高等应用数学 课件 8.5 多元复合函数的极值与最值

§8.5多元函数的极值与最值

一、二元函数的极值

二、二元函数的最值内容提要

三、条件极值与拉格朗日乘数法第一节多元函数MultipleFunction一、二元函数的极值在许多实际问题中，常常遇到求多元函数的极值或者最大值、最小值的问题．1．极值与极值点的定义

定义8.5.1函数在点的某一邻域内定义，如果对于该邻域内异于的任意一点都有则称函数在点处有极大值称为函数的极大值点;如果都适合不等式则称函数在点处有极小值实例1函数在点处有极小值．因为对于点的邻域内异于的点都有从几何上看这是显然的，因为点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点．实例2函数在点处有极大值．因为对于点的邻域内异于的点都有从几何上看这是显然的.实例3函数在点处既不取得极大值也不取得极小值．因为，而在点的任一邻域内，总有点使得和点使得成立．从几何上看，它表示双曲抛物面(马鞍面).如何求二元函数的极值呢？下面两个定理是关于二元函数极值问题的结论．2．极值存在的必要条件如果二元函数在点处取得极值，那么固定，一元函数在点处也必取得相同的极值；同理，固定，在点处也取得相同的极值．因此，由一元函数极值的必要条件，我们可以得到二元函数极值的必要条件．极值存在的必要条件与一元函数的情形类似，对于多元函数，能使所有的一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点．定理8.5.1设函数在点处取得极值，且在该点处的偏导数存在，则必有注（1）由定理8.5.1可知，具有偏导数的函数的极值点一定是驻点．（2）函数的驻点不一定是极值点.如:点是函数的驻点，但不是函数的极值点．（3）函数的极值点也不一定是驻点．如：函数在点处有极大值，但在点处的偏导数不存在(即不是驻点)．怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题．3．极值存在的充分条件定理8.5.2设函数在点的某一邻域内有连续一阶与二阶偏导数,且是一个驻点，即令则在点取得极值的条件如表所示：判别式是极大值是极小值不是极值不确定ABC法则（A）.有极大值（B）.有极小值（C）.不取极值（D）.可能取极值，也可能不取极值课堂练习B例8.5.1求

的极值。解:

得方程组解之得驻点为(0,0),(1,1)，又因为令

整理结果，各驻点对应的极值判别如表所示。由上表可知，(1,1)点是极小值点，f(1,1)=-1是函数的极小值．驻点

ABC0-30无极值6-36极小值例8.5.2求

的极值。解:

解方程组求得驻点为(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2),再求出二阶偏导数整理结果，各驻点对应的极值判别如表所示。驻点

ABC(1,0)1206(1,2)120-6无极值(-3,0)-1206无极值(-3,2)-120-6极小值极大值课堂练习求函数的极值.

函数解解方程组得驻点为(0,0),(2,2),驻点

ABC-82-242-2无极值是极大值由上表可知，(0,0)是极大值点，f(0,0)=0是函数的极大值．二、二元函数最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.1.多元函数极值的一些结论：（2）函数在闭区域的最值只能在驻点、偏导数不存在点及闭区域的边界上取得。（1）闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。(1)求出函数在D内部的驻点处的函数值驻点边界上的最值比较这些函数值的大小,最大的就是函数在D上的最大值,最小的就是函数在D上的最小值.（内点）（边界上）(3)PK2.闭区域D上可导函数的最值一般求法(2)求函数在区域边界上的最值

实际问题最值的求法则该驻点必为所求的最值点.若只有唯一驻点，对该唯一驻点无需用ABC法则判断其是否为极值点。三个条件缺一不可若实际问题在区域内存在最值，且目标函数为可导函数，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?解：设箱子的长宽高分别为x、y、z（单位m）则高箱子所用材料的面积当表面积S最小时，所用材料最省例8.5.3要用铁板做一个体积为的有盖长方体水箱,

根据题意可断定该问题必有最小值存在，又为定义域内唯一驻点，因此该驻点即为函数的最小值点，此时，高

从而得出当长方体的长、宽、高都等于

m

时所用材料最省。是极大值.由问题的实际意义知最大利润一定存在，且利润函数在其定义域内可导且只有这一个驻点，所以此驻点一定是最大值点．即生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大．三、条件极值与拉格朗日乘数法前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求限制在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值．但在实际问题中，还会遇到对函数的自变量还有其它附加条件的极值问题，我们称之为条件极值．设二元函数和在区域内有一阶连续偏导数，则求在内满足条件的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数(其中为参数)的无条件极值问题．例8.5.5

求表面积为而体积为最大的长方体的体积．