山东省聊城市2024-2025学年高二数学上学期开学考试试题含解析

Page17山东省聊城市2024-2025学年高二数学上学期开学考试试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分.1.若：，，是三个非零向量；：，，为空间的一个基底，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用基底的判定方法和充分不必要条件的定义进行判定.【详解】空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若，，是三个共面的非零向量，则，，不能作为空间的一个基底；但若，，为空间的一个基底，则，，不共面，所以，，是三个非零向量，即p是q的必要不充分条件.故选：B.2.若，，三点共线，则的值为（）A.0 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，由向量共线可得．【详解】由题意，三点共线，即共线，所以存在实数，使得，所以，解得．所以．故选：A．【点睛】本题考查空间向量共线定理，考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．3.已知平面α上的两个向量＝(2，3，1)，＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为（）A.(1，－1，1) B.(2，－1，1) C.(－2，1，1) D.(－1，1，－1)【答案】C【解析】【分析】利用平面的法向量的定义将问题转化为，再通过空间向量的数量积进行求解.【详解】明显与不平行，设平面α的法向量为＝(x，y，z)，则，∴，即，分别验证各选项可知，只有选项C符合.故选：C.4.已知为单位向量，且，若，则实数k的值为（）A.－6 B.6 C.3 D.－3【答案】B【解析】【分析】转化为，利用数量积的安排律，求解即可【详解】由题意，故又为单位向量，且故可得，即故选：B5.在正方体中，下列选项中化简后为零向量的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据平面对量的线性运算结合正方体的结构特征逐一推断即可.【详解】解：对于A，，对于B，，对于C，，对于D，.

故选：A.6.如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量基本定理求解即可【详解】由于M是的中点，所以．故选：A7.已知P为空间中随意一点，A、B、C、D四点满意随意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】，又∵P是空间随意一点，A、B、C、D四点满意任三点均不共线，但四点共面，∴，解得x=，故选A．点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．8.如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是的中点，N是的中点，则直线与的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法推断【答案】B【解析】【分析】由题意，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，取空间向量，由数量积的结果，可得答案.【详解】依据题意，以点为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，作图如下：

设正方体的棱长为，则，，，，取，，由，则，即.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分.部分选对得2分.9.下列说法中，正确的是（）A.模为是一个向量方向不确定的充要条件B.若向量，满意，与同向，则C.若两个非零向量，满意，则，是互为相反向量D.的充要条件是与重合，与重合【答案】AC【解析】【分析】依据向量的定义及其有关概念，逐个推断各个选项即可．【详解】解：对于A，只有零向量的模长为，且方向是随意的，因为模长为的向量方向是不确定的，所以充分性成立，因为一个方向不确定的向量的模长为，所以必要性成立，故A正确，对于B，表达错误，向量既有大小又有方向，它的模长可以比较大小，其本身不能比较大小，故B错误，对于C，由可得，即与模长相等，方向相反，所以，互为相反向量，故C正确，对于D，由于向量可以平行移动，所以由不肯定能得到与重合，与重合，故D错误，故选：AC．10.下列命题中错误的是（）A.若是空间随意四点，则有B.是共线的充要条件C.若共线，则D.对空间随意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面【答案】BCD【解析】【分析】依据空间向量加法的多边形法则即可推断A；依据向量共线的定义即可推断BC；依据空间共面对量的基本定理即可推断D.【详解】对于A选项，若是空间随意四点，依据加法的多边形法则，则有，故A正确；对于B选项，若，对等式两边平方并整理得，，解得，所以，此时共线，反之，当共线时，可能，故B错误；对于C选项，若共线，则直线可能在一条直线上，故C错误；对于D选项，若四点共面，则由共面对量定理，可得，，所以，，并且以上过程可逆，所以对空间随意一点与不共线的三点，四点共面充要条件是（其中且），故D错误.故选：BCD.则P，A，B，C四点共面11.已知是空间的一个基底，若，则错误的是（）A.是空间的一组基底 B.是空间的一组基底C.是空间的一组基底 D.与中的任何一个都不能构成空间的一组基底【答案】ABD【解析】【分析】依据空间向量基底的概念逐项分析推断即可求出结果.【详解】解：对于A选项，，所以共面，故错误；对于B选项，，所以共面，故错误；对于C选项，假设，即，得，这与是空间的一个基底冲突，故是空间的一组基底，正确；对于D选项，由C选项可知D选项错误.故选：ABD12.已知点P是平行四边形所在平面外一点，假如，下列结论正确的有（）A. B.C.是平面的一个法向量 D.【答案】ABC【解析】【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.【详解】由题意，向量，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B正确；对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.故选：ABC三､填空题：本题共4小题，每小题5分.13.4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位数为___________.【答案】9【解析】【分析】依据百分位数的概念干脆求解即可.【详解】解：由题知，总共有10个数据，所以分位数为第8个与第9个数据的平均数，所以分位数为.故答案为：14.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA=AD=1，四边形ABCD为正方形，以为基底，则________.【答案】【解析】【分析】结合空间几何图形的性质以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】故答案为：15.如图,在正方体中,M是的中点,O是底面ABCD的中心,P是上的随意点,则直线BM与OP所成的角为__________.【答案】【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM与此平面垂直.【详解】如图,取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,FB1,EA1,易得,∴BM⊥B1F,又∵AB‖EF,AB⊥平面BCC1B1,∴EF⊥平面BCC1B1,∵BM⊂平面BCC1B1,∴EF⊥BM,又∵EF∩B1F=F,∴BM⊥平面A1B1FE,又∵OP⊂平面A1B1FE,∴BM⊥OP,∴BM与OP所成的角为90°,故答案为：90°.16.设直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则直线l与平面的位置关系为___________；若，则直线l与平面的位置关系为___________.【答案】①.②.或【解析】【分析】由空间向量的运算求出直线l的方向向量和平面法向量的位置关系，即可求得直线l与平面的位置关系.【详解】若，则，则共线，则直线l与平面垂直；若，则，则，又不确定直线l是否在平面内，则或.故答案为：；或.四､解答题17.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.（1）用基底表示向量（2）化简，并在图中标出化简结果.【答案】（1），，；（2），图中标注见解析.【解析】【分析】（1）利用空间向量加、减法法则可得出、、关于、、的表达式；（2）结合空间几何图形性质以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】（1），，；（2）如图，连接DA1，则即为所求.18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．求c；若，求．【答案】（1）c=2（2）【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，依据余弦定理可得c的值；由可得，可求，，由已知依据正弦定理，由，可求，依据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．【详解】，，面积为，解得：，由余弦定理可得：，由可得，，，在中，由正弦定理，可得：，，，，，【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应留意用哪一个定理更便利、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19.如图，四棱锥的各棱长都为．(1)用向量法证明；(2)求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【解析】【分析】(1)依据题意得出四边形ABCD是菱形，得到；是等腰三角形，，然后利用平面对量的数量积求出，即证；(2)依据题意，利用，求出，的大小，结合空间向量的数量积公式即可求出模长．【详解】(1)证明：设AC、BD交于点O，连接PO，如图所示；四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，且OA＝OC，即⊥，0；又PB＝PD＝a，∴PO⊥BD，即⊥，0，∴()＝0，即0，∴⊥，即BD⊥PC；(2)依据题意，四棱锥P﹣ABCD是棱长相等的正四棱锥，且AB＝a，∴顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心O，在Rt△POC中，PC＝a，OCa，∴OP＝OCa，∴∠ACP，，，∴2•2a×a×cosa2＝5a2；∴||a．20.为增加市民的环境爱护意识，某市面对全市征召n名义务宣扬志愿者，成立环境爱护宣扬组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人.（Ⅰ）分别求出第3，4，5组志愿者人数，若在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与某社区的宣扬活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该组织确定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣扬阅历，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.【答案】（Ⅰ）利用分层抽样在第三，第四，第五组中分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，因第一组有5人，求得，分别求得第三组、第四组、第五组，依据分层抽样，即可得到结果；（Ⅱ）记第三组的3名志愿者为，，，第四组的2名志愿者为，，第五组的1名志愿者为，求得从6名志愿者中抽取2名志愿者构成基本领件的总数，进而得到其中第三组的3名志愿者，，至少有一名志愿者被抽中的所含基本领件的总数，利用古典概型及概率的公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，因为第一组有5人，则，，∴第三组有人，第四组有人，第五组有人.∴利用分层抽样在第三，第四，第五组中分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）记第三组的3名志愿者为，，，第四组的2名志愿者为，，第五组的1名志愿者为，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中第三组的3名志愿者，，至少有一名志愿者被抽中的有，，，，，，，，，，，，共12种.则第三组至少有1名志愿者被抽中的概率为.【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，属于基础题．解题时要正确找出随机事务A包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于基础题.21.如图所示在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：平面．【答案】证明见解析.【解析】【分析】依据题目条件可证明，，两两垂直，然后以点为坐标原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，然后通过空间向量计算平面的法向量，只需证明即可.【详解】∵底面，，∴，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，∵，∴为正三角形．∴，．∴，，∴设平面一个法向量为，则，即，令，则，∴．∵，明显，∴，∴平面，即平面．【点睛】设直线的方向向量为，平面的法向量为，当时，