人教A版 （2019）选择性必修第二册新高考名师导学第五章5.1导数的概念及其意义

人教A版（2019）选择性必修第二册新高考名师导学第五章

5.1导数的概念及其意义

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一、解答题

1.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的中心相对于水面高度/?（单位：m）

与起跳后的时间r（单位：s）存在函数关系力（r）=T.9/+4&+n,求高台跳水运动员

在。=0.5s时的瞬时速度.

【答案】—0.Im/s

【分析】

利用导数的定义可求得"'（。5）的值，即为所求.

【详解】

A(0.5+A/)-/?(0.5)=[-4.9(0.5+Ar)2+4.8(0.5+Ar)+11]-(-4.9x0.52+4.8x0.5+11)

=Y.9(A"2-03,

所以，h'(0.5]=lim'(0’+加)-'(S5)=1汕/O.l-4.9Af)=-O.l(m/5).

\/At=>0A/4=>0\7v7

所以，高台跳水运动员在f=Q5s时的瞬时速度为TH:a/s.

2.火箭发射左后，其高度（单位：m）为/，（。=0.9广.求:

（1）在1</<2这段时间里，火箭爬高的平均速度；

（2）发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度.

【答案】（1）2.7m/s；（2）18m/s.

【分析】

（1）根据平均速度的计算公式求解；

（2）根据导数的概念求解.

【详解】

（1）因为y=」一：（1）=egx22_x俨=2.7（词s）,

所以在1VW2这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7〃?/S；

/j(10+Ar)-/z(10)

(2)因为lim--------々~一

八加一0(10+A^)-10

0.9x(10+A?)2--0.9xlO2

=lim

Ar-»OAt

0.9(Afy+18Af

=lim

o△t

=lim(0.92V+18)

Ar->0'/

=18

所以发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度18m/s.

3.一个小球从5m的高处自由下落，其运动方程为y«)=T.9/，求f=ls时小球的瞬时

速度.

【答案】-9.8m/s

【分析】

根据瞬时速率计算即可.

【详解】

由题意知：?=-98

dt

当/=1时，小球的瞬时速度为-9.8m/s

4.你认为应该怎样定义抛物线〃尤)=/在点(无。,后)处的切线？试求抛物线〃x)=V

在点(-1』)处切线的斜率.

【答案】切线的定义见解析，抛物线=f在点(-M)处切线的斜率为一2.

【分析】

利用切线的定义可得出抛物线〃x)=d在点(后,%)处的切线的定义，然后利用导数的

定义可求得抛物线/(%)=好在点(-1.1)处切线的斜率.

【详解】

在点的附任取一点P(x,Y),当点尸无限趋近于点外时，割线1尸无限趋近于

一个确定的位置P0T,这个确定的位置P0T称为抛物线/(x)=必在点伍处的切线.

抛物线/⑺=必在点(T1)处的切线的斜率为k=/(-1)=1而〃-1+»〃一)

(Ax—1)2_1

=lim-------1—=lim(Ax-2)=-2•

Ax->0八丫Ax->0'"

5.求抛物线"力=炉+1在点(0,1)处的切线方程.

试卷第2页，共15页

【答案】y-i=o

【分析】

求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；

【详解】

解：因为“X)=f+1,所以r(x)=2x,所以/'(0)=0,故切线方程为y-l=o

6.设〃x)=x,求/'⑴.

【答案】1

【分析】

根据导数的定义，即可求解.

【详解】

J⑴=1曲"+八)一/)=如1±^=1.

7.一质点A沿直线运动，位移j(单位：m)与时间f(单位：s)满足关系式y=2产+1,

求质点A在"2.7s时的瞬时速度.

【答案】10.8m/5

【分析】

位移对时间的导数，即速度，代入f=2.7s,即可求得瞬时速度.

【详解】

由题知，y'=4t,

当t=2.7时，7=4x2.7=10.8

故质点A在，=2.7s时的瞬时速度为lO.Sm/s

8.设函数〃x)=f-l求：

(1)当自变量x由1变到L1时，函数的平均变化率；

(2)函数在x=l处的导数.

【答案】(1)2.1(2)2

【分析】

(1)求出自变量了的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的

改变量即可得到答案.

(2)先求导，再代入求值即可.

【详解】

解：(1)解：=1=0.1,

❖y=l.l2-l-(l2-l)=0.21.

所以函数的平均变化率为处="I,)"⑴=-=2.1.

♦x1.1-10.1

(2),.-/(x)=x2-l,:.f'(x)=2x

■•-r(i)=2

9.求曲线y=-2/+1在点(1,-1)处的切线方程.

【答案】4x+y-3=0

【分析】

求出曲线在点(1,-1)处的导函数值，再利用点斜式写出即可.

【详解】

由题意知：y'=-4x,贝l]y[、=i=-4.

所以曲线＞=一2/+1在点(1,一1)处的切线方程为y+l=-4(x-l)n4x+y-3=0

10.吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是

r(V)=烂,利用信息技术工具，画出04VW5时函数的图象，并根据其图象估计

V4〃

V=0.6,L2L时，气球的瞬时膨胀率.

【答案】图象见解析，，(0.6卜。.3,/(1.2)«0.2,

【分析】

先画出函数图象，再求出导函数，代值计算可求出.

【详解】

试卷第4页，共15页

2

（3V）-31

rf（y）=I，=,，

际V36^V2

贝I］，（0.6）Q0.3,r'（1.2）~0.2,

11.一个物体从10m高处做自由落体运动，公时该物体距离地面的高度（单位：m）为

/?«）=1-4.9产+10.求该物体在上1时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况.

【答案】当f=l时，其速度大小为9.8%/s,方向竖直向下，此后物体将做匀加速直线

运动至物体到达地面.

【分析】

利用瞬时变化率计算即可.

【详解】

由题意知物体竖直方向位移〃。）=-4.9产+10,

结合瞬时速度公式v="可得v。）=-9.8Z

dt

当，=1时，v=-9.8m/s.

所以此时速度大小为9.8m/s,方向竖直向下.

此后物体将做匀加速直线运动至物体到达地面.

12.圆的面积S（单位：cmD与半径R（单位：cm）的关系为$=万尺2,求R=5cm时

面积关于半径的瞬时变化率.

【答案】10乃（cm）

【分析】

根据瞬时变化率公式运算即可.

【详解】

AS+—兀R~

lim—=lim-----------------------=2兀R,

但。A7?A7?

当R=5cm时，面积关于半径的瞬时变化率为21X5=10万（＜加）.

13.某质点沿直线运动，位移由单位：m）与时间M单位：s）满足关系式y=5»+6.求:

（1）2V/V3这段时间内的平均速度；

（2）f=2s时的瞬时速度.

【答案】（1）25（2）20

【分析】

（1）求出/=2、r=3对应的位移y,即可求出平均速度.

（2）求出y',将/=2代入即可.

【详解】

（1）当r=2时，,=5x22+6=26;当r=3时，y=5x32+6=51;

2«/43的平均速度为玉=^^=25机/5.

3-2

（2）y'-10?,y'\i=2=10x2=20m/s.

14.已知车轮旋转的角度。（单位：rad）与时间”单位：s）满足关系式。⑺=

O

求车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度.

【答案】20万

【分析】

根据瞬时变化率计算公式计算即可.

【详解】

，口=*心d025万

由题意知,=一1，

dt4

-25%

当，=3.2时，瞬时角速度为一x3.2=20^.

4

15.如图，试描述函数〃x）在x=-5,-4,-2,0,1附近的变化情况.

【答案】见解析

【分析】

根据曲线在x=-5,-4,-2,0,1的导函数正负判断即可.

【详解】

由图可知：

函数“X）在尤=-5处的斜率/'（-5）＞。，曲线上升，即函数值在x=-5附近单调

递增；

函数/（X）在x=U处的斜率/'（Y）＞0,曲线上升，即函数值/（X）在x=-4附近单调

递增；

函数“X）在x=-2处的斜率「（-2）=0,即函数值在x=-2附近几乎没有变化；

试卷第6页，共15页

函数“X）在x=0处的斜率/'（0）<0,曲线下降，即函数值"X）在x=0附近单调递减;

函数在x=l处的斜率/'⑴<0，曲线下降，即函数值/（x）在x=l附近单调递减;

16.求曲线丁=彳1炉-2在点（。,-O之处的切线的倾斜角.

【答案】V

4

【分析】

根据导数的定义求出曲线在x=l处的导数，即为曲线在点（1,-+处切线的斜率，即可求

出其倾斜角.

【详解】

1?1

-(1+AX)2-2-(--2)

y'lz=i=lim

Ax->0Ax

1

2?

-（AX）+AX1

=lim—----------=lim（—Ax+1）=1'

—oAx-。2

i&

所以曲线y=3炉-2在点处的切线斜率为i,

77

则倾斜角为丁.

4

17.一个质量为m=3kg的物体做直线运动，设位移y（单位：m）与时间f（单位：s）

的关系可用函数y⑺=1+/表示，并且物体的动能々=；根声求物体开始运动后第5s

时的动能.

【答案】15OJ

【分析】

先求质点的运动方程为y=l+r的导数，再求得f=5秒时的导数，得到所求的瞬时速度,

即可求出物体运动后第5s时的动能。

【详解】

解：质点的运动方程为y=i+/

求导数得y'=2/

所以该质点在t=5秒的瞬时速度为10机/S

物体运动后第5s时的动能为《机干=1X3X102=150J

答：物体开始运动后第5s时的动能为150J。

18.根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状.

（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；

(2)汽车在笔直的公路上不断加速行驶；

(3)汽车在笔直的公路上不断减速行驶.

【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)画图见解析.

【分析】

(1)根据题意可知，路程,关于时间f的函数图象是一条斜率为正数的直线，由此可作

出函数图象；

(2)根据题意可知，路程S关于时间r的函数图象上的切线斜率逐渐增大，由此可作出

函数图象；

(3)根据题意可知，路程,关于时间f的函数图象上的切线斜率逐渐减小，由此可作出

函数图象.

【详解】

(1)汽车在笔直的公路上匀速行驶，则路程s关于时间「的函数图象如下图所示：

(2)汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则路程s关于时间f的函数图象如下图所示:

(3)汽车在笔直的公路上不断减速行驶，则路程,关于时间I的函数图象如下图所示:

19.已知函数/(x)的图象，试画出其导函数/(无)图象的大致形状.

试卷第8页，共15页

【分析】

分析(1)(2)(3)中函数的单调性，利用函数单调性与导数之间的关系可得出尸(x)图

象的大致形状.

【详解】

(1)函数/(x)的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，

因此，其导函数f(x)的图象如下图所示：

(2)函数/(X)为增函数，则其导函数尸(x)的函数值恒大于或等于零，并且随着工的

增大，导数值尸(%)也在逐渐增大，

因此，其导函数r(x)的图象如下图所示：

(3)当x<0时，/(x)单调递减，则广(力<。；

当x>0时，〃x)单调递增，则/(无)>。.

因此，其导函数尸(x)的图象如下图所示：

20.在高台跳水运动中，小时运动员的重心相对于水面的高度(单位：m)是

/：a)=-4.9r+4.8/+ll.高度”关于时间/的导数是速度%速度v关于时间f的导数/

的物理意义是什么？试求v,M关于时间t的函数解析式.

【答案】v关于时间t的导数是加速度；v(0=//(?)=-9.8r+4.8;"⑺=-9.8

【分析】

利用导数的几何意义以及基本初等函数的导数即可得出结果.

【详解】

高度h关于时间『的导数是速度v,v关于时间t的导数是瞬时加速度.

v«)=//(r)=_9.8r+4.8,

v'⑺=-9.8.

21.根据下列条件，分别画出函数y=/(x)的图象在这点附近的大致形状.

(1)“Drr(i)=-i；

(2)"5)=10,"5)=15；

(3)"10)=20,r(10)=0.

【答案】答案见解析

试卷第10页，共15页

【分析】

由条件根据函数在某处的导数值即为函数图象在该处的切线斜率，画出函数在某点的图

象.

【详解】

解：由于函数在某处的导数值即为函数图象在该处的切线斜率,

（1）〃1）=-5,r（i）=-i;故函数图象可以如下所示：

（2）"5）=10,/'（5）=15；故函数图象可以如下所示:

(3)/(10)=20,③10)=0.故函数图象可以如下所示:

试卷第12页，共15