高等数学基本公式、概念和方法

高等数学基本公式、概念和方法

—.函数

1.函数定义域由以下几点确定

(1)y=」7；/(幻力。

/(幻

(2)丁=吆丽;/(x)NO(其中n为正整数)

(3)y=loga/(x)：/(x)>0。

y=arcsin<f(x)<1

(4)

y=arccos<f(x)<1

(5)函数代数和的定义域，取其定义域的交集.

(6)对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定.

2.判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的.

(1)若/(-X)=/(x),/(x)是偶函数，若/(-%)=-/(x),/(x)是奇函数.

(2)若y=/(x)的图象关于y轴对称，则函数是偶函数.如y=/..y=cos尤等。

若丁=/(x)的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数.如y=x..>=/..y=sinx

3.将函数分解成几个简单函数的合成.

由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系.函数与常数

的四则运算，不必另设一层关系.

极限与连续

1.主要概念和计算方法：

(1).lim/(x)=A0nmf(x)=limf(x)=A(必考)

XT*。X->X~X->X+

(2).若lim/(x)=O(极限过程不限)，则当时/(x)为无穷小量。(必考)

(3).若lim/(x)=/(/)，则函数在与处是连续的。(必考)

即(1)函数值存在、(2)极限存在、(3)极限值和函数值相等。

若上述三条至少一条不满足，则与是函数的间段点。

(4).间断点的分类：设/是函数的间断点

若左、右极限均存在，则X。称为第一类间断点。(要知道分类)

若左、右极限至少有一个是无穷大，则X。称为第二类间断点。(了解即可)

(5).重要公式：条件lime(x)=O(极限过程不限)(必考)

结论《1》11mmme(x)=底《2》•[1+夕(切丽=e

<P(x)

*常用等价无穷小公式：(当XT0时：)(必考)

1、x〜sinx~sin_1x~tanx〜tan_1x~ex—1~ln(l+x)

2、X2+X~X

3、1—COSX~-1X'2

2

4、(1+X)。—1~C(X

5、ax—l~xlna

6、log(l+x)~-^-x

ailld

mm

7、(1+ax)"n——ax

8、J(1+x)-J(1_X)~X

*重要极限：limx-8(1+：)=e

1

limx_0(l+x)x=e

]1皿_8(1-：)=;

11

linix-oQ-x)x=-

limi1

*公式：cosa—cosp=—2sin竺^•sin~^

r22

nn

(sin(px))=pnsin(px+-K)

(烹)n=(-l)nn!•an(ax+b)-(n+1)

2.求极限的方法：先判断极限类型(依据基本初等函数图象和函数值)

(1)定式：直接得结论(即常数C、不存在：无穷大、震荡、左极限不等于右极限)。

(2)不定式：(A)°型：消去零因子或用公式《1》。

0

(B)S型：约去8因子，使之变成定式。

00

(C)I00型：用公式《2》。

(D)0・8型：取简单的翻到分母上，转化成《A》或《B》。

(E)8-oo型：通分或有理化，使之转化成其它类型。

注：《A》和《B》型也可以用第四章中“罗必达”法则求。但要满足条件。

三.导数(必考)

(-)基本概念1

，也可以记作丁'(%)**=与。

1.导数值：f'(x0)=lim"幻二

x-^*0XX。dx

2.导数的几何意义：/'(%)就是曲线y=/(x)在点(Xo，y0)处切线的斜率k,其切线的方程是:

-i

y-典=r(xo)(x-xo)，法线方程:(Xf)。

ra。)

3.函数在一点处可导、连续、有极限、有定义的关系(见关系图)。

(-).导数基本公式：(必考)

1.(c)'=02。(xa)'=caa-'3。(ax)'=ax]na4。(ex)'=ex5。(In^)^-

6.(sinx)'=cosx7«(cosx)'=-sinx8。(tanx)'=sec2x9。(cotx)1=-esc2x

]-11

10.(arcsinx\=,Ho(arccosx)r=.12。(arctaax)'=-------

7i-%2-%2]+x

-1

13.(arccolxY=-------

l+x~

(三)微分法(设U和V都是X的函数)

1.用定义求导数或导函数。

2.(u±v)f-u±v

3.(〃n)'=/u+〃M；(cu\=cu

4.(与=上二丝

VV

5.设复合函数y=/(〃),〃二°(x),则V=

6.设y=/（x）由隐函数/（x.y）=0确定，则y'=—工，也可以直接对方程求导数。

尸,

7.对于单项式可以用取对数法求导数。对于事指函数必须用取对数法求导数。

8.设参数方程4仁小，’嗡

9.微分：dy-y'dx

io.反函数的导数：y'x=-,

尤,

附：函数在一点处几个概念之间的关系图

有定义（函数值存在）

有极限

连续（极限值等于函数值）

可导（可微）

四.中值定理与导数应用

1.拉格朗日中值定理:

条件：函数/（%）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导

结论：至少存在一点4e5力）使/"C）=

b-a

罗比达法则lim：=lim三（a‘、b'是a、b的导数）（必考！）

bb/

无穷小量等价替换和罗比达法则只能在乘法中用，其中罗比达法则只有当

因式极限为零或者无穷的时候用

罗比达法则未定型式的变换：（变成£或者?的形式）

0-oo=0--=-

oo

110-0

00——00=----------=--------

000-0

go_e>ino=e°，8

000=e04n00=e0o°

通过这些变换可以使更多代数式实用罗比达法则

3.单调性：若y=/(x)在(a,b)内/⑶>0=/(x)在(a,b)内单调递增。

若丁=/(幻在(a,b)内f\x)<0=>/(x)在(a,b)内单调递减。

a)极值存在的必要条件：若y=/(x)在/处可导且取极值=>/'(%)=0(与为驻点)

b)极值存在的充分条件：设函数在a点连续，则：

在a点左右函数的导数由正变负=a点为函数的极大值点。

在a点左右函数的导数由负变正=a点为函数的极小值点。

c)判断曲线凹凸的方法：

若在(a,b)内/"(x)>0,则曲线y=/(x)在(a,b)内上凹。如y=/...y=e"等。

若在(a,b)内/*(x)<0,则曲线y=/(x)在(a,b)内下凹。如y二工…丁二心》等。

4.曲线拐点的求法：

设a为函数y=/(x)的连续点，若函数y=/(x)在a点处二阶导数变号，则曲线上的点

(a,f(a))为曲线的拐点。

5.求渐近线的方法：(必考)

若lim/(x)=8,则x=a为曲线y=/(幻的铅直渐近线。

x->a

若lim/(x)=h,则y=b为曲线y=/(x)的水平渐近线。

极值应用：

画图、设变量x,并将其余变量用x表示。

建立函数关系，并写出定义域。

求函数的一阶导数，找出驻点。

说明驻点是最值点的理由，，并回答其它问题。

五.不定积分

1.原函数：在某区间内，若在任一点处均有F(x)=/(x),则称F(x)是/(x)的一个原函数。

2.若/(x)有原函数F(x),则F(x)+C表示全体原函数，且任意两个原函数仅相差一个常数。

3.若/(x)有原函数F(x),则/*)的不定积分可表示为J7(x)必:=F(x)+C。

4.不定积分的几何意义

jf(x)dx=F(x)+C表示在X点处切线斜率均为f(x)的一族曲线。

5.基本积分公式(必考)

(1)\xadx=-^xa+]+C.(a^-1)(2)J-tZx=ln|x|+C

(3)J。，公=^—优+C.(a>0,。w1)(4)jexcbc=ex+C

(5)Jsinxdx--cosx+C(6)Jcosxdx-sinC

(7)=tanx+C(8)Jesc?xdx=-cotx+C

(9)[tdx=arcsin—4-C(10)[-...-dx=—arctan—4-C

J22a

yja-x"+炉aa

(11)jsecx6&=ln|sec^+tan^+C(12)Jcscx心=ln|cscx-cotx|+C

(13)f—~T-dx=-In—―-+C(14)f/1^Zx=lnx+Jx2±〃2+C

Jx2-a22ax+aJy1x2±a2

6.积分性质

(1)Jkf(x)dx=f{x}dx⑵J[/(%)±g{x)]dx=Jf{x)dx±Jg(x)dx

⑶[Jf(x)dx]'=/(%)(4)Jf'(x)dx=/(x)+C

7.计算方法

(1)直接积分法：先对被积函数进行化简、变形，应用性质，再直接用公式。(必考)

(2)第一换元法：对简单的题目用凑微分法

一般地可以用代换公=4期(必考•)

设〃=。(幻的导数连续，则J/S(x)]“(x)^=J7(〃)d”。(必考)

(3)第二换元法：主要是消去被积函数中的Jx2±q2,Ja2—%2等因子,见P286。(不考)

(4)分部积分法：Juv'dx-uv-j〃,办或judv=-jvdu»要用算式。(必考)

选U的顺序：反、对、嘉、指、三。

(5)简单的有理函数积分：拆项法、大除法和待定系数法。

六.定积分

1.定积分特点：

(1)定积分是一个数，与积分变量无关。

(2)被积函数连续是可积的充分条件。

(3)被积函数有界是可积的必要条件。

2.定积分的几何意义

b

(1)设/(x)NO,贝ijJ/(x)公表示由曲线y=/(x)直线y=O;x=a;x=b所围成的曲边

a

梯形面积。

b

(2)设/(x)«0,则］7(x)dx表示由曲线y=/(x)直线y=O;x=a;x=b所围成的曲边

a

梯形的负面积。

h

(3)若y=/(x)的符号不定，则J/(x)公表示面积的代数和。由此得到对称区间上的

奇函数积分为0,即J/(x)ax=0,其中函数/(x)是奇函数。

3.主要性质

bb

(1)jkf(x)dx=kJf(x)dx。

bbb

(2)j［/(x)±g^dx=jf(x)dx±jg(x)dx.

bcb

(3)Jf(x)dx=1f(x)dx+Jf(x)dxo

(p(x)

4.变上限定积分的求导法：［Jf(t)dtY=f［(p(x)］(p\x)„

a

5.牛顿―莱布尼兹公式

条件：设y=/(x)在区间［a,b］上连续，F(x)是/(x)的一个原函数

h

结论：jf(x)dx=F(b)-F(a)

a

+cob

6.广义积分设/(x)在区间［a,+8)上连续，曲b>a,贝ijJf(x)%c=J吗］7(x)dx

aa

在区间(一8,b)上类似定义。

7.几个结论

abbab

f{x}dx=ojOdx=0jf(x)dx=-j/(x)dxjkdx=k(b-a)

aaaba

aa0

设/(x)是偶函数：Jf(x)公=2jf(x)dx^2^f(x)dx

-a0-a

a

设/(x)是奇函数：J/(x)公=0。

-a

8.求定积分的方法

（1）利用几何意义（画出对应的图形）。

（2）直接用牛顿―莱布尼兹公式（结合性质和几个结论）。

（3）先求对应的不定积分，在用牛顿-莱布尼兹公式（注意函数的连续性）。

（4）用定积分的换元法和分部法（换元必须换限）。

不定积分表（基本积分）

8.1=J十C

L+l

8.2缶8加^TT+C

8.3Inu+C

du1u

8.4=—arctan—+C

a2+u2aa

du1u-R/

8.5-------+C

乜十Q

du1,u+a-

8.6—In-------+C

3+a)b-aM十i?

du

8.7=arcsin----FC

a

8.8=e"十。

8.9=+C

Ina

8.10/sinudu=-cosu+C

J

8.11/cosudu=sinu+C

J

!■

8.12/tanudu=-Incosu+C

8.13/cotudu=Insinu+C

du

8.14Isec"ildu----=tanu+C

r.r»fz

du

8.15Iesc'udii=―—―=—cotu+C

sin为

8.16secudu=I""=In(secu+tan乜)十C=Intan十二)十C

./cosu24

/du、U

8.17escudu=/-....=In(escu-cotu)+C=Intan+C

Jsmu2

8.18Isecutanudu=secu+C

J

8.19ticotudu=—escu+C

du1

8.20-=—arcsec-----FC

2aa

9.定积分应用

(1)求平面图形的面积

先画出这块面积，用阴影表示出。

用定积分表示面积，再求出其值。

(2)求平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积

b

绕x轴：v=^|y2dxo绕y轴：v=71^x'dy

a

七.微分方程。

可分离变量：半=/(x)g(y)=>

1.

ax

一阶线性的：v+P(x)y=g(x)=>y=e4(x)e」pMdx

2.dx+C]

附录1：等价写法

几种等价写法

i-

—=x-1…•…^x=xn.In"x=(Inx)n..sin"x-(sinx)M.

xa

log^=ln%…1-gx…•y=『(、)=%=/(x)

X

附录2：公式

一、乘法与因式分解公式

1.1。"一k=（。一6）（。十6）

1.2°：土6’=（。土b）（a2干ab+b

13qC_y_（a_6）（。咋一i十一切十《用一%2十…十帅小_2+6门一Jm为正整数）

〔（a十切3~］十0~26_°吁3户十…+dyT_y_i）

s为偶数）

1.4Q〃+b〃=（a+b）（"i_an-2b+cT3b?------abn-2+bn-l）（〃为奇数）

二、三角不等式

2.1|a+6|<|a|+\b\

2.2|a-d|<|a|+\b\

2.3|a->hl-\b\

2.4|a|

2.6l^l<b^-b<a<b

三、一元二次方程。工,+6工+，=（的解

—b+—4GC—b—2—4ac

3.1XI=-------工--------X2=---------------

2以2”

3.2（韦达定理）根与系数的关系:

b

工1+工2=-------，X1X2=—

n,n,

>0万桂自柏异一矢恨，

2

3.3判别式：6-4aJ=0方程有相等二实根，

,<0方程有共辗复数根.

四、某些数列的前n项和

4.11+2+3+…+”=")

4.21十3十5十…十(2加-1)=加"

4.32+4+6H----F(2力=+1)

2222n(n+12n+1)

4.4l+2+3+...+n=^

6

2

AH1222K2/0n2^(4n-1)

4.51+3+5+,•,+(2n-1)=---------

2

/Ai3,n3.q3..3+I)

4.61+2十3+,,•+n=----------

4

4.7l5+33+53+•1•+(2n—l)3=n2(2n2—1)

n(n+n+2)

4.812+2.3+...+n(n+l)=y.

五、二项式展开公式

5.1(°十6)e=G十.*男十吗』力点2十史二孚二2。*始十…十

十曲二上处二山2a.铲+…十y

六、三角函数公式

1两角和公式

6.1sin(a±^)=sinacos(3±cosasin(3

6.2cos(a±f)=cosacos户干sinasin(3

,.八、tana±tan(3

6.3tan(a±0)=--------------二

1千tanatan0

/.八、cotacot。干1

6.4c°t(a±°)=*"8ta

2倍角公式

6.5sin"=2sinacosa

6.6cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-1=1—2sin%

2tana

6.7tan2a=----------

1—tan"a

cot—1

6.8cot2a=----------

zcot.c

3半角公式

1—cosa

6.9sin-=±

22

1+cosa

6.10cos-=±

22

a1-cosa1—cosasina

6.11tan一=±

21+cosasina1+cosa

a1+cosasina1+cosa

6.12cot一=±

21-a1—cosasina

4和差化积

6,132smacos(3=sin(a十⑶+sin(a-(3)

6.142cosasin。=sin(a+G)-sin(a-(3)

6.152cosacos(3=cos(a十⑶+cos(a-(3)

6.16—2sinasinQ=cos(a+Q)—cos(a-(3]

6.17sina十sinQ=2sin―cos―--

a1c1•z?oa+.a—，3

6.18sma-sin3=2cos-----sin------

-22

a+0cc—/3

6.19cosa十cos(3=2cos---cos―--

6.20cosa—cosQ=-2sin°十？sin————

22

6.21tana±tan(3=----------—

cosacosp

八.八,sin(a+^)

6.22cota±cot(3=±―；-----；——-

smasinp

5万能公式

3ai2a

2tan1-tan

1:sina=--------2：cosa2

2a2a

secesec2

对数：

log(,a=1……log"1=0

Inx

logx=-~■(换底公式)..…log“xy=log“x+log“y

(/Ina

JQ

log,,一=log„X-log,y.…….logaX-',=jloga尤

y

七、导数与微分

1求导与微分法则

7.1(c)'=0tic=0

7.2(cv丫=cvd[cv)=cdv

7.3(