第04讲 角度计算中的常见模型（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第04讲角度计算中的常见模型【人教版】·模块一A字型·模块二8字型·模块三燕尾角·模块四风筝型·模块五课后作业模块一模块一A字型A字型【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∴∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.【例1】如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【例2】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A'处，当A'E∥BC时，则∠ADE=

【例3】旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2﹣∠C＝50°；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P＝90°-12∠A拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由．）【变式1】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3-∠2的度数为_________．【变式2】如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DC、DE，在CD上取一点F，连接EF，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．【变式3】如图，已知△ABC中，∠B<∠C，AD平分∠BAC，E是线段AD（除去端点A、D）上一动点，EF⊥BC于点F．若∠B=40°，∠DEF=10°，求

模块二模块二8字型8字型【条件】AD、BC相交于点O.【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.【例1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【例2】如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（

）．A．62° B．152° C．208° D．236°【例3】如图，△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,AC,BD交于M．(1)如图1，当α=90°时，∠AMD的度数为°；(2)如图2，当α=60°时，求∠AMD的度数为°；(3)如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．【变式1】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.【变式2】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240° B．280° C．360° D．540°【变式3】如图，△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【变式4】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________；（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是________．模块三模块三燕尾角燕尾角【条件】四边形ABDC如上左图所示.【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.【例1.1】如图所示，已知四边形ABDC，求证∠BDC=∠A+∠B+∠C．【例2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°,∠B=25°，∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°，那么∠F的度数是（

）．A．72° B．70° C．65° D．60°【例3】如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24° B．25° C．30° D．36°【变式1】如图，已知DE分别交ΔABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B=62°，∠ACB=76°，∠ADE=93°，求∠DEC的度数.【变式2】如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________．【变式3】模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，则∠BOC=__________°；②如图3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展应用：①如图4，∠ABO、∠ACO的2等分线（即角平分线）BO1、CO1交于点O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如图5，BO、CO分别为∠ABO、∠ACO的10等分线(i=1,2,3,…,8,9)．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，则③如图6，∠ABO、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，则∠ADB=__________°；④如图7，∠BAC、∠BOC的角平分线AD、OD交于点D，则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为__________．模块四模块四风筝型风筝型【条件】四边形ABPC，分别延长AB、AC于点D、E，如上左图所示.【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P.【证明】如上右图，连接AP，则：∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PCE=∠PAC+∠APC，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB+∠APB+∠PAC+∠APC=∠BAC+∠BPC，得证.【例1.1】如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝°．【例2】如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=240°，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C'D'EF，C'F交AD于点G【例3】（2022春•铜山区期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，请直接写出∠1+2与∠A的关系：．（2）如图2，把△ABC分别沿DE、FG折叠，使点A落在点A′处，使点B落在点B′处，若∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠C＝°（3）如图3，在锐角△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM、CN交于点H，把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合，则∠BHC与∠1+∠2的关系是．A．∠BHC＝180°-12（B．∠BHC＝∠1+∠2C．∠BHC＝90°+12（D．∠BHC＝90°+∠1﹣∠2（4）如图4，BH平分∠ABC，CH平分∠ACB，把△ABC沿DE折叠，使点A与点H重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BHC的度数．【变式1】如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处．如果∠A'EC=70°，那么【变式2】已知△ABC是一张三角形的纸片．（1）如图①，沿DE折叠，使点A落在边AC上点A′的位置，∠DA′E与∠1的之间存在怎样的数量关系？为什么？（2）如图②所示，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？（3）如图③，沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，∠A、∠1与∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？【变式3】△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．模块五模块五课后作业1．如图，在ΔABC中，EF//BC，ED平分∠BEF，且∠DEF=65°，则∠B的度数为（

）A．40° B．50° C．60° D．70°2．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，∠AEC的度数为______．3．如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G

4．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，则∠B=________．5．如图，在△ABC中∠BAC=48°，∠ABC=60°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点M，将△MBC以直线CM为对称轴翻折得到△MCD，延长MD与BA的延长线交于点E．求∠E的度数．6．如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；（2）若∠C=38°，求∠P的度数．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．9.已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．10.在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上（不与B,C重合），点E在直线AC上（不与A,C重合），且