2025年高考数学一轮复习4.1导数的概念及其意义、导数的运算【课件】

必备知识·逐点夯实第一节导数的概念及其意义、导数的运算第四章一元函数的导数及其应用核心考点·分类突破【课标解读】【课程标准】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数的导数.【核心素养】数学抽象、数学运算、直观想象.【命题说明】考向考法高考命题常以导数的运算和几何意义为重点考查内容,考查形式以选择题、填空题为主,属于中档题.预测预计2025年高考将会涉及导数的运算及几何意义.以客观题的形式考查导数的定义,求曲线的切线方程.导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查.必备知识·逐点夯实

斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)微点拨

求曲线的切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者点P是切点,只有一条切线,而后者点P可以不是切点包括了前者.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=__f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=_______f(x)=sinxf'(x)=______f(x)=cosxf'(x)=______f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=______f(x)=exf'(x)=___f(x)=logax(a>0,且a≠1)f(x)=lnx0

cosx-sinxaxlnaex

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)5.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=_______.(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=_______,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.f(g(x))y'u·u'x微点拨

在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆.

基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13421.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率.(

)(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cosx.(

)(3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(

)(4)曲线y=f(x)在某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的.(

)

√×××提示:(2)f(x)=sin(-x)=-sinx,则f'(x)=-cosx.×(3)求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值.×(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线,因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率;而对于“过某点”的切线,则该点不一定是切点,要利用解方程组的思想求切线的方程,在曲线上某点处的切线只有一条,但过某点的切线可以不止一条.×

-1核心考点·分类突破考点一平均变化率与瞬时变化率及导数的概念1.如图,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x1,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是(

)A.[x1,x2] B.[x2,x3]C.[x1,x3] D.[x3,x4]

2.(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(

)A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28B.该物体在t=4时的瞬时速度是56C.该物体位移的最大值为43D.该物体在t=5时的瞬时速度是70

-3

-2

3.(2023·济南模拟)已知f(x)=2xlnx-f'(1)x,则f(e)=(

)A.e B.0 C.-e D.-1【解析】选A.f'(x)=2lnx+2-f'(1),令x=1,得f'(1)=2ln1+2-f'(1),解得f'(1)=1,所以f(x)=2xlnx-x,f(e)=2elne-e=e.4.求下列函数的导数.(1)y=(3x3-4x)(2x+1);【解析】(1)方法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,所以y'=24x3+9x2-16x-4.方法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)·(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.

解题技法导数的运算技巧(1)连乘积形式函数式求导:先展开化为多项式的形式,再求导.(2)分式形式函数式求导:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.(3)对数形式函数式求导:先化为和、差的形式,再求导.(4)根式形式函数式求导:先化为分数指数幂的形式,再求导.(5)三角形式函数式求导:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.考点三导数的几何意义角度1

求切线方程[例1](1)金榜原创·易错对对碰已知曲线f(x)=x3-4x2+5x-4.①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为____________________;

②曲线过点(2,f(2))的切线方程为______________________.

x-y-4=0x-y-4=0或y+2=0

(2)(2023·临沂模拟)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为_____________.

【解析】易得切点为(-e,-e),f'(x)=ln(-x)+1,则f'(-e)=2,所以切线方程为y-(-e)=2(x+e),即2x-y+e=0.2x-y+e=0(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程分别为______________,______________.

解题技法求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.

(0,0)解题技法求切点坐标的思路(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程组求出切点坐标.

e(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是__________________.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

解题技法利用导数的几何意义求参数的方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.提醒:(1)注意曲线上横坐标的取值范围;(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.

ln2

类型一

求两曲线的公切线[例1](2023·湘潭模拟)已知直线l是曲线y=ex-1与y=lnx+1的公共切线,则l的方程为________________.

y=ex-1或y=x

类型二切点相同的公切线问题[例2](2023·金华模拟)已知函数f(x)=ax2与g(x)=lnx的图象在公共点处有共同的切线,则实数a的值为________.

类型三

切点不同的公切线问题[例3]若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=__________.

1-ln2

对点训练1.若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=(

)A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.依题意得,f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0),即-asin0=2×0+b