高等应用数学 课件 1.2 极限的概念

数列的极限

函数的极限§1-2

极限的概念内容提要

极限的性质一、数列的极限引例1【庄子名言】我国战国时期哲学著作《庄子》中有这样的记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这句话的意思是：有一尺长的木棍，每天截取他的一半，永远截不完．它可以用数列表示为每天木棍的长度是一个变量，随着天数n的增大，木棍的长度越来越短，天数n无限增大时（记为），木棍的长度会无限趋近于常数0。引例2【割圆术】我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。先作圆内接正六边形，其面积记为A1；再作圆内接正十二边形，其面积记为A2；循此下去，圆内接正边形的面积记为An

，于是得到一系列圆内接正多边形的面积从几何直观上不难看出，随着n

的增大，对应的圆内接正多边形的面积与圆的面积A越来越接近（即），当n无限增大时（记为），圆内接正边形的面积An就会无限地接近圆的面积A。这种思想就是刘徽提出的割圆术——割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。定义1对于数列，当项数n无限增大时（记为），数列的项xn

无限地趋近于一个确定的常数A，那么称A

是数列当时的极限，或称数列收敛于A，记作例如，在引例1中，引例2中。如果数列不趋近于任何确定的常数，即数列没有极限，则称数列

发散。解例1某企业对生产设备的投资额是3万元，每年的折旧费为该设备账面价格（即以前各年的折旧费用提取后余下的价格）的，那么这一设备的账面价格（单位：万元）逐年用数列表示为随着年份n无限增大，账面价格无限接近于0，即解例2判断下列无穷数列的极限：（1）（2）（3）（1）通过观察，当n

无限增大时，数列通项无限趋近于常数1，所以1是数列的极限，即（2）通过观察，当

n无限增大时，数列通项xn

总等于3，所以3是数列{3}的极限，即（3）数列按项数展开应该是显然，当

n无限增大时，xn摆动于1，0，-1三个数之间，并不趋于某个确定的常数，所以数列没有极限。1．时函数的极限二、函数的极限定义2设函数在时有定义，对于函数，当无限增大时（记为），函数值无限地趋近于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作定义2中是指x

的绝对值无限增大，它既可以沿正方向无限增大（），也可以沿负方向无限增大（），相应的函数值都会无限地趋近于常数A。如图1-3所示，，既有也有。图1-3但有时x

的变化趋向只沿其中一种方向（或）时，相应的函数值也无限地趋近于一个常数A，则称A是函数当或时的极限。记作或，也可记作或。例如，，而，所以，不存在，如图1-4所示。图1-4解例4利用图形说明下列极限是否存在，若存在，则求出极限（1）（2）图1-5图1-6解（1）由图1-5可知则（2）由图1-6可知而所以，不存在。解2．时函数的极限引例1【影子长度】某人晚上沿直线走向路灯正下方的一点．由常识知道，此人越靠近目标，其影子长度越短，当人越来越接近目标（）时，其影子长度趋于0（）。设灯高为H，人高为h，人与灯正下方一点的距离为x，人影的长度为y。如图1-7所示，当人向灯下不断地移动时，即，人影的长度y趋于0，且有，由此解得人影的长度y

是x

的函数：，其中是常数。图1-7当x

越来越趋近于0时，函数值y

也越来越趋近于0，即

，也会是当人逐渐走向灯的正下方时，人影的长度逐渐为0。1．时函数的极限二、函数的极限定义6设函数在x0点附近有定义（），对于函数，当时，函数值无限地趋近于一个确定的常数A，则称A是函数当时的极限，记作或。定义3中是指x

趋于x0

的方式是任意的，它包含两种情况：。如果当（或）时，函数的极限存在，则称为函数的左极限（右极限），记作或（）。左极限和右极限反映了自变量从x0

一侧变化时函数的极限，称为单侧极限。解例4函数在时的极限存在吗？为什么？

不存在。因为而，所以不存在。解例5考察函数当时的极限。由图1-8可知因为，所以不存在。图1-8三、极限的性质定义4称实数集为点a的邻域，记作，a称为邻域的中心，δ

称为邻域的半径。数集称为点a的去心δ

邻域，记作。性质1（唯一性）若，则极限A唯一。性质2（局部有界性）若，则存在常数及

，当