2025年高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质【课件】

第四节直线、平面垂直的判定与性质1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归

纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2024.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.目录CONTENTS123知识体系构建微专题10几何法求空间角与距离考点分类突破4课时跟踪检测PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.已知直线

l

1⊥平面α，直线

l

2⊂平面α，则

l

1与

l

2的位置关系一定成

立的是（

）A.相交B.

垂直C.异面D.

平行解析：

根据线面垂直的性质，则

l

1⊥

l

2，故选B.2.如图，正方形

SG

1

G

2

G

3中，

E

，

F

分别是

G

1

G

2，

G

2

G

3的中点，

D

是

EF

的中点，现在沿

SE

，

SF

及

EF

把这个正方形折成一个四面

体，使

G

1，

G

2，

G

3三点重合，重合后的点记为

G

，则在四面体

S

-

EFG

中必有（

）A.

SG

⊥△

EFG

所在平面B.

SD

⊥△

EFG

所在平面C.

GF

⊥△

SEF

所在平面D.

GD

⊥△

SEF

所在平面解析：

四面体

S

-

EFG

如图所示，由

SG

⊥

GE

，

SG

⊥

GF

，且

GE

∩

GF

＝

G

得

SG

⊥△

EFG

所在的平面.故选A.3.已知

AB

是圆柱上底面的一条直径，

C

是上底面圆周上异于

A

，

B

的

一点，

D

为下底面圆周上一点，且

AD

⊥圆柱的底面，则必有（

）A.平面

ABC

⊥平面

BCD

B.平面

BCD

⊥平面

ACD

C.平面

ABD

⊥平面

ACD

D.平面

BCD

⊥平面

ABD

解析：

因为

AB

是圆柱上底面的一条直径，所以

AC

⊥

BC

，又

AD

垂直于圆柱的底面，所以

AD

⊥

BC

，因为

AC

∩

AD

＝

A

，所以

BC

⊥平面

ACD

.

由于

BC

⊂平面

BCD

.

所以平面

BCD

⊥平面

ACD

.

A.3πB.2πC.π

5.正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为

⁠.

1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这

个平面.2.垂直于同一条直线的两个平面平行.3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也

垂直.4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个

平面.5.三垂线定理：若

PO

⊥α，

PC

在平面α内的射影为

CO

，

l

⊂α，

l

⊥

CO

，则

l

⊥

PC

.

6.三垂线定理的逆定理：若

PO

⊥α，

PC

在平面α内的射影为

CO

，

l

⊂α，

l

⊥

PC

，则

l

⊥

CO

.

1.已知

m

和

n

是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给

出的条件中一定能推出

m

⊥β的是（

）A.α⊥β且

m

⊂αB.

m

⊥

n

且

n

∥βC.

m

∥

n

且

n

⊥βD.

m

⊥

n

且α∥β解析：

由结论1可知C正确.2.（多选）下列命题为真命题的是（

）A.若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也

垂直C.垂直于同一条直线的两个平面相互平行D.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个

平面解析：

对于A，两个相交平面有一条交线，交线有无数个公

共点，但是这两个平面不重合，故A错误；对于B，由结论3可知正

确；对于C，由结论2可知正确；对于D，由结论4可知正确，故选

B、C、D.3.（多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）如图，在正方体中，

O

为底面的

中心，

P

为所在棱的中点，

M

，

N

为正方体的顶点.则满足

MN

⊥

OP

的是（

）解析：

由结论5易知B、C正确.PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥

P

-

ABCD

中，

PA

⊥底面

ABCD

，

AB

⊥

AD

，

AC

⊥

CD

，∠

ABC

＝60°，

PA

＝

AB

＝

BC

，

E

是

PC

的

中点.证明：（1）

CD

⊥

AE

；证明：在四棱锥

P

-

ABCD

中，∵

PA

⊥底面

ABCD

，

CD

⊂平面

ABCD

，∴

PA

⊥

CD

，又∵

AC

⊥

CD

，且

PA

∩

AC

＝

A

，∴

CD

⊥平面

PAC

.

又

AE

⊂平面

PAC

，∴

CD

⊥

AE

.

（2）

PD

⊥平面

ABE

.

证明：由

PA

＝

AB

＝

BC

，∠

ABC

＝60°，可得

AC

＝

PA

.

∵

E

是

PC

的中点，∴

AE

⊥

PC

.

由（1）知

AE

⊥

CD

，且

PC

∩

CD

＝

C

，∴

AE

⊥平面

PCD

.

又

PD

⊂平面

PCD

，∴

AE

⊥

PD

.

∵

PA

⊥底面

ABCD

，

AB

⊂平面

ABCD

，∴

PA

⊥

AB

.

又∵

AB

⊥

AD

，且

PA

∩

AD

＝

A

，∴

AB

⊥平面

PAD

，又

PD

⊂平面

PAD

，∴

AB

⊥

PD

.

又∵

AB

∩

AE

＝

A

，∴

PD

⊥平面

ABE

.

解题技法1.证明直线和平面垂直的常用方法（1）判定定理；（2）直线垂直于平面的传递性（

a

∥

b

，

a

⊥α⇒

b

⊥α）；（3）面面平行的性质（

a

⊥α，α∥β⇒

a

⊥β）；

（4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝

a

，

l

⊥

a

，

l

⊂β⇒

l

⊥α）.2.证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线

面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂

直的基本思路.

在正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，点

E

，

F

分别在

A

1

D

，

AC

上，

EF

⊥

A

1

D

，

EF

⊥

AC

，求证：

EF

∥

BD

1.证明：如图所示，连接

A

1

C

1，

C

1

D

，

B

1

D

1，

BD

.

∵

AC

∥

A

1

C

1，

EF

⊥

AC

，∴

EF

⊥

A

1

C

1.又

EF

⊥

A

1

D

，

A

1

D

∩

A

1

C

1＝

A

1，∴

EF

⊥平面

A

1

C

1

D

，

①∵

BB

1⊥平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

A

1

C

1⊂平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

∴

BB

1⊥

A

1

C

1.∵四边形

A

1

B

1

C

1

D

1为正方形，∴

A

1

C

1⊥

B

1

D

1，又

B

1

D

1∩

BB

1＝

B

1，∴

A

1

C

1⊥平面

BB

1

D

1

D

，而

BD

1⊂平面

BB

1

D

1

D

，∴

A

1

C

1⊥

BD

1.同理

DC

1⊥

BD

1.又

DC

1∩

A

1

C

1＝

C

1，∴

BD

1⊥平面

A

1

C

1

D

，

②由①②可知

EF

∥

BD

1.平面与平面垂直的判定与性质【例2】

（2024·全国甲卷18题）如图，在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

A

1

C

⊥平面

ABC

，∠

ACB

＝90°.（1）证明：平面

ACC

1

A

1⊥平面

BB

1

C

1

C

；解：证明：因为

A

1

C

⊥平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，所以

A

1

C

⊥

BC

.

因为∠

ACB

＝90°，所以

AC

⊥

BC

.

因为

AC

∩

A

1

C

＝

C

，

AC

，

A

1

C

⊂平面

ACC

1

A

1，所以

BC

⊥平面

ACC

1

A

1.因为

BC

⊂平面

BB

1

C

1

C

，所以平面

ACC

1

A

1⊥平面

BB

1

C

1

C

.

（2）设

AB

＝

A

1

B

，

AA

1＝2，求四棱锥

A

1-

BB

1

C

1

C

的高.解：如图，取棱

AA

1的中点

D

，连接

BD

，

CD

.

因为

AB

＝

A

1

B

，所以

AA

1⊥

BD

.

因为

BC

⊥平面

ACC

1

A

1，

AA

1⊂平面

ACC

1

A

1，所以

BC

⊥

AA

1.因为

BC

∩

BD

＝

B

，

BC

，

BD

⊂平面

BCD

，所以

AA

1⊥平面

BCD

.

因为

CD

⊂平面

BCD

，所以

AA

1⊥

CD

.

因为

AA

1∥

CC

1，所以

CD

⊥

CC

1.又因为

CD

⊥

BC

，

BC

∩

CC

1＝

C

，

BC

，

CC

1⊂平

面

BB

1

C

1

C

，所以

CD

⊥平面

BB

1

C

1

C

.

因为

AA

1＝2，所以

CD

＝1.易知

AA

1∥平面

BB

1

C

1

C

，所以四棱锥

A

1-

BB

1

C

1

C

的高为

CD

＝1.解题技法1.判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理（

a

⊥β，

a

⊂α⇒α⊥β）.2.已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作

交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

（2024·全国乙卷18题）如图，四面体

ABCD

中，

AD

⊥

CD

，

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

E

为

AC

的中点.（1）证明：平面

BED

⊥平面

ACD

；解：证明：因为

AD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

BDC

，

DB

＝

DB

，所以△

ADB

≌△

CDB

，所以

BA

＝

BC

，又

E

为

AC

的中点，所以

AC

⊥

BE

，

AC

⊥DE

，因为

BE

∩

DE

＝

E

，且

BE

，

DE

⊂平面BED

，所以

AC

⊥平面

BED

，又

AC

⊂平面

ACD

，所以平面

BED

⊥平面

ACD

.

（2）设

AB

＝

BD

＝2，∠

ACB

＝60°，点

F

在

BD

上，当△

AFC

的面积

最小时，求三棱锥

F

-

ABC

的体积.

法一因为

DE

⊥

AC

，

DE

⊥

BE

，

AC

∩

BE

＝

E

，所以

DE

⊥平面

ABC

，

法二由（1）知

BD

⊥

AC

，又

BD

⊥

EF

，所以

BD

⊥平面

ACF

，所以

BF

即为

B

到平面

ACF

的距离，

平行与垂直的综合问题考向1

平行与垂直关系的证明【例3】在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

⊥

AC

，

B

1

C

⊥平面

ABC

，

E

，

F

分别是

AC

，

B

1

C

的中点.（1）求证：

EF

∥平面

AB

1

C

1；证明：因为

E

，

F

分别是

AC

，

B

1

C

的中点，所以

EF

∥

AB

1.又

EF

⊄平面

AB

1

C

1，

AB

1⊂平面

AB

1

C

1，所以

EF

∥平面

AB

1

C

1.（2）求证：平面

AB

1

C

⊥平面

ABB

1.证明：因为

B

1

C

⊥平面

ABC

，

AB

⊂平面

ABC

，所以

B

1

C

⊥

AB

.

又

AB

⊥

AC

，

B

1

C

⊂平面

AB

1

C

，

AC

⊂平面

AB

1C

，

B

1

C

∩

AC

＝

C

，所以

AB

⊥平面

AB

1

C

，又因为

AB

⊂平面

ABB

1，所以平面

AB

1

C

⊥平面

ABB

1.解题技法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂

直间的转化.2.垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的

综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作

交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.考向2

平行、垂直关系与几何体的度量【例4】如图，在四棱锥

P

-

ABCD

中，底面

ABCD

为平行四边形，△

PCD

为等边三角形，平面

PAC

⊥平面

PCD

，

PA

⊥

CD

，

CD

＝2，

AD

＝3.（1）设

G

，

H

分别为

PB

，

AC

的中点，求证：

GH

∥平面

PAD

；解：证明：连接

BD

，易知

AC

∩

BD

＝

H

，

BH

＝

DH

.

又由

BG

＝

PG

，故

GH

为△

PBD

的中位线，所以

GH

∥

PD

.

又因为

GH

⊄平面

PAD

，

PD

⊂平面

PAD

，所

以

GH

∥平面

PAD

.

（2）求证：

PA

⊥平面

PCD

；解：证明：取棱

PC

的中点

N

，连接

DN

.

依题意，得

DN

⊥

PC

.

因为平面

PAC

⊥平面

PCD

，平面

PAC

∩平面

PCD

＝

PC

，

DN

⊂平面

PCD

，所以

DN

⊥平面

PAC

.

又

PA

⊂平面

PAC

，所以

DN

⊥

PA

.

又已知

PA

⊥

CD

，

CD

∩

DN

＝

D

，所以

PA

⊥平面

PCD

.

（3）求直线

AD

与平面

PAC

所成角的正弦值.

解题技法1.平行、垂直关系应用广泛，不仅可以判断空间线面、面面位置关

系，而且常用于求空间角和空间距离、体积.2.综合法求直线与平面所成的角，主要是找出斜线在平面内的射影，

其关键是作垂线，找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解.

（2024·全国甲卷19题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个

封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面

ABCD

是边长为8（单位：cm）

的正方形，△

EAB

，△

FBC

，△

GCD

，△

HDA

均为正三角形，且它们

所在的平面都与平面

ABCD

垂直.（1）证明：

EF

∥平面

ABCD

；解：证明：如图，分别取

AB

，

BC

的

中点

M

，

N

，连接

EM

，

FN

，

MN

，∵△

EAB

与△

FBC

均为正三角形，且边长均为8，∴

EM

⊥

AB

，

FN

⊥

BC

，且

EM

＝

FN

.

又平面

EAB

与平面

FBC

均垂直于平面

ABCD

，平面

EAB

∩平面

ABCD

＝

AB

，平面

FBC

∩平面

ABCD

＝

BC

，

EM

⊂平面

EAB

，

FN

⊂平面

FBC

，∴

EM

⊥平面

ABCD

，

FN

⊥平面

ABCD

，∴

EM

∥

FN

，∴四边形

EMNF

为平行四边形，∴

EF

∥

MN

.

又

MN

⊂平面

ABCD

，

EF

⊄平面

ABCD

，∴

EF

∥平面

ABCD

.

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

PART3微专题10几何法求空间角与距离几何法求空间角与距离主要是转化构造三角形，即把空间角转化

为平面角，空间距离转化为平面距离，进而转化为求解三角形的边、

角问题.一、几何法求空间角【例1】

（1）在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

⊥

BC

，

AB

＝

BC

＝

AA

1，

D

，

E

分别为

AC

，

BC

的中点，则异面直线

C

1

D

与

B

1

E

所成角

的余弦值为（

）（2）如图，已知正四棱锥

P

-

ABCD

底面边长为2，侧棱长为4，

M

为侧棱

PC

的中点，则直线

BM

与底面

ABCD

所成角的正弦值为（

）

60°

点评

几何法求空间角主要分为3个步骤：①作（找）角；②证

明这个角就是要求的角；③计算.其中作（找）角是关键，对于

异面直线所成的角，一般是通过平移一条直线直至与另一条直

线相交，从而得到所求角的平面角；对于线面所成的角，一般

是在直线上找一点，作平面的垂线，连接斜足与垂足得到直线

在平面上的射影，直线与它在该平面上的射影所成的角就是所

求角的平面角；对于平面与平面所成的角（二面角），一般可

通过定义法、垂面法、垂线法等得到所求角的平面角.

1.在三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点

D

是

BC

1与

B

1

C

的交点，则

AD

与平面

BB

1

C

1

C

所成角的正弦值是（

）

2.在正四棱锥

P

-

ABCD

中，

M

为棱

AB

上的点，且

PA

＝

AB

＝2

AM

，

设平面

PAD

与平面

PMC

的交线为

l

，则异面直线

l

与

BC

所成角的正

切值为

⁠.

二、几何法求距离【例2】

（1）如图，在四棱锥

P

-

ABCD

中，

PB

⊥平面

ABCD

，

PB

＝

AB

＝2

BC

＝4，

AB

⊥

BC

，则点

C

到直线

PA

的距离为（

）D.4

（2）如图所示，在长方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AD

＝

AA

1＝2，

AB

＝4，点

E

是棱

AB

的中点，则点

E

到平面

ACD

1的距离为（

）A.1

点评

（1）求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角

形求解，或利用等面积法求解；（2）求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积

法求解.

1.如图，在底面是直角梯形的四棱锥

P

-

ABCD

中，侧棱

PA

⊥底面

ABCD

，∠

ABC

＝90°，

PA

＝

AB

＝

BC

＝2，

AD

∥

BC

，则

AD

到平

面

PBC

的距离为

⁠.

2.如图，在直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝4，

AC

＝

BC

＝3，

D

为

AB

的中点.（1）求点

C

到平面

A

1

ABB

1的距离；

（2）若

AB

1⊥

A

1

C

，求二面角

A

1-

CD

-

C

1的余弦值.解：如图，取线段

A

1

B

1的中点

D

1，连接

DD

1，则

DD

1∥

AA

1∥

CC

1.又由（1）知

CD

⊥平面

A

1

ABB

1，故

CD

⊥

A

1

D

，

CD

⊥

DD

1，所以∠

A

1

DD

1为所求的二面角

A

1-

CD

-

C

1的平面角.

PART4课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.已知平面α，直线

m

，

n

，若

n

⊂α，则“

m

⊥

n

”是“

m

⊥α”的

（

）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516171819202122232425262728解析：

由

n

⊂α，

m

⊥

n

，不一定得到

m

⊥α；反之，由

n

⊂α，

m

⊥α，可得

m

⊥

n

.∴若

n

⊂α，则“

m

⊥

n

”是“

m

⊥α”的必要不充

分条件.2.如图，在斜三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1中，∠

BAC

＝90°，

BC

1⊥

AC

，则

C

1在底面

ABC

上的射影

H

必在（

）A.直线

AB

上B.

直线

BC

上C.直线

AC

上D.△

ABC

内部解析：

连接

AC

1（图略），由

AC

⊥

AB

，

AC

⊥

BC

1，

AB

∩

BC

1＝

B

，得

AC

⊥平面

ABC

1.∵

AC

⊂平面

ABC

，∴平面

ABC

1⊥平面

ABC

，∴

C

1在平面

ABC

上的射影

H

必在两平面的交线

AB

上.3.（2024·九省联考）设α，β是两个平面，

m

，

l

是两条直线，则下列

命题为真命题的是（

）A.若α⊥β，

m

∥α，

l

∥β，则

m

⊥

l

B.若

m

⊂α，

l

⊂β，

m

∥

l

，则α∥βC.若α∩β＝

m

，

l

∥α，

l

∥β，则

m

∥

l

D.若

m

⊥α，

l

⊥β，

m

∥

l

，则α⊥β解析：

如图，在正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

对于A：设平面α为平面

ABCD

，平面β为平面

ADD

1

A

1，

m

＝

B

1

C

1，

l

＝

BC

，

m

∥α，

l

∥β，α⊥β，

但

m

∥

l

，故A错；对于B：

m

＝

BC

，平面α为平面

ABCD

，

l

＝

AD

，平面β为平面

ADD

1

A

1，此时

m

⊂α，

l

⊂β，

m

∥

l

，但α与β不平行，B错；对于D：平面α为平面

ABCD

，平面β为平面

A

1

B

1

C

1

D

1，

m

＝

AA

1，

l

＝

BB

1，此时

m

⊥α，

l

⊥β，

m

∥l

，但α与β平行不垂直，D错.4.如图，设平面α∩平面β＝

PQ

，

EG

⊥平面α，

FH

⊥平面α，垂足分

别为

G

，

H

.

为使

PQ

⊥

GH

，则需增加的一个条件是（

）A.

EF

⊥平面αB.

EF

⊥平面βC.

PQ

⊥

GE

D.

PQ

⊥

FH

解析：

因为

EG

⊥平面α，

PQ

⊂平面α，所以

EG

⊥

PQ

.

若

EF

⊥

平面β，则由

PQ

⊂平面β，得

EF

⊥

PQ

.

又

EG

与

EF

为相交直线，所

以

PQ

⊥平面

EFHG

，所以

PQ

⊥

GH

.

5.（多选）如图，在三棱锥

V

-

ABC

中，

VO

⊥平面

ABC

，

O

∈

CD

，

VA

＝

VB

，

AD

＝

BD

，则下列结论中一定成立的是（

）A.

AC

＝

BC

B.

AB

⊥

VC

C.

VC

⊥

VD

D.

S

△

VCD

·

AB

＝

S

△

ABC

·

VO

6.（多选）如图，在长方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝

AB

＝4，

BC

＝2，

M

，

N

分别为棱

C

1

D

1，

CC

1的中点，则（

）A.

A

，

M

，

N

，

B

四点共面B.平面

ADM

⊥平面

CDD

1

C

1C.直线

BN

与

B

1

M

所成的角为60°D.

BN

∥平面

ADM

解析：

如图所示，对于A中，直线

AM

，

BN

是

异面直线，故

A

，

M

，

N

，

B

四点不共面，故A错误；对于B中，在长方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，可得

AD

⊥平面

CDD

1

C

1，所以平面

ADM

⊥平面

CDD

1

C

1，

故B正确；对于C中，取

CD

的中点

O

，连接

BO

，

ON

，则

B

1

M

∥

BO

，所以直线

BN

与

B

1

M

所成的角为∠

NBO

（或

其补角）.易知△

BON

为等边三角形，所以∠

NBO

＝60°，故C正确；对于D中，因为

BN

∥平面

AA

1

D

1

D

，显然

BN

与平面

ADM

不平行，故D错误.

8.如图，在四棱锥

P

-

ABCD

中，底面

ABCD

为矩形，平面

PAD

⊥平面

ABCD

，

PA

⊥

PD

，

PA

＝

PD

，

E

，

F

分别为

AD

，

PB

的中点.（1）求证：

PE

⊥

BC

；证明：因为

PA

＝

PD

，

E

为

AD

的中点，所以

PE

⊥

AD

.

因为底面

ABCD

为矩形，所以

BC

∥

AD

，所以

PE

⊥

BC

.

（2）求证：平面

PAB

⊥平面

PCD

；证明：因为底面

ABCD

为矩形，所以

AB⊥

AD

.

又因为平面

PAD

⊥平面

ABCD

，平面

PAD

∩平面

ABCD

＝

AD

，

AB

⊂平面

ABCD

，所以

AB

⊥平面

PAD

，因为

PD

⊂平面

PAD

，所以

AB

⊥

PD

.

又因为

PA

⊥

PD

，

AB

∩

PA

＝

A

，所以

PD

⊥平面

PAB

.

因为

PD

⊂平面

PCD

，所以平面

PAB

⊥平面

PCD

.

（3）求证：

EF

∥平面

PCD

.

9.在空间四边形

ABCD

中，平面

ABD

⊥平面

BCD

，且

DA

⊥平面

ABC

，则△

ABC

的形状是（

）A.锐角三角形B.

直角三角形C.钝角三角形D.

不能确定解析：

作

AE

⊥

BD

，交

BD

于

E

，∵平面

ABD

⊥平面

BCD

，∴

AE

⊥平面

BCD

，

BC

⊂平面

BCD

，∴

AE

⊥

BC

，而

DA

⊥平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，∴

DA

⊥

BC

，又∵

AE

∩

AD

＝

A

，∴

BC

⊥平面

ABD

，而

AB

⊂平面

ABD

，∴

BC

⊥

AB

，即△

ABC

为直角三角形.10.（2024·全国乙卷7题）在正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分别

为

AB

，

BC

的中点，则（

）A.平面

B

1

EF

⊥平面

BDD

1B.平面

B

1

EF

⊥平面

A

1

BD

C.平面

B

1

EF

∥平面

A

1

AC

D.平面

B

1

EF

∥平面

A

1

C

1

D

解析：

如图，对于选项A，在正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，因为

E

，

F

分别为

AB

，

BC

的中

点，所以

EF

∥

AC

，又

AC

⊥

BD

，所以

EF

⊥

BD

，又易知

DD

1⊥

EF

，

BD

∩

DD

1＝

D

，从而

EF

⊥平面

BDD

1，又

EF

⊂平面

B

1

EF

，所以平

面

B

1

EF

⊥平面

BDD

1，故选项A正确；对于选

项B，因为平面

A

1

BD

∩平面

BDD

1＝

BD

，所以由选项A知，平面

B

1

EF

⊥平面

A

1

BD

不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线

AA

1与直线

B

1

E

必相交，故平面

B

1

EF

与平面

A

1

AC

不平行，故选项C错误；对于选项D，连接

AB

1，

B

1

C

，易知平面

AB

1

C

∥平面

A

1

C

1

D

，又平面

AB

1

C

与平面

B

1

EF

有公共点

B

1，所以平面

A

1

C

1

D

与平面

B

1

EF

不平行，故选项D错误.故选A.11.（多选）如图，四棱锥

P

-

ABCD

的底面为矩形，

PD

⊥底面

ABCD

，

AD

＝1，

PD

＝

AB

＝2，点

E

是

PB

的中点，过

A

，

D

，

E

三点的平面α与平面

PBC

的交线为

l

，则（

）A.

l

∥平面

PAD

B.

AE

∥平面

PCD

12.（2024·威海模拟）如图，在四棱锥

S

-

ABCD

中，底面四边形

ABCD

为矩形，

SA

⊥平面

ABCD

，

P

，

Q

分别是线段

BS

，

AD

的中

点，点

R

在线段

SD

上.若

AS

＝4，

AD

＝2，

AR

⊥

PQ

，则

AR

＝

⁠

⁠.​

13.如图，矩形

ABCD

中，

AB

＝1，

BC

＝

a

，

PA

⊥平面

ABCD

，若在

BC

上只有一个点

Q

满足

PQ

⊥

DQ

，则

a

＝

⁠.2解析：如图，连接

AQ

，取

AD

的中点

O

，连接

OQ

.

∵

PA

⊥平面

ABCD

，∴

PA

⊥

DQ

，又

PQ

⊥

DQ

，∴

DQ

⊥平面

PAQ

，∴

DQ

⊥

AQ

.

∴点

Q

在以线段

AD

的中点

O

为圆心，

AD

为

直径的圆上，又∵在

BC

上有且仅有一个点

Q

满足

PQ

⊥

DQ

，

∴

BC

与圆

O

相切（否则相交就有两点满足垂直，矛盾），∴

OQ

⊥

BC

，∵

AD

∥

BC

，∴

OQ

＝

AB

＝1，∴

BC

＝

AD

＝2，即

a

＝2.14.在四棱锥

P

-

ABCD

中，平面

ABCD

⊥平面

PCD

，底面

ABCD

为梯

形，

AB

∥