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第3课时高考中的解三角形问题第六章平面向量、复数核心考点·分类突破核心考点·分类突破考点一高考解三角形中“爪”型结构(规范答题)考情提示“爪”型三角形是指在给定的一个三角形中,连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形.“爪”型结构的解三角形问题在高考中屡见不鲜,如中线、角平分线、高线等.角度1

解三角形中有关高线问题[例1](10分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.审题导思破题点·形成思路(1)思路:根据题意画出图形,利用正弦的和角和差角公式就能比较顺利地解答(2)思路:给出三角形边AB

的长,而由第(1)问可以确定三角形的三个内角,利用正弦定理便可求出另一条边AC

或BC

的长,从而求得AB

边上的高

3C=π-C

sinA=3cosA

解题技法该类型题目侧重直角三角形中互余两角的三角函数关系及两角和、差的三角公式的应用.

解题技法该类型题目侧重三角形的两角和差公式,三角形面积公式,正、余弦定理,等腰三角形的性质在解三角形问题中的综合应用.

2

解题技法该类型题目侧重正、余弦定理,三角形面积公式,两角和差的三角公式,二倍角公式,三角函数的性质以及角平分线定理的应用.

9

解题技法对点训练如图,在△ABC中,D是AC边上一点,∠ABC为钝角,∠DBC=90°.(1)求证:cos∠ADB+sinC=0;【解析】(1)因为∠ADB=90°+∠C,所以cos∠ADB=cos(90°+C)=-sinC,故cos∠ADB+sinC=0.

解题技法如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),通过解方程(组)得出所要求的量.

解题技法涉及求边的最值或取值范围的一般思路(1)利用正弦定理把边转化为角,利用三角函数的性质求出范围或最值.(2)利用正、余弦定理把角转化为边,利用基本不等式求出范围或最值.

解题技法三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法(1)三角函数法:通过正、余弦定理将边转化为角,再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式,最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解.(2)基本不等式法:利用正、余弦定理,面积(周长)公式建立a+b,ab,a2+b2之间的等量关系,然后利用基本不等式求解.

27解题技法极化恒等式的使用方法求数量积时,两个向量共起点的情况下,使用极化恒等式的一般步骤如下:第一步:取第三边的中点,连接两个向量的共起点与第三边的中点;第二步:利用极化恒等式公式,将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积.

解题技法求数量积的最值或范围的策略求数量积的最值或范围,

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