2021-2022学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷（学生版+解析版）

20212022学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题

意的.

1.（2分）如果3x=5y,则下列比例式成立的是（）

x3x5xy35

A.­二_B..=.C.-=-D.-=一

y5y335xy

AD

2.（2分）如图，在△ABC中，DE//BC,—=2,若4E=6,则EC的值为（）

3.（2分）抛物线y=2/先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线解析式为

（）

A.y=2(x-1)2-3B.y=2(x+1)2-3

C.y=2(x-1)2+3D.y=2(x+1)2+3

4.(2分)如图，角a在边长为1的正方形网格中，则tana的值是()

23g27133

A.-B.-------C.-------D.

313132

5.（2分）如图，A3为。0的直径，弦CCA8,垂足为点若。。的半径为5,。=8,

则AE的长为（）

A

A.3B.2C.1D.V3

6.（2分）如图，RtZ\ABC中，NACB=90°,NB=30°,作NG4£>=30°,C3_L4£>于

D,若△AOC的面积为1,则△ABC的面积为（）

A.2B.3C.4D.8

7.（2分）为了解不等式“工Vm”，明明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该

m

不等式的解集为（）

A.fn>1B.-1

C.m<-1或0<机<1D.〃2>1或-l<m<0

8.（2分）用长为2米的绳子围成一个矩形,它的一边长为x米，设它的面积为S平方米

则S与x的函数关系为（）

A.正比例函数关系B.反比例函数关系

C.一次函数关系D.二次函数关系

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）在函数y=£中，自变量x的取值范围是.

10.（2分）如图：在。。中，A,B,C是。。上三点，如果408=70°,那么NC的度

数为

c

4^--------〜

11.（2分）如图，若点P在反比例函数y=一|（x<0）的图象上，过点P作尸MLx轴于点

M,PN±y轴于点N,则矩形PMON的面积为.

12.（2分）在RtZ\ABC中，ZC=90°,如果cosA=4,AC=2,那么AB的长为.

13.（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到

旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m,旗杆底部与平面镜的水平距离为

\2m.若小明的眼睛与地面的距离为1.5相，则旗杆的高度为.（单位：成）

Z

14.（2分）若二次函数-2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是

15.（2分）如图，PA,P8是。。的切线，A,B是切点.若/尸=50°,贝Ij/AOB=

16.（2分）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份

这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价

（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断月份出

售这种药材获利最大.

月份…36…

每千克售价86

三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23〜26题，每小题5分，第27、

28题，每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

1__

17.(5分)计算：|-V3|+(-)'-V12+2cos30o.

18.(5分)如图，在△4BC中，点。在AB边上，ZACD=AABC.

(1)求证：△ACQs/XABC；

(2)若AO=2,AB=5.求AC的长.

19.(5分)已知二次函数y=/+2x-3.

(1)求该二次函数图象的顶点坐标；

(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；

(3)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=7+2x-3的图象;

(4)结合函数图象，直接写出当y<0时，x的取值范围.

20.（5分）如图，A是O。上一点，过点A作。。的切线.

（1）①连接04并延长，使AB=0A；

②作线段0B的垂直平分线；

使用直尺和圆规，在图中作08的垂直平分线/（保留作图痕迹）;

（2）直线/即为所求作的切线，完成如下证明.

证明：在。。中，•••直线/垂直平分。8

，直线/经过半径OA的外端，且,

...直线/是。。的切线（）（填推理的依据）.

21.（5分）如图，二次函数y=o?+bx+c（aWO）的图象过点A（0,3）,B（,2,3）,C

1,0）则

（I）该抛物线的对称轴为;

（2）该抛物线与x轴的另一个交点为；

（3）求该抛物线的表达式.

3

j______|________|_______]»

-2-1O2345।

-1

22.（5分）因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点3,使得点

A恰好位于点8北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB

=10千米.你能否经过计算得出AC之间的距离.（精确到0.1,参考数据：sin70°弋0.94,

cos70°^0.34）

23.（6分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=（。>0）的图象与直线y=/x+l交

于点A（2,67）.

（1）求a、k的值；

（2）已知点P（〃，0）（n>0）,过点尸作垂直于x轴的直线，与反比例函数图象交于点

B,与直线交于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记反比例函数图象在点A,B

之间的部分与线段AC,BC围成的区域（不含边界）为W.

①当〃=5时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出〃的取值范围.

24.(6分)如图，AB是OO的直径，点C是。0上一点，连接BC,半径0。〃弦8C,

(1)求证：弧弧CD；

(2)连接AC、8。相交于点凡AC与03相交于点E,连接CD,若。。的半径为5,

25.(6分)如图，在RtZsABC中，ZACB=90°,CO_LAB于。，过点C作CE〃AB,过

点A作AE〃CZ),两线相交于点E,连接。E.

(1)求证：四边形AECD是矩形；

(2)若8。=4隗，sin/ACE=等，求。E的长.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线>=以2+瓜+4-2(a>0)的对称轴是直线x

=1.

(1)用含〃的式子表示力；

(2)若当-2<k★3时・，y的最大值是7,求。的值；

(3)若点A(-2,zn)B(3,n)为抛物线上两点，且,”〃<0,求“的取值范围.

y

5

-5-4-3-2-102345H

-1

27.(7分)如图，NMAN=45°,B是射线AN上一点，过B作BCLAM于点C,点。是

8C上一点，作射线A。，过B作于点E,连接CE.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：NCAE=NDBE；

(3)用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明.

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,-1),以。为圆心，0A长为半径画圆，

P为平面上一点，若存在。。上一点8,使得点P关于直线A3的对称点在00上，则称

点尸是OO的以A为中心的“关联点”.

⑴如图，点尸1(-1,0),P2弓，|)>「3(。，|)中，。。的以点A为中心的''关联点”

是;

(2)已知点P(机，0)为x轴上一点，.若点P是。。的以A为中心的“关联点”，直接

写出m的取值范围；

(3)C为坐标轴上一点，以。C为一边作等边△OCD,若CD边上至少有一个点是

的以点A为中心的“关联点”，求CQ长的最大值.

20212022学年北京市平谷区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题

意的.

1.（2分）如果3x=5y,则下列比例式成立的是（）

x3x5xy35

A.­=-B.—=-C.一=一D.­=一

y5y335xy

x3

【解答】解：A.因为一所以5x=3y,故4不符合题意；

y5

x5

B.因为/=?所以3x=5y,故B符合题意；

XV

C.因为］=会所以5x=3y,故C不符合题意;

35

D.因为-=一，所以5x=3y,故。不符合题意;

故选：B.

AD

2.（2分）如图，在AABC中，DE//BC,—=2,若4E=6,则EC的值为（）

【解答】解：：DE〃BC,—=2,

AEAD

••____•———7—,

ECBD

VAE=6,

：.EC=3.

故选：A.

3.（2分）抛物线y=2f先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线解析式为

A.y=2(x-1)2-3B.y=2(x+1)2-3

C.y=2（x-1）2+3D.y=2（x+1）2+3

【解答】解：抛物线y=2?的顶点坐标为（0,0）,

向右平移1个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（1,-3）,

所以，所得图象的解析式为y=2（x-1）2-3.

故选：A.

4.（2分）如图，角式在边长为1的正方形网格中，则tana的值是（）

【解答】解：如图:

在RtAABC中，tana=丽-于

故选：A.

5.（2分）如图，48为。。的直径，弦COJ_AB,垂足为点E,若。0的半径为5,CD=8,

则4E的长为（）

A.3B.2C.1D.V3

【解答】解：连接0C,如图，

：.CE=DE=^CD=4,

在RdOCE中，OE=70c2-CE2=V52-42=3,

：.AE=OA-OE=5-3=2.

故选：B.

6.（2分）如图，RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZB=30°,作NCAZ）=30°,CO_LA。于

D,若△ADC的面积为1,则AABC的面积为（）

A.2B.3C.4D.8

【解答】解：•.•CQ_LAQ,/CAO=30°,

：.AC=2CD,

设C£>=a,则AC=2a,

1

^

7

-

1

-

2

解得/=竽，

□△ABC中，NACB=90°,ZB=30°,

：.AB=2AC=4a,

：.BC=V3AC=2岛，

SJ\ABC=^BC*AC=3x2V5ax2a=2V3a2—2>/3x-4,

故选：C.

7.（2分）为了解不等式“工Vm”，明明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该

不等式的解集为（)

A.m>1B.m<-1

C.，〃<-1或O<W7<1D.机>1或-

【解答】解：观察图象，当x<-1或0<x<l时，反比例函数的图象直线直线丫=

x的上方，

不等式“三<m"是解集是机>1或-1

m

故选：D.

8.（2分）用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米,

则S与x的函数关系为（）

A.正比例函数关系B.反比例函数关系

C.一次函数关系D.二次函数关系

【解答】解：•••矩形的周长为2米，一边长为x米，

...另一边的长为（1-%）米，

.,.S—x（1-x）—-7+x,

与x的函数关系为二次函数关系.

故选：D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）在函数中，自变量x的取值范围是x#2.

【解答】解：要使分式有意义，即：X-2W0,

解得：xW2.

故答案为：xW2.

10.（2分）如图：在。。中，A,B,C是。。上三点，如果NAOB=70°,那么/C的度

数为35°

【解答】解：：脑所对的圆心角是NAOB,丽所对的圆周角是NACB,

ZACB=^ZAOB,

；/AOB=70°,

/.ZACB^|X7O°=35。，

故答案为：35°.

11.(2分)如图，若点P在反比例函数y=—|(xVO)的图象上，过点尸作PMLx轴于点

M,PNJ_y轴于点N,则矩形PMON的面积为3.

MOlx

【解答】解：设PN=a,PM=b,

点在第二象限，

AP(-a9b),代入y=—亍中,得

k=-ah=-3,

・・・矩形PMON的面积=PN・PM=H=3,

故答案为：3.

1

12.（2分）在RtZVIBC中，ZC=90°,如果cosA=协AC=2,那么AB的长为6.

【解答】解：在Rtz^ABC中，ZC=90°,

..AC1

,,cosA=-=->

VAC=2,

：.AB=3AC=6,

故答案为：6.

13.（2分）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到

旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m,旗杆底部与平面镜的水平距离为

\2m.若小明的眼睛与地面的距离为1.5形，则旗杆的高度为9〃？.（单位：机）

一'、/一

【解答】解：如图，BC=2m,CE=\2m,AB=\.5m,

由题意得/ACB=/OCE,

,?NA8C=/DEC,

：./\ACB^/\DCE,

.”一些即空—竺

DECE212

：.DE=9.

即旗杆的高度为9〃z.

故答案为：9m.

T-c-----------------®

14.（2分）若二次函数y=/-2x+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是,〃V1.

【解答】解：•••二次函数y=/-2x+〃?的图象与x轴有两个交点，

A>0,

.•.4-4机>0,

"VI.

故答案为〃?VI

15.（2分）如图，PA,PB是。。的切线，4,8是切点.若NP=50°,则NAOB=130°.

B

【解答】解：•••布，PB是。。的切线，A,8是切点,

J.OALPA,OBLPB,

.../O4P=NOBP=90°,

ZOAP+乙40B+ZOBP+ZP=360",

AZAOB=360°-90°-90--50°=130°.

故答案为130°.

16.（2分）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份

这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价

（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断5月份出售

这种药材获利最大.

【解答】解：设这种药材售价（元）与月份的一次函数关系式为

把（3,8）,（6,6）代入得,{:屋;或,

4^-1一

U=io

二这种药材售价（元）与月份所示的一次函数关系式为y=-|x+10,

设每千克的成本价(元)与月份的之间的抛物线的解析式为，"=〃(x-6)2+1,

把(1,9)代入得，9=a(1-6)2+1,

._8

，每千克的成本价(元)与月份的之间的抛物线的解析式为〃口盘(x-6)2+1,

设这种药材利润为w元，

2

则w=y-m=-,x+10一黄(x-6)-1=—|-.v—96X-288,n8j2/,+238x63

25芯+9=-25-75~25=

8(119.,385

"25(尸勾)"2+”‘

Q11923

<0,对称轴为元=6"=4不，

Z52424

•.•x为正整数，

.,.当x=5时，，卬最大.

故答案为：5.

三、解答题(本题共68分，第17〜22题，每小题5分，第23〜26题，每小题5分，第27、

28题，每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

]

17.(5分)计算：|-V3|+(-)'-V12+2cos30°.

【解答】解：|-V3|+(1)-'-V12+2cos30o

=V3+2-2V3+2X

=V3+2-2V3+V3

=2.

18.(5分)如图，在△A8C中，点Z)在A8边上，ZACD=ZABC.

(1)求证：X&CDsX\BC：

(2)若AD=2,AB=5.求AC的长.

AACD^AABC；

⑵解：V^ACD^/XABC,

ACAD

•••=__,

ABAC

：.AC2=AD'AB,

"：AD=2,A8=5,

.•.3=10,

：.AC=y/10.

19.(5分)已知二次函数y=/+2x-3.

(1)求该二次函数图象的顶点坐标；

(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；

(3)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数)，=/+2x-3的图象;

(4)结合函数图象，直接写出当y<0时，x的取值范围.

【解答】解：(1)y—x^+lx-3=(x+1)2-4,

...该二次函数图象的顶点坐标为(-1,-4)；

(2)令x=0,贝！］y--3,

.•.该二次函数图象与)'轴的交点为(0,-4)；

令y=0,则？+〃-3=0,

解得：x\—-3,&=1,

该二次函数图象与x轴的交点为(-3,0)和(1,0)；

(3):抛物线的对称轴为直线x=-1,

抛物线经过(-2,-3),

由五点法画函数简图，如图所示：

V

（4）由函数图象可得：yVO时，x的取值范围

20.（5分）如图，A是。。上一点，过点A作。。的切线.

（1）①连接OA并延长，使AB=OA；

②作线段。8的垂直平分线；

使用直尺和圆规，在图中作08的垂直平分线/（保留作图痕迹）；

（2）直线/即为所求作的切线，完成如下证明.

证明：在中，:•直线/垂直平分08

...直线/经过半径OA的外端，且04,直线/,

直线/是Q0的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）（填推理的

【解答】解：（1）如图，直线/即为所求;

(2)在。。中，•直线/垂直平分08

直线/经过半径0A的外端，且0AJ_直线/,

.•.直线/是的切线(经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线).

故答案为：0A,直线/,经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线.

21.(5分)如图，二次函数y=«?+6x+c(aWO)的图象过点A(0,3),B(2,3),C(-

1,0)则

(1)该抛物线的对称轴为直线x=l;

(2)该抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)；

(3)求该抛物线的表达式.

【解答】解：(1)二•二次函数>=/+历c+c(“W0)的图象过点A(0,3),B(2,3),

二抛物线的对称轴为直线x=竽=1，

故答案为：直线x=l.

(2)；抛物线的对称轴为直线x=l,且经过点C(-l,0),

二抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),

故答案为：(3,0).

(3)由抛物线经过点A(3,0),8(-1,0)设y=a(x+1)(x-3),

将点A(0,3)代入得，-3〃=3,

解得：4=-1,

；.y=-（x+1）（x-3）=-X2+2X+3.

22.（5分）因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点8,使得点

A恰好位于点8北偏东70。方向处，点C恰好位于点8的西北方向上，若经过测量，AB

=10千米.你能否经过计算得出4c之间的距离.（精确到0.1,参考数据：sin70°-0.94,

cos70°*=0.34）

：.ZBDC=ZBDA=90°,

•；NABD=70°,AB=10千米，

8D=A8cos乙480=10X0.34和3.4(千米)，AO=4Bsin/48D=10X0.94七9.4(千米),

VZCBD=45°,

...△CBO是等腰直角三角形，

.•.CO=BO=3.4千米，

.,.AC=CD+AO=3.4+9.4=12.8(千米)，

23.（6分）在平面直角坐标系，中，反比例函数y=1（x>0）的图象与直线y=+1交

于点A（2,a）.

（1）求4、%的值；

（2）已知点P（〃，0）（〃>0）,过点P作垂直于x轴的直线，与反比例函数图象交于点

B,与直线交于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记反比例函数图象在点A,B

之间的部分与线段AC,BC围成的区域（不含边界）为W.

①当〃=5时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出〃的取值范围.

【解答】解：（1）反比例函数y=[（x>0）的图象与直线y=；x+l交于点A（2,a）,

**•a=]x2+1=2,

AA（2,2）,

b

・・,反比例函数y=W（x>0）的图象经过A（2,2）,

，左=2X2=4；

...在W区域内有2个整数点：（3,2）,（4,2）；

②由图形可知，若区域W内的整点恰好为2个，则4<〃<5.

24.(6分)如图，是0。的直径，点C是。。上一点，连接BC,半径弦BC,

(1)求证：弧AO=弧CD；

(2)连接4C、8。相交于点尸，AC与。。相交于点E,连接C。，若的半径为5,

BC=6,求CO和EF的长.

♦.•半径0。〃弦8C,

：.ZD=ZDBC,

'：OB=OD,

：.ZD^ZABD,

：.NABD=NDBC,

...弧4。=弧8；

(2)解：是的直径,

：.ZBCA=90°,

・・・。。的半径为5,

・・・直径43=10,

VBC=6,

：.AC=y/AB2-BC2=V102-62=8,

・：BC〃OD,NAC8=90°,AO=BO,

AZAEO=ZACB=90°=NDEC,AE=CE=^x8=4,

11

：・OE=资C=.x6=3,

：.DE=OD-OE=5-3=2,

由勾股定理得：DC=yjDE2+CE2=V22+42=2V5,

VOD//BC,

:•△DEFS/\BFC,

>DEEF

BCCF

•:DE=2,BC=6,CE=4,

.2EF

.•一=r

64-EF

解得：EF=\,

所以C£>=2b，EF=1.

25.(6分)如图，在RtZvlBC中，ZACB=9Q°,CD_L4B于。，过点C作CE〃AB,过

点A作AE〃C£>,两线相交于点E,连接QE.

(1)求证：四边形AECO是矩形；

nFE

(2)若30=475,sin/ACE=等，求DE的长.

A

D.

B

【解答】(1)证明：・・・CE〃A8,AE//CD,

・・・四边形AECD是平行四边形,

CDLAB,

：.ZADC=90°,

・・・四边形AECO是矩形;

(2)解：•・,四边形AECD是矩形;

AZDCE=90°,

VZACB=90°,

：.ZBCD=ZACEf

'：sinZACE=^-,

.入抽/88=霏=等

VB£>=4V5,

：.BC=\0,

：.CD=y/BC2-BD2=275,

；四边形AEC。是矩形，

：.AE=CD=2\[5,DE=AC,

.../NOAE2店

・sinNAC£==5,

：.AC=5f

：.DE=5.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=以2+云+〃-2(a>0)的对称轴是直线x

=1.

(1)用含a的式子表示h；

(2)若当-24<3时，y的最大值是7,求〃的值；

(3)若点A(-2,m)B(3,n)为抛物线上两点，月.根及<0,求Q的取值范围.

【解答】解：(1)\ty=cix1+bx+a-2,

，抛物线对称轴为直线x==1,

:.b=-2a.

(2)Vd>0,

.•.抛物线开口向上，

抛物线对称轴为直线x=l,

；.x=-2时，y=4a-2b+a-2=9。-2为最大值,

；.9a-2=7,

解得a=l.

(3)抛物线对称轴为直线x=l,开口向上，

VI