高等应用数学 课件 第12章 概率论

§12.1随机事件

一、随机现象和随机事件

二、事件间的关系和运算内容提要第一节多元函数MultipleFunction

一、随机现象和随机事件自然界和人类社会中出现的种种现象,按照条件和结果的相互关系，大致上可分成两类：(1)确定性现象在一定条件下，必然出现某种结果的现象称为确定性现象.1.确定性现象与随机现象例如：在标准大气压下，水被加热到100℃(条件)一定沸腾(结果).确定性现象的特点：条件完全决定结果,结果唯一.

（2）随机现象在一定条件下，可能出现不同结果的现象称为随机现象.例如：①投掷一枚均匀的硬币(条件),可能出现正面，也可能出现反面(结果).②投一个骰子(条件),可能出现1点到6点之中的某一个,但不能事先确定出现哪个点(结果).随机现象的特点：条件不能决定结果，结果不唯一.

当今世界充满了不确定性，世界政治、经济以及我们生活的各个方面都存在不确定性.（2）随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性（也称随机性).或者说，出现哪个结果“凭机会而定”.（1）随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系

,其数量关系无法用普通函数加以描述.说明2.随机现象与统计规律性从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的,但多次观察某个随机现象，可以发现在大量的偶然之中存在着必然的规律.例如：历史上的几位数学家抛扔硬币的试验,观察出现正面的情况，这些试验表明：尽管“出现正面”这个结果具有偶然性，但随着试验次数的增多，“出现正面”这个结果的频率越来接近于常数0.5.这个性质称为“频率的稳定性”.实验者投掷次数正面次数正面频率De.Ｍorgan204810610.518Buffon404020480.5069K.Person1200060190.5016K.Person24000120120.5005正面频率

正面出现次数

/

试验总次数又如：大量数据表明，生男孩的频率具有稳定性,英语中各英文字母的使用频率也具有稳定.那么如何研究随机现象的规律性呢？我们把这种大量重复试验下，其结果所呈现的固有规律性称为统计规律性,概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科.3.随机试验随机现象的规律性是通过大量试验呈现出来的，为了研究这种规律性，我们需要对随机现象进行调查、观察或实验.这类工作我们统称为“随机试验”，简称为“试验(experiment)”，用Ｅ表示.随机现象是通过随机试验来研究的.如何来研究随机现象?4.随机事件

二、事件间的关系和运算1.事件的包含与相等2.事件的和3.事件的积4.事件的差5.互斥事件6.互逆事件§12.2随机事件的频率和概率

一、概率的统计定义

二、概率的古典定义

三、概率的加法公式内容提要第一节多元函数MultipleFunction

一、概率的统计定义概率的这种定义，称为概率的统计定义投篮次数

1520253035405060投中次数

1013162023263340频率

0.6670.650.640.6670.6570.650.660.667投篮次数

203035404550投中次数

152226313338频率

0.750.730.74260.7750.7750.76

二、概率的古典定义例12.2.2保险箱的号码锁若由四位数字组成，问一次能打开保险箱的概率是多少？例12.2.3有一元、五角、二角、一角、五分、二分、一分的纸币各一张，试求由它们所组成的所有可能的币值中，其币值不足一元的概率．口袋中有4个白球6个红球．从中任取两个，求取到的两个球是一白一红的概率.A课堂练习解

三、概率的加法公式例12.2.4某集体有6人是1990年9月出生的，求其中至少有2人是同一天生的概率．例12.2.5某设备由甲，乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出故障的概率分别为0.90和0.85，同时出故障的概率是0.80，求超载负荷时至少有一个部件出故障的概率．例12.2.6

一个电路上装有甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定数值时，甲烧断的概率为0.85，乙烧断的概率是0.74，两根保险丝同时烧断的概率是0.63．问至少有一根烧断的概率是多少？概率的定义（1）理解概率的统计定义（2）理解概率的古典定义（3）会求事件的概率2.概率的加法公式（1）理解概率的加法公式（2）会利用加法公式计算概率小结§12.3

条件概率和事件的独立性

一、条件概率

二、乘法公式

三、全概率公式内容提要

四、事件的独立性第一节多元函数MultipleFunction

一、条件概率由此引出条件概率的定义．解课堂练习

二、乘法公式例12.3.3已知盒子中装有10只电子元件，其中6只正品，从其中不放回地任取两次，每次取一只，问两次都取到正品的概率是多少？例12.3.4某人有5把钥匙，但分不清哪一把能打开房间的门，逐把试开，试求（1）第三次才打开房间门的概率．（2）三次内打开房门的概率．已知某厂产品的合格品率为98%，而合格品中的一等品率为75%，试求该厂产品的一等品率。解设A=“产品是合格品”，B=“产品是一等品”，因为一等品必然是合格品，所以AB=B。由题意知，，由乘法公式有即一等品率约为73.5%。课堂练习

三、全概率公式

计算中往往希望从已知的简单事件的概率推算出未知的复杂事件的概率．为了达到这个目的，经常把一个复杂事件分解成若干个互斥的简单事件之和的形式，然后分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果，这就用到了全概率公式．例12.3.5设袋子中共有10个球，其中2个带有中奖标志，两人分别从袋中任取一球，问第二个人中奖的概率是多少？注：第二人中奖的概率与第一人中奖的概率是相等的．例12.3.6某厂有四条流水线生产同一产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，各流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02，现从出厂产品中随机抽取一件，求此产品为次品的概率是多少？

四、事件的独立性1.事件的独立性例12.3.8甲，乙两人考大学，甲考上的概率是0.8，乙考上的概率是0.9，

（1）甲乙两人都考上大学的概率是多少？

（2）甲乙两人至少一人考上大学的概率是多少？2.伯努利概型例12.3.10某射手每次击中目标的概率是0.6，如果射击5次，试求至少击中两次的概率.解课堂练习1.条件概率（1）理解条件概率（2）会条件概率的计算2.乘法公式（1）理解乘法公式（2）会利用乘法公式计算概率小结3.全概率公式（1）理解全概率公式（2）会利用全概率公式计算概率4.事件的独立性（1）会利用事件的独立性计算概率§12.4随机变量及其分布

一、随机变量

二、离散型随机变量及其概率分布

四、几种常用随机变量的分布内容提要

三、连续型随机变量及其概率密度第一节多元函数MultipleFunction一、随机变量定义

用来描述实验结果的变量叫作随机变量，随机变量习惯上用希腊字母

或

等表示。例如事件A=｛恰有一件次品｝，可用“”来描述或记作A={

}．B=｛次品数少于3件｝，可用“

”来描述或记作B={

}．第一节多元函数MultipleFunction第一节多元函数MultipleFunction第一节多元函数MultipleFunction§12.5随机变量的数字特征

一、随机变量的数学期望

二、随机变量的方差

三、常用随机变量分组的数学期望和方差内容提要第一节多元函数MultipleFunction随机变量的概率分布比较完整地描述了随机变量的分布．但在实际问题中，确定一个随机变量的概率分布常常是比较困难的．在某些情况下，有时并不需要完全确定它的分布，而只要了解它的一些统计特征．随机变量的统计特征可以概括地反映出随机变量的统计规律，这些统计特征通常用数字来描述，所以又叫做随机变量的数字特征．随机变量的数字特征中最重要和最常用的是数学期望和方差．例如，要比较两个工厂生产的电视机显像管的质量，一方面要比较它们的平均使用寿命，另一方面不要比较每个厂的产品寿命对平均值的分散程度，分散程度大说明产品质量不够稳定，分散程度小则说明质量比较稳定．在概率论中我们把表示随机变量平均状况和分散程度的数字特征分别叫作数学期望和方差．

一、随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望2.连续型随机变量的数学期望3.数学期望的性质

二、随机变量的方差随机变量的数学期望描述了其取值的平均状况，但这只是问题的一个方面，我们还应知道随机变量在其均值附近是如何变化的，其分散程度如何，这里我们有必要研究随机变量的方差．有可能产品的寿命均集中在950~1050小时！有可能一半产品的寿命集中在700小时，另一半产品的寿命集中在1300小时！例：为评估一批灯泡的质量好坏，从某种途径已知其平均寿命为1000小时，即，但不能完全肯定质量的好坏！质量稳定！质量相对不稳定！有必要找一个量，能够度量随机变量相对于的偏离程度。什么量，能够度量随机变量相对于E(ξ)的偏离程度