高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 15(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(15)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.己知力(2,0),B(0,4),C(cosa,sina),。为坐标原点.

(I)^rOC//AB>求tana的值；

(n)^|OA+OC|=V3.且ae(0,7r),求丽.瓦.

2.如下图，在团OAB中，P为边A8上的一点，BP=2PA.|OA|=6，|而|=2，且血与丽的夹

角为60。.

(1)设丽=xUX+y而，求x,y的值;

(2)求丽.靠的值.

3.已知向量五=(cosx,sinx),b=(2cos-2sin彳)，且％6肾5)，求：

⑴一.泰喉一司的取值范围;

(2)函数/(*)=五%—忖一川的最小值.

4.在平行四边形OABC中，过点C的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N,若两=%而，丽=

yOB;

(1)求y关于x的函数/(为解析式:

(2)设函数G(x)为R上的偶函数，当xe[0,1]时，G(x)=/(x),又函数G(x)的图像关于直线％=1

对称，当方程G(x)=ax+：在彳6[2/£,21+2)(k6/7)上有两个不同的实数解时，求实数。的取

值范围；

5.如图，在边长为1的菱形A2C。中，NDAB=60是线段C£>上一点，且满足|荏|=2|而

设荏=区近=反

(1)用乙方表示而；

(2)在线段BC上是否存在一点打满足4尸，BE?若存在，确定点尸的位置，并求|万|；否则,

请说明理由.

6.已知椭圆a捻+3=19>8>0)的离心率是右椭圆C过点

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知岂,尸2是椭圆C的左、右焦点，过点尸2的直线，(不过坐标原点)与椭圆C交于4B两点，

求用了•”的取值范围.

7.已知点4(2,3),8(4,-2),C(-2,l),求：

(l)cos乙4CB；

(2)△ABC的面积.

8.已知向量同=1,|b|=2且满足(3+2方)J.(3。—另)，求：

(1)向量五与石夹角的大小；

(2)区一2H的值.

9.已知圆C经过(2,4),(1,3)两点，圆心C在直线x—y+1=0上，过点力(0,1)且斜率为k的直线

/与圆C相交于M,N两点.

(1)求圆C的方程；

(2)①请问前•丽是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

②若丽•丽=12(0为坐标原点)，求直线/的方程.

10.已知渡船在静水中速度近的大小为(遥+或)m/s,河水流速区的

大小为2m/s.如图渡船船头方向与水流方向成个夹角，且河面垂直

宽度为600(b+l)m.

(I)求渡船的实际速度与水流速度的夹角；

(U)求渡船过河所需要的时间.[提示：4+2V3=(V3+1)2].

11.如图，在矩形ABC。中，点E是8C边上中点，点尸在边CZ)上.

(1)若点/是C£)上靠近C的三.等分点，设前=+求2+〃的值.

(2)若48=b，BC=2,当荏•/=1时，求OF的长.

12.如图，已知AOCB中，点A是BC的中点，。是线段。8的靠近B的三等分点，DC和04交于

点E,设。A-a>OB-b-

(1)用方石表示向量能，配；

(2)若瓦?=4成，求;I的值.

13.已知单位向量记，n,且|记一元|=百，求:

(1)向量记，记的夹角；

(2)|2m-n|；

(3)若向量2沅-行与向量沆+k元垂直，求实数%的值.

F

14.如图，在菱形ABC。中，BE=^BC,CF=2'FD

(1)若品=x而+y同，求3x+2y的值；

(2)若|同|=6/B4。=60。，求前•就.

15.已知向量五和石，|益|=|至|=1,S.\a+kb\=>/3\a-kb\.

(1)若方与方的夹角为60。，求k的值；

⑵记/(k)=a-b+J(fc2-3fc-i+3),是否存在实数x,使得/(k)>1一比对任意的t6[-1,1]

恒成立？若存在，求出实数尤的取值范围；若不存在，试说明理由.

16.已知4(—1,0),B(0,2),C(—3,1),而•荷=5,AD2=10-

(1)求点D的坐标；

(2)若点。在第二象限，用用，而表示前；

(3)设荏=(矶2)，若3荏+而与荏垂直，求荏的坐标.

17.如图，在。C中，设0c的半径为r,弦A8的长为2a

c

B

(1)试探究：丽•前的值与r或a的值之一是否有关？若有关，求出相应的表达式；若无关，说

明理由；

(2)若r为定值，点A、2在OC上运动，当弦A8的长为何值时，AABC的面积S最大？并求出

S的最大值.

18.如图，已知正方形ABCO的边长为2,过中心。的直线/与两边48、CD分别交于点M,N.

⑴求丽•瓦的值；

(2)若。是8c的中点，求西•丽的取值范围;

(3)若P是平面上一点，且满足2加=4丽+(1-;I)近，求丽・丽的最小值.

19.在ZL4BC中，底边BC上的中线4。=4,若动点P满足访=si/。•扇+cos?。•丽(。eR>

(1)求(PB+PC)-4P的最大值;

(2)若44BC为等腰三角形，且AB=5,点尸满足(1)的情况下，求PR.pc的值•

20.如下图，在直角△4BC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，|荏|=3,

府|=6.

(1)用南，前表示而和曲；

(2)求向量方与正夹角的余弦值.

21.在2L4BC中，。是BC的中点，AB=2,AC=4,AD=V3.

(I)求448。的面积：

(n)若E为BC上一点，且荏=2(瑞+篇)，求;I的值，

22.已知向量；=(cosa,sina)，b=(cos£,sin.)，c=(2,0).

(1)求向量M+q的最大值；

(2)设&=?,且热_L(b+U),求cos£

23.某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向2(W)km的海面P处，并正

以2()kui/h的速度向北偏西。方向移动(其中cos。=引，台风当前影响半径为lOkui,并以

l()kiu/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？

24.已知非零向量n谕足同=2即S.(a-b)lb.

(1)求；与了的夹角；

(2)若卜+“=V14,求忖.

25.设向量a,b满足|a|=\b\=1及13a-2b\=夕，

(1)求a,b夹角。的大小；

(2)求|3a+b|的值.

26.如图，在回力BC中，/.易=0,|几|=8,|h|=6,L为线段8C的垂直平分线，乙与BC交与

点。,E为L上异于D的任意一点.

⑴求G-CB的值;

(2)判断晶.H的值是否为一个常数，并说明理由.

27.(1)已知向量为=(l,k),b=(2,2)，且a+方与五共线,求五7的值；

⑵已知[矶=2,同=3,三与石的夹角为60。，5丘+3氏2=3五+小.当312时，求实数%的

值.

28.已知向量不，b，不满足有+E+不=6，且|口=3,高|=5，41=7.

(1)求2与方的夹角仇

(2)是否存在实数〃使〃a+石与为—2石垂直•

29.已知向量沅=(cos—1)，n=(V3sinj,cos2|),设函数f(x)=记•元+L

(1)若xe[0,J/(x)=1,求x的值；

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足2bcosAW2c-Ba，求/(B)的取

值范围.

30.已知平面上3个向量乙瓦小模分别为|初=i,\b\=2,\c\=3,它们相互之间的夹角均为120。。

(1)求向量，一方与不夹角的余弦值；

(2)若区五+石+现〉1，求％的取值范围。

【答案与解析】

1.答案:解：(I)因为4(2,0),8(0,4),C(cosa.sina),

所以元=(cosa,sina)，AB=(―2,4)>

又反〃荏，所以4cosa+2sina=0,

即tana——2；

(口)因为|。4+0C|=V5,OC=(cosa,sina)»函=(2,0)，

所以(2+cosa)2+sin2a=3.

即5+4cosa=3,BPcosa=—

又aG(0,TT),所以sina=V1—cos2a=争

所以砺.0C=4Xy=2V3.

解析：本题考查数量积判断两个平面向量的平行关系，考查了三角函数的化简与求值，考查计算能

力，是中档题.

(I)由题意，0C=(cosa,sina),AB=(-2,4)-根据阮〃丽，可得4cosa+2sina=0,利用同

角三角函数的基本关系可得tana；

(II)由向量的坐标运算得5X+OC=(2+cosa,sina)，根据向量的模的运算及同角三角函数的基本关

系可得cosa的值，结合。€(0,兀)，求出sina,由向量的数量积的坐标运算可得而.玩.

2.答案：解：(1)法一：因为而=2可，由定比分点公式，

得加=—08+—0A=-0A+-0B,

1+21+233

又因为瓦?、话不共线，所以，x=l，y=i,

法二：如下图，过点尸做PM〃0B,PN〃。/1分别交OA,OB点M,N,

因为而=2万，所以蔡=：，所以瑞=|，器=*，

又四边形。MPN为平行四边形，所以赤=而+丽=|用+：南,

又因为万?、而不共线，所以x=|,y=

法三：因为P为线段AB上的一点，即P,A,B三点共线，

所以x+y=l,即y=l-x,OP=XOA+（1-X）OB>

移项可得：丽一布=而即乔=x瓦？，

因为前=2可，所以而=|同，

因为瓦？羊6，即x=|,此时y=l-x=5

所以x=|,y=I；

法四：因为肝=2万，所以丽=|瓦?，

>,一'>>■■■■,■,>0'―+'>O1111->,■,■11>21>1>

OP=08+BP=OB+-BA=OB+-（0A-OB）=-OA+-OB,

33、,33

又加=x0^4+yOB，

又因为瓦?、南不共线，

所以x=|,y=-

法五：因为P为线段AB上的一点，BP=2PA,

所以而一话=2。1一而），移项可得：OP=10A+^0B,

又因为赤、话不共线，所以x=|,y=/

法六（坐标法）：（1）如下图，以。为坐标原点，OA所在直线为x轴，过。与OA垂直的直线为y轴,

建立平面直角坐标系xOy,

因为|布|=2,AAODW),\0A\=6,所以B(l,b)，4(6,0),

所以羽=(6,0)，OB=(1,V3)，

又而=xH?+y而，所以而=(6x+y,My)，

所以P(6x+y,V3y)>

所以前=(6x+y—1,V3(y-1))>P4=(6—6x-y,-V3y)>

因为丽=2可,

6x+y-l=2(6-6x-y)2%；

所以

V3(y-1)=-2y/3y33

(2)由⑴知同=(-5,V5)，OP=

所以荏.诃=(-5)xY+V3xY=-y-

解析：本题考查了向量的加减运算，平面向量基本定理的运用，向量数量积的运算，考查了分析和

运算能力，属于中档题.

⑴法一：运用定比分点公式，得到诃=*而+后次=|耐+1而，即可求出x,>•；

法二：过点P做PM〃OB,PN〃OA分别交。4,OB点M,N,运用几何关系即可求出x,以

法三：根据P,A,B三点共线，得到x+y=l,运用向量加减运算得到加=x瓦?，结合而=2对即

可求出x,y；

法四：根据丽=2而，结合向量加减运算得到前=|耐+!而，进而得到x,y；

法五：由P为线段A8上的一点，丽=2同，得到诃-丽=2(OA-'OP)，移项可得：OP=^OA+

癖,即可得到X,>'；

法六(坐标法)：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过。与OA垂直的直线为)，轴，建立平面直

角坐标系x。)，，建立坐标关系，解方程组即可得到x,y：

(2)根据(1)可得而=(—5,遮)，加=《,/),代入坐标运算即可求解.

3.答案：解:(1)因为苍=(cosx,sinx),b=(2cos2sin|)

所以方•b=cosx•(2cos|)+sin%•(—2sin|),化简得：a-b=2cosy,

因为口W仔干,

所以|x66，？),则一1<cos,《J,所以—2<2cos,《1,

ZooNNN

则五不的取值范围是

X|a|=1»|另|=2，a-K=2cosy

所以|五一石|=J|a-K|2

=J|五|2+\b\2-2a-b'

故|8一石|=J5-2五.1，

Xa-KG[-2,1])所以一2方•石e[-2,4]，

则5-2五[3,9]，所以|万一了|€[遮,3].

(2)由(1)可知/(%)=方不_।五一石।=a-b-y/5-2a-b'

令t=五•b,tE[―2,1],所以y=t——5—2t,

令u=、5—2t,a€[b,3]，WJy=-|u2-u+|

由y=+|在〃G[b,3]单调递减，

所以ymin=-^X32-3+|=-5,

所以f(%)=ab—\a-b|的最小值为一5.

解析：本题考查了向量的模、向量的数量积、余弦函数性质和二次函数性质，是较难题.

(1)先由向量的数量积得出1i=2cos手，由余弦函数性质得出取值范围，由।为一片=小方一下

^\a\2+\b\2-2a-b，化简得|Q-5|=V5-2a-K，即可得出其取值范围；

(2)由(1)可知f(x)=a-b—y/5—2a-b,令t=A,b,te[—2,1]>所以y=t—V5—2t>令”=

V5-2t,uG[V3,3])由二次函数性质可得最小值.

4.答案：解：(1)利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得：

c

B

丽丽网

,I=--I.，

\0A\\CB\]NB\

又由丽=%瓦孔ON=yOB；

二久=白，解得y=上

：,y关于x的函数解析式y=/(%)=W

(2)当％e[0,1]时,G(x)=/(x)=券又由条件得G(2-%)=G(x),

••・G(2+x)=G(—x)=G(x).

当xe[l,2]时，042—尤41,••.G(2-x)=/=W，

Z—x+15—X

"G(2-x)=G(x),G(x)=芸

X

从而G(x)=

"152

‘吊，xJ2k,2k+l]

由G(x+2)=G(x)得G(x)=■

、与"磔+1，2k+2]

设在同一直角坐标系中作出两函数的图象,

yi=G(x),y2=ax+

当函数为=Q%+5图象经过点(2k+2,0)时，a=一：.

由图象可知，当ae［一就有,0)时，

yi与乃的图象在Xe[2k,2k+2](/ceN)有两个不同交点,

因此方程G(x)=ax+e[2k,2k+2]上有两个不同的解；

实数。的取值范围是[一白^,0).

”匕十

解析：本题考查平面向量与函数的综合运用问题，属于难题.

(1)利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得X与y的关系.

(2)利用对称性和函数的奇偶性求出函数G(x)的解析式，再根据方程G(x)=ax+；

在xG[2k,2k+2)(fcGN)上有两个不同的实数解时，转化为两个函数在同一坐标系下有两个交点,

从而求出实数”的取值范围.

5.答案：解：(1)根据题意得：

CE=-CD=-~BA=--AB=--a,

3333

BE=BC+CE=b--a.

3

(2)设前=£前=《3，则而=(1一。石，te[0,1],

・•・AF=AB+BF=五+tb，

因为在边长为1的菱形45co中，A=60°,

\a\=|b|=1,7Tb1x1xa>»6(F=:,

为使AFLBE,则万・丽=0，

即(五+tb)-0-1万)=(1-|t)日.方-|a2+t至2

=(l--t)xi--4-t=-t--=0,

V3/2336

解得t=(€[0,1]»从而AF=五+[b,

此时丽=；阮，如图：

4

国=尉=］片+初不+物=J1+2+表=等

综上所述，满足题意的点尸存在，乔=;配，且此时|希|=亨.

解析：本题考查向量的加、减法运算法则，数量积运算，属于中档题.

(1)根据题意可知前=而=石，求得请=-|4，从而即可得到丽的值.

(2)根据题意设丽^《南二亮，求得都，而关于方，石的表达式，为使川FBE,则存•战=0,

利用数量积的运算得到关于f的方程，求得/的值，看是否在［0,1］的范围内即可，然后确定尸的位置,

并利用向量的模的求法得到|而|的值.

'a2-b2_1

6.答案：解：(1)由条件知］1一叽一”，

—+—=1

U24成

解得像翼

因此椭圆C的方程型+?=L

(2)设4(Xi，yi),B(X2，y2)，

则瓦X=(%1+Lyi),耳万=(x2+l,y2),

设直线/的方程为x=my+1,

代入椭圆C的方程消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,

由韦达定理得以+=蕉;，*=舄，

瓦？•瓦豆=(与+1)(%2+1)+yiy2=Oyi+2)(my2+2)+yxy2

=(1+/)%为+2moi+丫2)+4

—9—6m—9m2+719

o2

=(1+m7)-2-z4-2m--z-----+4=——5-----=-3+--z

3m+437n2+437n2_|_437n2_|_4

3m24-4>4,

・•・0<<y,

3nl2+44

197

-

3<-3+--T-<->

3m2+44

所以瓦?♦包e(一3..

解析：本题考查由离心率求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题，涉及平面向量数量

积，属于较难题.

(1)由离心率及点的坐标列出关于a,b的方程组，解之可得椭圆标准方程：

(2)设4(Xi，yi),B(X2，y2)，设直线/的方程为x=my+1，代入椭圆方程后应用韦达定理得y1+

y2，y，2,代入不•窃，利用不等式的性质可得取值范围•

7.答案：解：(1)由题意乙4cB即区与福的夹角，

vCA=(4,2)，CB=(6,-3)，

4x6-2x3183

.(<科Z/i(Is=Lh=———-----==-,

|C^||C5|2v/5x3s/56x55

3

:.CQSZ-ACB=-；

(2)设A”为5c边上的高,

则4"=|AC\sinAACB=IAC|V1-cos2zACB=2V5x|=喀

55

而|就|=3遮，

S^ABC=Jx8/x：).=12，

.•.△ABC的面积是12

解析：本题考查的是平面向量的坐标运算，夹角以及数量积，三角形面积公式.

01ri

(1)由题意乙4cB即正与方的夹角，根据c^\Cm即可得出答案;

(2)设AH为8c边上的高，A"=|前|sin乙4cB=|AC|V1-cos2zACB，由三角形面积公式即可得

出答案.

8.答案：解：(1)设方与3的夹角为。，

由己知得0+23)<3日一行)=3五2+5弓不一23=3+lOcos。-8=0,

所以cosO=%又0。4。式180°,

所以9=60。，即日与方的夹角为60。.

(2)因为位—2b)2=五2—4百.b+4b=13,

所以|苍一21|=V13.

解析：本题主要考查向量的数量积，向量的夹角，向量的模，属于中档题.

⑴由条件可得0+23)•(3方一石)=3五2+5己方一2丁=3+lOcos0-8=0-可求得cos8=}

可得益与石夹角的大小：

(2)由题意计算0-2尤)2,即可求解.

9.答案：解：(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

(2—a)2+(4—b)2=r2,

依题意，得卜1一a)2+(3-b)2=r2,

、a—b+1=0,

a=2,

解得卜=3,

r=1.

・••圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.

(2)①宿・宿为定值，

过点4(0,1)作直线AT与圆C相切，切点为T,易得|47|2=7,

.-.AM-AN=\AM\-\AN|cos0°=\AT\2=7.

.•.祠•而为定值，且定值为7.

②依题意可知，直线/的方程为y=kx+l,

设M(xi，yi),N(x2,y2),

将y=kx+1代入(x—2)2+(y-3)2=1并整理，

得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,

4(l+fc)7

•••X1+X2=KT，/*2=诉，

OM-ON=xrx2+丫1丫2=(1+I)%1+fc(xx+工2)+1=喈券+8=12,

即竺”=4,解得k=l,

1+k2

又当k=1时d>0,

k=1,

•••直线/的方程为y=x+l.

解析：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问

题的能力，属于中档题.

(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y—b)2=r2,把点代入，解方程组得出小b,r,得出圆的方程；

(2)①过点4(0,1)作直线AT与圆C相切，切点为T,求出|4T|2,则初•前=|宿||丽|cos0。=

\AT\2,即可得解；

22

②令直线I方程为y=kx+l,代入圆的方程得(1+fc)x-4(1+fc)x+7=0,解得/+x2,x1-x2,

又3标•5V=X1%2+=(1++kQi+%2)+1=12，解得k,得出直线方程.

10.答案：解：(I)以。为坐标原点，区所在直线为X轴建立平面直角坐标系：

由条件<五后>=(，国|=2,|v7|=V6+V2>

知说=(2,0),v；=(V3+1,73+1).

由万=五+诟=(遮+3,V3+1),

即|刃2=16+8V3，

所以|出=，16+84=2(6+1)

所以cos<vl,v>=器=43R

1

\v\\vr\2(V3+l)-22

故<它国>=±

O

即所以渡船的实际速度与水流速度的夹角g

O

(口)由(1)知船垂直方向速度为|万|•sin：=V3+1,

所以渡船过河所需要的时间当丝°=600s.

解析：本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，考查向量的应用，属于中档题.

(I)以。为坐标原点，访所在直线为X轴建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的模以

及夹角公式即可求出，

(H)先求出所走的路程，即可求出所需要的时间.

11.答案：解：(1)前=而-荏=而+而一(超+四)

21

=AD+-DC-(AB+-BC)

__21

=AD+-AB-(AB+-AD)

制而后方，

又前=4南+,而,

・,"=—不〃=[,••・a+〃=>

OZO

(2)以AB,AD为x,y轴建立直角坐标系如图：AB=小,BC=2,

X

则4(0,0)，B(V3,0);F(V3,1).

设F(x,2),0<x<2,

AE=(V3,l)-BF=(x-V3,2).

■■AE-BF=1，

：.V3(x-V3)+2=1，

2y/3

X=----，

3

...|DF|=尊

解析：本题考查向量的加减的几何意义和向量在儿何中的应用，建立平面直角坐标系是解题的关键

之一，考查计算能力.

(1)根据向量的加减的几何意义即可求出：

(2)建立平面直角坐标系，设F(x,2),根据向量坐标的数量积求出％=竽，即求出QF的长.

12.答案：解：(1)-OC=OB+BC='OB+2'BA='OB+2(OA-OB)=2OA-OB9

已知。4=a,OB=b，

・・.OC=2a—by

-----»-----»-----------»7-----»

■■-DC=OC-OD=OC--OB,

.­.DC=2a-b--b=2a--b.

33

(2)设屁=〃配0>0).

OE=OD+DE=OD+fiDC,

=~OD+n(OC-两

=(1-n)OD+nOC，

•••OD==|b,OC=2a-b,

•••OE=2〃方+(|-汕］,

又屈=4m=/12，且五万不共线,

所以由平面向量基本定理知：4=2〃且|-号=0,

解析：本题考查的知识要点：向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的加法和减法运算，主要

考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

(1)直接利用向量的线性运算的应用和加减法的应用求出结果.

(2)直接利用向量的线性运算和共线向量的充要条件的应用求出结果.

13.答案：解：(1)设向量沅，元的夹角为0；由己知得，|行|=|记|=1；

•••\m—n\2=(m—n)2=m2—2m-n+ri2=2—2m-n=3i

m-n=­I；

八mn1

・•・COS6=_=——

|叫|川2

v0<0<7T；

(2)v|2m-n|2=(2m-n)2=4m2-4m-n4-n2=44-2+1=7;

・•.|2沆一五|=A/7

⑶・・,向量2沅一元与向量沆+土有垂直,

/.(2m—n)•(m4-fcn)=0.

2rn+(2k-l)m-n-kn2=2+(2k--fc=0,

解得k=

4

解析：本题考查向量的模、向量的夹角、向量垂直的判断与证明以及向量的数量积，属于中档题;

(1)设向量记，五的夹角为仇由已知得，|而|=|元|=1；

mn

由|沆一元|=百可得万•亢=-g，再由cosJ=-p即可求解;

I沆I同

(2)|2m-n|2=(2m-n)2=4m2-4m-n+n2=4+2+1=7;即可求解;

(3)向量2沅-元与向量沅+k记垂直，可得(2记-H),丽+上元)=0.即可求解;

14.答案：解：⑴因为而=9元，谓=2而,

所以前=正+方=之配一|玩荷一|荏,

所以工=-1,y=

故3x+2y=3x(一|)+2x；-1

(2)-：AC=AB+AD,

12,1Q221

.-.AC-TF=(AB+AD)■(-AD--AB)=-AD--AB--AB-AD

23236

:四边形ABCD为菱形，|同|=|近|=6

■•■AC-EF=-i|AB|2|2cosABAD.

=_lx36_lx36xi=-9,

即前•前=-9.

解析：本题主要考察平面向量基本定理和平面向量的数量积问题，是基础题.

(1)利用平面向量基本定理，取荏，而为基底，利用向量加减法可解：

(2)把所有的向量用基底存，而表示后，计算正.市即可.

15.答案：解：(1)|初=|石|=1，五与石的夹角为60。,

则N-b=\a\•\b|cos60°=lxlx^=|

由|k+kE|=遮|五一k石I，两边平方可得,

(a+kb}2=3(五一k方A，

——27—»,2

a+2ka-b+k2b=3(a-2ka-b+k2b)>

即有1+卜+卜2=3(1-fc+fc2),

解得k=1；

(2)由(1)得,a2+2ka-b+k2b2=3(a2—2kab+k2b2)

即1+忆2+2/ca-K=3(1+1-2/ca-b)

即可得1•弓=；(k+》，

1iioi

■■-fW=-(k+--)+-(k2-3k--+3)

TtTVT,K

22

=i(fc-2k+3)=i[(k-l)+2],

•••fWmin=1

因为/(k)>1-tx对于任意t6恒成立,

f(k)min》1-tx.

所以1》1—tx,

即证>夕寸于任意te恒成立,

构造函数g(t)=tx-1.

x<—1

从而g(T)>o

ED>o

由此可知不存在实数X使之成立.

解析：本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查不等式恒成立问

题转化为求函数的最值问题，构造一次函数运用单调性是解题的关键，属于拔高题.

(1)运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，解方程即可得到女的值；

(2)求出f(k),再由二次函数性质求得f(k)的最小值，假设存在实数x,使得/(k)Nl-tx对任意的

1,1］恒成立，构造一次函数运用单调性，解不等式即可判断.

16.答案：解：(1)设。(招、),而=(1,2)，AD=(x+l,y).

LfAB-AD=x+l+2y=5

由题得_2，

vAD=(x+l)2+y2=10

即黑;)力3解喉:啸著

••.D点的坐标为(-2,3)或(2,1).

(U”.•。点在第二象限，

D(-2,3).

.•.而=(-1,3).

"AC=(-2,1)，

设彳？=mAB+nAD，则(-2,1)=m(l,2)+n(-1,3),

,(—2=m—n

tl=2m+3n"

.•/m=T,

tn=1

:.AC=-AB+AD.

(ID)73AB+AC=3(1.2)+(-2,1)=(1,7),AE=(m,2).

•••3四+刀与荏垂直，

一'>一，一'>

・・・(3AB+4C)・4E=0，

Am+14=0,

・•.m=-14,

•••AE=(-14,2).

解析：本题主要考查向量的数量积和平面向量的坐标运算，以及向量垂直，属于基础题.

(1)利用向量的数量积运算求解.

(2)利用向量的数量积运算求解.

(3)利用向量的数量积运算求解.

17.答案：解：(1)只与a有关，与r无关

理由如下:

过C作CDJ.AB于。

由垂位定理知，。为AB中点，设4CAB=Q,

•••AB•AC=|AB||AC|cos0=2a.(|AC|•COS。）

其中，在Rta/ICD中，\AC\cos6=AD=^AB=a

AB-AC=2a2即初•质的值长与〃有关.

(2)法一：由已知CD1AB且。为AB中点

在Rtz\4CD中，AD=rcosQ,CD=rsind­1-AB=2AD=2rcos9

：22

■S=-2AB.2CD=--2rcos6-rsin0=rsindco2sd=-rsin26

其中96(0,》显然二当2。=］即。=?时

2

Smax=^r此时4B=2rcos^=V2r

答：当弦AB的长为夜r时，S最大，最大值为12.

法二：在Rt△ABC中，AC=r,AD=a则CD=Vr2-a2(0<a<r)

S=-AB-CD=--2a-Vr2-a2.V2_2<

22=ara2

=—当a=7丫2—淳即0=立r时取"="此时48=

22

解析：本题考查了向量的数量积以及三角函数的应用，是一般题.

（1）直接根据数量积的定义求出荏.AC，根据其表达式做出判断；

（2）方法一，把△ABC的面积表示为。的函数，根据三角函数的性质进行求解；

方法二在Rt△ABC中，AC=r,AD=a则CD=Vr2-a2（0<a<r）S=^AB-CD=1-2a-

尸二滔，根据基本不等式进行求解.

18.答案：解：（1）由正方形可得瓦•觉=0

所以丽•比=（BC+CD）-DC=-CD2=-4：

（2）因为直线/过中心。且与两边AB、分别交于交于点M、N.

所以。为M、N中点，

所以两-QN=（QO+丽）•（丽+丽）=丽?—西2

因为。是8c的中点，

所以|诃|=1,1<\OM\<V2.

所以-4<QO2-OM2<0，

即诚•丽的取值范围为

（3）令罚=2左，由词=2丽=4话+（1-，）能知点T在BC上，又因为。为“、N中点，

所以|词|》1，从而|而|

PM•PN=（PO+OM）•（PO+ON）=PO-OM

因为1<|OM|<V2,

所以丽・丽=才一病1_2=_7>

44

即丽•丽的最小值为

4

解析：本题考查向量的数量积，向量的基本运算，向量的模，向量共线的判定与证明，向量的几何

运用，数中档题.

(1)将向量前分解为曲+CD，利用垂直和数量积的运算即可求解；

(2)由。为M、N中点可得西.丽二丽？一丽2,再由।而困।丽।的范围计算即可；

(3)令讨=2诃，由向量共线的判断可得点T在3c上，即可得|而|的范围，再由丽.丽=丽2一

OM2＞结合|而|的范围计算即可.

19.答案：解：⑴...BP=sin20-BA+cos26'且sin?。+cos20=1,

•••4P,D三点共线，又siMee[O,l],cos20G[0,1],

P在线段A£)上，

•••D为BC的中点，设|PD|=x,则|AP|=4-x,xG[0,4],

：.[PB+PC)-AP=2PD-AP=2x(4-x)=-2x2+Qx=-2(%-2)2+8'

.•.当x=2时，(而+地).而取最大值8；

(2)•••4ABC为等腰三角形，且A。为底边的中线，

•••以。为坐标原点，DC,D4所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

22

由(1)可得P(0,2),乂|BD|2=g-4=9,

•••5(-3,0),C(3,0),

则PB-PC=(-3,-2)-(3,-2)=-94-4=-5'

解析：本题主要考查平面向量基本定理、二次函数的性质及向量的数量积，考查了学生的计算能力，

培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.

(1)根据平面向量基本定理可知三点共线且P在线段AO上，设|PD|=x,则|4P|=4-x,xe

[0,4],可将(PB+PC).虫整理为-20-2)2+8,根据二次函数图象可求得最值；

(2)以。为坐标原点，DC,D4所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，根据|B0|2=52_42=9

可求得E,C坐标，根据数量积的坐标运算可求得结果.

20.答案：解：(1)因为。为斜边BC的靠近点B的三等分点，

所以前=[就=：(而-四)=^AC-^AB,

------>-----♦1,1,1►2>1>

AD=AB+BD=-AB+-AC.

33

因为E为AO的中点，

所以荏=工而=三隹荏+工前)=-AB+-ACf

223336

所以的=荏一荏=2荏-3近；

36

(2)£C=4C-4E=-浑+萍，

因为m4BC为直角三角形，

所以AB1AC,

所以(殖祠=90。，

所以前.比=(^AB-^AC)■(-|AB+|^4C)=-||AB|2-^C-^|^C|2=-2-5+

—|4B|­|4C|cos(AB,AC)=-7,

易知I前|二花，\EC\=V26>

设向量而与方的夹角为。，则cos8=EBE?-77>/130

\EB\-\EC\一^5x^26—130

解析：本题考查向量的线性运算，向量的夹角，向量数量积的运算律，属于中档题.

(1)由向量的数乘以及加、减运算表示而和前；

(2)设向量丽与方的夹角为仇贝服05。=第当，由向量的数量积的运算律以及模长，代入求值.

21.答案：解：(I)由题意，:D是8C的中点，

：.AD=^(AB+AC),

•••|同/=；(荏+而产=^\AB\2+\AC\2+2AB-AC'),

即3=*(4+16+2荏•前)，解得通•旅=一4.

超前1

/.cosZB.4C=

丽•而—2

又0<Z.BAC<TT>NBAC=手，

•••S4ABe=-AC-sin/BAC=|x2x4xy=2遮.

(n)由题意，•.•荏="需+|豁,

\na\

赫为44BC中/BAC的角平分线，

由(1)可知，ABAE=Z.CAE=^ABAC=.

由S"8C=SMBE+S—CE可得

i7T17T1

ADAEsm^+-AC-AEsin^-=-AB-AC-sin—,

232323

即省AE+V14E=2遮，从而4E=j

23

由荏=，嚅i+却可得：

故'=3'

解析：本题考查平面向量的几何运用，平面向量的夹角，运算，数量积等，考查三角形的面积公式,

属于中档题.

(I)根据。是BC的中点，得到同=］而+前')，从而得出近.前=-4，由平面向量的数量积公

式得出NZMC即可计算△ABC的面积；

«)

(□)由荏=A(儡+|篇)可知AE为△ABC中乙BAC的角平分线，再根据S.c=S.+S-CE得出

AE=*从而可知/I=

22.答案:解：(1)vb=(cos/7,sin/?),c=(2,0),

.%b+c=(2+cos。,sin/?)，

A|fa+c|=7(24-cosp)2+sin2^?

=y/54-4cosy?,

当COS0=1时，上式取最大值为3,

・・・B+目的最大值为3；

(2)由⑴知,另+不=(2+cos0,sin0)，

当a=9则胃=(：./)，

一--1V3

Q.Q+.=(-,—)•(cos0+2,sin/?)

=|cosS+?sin£+1=sin(夕+£)+1，

va1(h+c)>

.%a•(Z?4-c)=0，即sin(/7+巳)=一1，

解得6+£=2"一,可得6=2"一J

bN3

・•・CGS0=—

解析：本题考查平面向量和三角函数的综合，解决问题的关键是熟练掌握先关的结论，属于中档题.

(1)由已知可得3+2坐标，可得13+小，由三角函数最值可得答案；

(2)由(1)可得向量坐标，由垂直可得数量积为0,由等式和三角函数可得sin(0+9=-1,然后求

解0的值，最后求解COS0即可.

23.答案：解：如图，设该市为A,经过，小时后台风开始影响该城市,

则，小时后台风经过的路程PC=(20t)f