高二年级上册期末【压轴60题考点】（选修一+选修二）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）（解析版）

高二上学期期末【压轴60题考点专练】

（选修一+选修二）

一、单选题

1.（2022•湖北•鄂州市教学研究室高二期末）已知6，G分别是双曲线CJ-/=l（a>0,b>0）的左、右焦点,

以百鸟为直径的圆与双曲线C有一个交点P,设△Pf；6的面积为S,若（怛£|+|尸居『=12S,则双曲线C

的离心率为（）

A.2B.—C.应D.20

2

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即可计算作答.

【详解】依题意,PF^PF2,令4（-C,0）,F2（C,0）,则有|PK|2+|P6|2=H6|2=4C2,

22

由（|即|+|P玛|）=12S得：|尸"2+|尸5|2+2|尸耳||PF2\=6\PFt\\PF2\,即有|PF\||PF2\=c,

而4/=（|「不-|「居|）2=|尸甲2+|刊讦―2|「耳"居|=2。2,所以e，=0.

a

故选：C

【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关

的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|「用-|尸勾|=2%得到a，C的关系.

2.（2021•天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知双曲线1-£=1S>0）的右焦点到其一条渐近线的

距离等于亚，抛物线丁=2px（p>0）的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线

4：4x-3y+8=0和4：4=-3的距离之和的最小值为（）

11「14_16>21

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】D

【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点厂的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作

答.

【详解】双曲线'-*=1（匕>0）的渐近线法士&y=0,右焦点尸（7^万,0），

依题意，辛士£=近，解得匕=血，因此抛物线的焦点为尸（2,0）,方程为>2=8X，其准线为X=_2,

卜[4x-.3y+8=0消t去X并整「理得:

由y2-6y+16=0,A=62-4xl6<0,即直线4与抛物线丁=8x相离,

过点F作/于点P,交抛物线于点M,过M作用QI/2于点。交直线工=-2于点N,

4x2+8+1卫

则有|“「|+|/。|=|加「|+|仰|+|可0|=|叱|+|板|+1=|五尸|+1=

比2+(-3)25，

在抛物线y2=8x上任取点”，过“作MP//「于点尸，作MQ'//?于点Q',交准线于点M,连M'F,FP',

显然I"尸|+也。|=|〃户'1+1加*'1+1'。|=|/〃1+1"户1+1习尸产以0|,当且仅当点M与点M重合时

取等号，

21

所以抛物线上一动点M到直线卜4x-3y+8=0和/?：》=-3的距离之和的最小值为g.

故选：D

【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利

用抛物线定义转化求解即可.

3.(2022•江苏•苏州中学高二期末)对任意x>0,若不等式方2we*+odnx(a>0)恒成立，则。的取值范围

为()

A.(0,2e]B.(0,e]C.(0,1]D.[l,e]

【答案】B

【分析】将以24/+以111无(4>0)变形为《-〃111《20,设/(x)=《(x>0),利用导数求得了(x"e,

XXX

r=—,(/>e),则，-alnfNO,所以。〈二,QNe)恒成立，构造函数gQ)=7^-,QNe),利用导数求得其最小

xInrInz

值，即可求得答案.

【详解】对任意x>0,若不等式6We"+odnx(。>0)恒成立,

BP-——6z(x-lnx)>0，HP-—tzln—>0,

XXX

设/(x)=父(x>0)，则/(x)=e(X~l)，/⑴=0，

XX

当Ovxvl时,f\x)<0,，(x)在Ovxvl时单调递减,

当x>l时，f'(x)>0,/(X)在X>1时单调递增，

故当x=l时，/*)取得极小值也是最小值，即/(x)2〃l)=e,

☆f=J,(f2e),则f-aln/NO,所以“4」-,(r2e)恒成立，

xIn/

设gQ)=j"2e),.⑴=>0,

Inr(In/)

故g(r)=L，(rNe)是单调递增函数，故g(r)2g(e)=e，

Inf

所以aVe,又因为a>0,

所以。的取值范围为(0，e],

故选：B

【点睛】本题考查了不等式的恒成立成立问题，解答时要注意对不等式进行恰当的变式，从而分离参数，

构造新函数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题解决.

4.(2022•吉林•高二期末)下列命题为真命题的个数是()

@ln3<^ln2;®lnn<J|；③2历<15；④3eln2>40.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题首先可以构造函数/(x)=用，然后通过导数计算出函数/(x)=F的单调性以及最值，然

后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数/(x)=W的单调性即可比较出大小.

【详解】解：构造函数〃力=\土，则/(万)=上詈，

当Ovxve时，>0,x>e时，/z(x)<0,

所以函数“对=—在(0©上递增，在(e,行)上递减，

所以当x=e时“X)取得最大值g,

In3<^ln2«21nx/3<^ln2<=>^^<—,

G2

由百<2<e可得/（g）<〃2）,故①正确;

In%〈喑，由&<6<e,可得f（G）</（五），故②错误;

In2lnV15In4lnV15

2作<15<^V151n2<lnl5<=>——<-7=^O——<—

2V154V15

因为函数/3=平在3”）上递减,

所以〃4）</（岳），故③正确；

因为2夜>e，所以/（20）<〃e）,

日n1n2&Inesn31n>/21m.rr

即---T=—<------>即----j=~<—>则3eln5/^<，

2V2e2V2e

即3eln2<4/，故④错误，

综上所述，有2个正确.

故选：B.

【点睛】本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转

化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函

数思想，是难题.

5.（2022.全国•高二期末）将数列｛2〃-1｝中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括

号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，（1）,（3,5）,

（7,9,11,13）,（15,17,19,21,23,25,27,29）....则以下结论中正确的是（）

A.第10个括号内的第一个数为1025B.2021在第11个括号内

C.前10个括号内一共有1025个数D.第10个括号内的数字之和Se（2?220）

【答案】D

【分析】由第10个括号内的第一个数为数列｛2〃-1｝的第512项，最后一个数为数列｛2"-1｝的第1023项，

进行分析求解即可

【详解】由题意可得，第〃个括号内有2"T个数，

对于A,由题意得前9个括号内共有1+2+2,+…+28=上幺=29-1=511个数，

1-2

所以第10个括号内的第一个数为数列｛2〃-1｝的第512项，所以第10个括号内的第一个数为

2x512-1=1023,所以A错误，

i_710

对于C,前10个括号内共有1+2+2"+…+29=-----=21°-1=1023个数，所以C错误,

1-2

对于B,令2”-1=2021,得”=1011,所以2021为数列｛2,-1｝的第1011项，由AC选项的分析可得2021

在第10个括号内，所以B错误，

对于D,因为第10个括号内的第一个数为2x512-1=1023,最后一个数为2*1023-1=2045,所以第10

个括号内的数字之和为S=29（1023+2045）=义匕34e（2|9,220），所以D正确，

2

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查数列的综合应用，解题的关键是由题意确定出第10个括号内第一个数和最

后一个数分别对应数列｛2〃-1｝的哪一项，考查分析问题的能力，属于较难题

6.（2022•上海市控江中学高二期末）已知〃（。,3）是抛物线C：丁=2/5>0）上一点，且位于第一象限，

点M到抛物线C的焦点尸的距离为4,过点P（4,2）向抛物线C作两条切线，切点分别为A,B,贝=

（）

A.-1B.1C.16D.-12

【答案】B

【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设4（不，3）,8（々,必），然后求出嘉.晶并化简，然后

求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.

【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线y=-5的距离为4,则3+]=4n0=2,即抛

物线C:/=4y,则尸（0,1）.

设A（%,y）,8（孙力），则

—>—>—>—>啥-蛔+小1

AF-BF=E4-FB=(X,,y,-1)•(x2,y2-1)=芭々-+%)+1=XW

厘-扣+/+|中

v2111

由丫=丁ny'=jx,则怎/>=5再，%<=5々，所以

4N乙乙

!”：y_y=

x2x-2y+2y2-x1=0=>x2x-2y-2y2=0,

X-4-2-2-2yl=0_4x,-2y,-4=0

因为点P（4,2）在这两条直线上，所以Xj-4-2-2-2y,=0^4,_2；-4=0'于是点4方都在直线

4x-2y-4=0上，即&,:y=2x-2,代入抛物线方程并化简得：x2-8x+8=O,由根与系数的关系可知

x,+x2=XjX2=8.

TT炉]Q

于是A月BF=--------X82+-X8+1=I.

1642

故选：B.

【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出&.而，再判断题目到底需要什么，另外本题求解直线AB的

方法需要熟练掌握.

7.（2022.全国•高二期末）已知函数=•若数列｛叫的前〃项和为S,，且满足5,=〃。,用），4=”“，

则4的最大值为（）

A.9B.12C.20D.—

4

【答案】C

2

【分析】先得到q.吟及递推公式（一+4,）（%-《「2）=0,要想为最大，则分两种情况，见为负数

且最小或。2为正数且最大，进而求出最大值.

【详解】4=2-£印①,当"=1时，4=]■若，当〃22时,S“T所以①一②得：

%=；a；+i,整理得：（。"+1+4,）（4用一。“一2）=0,所以或",=2,

当。，…，4o是公差为2的等差数列,且知=-即>时，%最小,可最大,此时4（）=%+8x2=-a“=-4,所

以（4）2„=一8,此时4=20；

当为=-%且％，…，即是公差为2的等差数列时，的最大，%最大，此时即=。3+8、2=-4+16=%,所以

（%）max=8,此时q=12

综上：%的最大值为20

故选：C

【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进

行求解.

二、多选题

8.（2022•江苏镇江•高二期末）已知圆C:（x-3）2+（y-4）2=l和两点A（-利,1）,8（见-1）（加>0）,若圆C上存在

点P,使得NAP3=90。，则巾可能的取值为（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】CD

【分析】先求动点P的轨迹，再利用圆与圆的位置关系可求机的取值范围，从而可得正确的选项.

【详解】设尸（x，N），则AP=（x+〃?,y-l）,3P=（x-m,y+l）,

因为NAP3=90。，故".BP=0即*2+；/=加2+],

故尸的轨迹为圆。（原点为圆心，半径为J〃，+i,不含AB两点），

因为AB分别在第二象限和第四象限，而圆C在第一象限，

又P在圆C:（x-3）2+（y-4f=l上，故圆C与圆。有公共点，

所以y/m2+\—141cq<1+\Jm2+1即1病+1—1<5<1+\/m2+1，

解得<m<\/26,

故选：CD.

【点睛】思路点睛：直线与圆中的隐圆问题，大多需要考虑动点的轨迹（常为圆），从而把动点的存在性问

题归结圆与圆的位置关系问题.

9.（2022•广东深圳•高二期末）已知曲线C的方程为尸（x,y）=0,集合T={（x,y）|F（x,y）=0},若对于任意

的（％，X）eT,都存在（々,当）门，使得玉成立，则称曲线C为Z曲线.下列方程所表示的曲线中，

是Z曲线的有（）

A.y+^-=lB.x2-y2=\C.y2=2xD.|y|=|x|+l

【答案】AC

【分析】问题转化为P（4M）eT,存在。（々,以）€7,使得OPLOQ,根据这一条件逐一判断即可.

【详解】A：[+]=1的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点

P（xt,yt）eT,存在着点Q（玄，”）使得。尸，。。，所以满足；

B：产=1的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1,所以渐近线将平面分为四个夹角为90。的区域,

当P,Q在双曲线同一支上，此时/尸。。＜90。，当P,。不在双曲线同一支上，此时/尸。。＞90。，所以

NPOQ*90°,OP，不满足；

C：V=2x的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，设P为抛物线上一点，过。点作OP的垂线,

则垂线一定与抛物线交于。点，所以ZPOQ=90。,，所以OPLOQ

D：取P（0,1）,若OPLOQ,则有力=0显然不成立，所以此时OP_LOQ不成立，

故选：AC

【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键.

10.（2022•河北沧州•高二期末）如图，在正四棱柱A8CO-4SGA中，DC=DA=2,DQ=4,点、E在CQ

上，且CE=1.则下列说法正确的是（）

B.异面直线A。与所成角的正切值为2

C.AC_L平面

D.直线BE与平面所成角的正弦值为名叵

【答案】ACD

【分析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线线垂直、线面垂直的向量判断方法，线线角和线面

角的向量求法依次判断各个选项即可.

【详解】以。为坐标原点，D4,OC,£>〃为x，，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则A(2,0,4),B,(2,2,4),5(2,2,0),C(0,2,0),£>(0,0,0),£(0,2,1),

对于A,4。=(一2,0,-4),8£=(-2,0,1),.•.A»3E=0，A正确;

对于B,AZ)=(-2,0,T),B4=(0,0,4),设异面直线4。与同B所成角为。，

162石1

...3。=卜』_^=卷,.•.tane=B错误；

码2j5x452

,/、.、/、A,CDE=0

对于C,AC=(_2,2,Y),DE=(0,2,1),OB=(2,2,0),OB—。，

[\CVDE

又DEcDB=D,OE,OBu平面..AC，平面。BE,C正确;

[A,C±DB

对于D,AO=(—2,0,T),DE=(0,2,1),设平面AOE的法向量”=(x,y,z),

\Dn=-2x-4z=0

令y=l,则z=—2,x=4,.,.n=(4,l,-2),

DEn=2y+z=0

।I\BE-n\io2\f\05

又BE=V(-2,0,71),「.1cos(加1

\BE\U75X72121

即直线8E与平面AOE所成角的正弦值为名叵，D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：利用空间向量法求解直线AB与平面a所成角的基本步骤为：

（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；

\AB-4

（2）求得平面。的法向量〃，设所求角为凡则sin®=^^.

HH

（3）根据Oe0,-可求得线面所成角的大小.

11.（2022•福建・泉州鲤城北大培文学校高二期末）若圆C,：V+y2=l与圆C”（“短+（丫-。）2=1的公共

弦AB的长为1,则下列结论正确的有（）

A.a2+b2=1

B.直线43的方程为2ar+2b-3=0

C.A3中点的轨迹方程为V+y2=；

4

D.圆G与圆C?公共部分的面积为2一走

32

【答案】BC

【分析】两圆方程相减求出直线48的方程，进而根据弦长求得片+分=3,即可判断AB选项；然后由圆

的性质可知直线CC垂直平分线段A8,进而可得（0,0）到直线2ar+2勿-/-从=0的距离即为48中点

与点G的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C选项；对应扇形的面积减去三角形的面积

乘以2即可求出圆G与圆C?公共部分的面积，即可判断D选项.

【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为/+从一2如-2制=0,g|J2ax+2by-a2-h2=0,

因为圆G的圆心为C1（0,0）,半径为1,且公共弦AB的长为1,贝IJC（0,0）至IJ直线2ar+物，-6—〃=0的距

、ha2+b26

离为券，所以桃2+及）=不解得a?+〃=3,

所以直线A8的方程为2奴+2勿-3=0,故A错误，B正确；

1

由圆的性质可知直线C,C2垂直平分线段A3,所以C|（0,0）到直线lax+lby-a=0的距离即为AS中点

与点C1的距离，设AB中点坐标为（x,y）,因此J（x-O）2+（y-O）2=#,即/+/=],故c正确；

因为A8=GA=G8=1,所以N3CA=1,即圆G中弧A3所对的圆心角为1,所以扇形的面积为

J_x;rxl2=fL'三角形CAB的面积为」、1义1义4=正，所以圆G与圆G公共部分的面积为

2死6

2x住一夕|=g-£故D错误.

(64J32

故选：BC.

【点睛】圆的弦长的常用求法：

(1)几何法：求圆的半径为r,弦心距为d,弦长为/,贝打=2折二T'；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：=-xj

12.(2022.广东深圳.高二期末)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成

的，纯音的数学函数为＞=Asin©x,其中A影响音的响度和音长，。影响音的频率，平时我们听到的音乐都

是有许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是〃x)=sinx+!sin2x+?sin3x+--+1sinnx+--^

23n

力(x)=t)sin丘则下列说法正确的有()

k=lk

A.力(x)是奇函数

B.，(x)是周期函数

C.y=△(x)的最大值为g

rrrr

D.人(x)在上单调递增

【答案】ABD

【分析】由奇偶性定义可知A正确；由＜(%+24)=力(可知B正确；利用导数可求得力(x)在[0,句上的值

域，结合奇偶性和周期性可确定力(x)最大值，知C错误；求导后可证得4(x)20,由此可知D正确.

【详解】对于A,£(-x)=fJsin(-3=-f]sinh=-£,(x),."(x)是奇函数，A正确；

太=1k*=ik

»1n1

对于B,，(x+2乃)=Z7sin(丘+2万)=Z£sinfcr=/；(x),二2乃是/.(x)的一个周期，B正确；

*=ikJt=ik

2

对于C,.f2(x)=sin—sin2x,.\^(x)=cosx+cos2x=2cosx+cosx-l=(2cosx-l)(cosx+l)；

当xe[O,句时,cosx+120,则当xe吟）时，力'（力＞。；当小信》时,月（小0；

.•/（》）在[。,£|上单调递增，在（半万]上单调递减，

又人（。）=力（万）=0,f2

则当xe[0,句时，04人（力4亭；

力（x）为奇函数，，当xe[-7,0]时，-力（x）40;

又力（x）周期为2万，.•「竽4£（力4乎，即力（x）最大值为乎，C错误;

对于D,「•力’(X)=cosX+cos2x+cos3x；

,7C7T._37r34

当时，2xe3xe

44T,T

,近i

cos2xe[0,l],cos3xe----，]，・"'(x)2

2

jrjr

.•/（x）在上单调递增，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数奇偶性、周期性、单调性和最值的求法；求解关键是能够充分理

解所给函数的表达式，灵活应用导数求解函数在一个周期内的单调区间和值域，通过函数的周期性推导得

到结果.

13.（2022・全国•高二期末）已知S“是数列｛4｝的前〃项和，若4=1,”,产0（〃eN*）,〃以“=3S“-1（〃eN）,

则下列结论正确的是（）

A.七=2B.数列｛4｝为等差数列

C.an+an+i=2an+2D.$。=3。0

【答案】ACD

【分析】根据给定条件探求出数列｛4｝的特性，再逐项分析、计算判断作答.

【详解】〃wN*,《4+1=35“一1,当〃22时，a"”=3S,i-1,两式相减得：an(an+l-a„_l)=3a,I,而30,

则4,+|-凡-|=3,

当〃=1时，=3S[-1=3q-1=2,则4=2,A正确;

因4=q+3=4,%-4=1，/-。2=2,即%-“2，数列｛4｝不是等差数列，B不正确；

因“eN",4,+2-a”=3,则%+4-%+2=3,即有。“+4一%+2=。“+2-。“，”“+”田=2q+2成立，C正确；

由C选项的判断信息知，数列｛%｝的奇数项是以4=1为首项，3为公差的等差数列，

数列｛q｝的偶数项是以外=2为首项，3为公差的等差数列，

S2（）=（%+。3++49）+（%+。4++。2。）=（1。。1+45x3）+（10«2+45x3）=300,D正确.

故选：ACD

【点睛】易错点睛：等差数列定义是判断数列是等差数列的重要依据，但易漏掉定义中的“从第2项起”与“同

一个常数”的条件.

14.（2022•浙江•温州中学高二期末）如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的

动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A.存在点〃，使得和“，平面4Q8

B.存在点〃，使得直线AM与直线4c所成的角为45

C.存在点M,使得三棱锥A-CQM的体积为9

O

D.不存在点〃，使得£>〃，其中a为二面角M-AA-8的大小，4为直线与直线AB所成的角

【答案】ACD

【分析】以点B为坐标原点，BC、BA、B瓦所在直线分别为X、》、z轴建立空间直角坐标系，利用空间

向量法可判断各选项的正误.

【详解】以点8为坐标原点，BC.BA,B与所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标

系,

则4(0,1,0)、8(0,0,0)、C(l,0,0),0(1,1,0)、A(0，U)、4(0,0,1)、

c,(1,0,1),<(,1,1),设即点其中04Y1.

对于A选项，假设存在点M,使得GM,平面AOB,

应)=(1,1,0),网=(0,1,1),则忱:d：,解得T，

।C|/V7,D/\.=zr-i=uz

故当点M为线段B2的中点时，q/J.平面4/力，A对；

对于B选项，AM4c=(1,0,-1),

由已知可得卜酬<AM,BG>|=|瑞|晨卜。则AMIB©,B错；

对于C选项，5.改=gxF=；，点加到平面8Z)C的距离为IT,

则％-G&W=〃-CQ9彳，解得r=0,c对；

对于D选项，AA=(0,0,1),设平面的用的法向量为川=(x,y,z),

m-AA=z=0,、

则｛，.彳/八，取X=1T,可得m=(l-f/,0),

tn-AM=/x+(f—l)y+/z=0'

易知平面的一个法向量为，=(1,0,0),

I।"〃|1-?

由图可得cosa=|cos<〃>|=F|丁!产--,

11)

H-HJ(1T)2+“

AM=（3，1）,BA=（0,1,0）,

因为0<J*+（_r）24#+2（IH,l-re[0,l],

JTTT

Qa、0,-,且余弦函数y=cosx在0,-上单调递减，则D对.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件,

解对应的三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与

平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.

15.（2022•福建龙岩・高二期末）若正方体4BCD-A蜴GA的棱长为1，S.AP^niAD+nAA,,其中

zne[0,l],ne[0,l],则下列结论正确的是（）

A.当〃?=；时，三棱锥尸-8。用的体积为定值

B.当〃=g时，三棱锥P-BO4的体积为定值

C.当加+〃=1时，P4+P3的最小值为二十3

2

D.若/PR8=NBQ超，点尸的轨迹为一段圆弧

【答案】AC

【分析】当机=；时，可得点P的轨迹，根据线面平行的判定定理及性质，可得P到平面用的距离不变,

即可判断A的正误；当”=；时，可得点尸的轨迹，利用反证法可证，P到平面用的距离在变化，即可

判断B的正误；当M+〃=1时，可得A、P、。三点共线，利用翻折法，可判断C的正误；如图建系，求得

各点坐标，分别求得NPR8和/与R8的余弦值，列出方程，计算分析，可判断D的正误，即可得答案.

>

【详解】因为A/=mA£）+〃A41,其中,

所以点P在平面AORA内运动，

对于A：取4。中点E、AA中点F,连接EF,

所以EF//4A//8与，

因为EF<Z平面BDB、,BB、u平面BDB、,

所以E尸〃平面8。四，

11

当〃7=一时，则AP=-4O+“A4,,

22

所以点P在线段EF上运动，

因为跳7/平面BOB-

所以无论点P在EF任何位置，尸到平面BOB1的距离不变，即高不变,

所以三棱锥尸-B。片的体积为定值，故A正确：

对于B：取力A中点G,。口中点H,连接G",

当〃=J■时，AP=mAD+^AA,,

所以点P在GH上运动，

假设GH//平面BDB],

又GA//BB、,G4O平面8。片，BB|U平面Big,

所以GA//平面

因为64门6〃=6,64,64<=平面6印》，

所以平面GHZM//平面8£>与，与已知矛盾，故假设不成立,

所以G4不平行平面8。片,

所以P在G”上运动时，P到平面BD用的距离在变化,

所以三棱锥尸-8。片的体积不是定值，故B错误;

对于C：连接A。，BD,当帆+〃=1时，可得A、P、。三点共线,

将；明。沿A,。翻折至与平面ABD共面，如下图所示

连接AB,当P为AB与AQ交点时一，PA+PB最小,即为A8,

因为AB,A,D,BD均为面对角线，

所以A3=AO=8O=0，即,AB。为等边三角形，

又幺&。=90°,AA=4C=1,

所以NAOB=NAAB=105°,ADB^AAtB,

所以ZABZ)=30。

在•做中,由正弦定理得鼻AD

sinZABD

>/2+>/6

所以AB=-----------xsin105°=2(sin450cos60。+cos45。sin60°)=故C正确;

sin30°2

D,G

对于D：分别以04、DC、为x,y,z轴正方向建系，如图所示,

则8(1,1,0),2(0,0,1),设尸(x,0,z),

所以。尸=(x,0,z-1),AB=(1,1,—1),

,.„D、P•D、Bx-z+1

所以8S〃Dr*=E=kE

因为BB11平面agCQi，BRu平面A4GA,

所以

又B、D1=M,BD[=6,

所以cosN8QB=^=4,

DL)X3

x-z+176

所以Jf+(Z-l)2/—.整理得d+z2+2xz-2x-2z+l=0,

所以(x+z-l)2=(),即x+z—1=0,XG[0,1],ZG[0,1]

故选：AC

【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行判定与性质，向量共线、数量积求夹角等知识，综合性较强，难

度较大，考查学生分析理解，计算求值的能力，属难题.

16.(2022•重庆市实验中学高二期末)已知直线/：履—y-Z+l=0与圆C：(x-Z)?+(y+2p=16相交于A,

B两点，。为坐标原点，下列说法正确的是()

A.|4同的最小值为2指B.若圆C关于直线/对称，则上=3

C.若ZACB=2NCAB,贝1」％=1或左=-‘D.若4,B,C,。四点共圆，则忆=一，

73

【答案】ACD

【分析】判断出直线/过定点结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识

对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】直线/：y=A(xT)+l过点。(I4)，

0C:(x-2)2+(y+2)2=16,B|Jx2+y2-4x+4>'-8=0@,

圆心为C(2,-2),半径为r=4,

由于(1一2『+(1+2『<16,所以。在圆C内.[8|=1(2-1)2+(-2-1)2=M，

所以|A或山=2,以-(而『=2遥,此时ABYCD,所以A选项正确.

若圆C关于直线/对称，则直线/过C,。两点，斜率为弃?=-3,所以B选项错误.

2-1

7T

设Z4a=2NC4B=2e,则。+。+2夕=元,，=:，此时三角形A8C是等腰直角三角形，

C到直线48的距离为4x变=2&,即憎

2收+1

解得左=1或%=-；，所以C选项正确.

对于D选项，若A,反C,O四点共圆，设此圆为圆E,圆E的圆心为E(a,b),

O，C的中点为(1,-1),k比=T，

所以OC的垂直平分线为/：y+i=xTy=x-2,则》=“-2②，

圆E的方程为(x-a)2+(y-4=a2+b2,

整理得》2+八2以-2b，=（^,

直线43是圆C和圆E的交线，

由①-③并整理得43：（4-加卜-（沙+4）），+8=0,

将0（1,1）代入上式得（4-加）-（加+4）+8=0,a+b-4=0④，

由②④解得a=3,。=1,

所以直线A8即直线/的斜率为==D选项正确.

2A+463

故选：ACD

【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通

过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.

17.（2022•山东德州♦高二期末）如图，在棱长为1的正方体A8CO-A4CQ中，M为棱的中点，P为

线段BC上的动点（包含8,C两个端点），则下列说法正确的是（）.

9

平面MBG截正方体A2C3-4耳GA所得截面图形的面积为:

O

存在一点尸，使得直线AA与直线OP的公垂线段长为运

直线CP与平面MBG所成角的最小值为当

D.当P从8移动到G的过程中，直线。尸与直线MB的夹角由小变大

【答案】ABD

【分析】取棱AR中点，作出截面并求其面积判断A；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断B,C,

D作答.

【详解】对于A,取棱AR中点E,连接用旦GEAA，如图,

%

Cl

正方体A8CQ—A8cA中，对角面A8G。是矩形，M为棱AA的中点，则ME//AR//8G，

ME=-BC.=—,BM=GE=叵,等腰梯形是平面MBG截正方体ABC。-A4G。所得截面,

222

等腰梯形BC,EM的高/,=麻;匹=芈，SBC<EM=ME；B3./?=，，

V242o

因此，平面MBG截正方体A88-AgGR所得截面图形的面积为亮9，A正确；

8

以点。为原点，射线D4,OC,。。分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图,

D(0,0,0),A(l,0,0),B(l,1,0),C,(0,1,1),4(1,0,1),M(1,0,1),e=(0,0,1),=(-1,0,1),

因尸为线段BG上的动点，设加=出弓=(一「,0,力，0</<1,点P(l-f,l,r),DP=(l-t,l,t),

对于B,令与例、OP都垂直的向量为〃=(%,y,Z]),则(-不/_7_，

Ift,HAt3sBnV

InDP=(1—t)xt+Vi+tz,=0

一」\DA-n\12y/5

令X=l,得〃=(lj_l,0),D4=(l,0,0),异面直线A%与直线OP的距离d=c-=~y^=^^=-^-,

\n\^/l2+(r-l)25

而04Y1,解得f=g,点P为BQ的中点，即存在一点P,使得直线A4与直线OP的公垂线段长为半,

B正确；

Im-BM=—y+—z=0

BA/=(0,-1,-),令平面Mg的法向量为机=(9,%*2)，则o2o2,

[m-BC]=-x2+z2=0

令%=1,得m=(2』,2),令直线QP与平面MBG所成角为巴

则SEC〉1=氤丽落石07rM。/后当，显然°最小值

TT

为二，c不正确；

4

对于D,令直线OP与直线MB的夹角为a,则cosa=|cos〈BM,DP)।J夕”•OP|

|BM||DP\

.1,___________,_____________

2

—__M--------=2T=h/-4f+4=J_j_(4—,3/；,

好J(1T)2+］+*"10(/T+I)V10r-t+1v10r-t+1

当，=0时，cosa=巫，当fe(O,l］时，cosa=记(4-11)对fe(O,l］递减,

5Y?-7+1

即cosa随r的增大而减小，而锐角a随cosa的增大而递减，

因此，当户从8移动到G的过程中，直线。尸与直线MB的夹角由小变大，D正确.

故选：ABD

【点睛】思路点睛：涉及几何体中动点按规律移动问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算

解决.

18