高三数学寒假作业12

高三数学寒假作业12

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人={卫)，=/8(x+1)},B={y|y=-2*,xGR},则AUB=()

A.(-1,0)B.(-1,+8)C.RD.(-8,o)

2.已知i是虚数单位，i-1是关于x的方程/+px+q=0(p,q€R)的一个根，则p+q=()

A.4B.-4C.-2D.-2

3.“cos0<0”是“8为第二或第三象限角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表,

破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了挛生素数猜想的弱化形式，即发现存

在无穷多差小于7000万的素数对，这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素

数对.李生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：

存在无穷多个素数P，使得0+2是素数，素数对(p,p+2)称为学生素数.在不超过16

的素数中任意取出不同的两个，则可组成孳生素数的概率为()

1441

A.—B.—C.—D.一

1021155

5.已知函数/(x)=sin则下列结论正确的是()

A.f(x)的最小正周期为2H

71

B./(x)的图象关于点(]0)对称

C.f(x)在(巴，—)上单调递增

212

57r

D.不■是f(x)的一个极值点

12,

c,a

6.已知a>b>0,若log疝+logz>a=亍，ab=ba,则一=()

,b

A.V2B.2C.2V2D.4

7.函数1竺;”的图象大致为()

8.已知点P（〃i,"）是函数y=一2%图象上的动点,则［4〃?+3〃-21|的最小值是（）

A.25B.21C.20D.4

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘

制了饼图（如图），则下列说法正确的是（）

其他用品

A.第一季度居民人均每月消费支出约为1633元

B.第一季度居民人均收入为4900元

C.第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多

D.第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元

10.如图，透明塑料制成的长方体容器ABC。-AIBICIDI内灌进一些水，固定容器一边A8

于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（)

G

A.没有水的部分始终呈棱柱形

B.水面EFG”所在四边形的面积为定值

C.随着容器倾斜度的不同，4。始终与水面所在平面平行

D.当容器倾斜如图（3）所示时，为定值

%2

11.已知产为双曲线C：石-尸=1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B,

记线段布，P8的长分别为相，〃，则（）

A.若布，PB的斜率分别为Al,fo,则心•依=-3

0B.mn=12

C.4w+n的最小值为百

3

D.|A用的最小值为]

12.对Vx€R,田表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=印被“数学王子”高斯采用，因

此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）

A.3AGR,X2[X]+1

B.Vx,y€R,[x]+[y]W[x+y]

C.函数y=x-[x]（xGR）的值域为[0,1）

D.若玉6R,使得[产|=1,[四=2,”|=3…，[产]=〃-2同时成立，则正整数〃的最大

值是5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（X-9）6的展开式中二项式系数最大的项的系数为.（用数字作答）

14.在平行四边形A8CD中，AB=3,AO=2,点M满足丽=2靛，点N满足昂=

则薪-MN=.

15.已知椭圆C：—+—=1(a>Z?>0)的左，右焦点分别为Q,Fi,直线心工-)+4百=0

过点Fi且与C在第二象限的交点为P,若/尸。为=60°(0为原点)，则F2的坐标

为,C的离心率为.

16.三棱柱ABC-Ai8i。中，4411,平面ABC,A4i=4,ZvlBC是边长为2b的正三角形，

D\是线段BICI的中点，点力是线段A\D\上的动点，则三棱锥D-ABC外接球的表面积

的取值集合为(用区间表示).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①S4是42与421的等差中项；②47是胃与422的等比中项；③数列｛“2"｝的

前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题.

已知｛〃”｝是公差为2的等差数列，其前〃项和为防，.

(1)求4"；

377

(2)设历=(-)"•««；是否存在左N；使得从〉系？若存在，求出火的值；若不存在，

说明理由.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-6cosC=WcsinB.

(1)求B；

(2)若a=2,且△ABC为锐角三角形，求AABC的面积S的取值范围.

19.(12分)如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD-A\B\C\D\的底面ABCD是平行四边形，

AM=2MA1,CN=2NCi.

(1)求证：AN〃平面MBiOi；

(2)若AB=2A£)=2,ZBAD=60°,AAi=3,求NBi与平面A/BiDi所成角的大小.

A

高三数学寒假作业12(答案解析)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.己知集合4={川)，=用(*+1)},B=[y\y=-2X,x€R},则AUB=()

A.(-I,0)B.(-I,+8)C.RD.(-8,o)

【解答】解：,；A={xk>-1},B={y|y<0},

：.AUB=R.

故选：C.

2.已知i是虚数单位，i-1是关于x的方程/+px+q=0(p,gR)的一个根，则p+q=()

A.4B.-4C.-2D.-2

【解答】解：i-1是关于x的方程x2+px+q=0(p,q€R)的一个根，

根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：-i-1也是原方程的一个虚根.

：.i-1+(-z-1)=-p,(z-1)(-«-1)=q,

解得：p=2,q=2.

贝p+q=4.

故选：A.

3.(icos0<Ow是为第二或第三象限角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：cos0<O=>-+2itrr<e+2Ht,keZ.

22

“。为第二或第三象限角或x轴的负半轴上的角”.

...“cos。〈0”是为第二或第三象限角”的必要不充分条件.

故选：B.

4.2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表,

破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了李生素数猜想的弱化形式，即发现存

在无穷多差小于7000万的素数对，这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素

数对.挛生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：

存在无穷多个素数P，使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为李生素数.在不超过16

的素数中任意取出不同的两个，则可组成挛生素数的概率为()

1441

A.—B.-C.-D.-

1021155

【解答】解：不超过16的素数有2,3,5,7,11,13,共6个，

在不超过16的素数中任意取出不同的两个，

基本事件总数〃=以=15,

可组成挛生素数包含的基本事件有：(3,5),(5,7),(11,13),共3个，

.•.可组成挛生素数的概率P=衾='

故选：D.

5.己知函数/(x)=sin则下列结论正确的是()

A./(%)的最小正周期为2n

71

B.f(x)的图象关于点(子0)对称

C./(%)在(三，­)上单调递增

212

5TT

D.二是f(x)的一个极值点

12

【解答】解:函数f(答=sin⑵一和

所以：①函数的最小正值周期为学=兀，故选项A错误.

>rrO-TT>rrIQ

②当工=即寸/(,)=sin(―--)=号工0,故选项3错误.

③当xe(p等)时，—(竽，岑)，满足单调递减区间，故选项C错误.

④当工=居时，"瑞)=$吗=1,函数取得最大值，在图象的两侧单调性相反，故选

项。正确.

故选：D.

c,a

6.已知a>b>0,若log^Z?+logM=5，$=〃，则一=()

乙b

A.V2B.2C.25/2D.4

b

【解答】解：对B=〃两边取以。为底的对数，得logaa=logab。，BPb=alogab9

同理有：a=b\ogba,

5/ba5

代入logab+log〃Q=5,得一+二=二，

乙ab2

因为44°,所以

所呜=2,(J

故选：B.

【解答】解/-x）=上誓普）=-赛箫=-/⑴,所以函数为奇函数，排除

选项8和C；

函数/（无）在右侧的第一个零点是》=夕取x=l，，则cosl>0,0<sinl<l,.,./（I）=

翼常>0,排除选项£>,

故选：A.

8.已知点尸（〃?，〃）是函数），=，一/一2%图象上的动点,则|4历+3〃-21|的最小值是（）

A.25B.21C.20D.4

【解答】解：由尸-2x,得（x+l）2+y2=i（代0）

令x+l=cos。，y=sin0,OWBWii,

得工=-l+cos0,y=sinO,

丁点尸（相，几）是函数尸（->2一2%图象上的动点,

则4m+3〃-21=4（-l+cos0）+3sin0-21=3sin0+4cos0-25=5sin（6+（p）-25,（tan（p=

1）

3人

・••当5sin（6+（p）=5时,|4〃?+3〃-21|取最小值20・

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘

制了饼图（如图），则下列说法正确的是（）

其他用品

A.第一季度居民人均每月消费支出约为1633元

B.第一季度居民人均收入为4900元

C.第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多

D.第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元

【解答】解：由2019年第一季度居民人均消费支出的情况饼图，得：

441

对于4,第一季度居民人均消费支出约为3+3七1633元，故A正确；

9%

441

对于8,第一季度居民人均支入为==4900元，故8错误；

9%

对于C,第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多，占比31%,故C正确;

对于。，第一季度居民在居住项目的人均消费支出为：=x21%=1029元，故。正确.

9%

故选：ACQ.

10.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边AB

于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（）

(1)⑵(3)

A.没有水的部分始终呈棱柱形

B.水面EFG”所在四边形的面积为定值

C.随着容器倾斜度的不同，4。始终与水面所在平面平行

D.当容器倾斜如图（3）所示时，4E””为定值

【解答】解：因为容器的左侧面与右侧面平行，在容器倾斜的过程中，没有水的部分始

终满足棱柱的结构特征，故没有水的部分始终呈棱柱形，A正确；

在容器倾斜的过程中，水面成矩形面，长度EF不变，宽度EH变化，则水面EFGH所在

四边形的面积变化，故B错误；

A\C\//AC,在倾斜的过程中，AC与水面相交，则4。与水面所在的平面相交，故C错

误；

因为水的体积是不变的，而高始终是功也不变，因此底面的面积也不变，即是

定值，故。正确.

故选：AD.

x2

11.已知P为双曲线C：可-）2=1上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B,

记线段%，PB的长分别为"?，n,则（）

A.若外,PB的斜率分别为总，ki,则依•依=-3

Bc.mn=12

C.4〃?+"的最小值为百

3

D.H目的最小值为］

【解答】解：如右图所示，设P（xo,加），则苒一丫02=1.由题设条件知：

双曲线C的两渐近线：/1：y=袅，/2：3=-%.设直线PA,PB的斜率分别为k\,k2,

则匕=一百，fo=V3,

所以力・/：2=-3,故A选项正确；

由点线距离公式知：|网="=!电啜如,『用=〃=咯善细，

ZV3Zv3

-2

.,.mn-囹。展2x|号-y0|=I，故B选项错误；

F5

V4/w+n^4Vnm=4x区=2A/3,所以C不正确；

由四边形4。3尸中，所以N4P5=120°,

|A8|=\/PA2+PB2-2PA-PB-cos^APB=Jm2+n2-2mn(-1)>V3mn=|,所以D

正确，

故选：AD.

12.对㈤表示不超过x的最大整数.十八世纪，尸㈤被“数学王子”高斯采用，因

此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）

A.3xER,X>[X]+1

B.Vx,yER,[幻+[>']W[x+y]

C.函数y=x-[x]（JCGR）的值域为[0,1）

D.若小6R,使得[a=1,[内=2,[户]=3…，[/]=”-2同时成立，则正整数"的最大

值是5

【解答】解：当x=l时，x^[x]+\,不成立，故4错误：

由“取整函数”定义可得，Vx,yeR,[x]^x,8<y，

由不等式的性质可得[x]+[y]Wx+y,所以[x]+[y]W[x+y],B正确；

由定义x-所以OWx-㈤<1,所以函数/（X）=x-[x]的值域是[0,1）,C

正确；

若小6R,使得[户]=1,[六]=2,[户]=3,…[产]=〃-2同时成立，则V2<t<

V3,V3<t<V4,V4<t<V5,-<t<Vn^l,

因为海=遮，若〃》6,则不存在/同时满足V4<t<V5,只有时，

存在正[北，V2）满足题意，

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（x-女）6的展开式中二项式系数最大的项的系数为-20.（用数字作答）

【解答】解：（X—亲）6的展开式中二项式系数最大的项的系数为-a=-20,

故答案为：-20.

14.在平行四边形ABC。中，AB=3,A£)=2,点M满足晶=2靛，点N满足B=；小,

则薪•MN=0.

【解答】解：如图,

由题可得薪=G+防=6+£且，MN=MC+CN=\DC+^DA=\DC-^AD,

TTT2T1T1T[TT[T*?-1-♦-»

所以/M.MN=(4D+5DC)・(一OC-—AD)=^AD^DC-^AD2+^CD2-^DC^D=

3323293

—QAD~~i~QCD~——x4+3x9=-2+2=0,

zyLy

故答案为：0.

X'yz

15.已知椭圆C：—+—=1(“>b>0)的左，右焦点分别为尸i,Fi,直线bx-y+4百=0

azbz

过点Fl且与C在第二象限的交点为尸，若/尸。为=60°(。为原点)，则放的坐标为(4,

0),C的离心率为_、后-1_.

【解答】解：因为直线岳-)，+4百=0过点为，令)=0,可得x=-4,即F1(-4,0),

所以右焦点F2(4,0),

因为/尸。尸1=60°可得直线尸。的方程为：尸一岳，

联立卜二一8“「解得x=-2,y=2h，即P(-2,2遍)，

(V3x-y+4V3=0

412

将P代入椭圆可得=•+F*=1,c2=16=a2-/?2,可得〃2=16+88，庐=8百，

a2b2

所以椭圆的离心率e=5〜7^77T=V3-1.

aZ(V3+1)

故答案分别为：(4,0),V3-1.

16.三棱柱A8C-48iCi中，A4J_平面ABC,AA\=4,△ABC是边长为2百的正三角形，

是线段BiCi的中点，点。是线段上的动点，则三棱锥£>-ABC外接球的表面积

的取值集合为f25n,32Tti（用区间表示）.

【解答】解：由题意可得该三棱锥的外接球的球心在该三棱柱上下底面中心的连线0102

上，设球心为0,球的半径为K.

则OA=OD=R,

过球心0作的垂线交于H,

则可得。,”0。2为矩形，00=HD',H0=DQ,由于三角形ABC的边长为2百，所以

8C边的中线为曰-2、行=3,所以底面外接圆的半径为|-3=2,

所以。。2日0,2],0102=4,

2222

在△0。4中，0D=0曲曲=DQ2+（4-HD）^D'O2+（4-002）；①

在△AO。中，042=0022+4022=0022+4,②

3

由①②可得80。2=。'。22+12412,16],所以。。2日3,2],所以/?2=。储=（032+4）

25

e[—.8],

4

所以三棱锥D-ABC外接球的表面积S=4nR2（25n,32nJ,

且当。与Oi重合时R最小为a当。与Ai重合时R最大为2&,

故答案为：[25TT,32TTJ.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①S4是“2与“21的等差中项；②"7是g与422的等比中项；③数列｛“2”｝的

前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题.

已知｛“"｝是公差为2的等差数列，其前〃项和为.

⑴求am

(2)设加=(3[)—〃；是否存在蛇N；使得从〉专77？若存在，求出女的值；若不存在，

说明理由.

【解答】解：(1)｛〃〃｝是公差d为2的等差数列，

若选①S4是。2与。21的等差中项，可得2s4=。2+。21,

即有2(4m+6d)=2m+2M,即为6m=9d=18,解得m=3；

若②。7是g■与。22的等比中项，可得ai2=知・422,即(m+6X2)2=(3«1+3X2)＜«1+21

X2),

即(m+⑵2=(m+2”(m+42),

解得m=3；

若选③数歹的前5项和为65,可得。2+〃4+―+〃1()=65,

即5m+(1+3+5+7+9)d=5m+25d=5m+50=65,

解得41=3；

综上可得。〃=3+2(〃-1)=2/1+1,7t6N*；

33

(2)bn=(-)"•〃"=(2n+l)•(-)%

44

由,为+1-加=(2〃+3)・(3一)"+.|,-(2«+1)»(-3)«=^5-—±2n^.(3-)”,

4444

当刀=1,2时,可得加+1-加＞0,即加＞历＞为；

当时，可得bn+\-bn<0,即b3>b4>b5>…,

则bn的最大项为加=胃,

可得不存在依N,使得bk>-Q.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为4,b,c,且〃-反osC=gcsinB.

(1)求3；

(2)若〃=2,且△A8C为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围.

【解答】解：(1)a-Z?cosC=V3csinB,

由正弦定理可得：sinA=V3sinCsinB+sinBcosC,

又•••sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

V3sinCsinB+sinBcosC=sinBcosC+cos^sinC,可得：V3sinCsinA?=sinCcosB,

VB,CG(0,ii),sinCWO,

可得tanB=堂，可得8=幺

DO

(2)NBC为锐角三角形，所以10VC，，解得工VCV；