面作为底面，水面高1.5厘米；把C面作为底面，水面高是9厘米．【点评】解答此类题目要画出几何图形帮助分析，找出其中的相关数据．36．〔2021•长沙县〕“倍尔数〞是以美国数学家倍尔的名字命名的一个数列．请仔细观察下面的几行数，你看，它的形状多像一个三角形啊，因此人们又称它为“倍尔三角形〞，同学们，你们能发现每行数的组成有什么规律吗？请试着再写出一行“倍尔数〞．【分析】这样的数列，形状像个三角形，因而又叫“倍尔三角形〞，巧得很，第一竖列依次是1、1、2、5、15、52、……，右边斜行也是1、2、5、15、52、……；仔细观察、分析可知倍尔数的形成有两条规律：①每排的最后一个数都是下一排的第一个数；②其他任何一个数等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数；据此解答即可．【解答】解：第一个数等于上一行的最后一个数，即52．然后依次是：52+15＝6767+20＝8787+27＝114114+37＝151151+53＝203故答案为：52、67、87、114、151、203．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力；对于找规律的题目首先应找出哪些局部发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．37．〔2021•长沙〕如图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔A和B，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面往水箱注水．如果翻开A孔、关闭B孔，经过20分钟可将水箱注满；如果关闭A孔，翻开B孔，经过22分钟可将水箱注满．如果两个孔都翻开，那么注满水箱的时间是多少分钟？【分析】翻开A孔、关闭B孔，设A孔上面用的时间为t，那么A孔下面用的时间为〔20﹣t〕；关闭A孔，翻开B孔，那么20-t2+2t＝22，解方程即可求得翻开A【解答】解：翻开A孔、关闭B孔，设A孔上面用的时间为t，那么A孔下面用的时间为〔20﹣t〕．20-t2+220﹣t+4t＝443t＝24t＝86+8+12＝26〔分〕答：如果两个孔都翻开，那么注满水箱的时间是26分钟．【点评】此题主要考查了工程问题．关键是得出翻开A孔、关闭B孔，B孔以下用的时间．38．〔2021•宁波〕将1～3000的整数按照下表的方式排列．用一长方形框出九个数，要使九个数的和等于〔1〕1997〔2〕2160〔3〕2142能否办到？假设办不到，简单说明理由．假设办得到，写出正方框里的最大数和最小数．【分析】这样框出的九个数的和一定是被框出的九个数的中间的那个数的9倍，即九个数的和能被9整除；又左右两边两列的数不能作为框出的九个数的中间一个数，即能被15整除或被15除余数是1的数，不能作为中间一个数；由此进行判断．【解答】解：这样框出的九个数的和一定是被框出的九个数的中间的那个数的9倍，即九个数的和能被9整除．1997中1+9+9+7＝26，26不是9的倍数，所以1997不能被9整除，所以不可能框出和是1997．又左右两边两列的数不能作为框出的九个数的中间一个数，即能被15整除或被15除余数是1的数，不能作为中间一个数．2160÷9＝240，又240÷15＝16，余数是零．所以不可能框出和是2160．2142÷9＝238238÷15＝15……13余数是13，所以可以框出和是2142的9个数．【点评】解决此题关键是找出框出的九个数的特点，和是9的倍数，且能被15整除或被15除余数是1的数，不能作为中间一个数．39．〔2021•长沙县〕直角三角形ABC，AB＝5厘米、BC＝3厘米、AC＝4厘米，将它的直角边AC对折到斜边AC与AD重合．如图，求图中阴影局部〔未重叠局部〕的面积是多少平方厘米？【分析】根据条件可知：AC⊥BC，CE＝DE，DE⊥AB，AC＝AD＝4厘米，DB＝AB﹣AD＝5﹣4＝1〔厘米〕，根据三角形ABC的面积等于三角形ACE和三角形AEB的面积之和求出线段ED的长度，进而求出阴影局部面积．【解答】解：如图：由题意可知：直角三角形ABC，AB＝5厘米、BC＝3厘米、AC＝4厘米，所以：AC⊥BC；又将它的直角边AC对折到斜边AC与AD重合所以CE＝DE，DE⊥AB，AC＝AD＝4厘米，DB＝AB﹣AD＝5﹣4＝1〔厘米〕设CE＝DE＝x厘米，那么；4×x÷2+5×x÷2＝3×4÷22x+2.5x＝64.5x＝64.5x÷4.5＝6÷4.5x=所以阴影局部的面积是：BD×ED÷2＝1×4=2答：阴影局部〔未重叠局部〕的面积是23【点评】此题考查求三角形的面积，注意应用条件求出要求三角形的两条直角边的长短即可．40．〔2021•湖南〕三角形ABC中，DC＝3BD，DE＝EA．假设三角形ABC的面积是1，那么阴影局部的面积是多少？【分析】如图：连接DF，△AEF和△EFD是等底等高的三角形，△AEF的面积＝△EFD，因为△AEC的面积＝△ECD的面积，所以△DFC的面积＝△AFC的面积＝△BDF的面积×3，进而求出阴影局部的面积．【解答】解：如图：连接DF因为DE＝EA△AEF和△EFD是等底等高的三角形，△A