专题09指数与指数函数

专题09专题09指数与指数函数№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题09指数与指数函数命题解读命题预测复习建议指数函数是高中函数内容的核心知识点之一，在历年的高考中主要是以简单题目为主，指数幂的运算，指数函数的图象和性质都是要求掌握的知识点。指数函数作为一种重要的函数模型，要充分理解它的应用。预计2024年的高考对于指数函数部分的考察还是以指数幂的运算和指数函数的图象与性质为主要出题方向。集合复习策略：1.理解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算；2.掌握指数函数的概念，图象和性质；3.理解指数函数模型的应用。→➊考点精析←1．根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．3.指数函数及其性质概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1(4)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1(5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．→➋真题精讲←1.【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.2.【2020广东省惠州市高三模拟】已知函数，则满足的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，知是偶函数，不等式等价为，当时，，在区间上单调递增，解得.故选A.3.（2023·全国·高三专题练习）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数在均单调递减可得即；函数在均单调递减可得，解得，若函数与均单调递减，可得，由题可得所求区间真包含于，结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C故选：C4.（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，且当时，，可得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.故选：ABD.5.（2023·全国·高三对口高考）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________．【答案】/【解析】令，可得，此时，所以函数图象恒过定点，因为点A在直线上，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.综上，的最小值为.故答案为：.→➌模拟精练←1.【2020河南省林州一中高二月考（理）】函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】作出函数的图象，如下图所示，将的图象向左平移个单位得到图象.故选：B2．下列命题正确的有（）A．函数在其定义域上是增函数；B．函数是奇函数；C．函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；D．若，则【答案】CD【分析】根据反比例函数的单调性，可判定A；根据函数的奇偶性的定义，可判定B；根据函数的图象的平移变换，可判定C；根据指数函数的图象与性质，可判定D.【详解】对于A中，根据反比例函数的性质，可得函数的单调递增区间为，所以函数在其定义域上是增函数是不正确的；对于B中，由函数的定义域为不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以不正确；对于C中，函数向右平移2个单位，可得，所以是正确的；对于D中，根据指数函数的图象与性质，若，则，所以是正确的.故选：CD.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性、奇偶性，函数的图象的平移变换，以及指数函数的图象与性质等知识点的应用，属于基础题.3．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞） B．（﹣8，﹣4） C．[﹣8，﹣4] D．（﹣∞，﹣8]【解答】解：∵a+4=−3令3x＝t（t＞0），则−因为(t+4t)≥∴a+4≤﹣4，所以a的范围为（﹣∞，﹣8]故选：D．4．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间上单调递增的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.【解析】对于A选项：指数函数，底数，所以函数在上单调递减；对于B选项：幂函数，，所以幂函数在上单调递减；对于C选项：二次函数，对称轴为，所以二次函数在上单调递减，在上单调递增；对于D选项：对数函数，底数，所以对数函数在上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知，且，则（

）.A．3 B．6 C．12 D．18【答案】B【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.【详解】由得：，由换底公式可得：，则，所以，因为，所以故选：B6．（2023·江苏·统考二模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，令，则，所以函数在上递增，所以，即，即，所以，即，综上，.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.7．（2023·广东湛江·统考一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据指数函数和对数函数的性质，可得：，，，又由，所以，故．又，所以，所以．故选：A．8．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．函数在上单调递增B．存在，使得函数为奇函数C．任意，D．函数有且仅有2个零点【答案】ABC【解析】对于A：，因为，所以，，因此，故，所以在上单调递增，故A正确；对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，B正确；对于C：时，；时，；时，；C正确；对于D：时，，时，，时，，所以只有1个零点，D错误；故选：ABC9．（2023·广东湛江·统考一模）若函数存在两个极值点，且，则______．【答案】【解析】，定义域为，所以，故，；又，所以．又，故，所以，所以．故答案为：10．（2023·广东·校联考模拟预测）曲线与的公共切线的条数为________．【答案】2【解析】设公切线关于两函数图像的切点为，则公切线方程为：，则，注意到，，则由，可得.则公切线条数为方程的根的个数，即函数的零点个数.，令，则，得在，则，使得.则在上单调递减，在上单调递增，故，又注意到，，则，使得，得有2个零点，即公共切线的条数为2.故答案为：211.化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))－eq\f(1,2)－10(eq\r(5)－2)－1＋π0(2)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\f(1,4)b\f(1,2)）4a－\f(1,3)b\f(1,3))(a>0，b>0)(3)eq\r(3,3\f(3,8))－π0；(4)【解析】(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(－2)＋500eq\f(1,2)－eq\f(10（\r(5)＋2）,（\r(5)－2）（\r(5)＋2）)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).(2)原式＝eq\f((a3b2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(2,3)))\s\up6(\f(1,2)),ab2a－\f(1,3)b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝eq\f(a,b).(3原式＝=－1＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－1＝0.(4)原式＝＝eq\f(1,a).12.（2022秋·河南三门峡·高三统考阶段练习）已知函数(，且)是指数函数.（1）求k，b的值；（2）求解不等式.【答案】（1），；（2）答案见解析【解析】（1）因为(，且)是指数函数，所以，，所以，；（2）由（1）得(，且)，①当时，在R上单调递增，则由，可得，解得；②当时，在R上单调递减，则由，可得，解得，综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.13．已知定义在R上的函数在上是增函数．为偶函数，且当时，．（1）求在上的解析式；（2）若函数与的值域相同，求实数m的值；（3）令讨论关于x的方程的实数根的个数．【答案】（1）；（2）；（3）当时，方程有两个实数根；当时，方程仅一个实数根．【分析】（1）利用为偶函数即可求解析式；（2）根据二次函数、指数函数求值域，结合已知即可求m的值；（3）由，分类讨论m确定的零点情况即可；【详解】（1）当时，则，而为偶函数，有．（2）∵函数在上单调递增，∴，且的值域为．当时，，由是偶函数，∴的值域为．由题意知：．令，易知在上单调递增，且；∴．（3）由（2）有，令，①当时，，此时仅有一个零点．②当时，，此时仅有一个零点．③当时，在中，故无零点；在中单调增，而，，∴故此时，使，即仅有一个有，．④当时，在中，零点有，故有两个零点；在中单调增，而，即无零点；综上所述，当时，方程有两个实数根；当时，方程仅一个实数根．【点睛】本题考查了函数，利用函数的奇偶性求解析式，根据二次函数、指数函数确定值域结合已知条件求参数，将方程根的个数问题转化为函数的零点问题，应用分类讨论的方法研究函数的零点；→➍专题训练←题型一指数幂的化简与求值（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】故选：C.（2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________.②＝________.【答案】1102【解析】①原式＝.②原式=.故答案为：1；102（2023·全国·高三专题练习）___________【答案】【解析】原式.故答案为：.题型二指数函数的定义及应用（2022·全国·高三专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【解析】①的系数不是，不是指数函数；②的指数不是自变量，不是指数函数；③是指数函数；④的底数是不是常数，不是指数函数；⑤的指数不是自变量，不是指数函数；⑥是幂函数．故答案为：③（2023·全国·高三专题练习）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是___________.【答案】或【解析】由已知可得，且.又时，，即，所以有，即，解得或.故答案为：或.题型三指数函数的图象问题（2022·全国·高三专题练习）已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，作出直线得到，所以.故选：B题型四指数函数的单调性（2023·全国·高三专题练习）若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．（1，3）D．（2，3）【答案】B【解析】要使函数在R上单调递增，只需，解得：.故选：B（2023·全国·高三专题练习）已知，，则M，N的大小关系为____．【答案】【解析】令，显然是R上的减函数，∴，即.故答案为：.题型五指数函数的奇偶性（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（）A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数D．为偶函数【答案】B【解析】方法一：因为，所以，所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，即为偶函数.方法二：因为，，则，所以为偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数；又，故，，所以，，故为非奇非偶函数.故选：B题型