2024-2025学年新教材高中数学第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的应用课后习题北师大版必修第一册

PAGEPAGE24.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的应用A级必备学问基础练1.不等式x-x2>0的解集是()A.(0,1)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)2.不等式x+61-xA.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1,或x≤-6}C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1,或x≤-6}3.(多选题)若命题“∀x∈R,x2+2>m”是真命题,则实数m的取值可能为()A.-1 B.2 C.0 D.34.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现打算采纳提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要削减10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为()A.12元 B.16元C.12元到16元之间 D.10元到14元之间5.(多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y>-2x的解集为(1,3),则()A.a<0B.方程ax2+bx+c=0的两根为1,3C.b=-4a-2D.若方程y+6a=0有两个相等的根,则实数a=-16.设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.

7.一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y60-4-6-6-406则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是.

8.某辆汽车以xkm/h的速度在高速马路上匀速行驶(考虑到高速马路行车平安,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所须要的汽油量)为15x-k+4500xL,其中k为常数.若汽车以120km/h的速度行驶,则每小时的油耗为11.5L,此时k=.若使每小时的油耗不超过9L,则速度x的取值范围为.

9.已知函数y=x2-2x+a,y<0的解集为{x|-1<x<t}.(1)求实数a,t的值;(2)实数c为何值时,一元二次不等式(c+a)x2+2(c+a)x-1<0的解集为R.B级关键实力提升练10.(多选题)已知命题p:∀x∈R,x2+ax+4>0,则命题p是真命题的一个充分不必要条件可以是()A.a∈[-1,1] B.a∈(-4,4)C.a∈[-4,4] D.a∈{0}11.在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a)(x+a)<1对随意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-1,1) B.-12,C.-32,12 D12.一元二次不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},且|x1|+|x2|≤2,下列结论正确的是()A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2C.|a|≥1 D.b≤113.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则实数m的最小值为.

14.已知一元二次函数y=x2-ax(x∈R).(1)解关于x的不等式y≤1-a;(2)若x∈[1,+∞)时,y≥-x2-2恒成立,求实数a的取值范围.15.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发觉,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.(2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系.(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?16.已知函数y=x2-4x+5(x∈R).(1)求关于x的不等式y<2的解集;(2)若不等式y>|m-3|对随意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.C级学科素养创新练17.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),则下列结论中正确的是()A.x1+x2=2 B.x1x2<-3C.x2-x1>4 D.-1<x1<x2<318.已知函数y=mx2-(m2+1)x+m(m∈R).(1)当m=2时,解关于x的不等式y≤0;(2)当m>0时,解关于x的不等式y>0.

4.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的应用1.A一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为{x|0<x<1}.2.C不等式x+61-x≥0等价于(x+6)(1-x)≥0,1-3.AC∵x2+2>m在R上恒成立,∴x2+2-m>0恒成立,∴只需2-m>0,即m<2恒成立.故选AC.4.C设销售价定为每件x元,利润为y,则y=(x-8)[100-10(x-10)],依题意,得(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16,所以每件销售价应定为12元到16元之间.5.ACD由于y>-2x的解集为(1,3),即ax2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3),则a<0,且1,3为方程ax2+(b+2)x+c=0的根.∴1+3=-b+2a,1×3=ca,∴b=-4a-2,c=3a,故A,C正确对于D项,y+6a=0有两个相等的根,即ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的根,∴Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,∵a<0,∴a=-15,故D正确6.-1,23由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0.解得-1<x<23满意题意的x的取值范围是-1,23.7.{x|x<-2,或x>3}依据表格可以画出一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的草图如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.8.100[60,100]由于“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,所以15120-k+4500120=11.5,解得k=100,故每小时油耗为15x+4500x-20,依题意15x+4500x-20≤9,解得45≤x≤100,又60≤x≤120,故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60,100].9.解(1)∵x2-2x+a<0的解集为{x|-1<x<t},∴-1+t=2,-1×t=a,解得t=3,a=-3.(2)由(1)可知a=-3,代入得(c-3)x2+2(c-3)x-1<0,∵其解集为R,∴c-3<0,Δ<0,或故实数c的取值范围为(2,3].10.AD由题意知命题p:∀x∈R,x2+ax+4>0,∴Δ=a2-16<0,∴-4<a<4,∴命题p成立的一个充分不必要条件是(-4,4)的真子集.故AD符合.11.B依据新定义,可得(x-a)(x+a)=(x-a)·(1-x-a),所以(x-a)(x+a)<1可化为(x-a)(1-x-a)<1,即x2-x+(1-a2+a)>0恒成立,需Δ=1-4(1-a2+a)<0,解得-12<a<312.D由题意得x1+x2=-a,x1x2=b,又|x1|+|x2|≤2,不妨令x1=-1,x2=0,则a=1,b=0,则|a+2b|=1,A不成立;令x1=x2=-1,则a=2,b=1,则|a+2b|=4,B不成立;令x1=-1,x2=1,则a=0,b=-1,则|a|=0,C不成立;b=x1x2≤x1+x222≤|13.-12令y=x2+mx+m,若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立则有Δ=m2-4m≤0,或-m2≤1,1+2m≥0,或-m2≥2,4+3m≥014.解(1)由y≤1-a可得x2-ax+a-1≤0,即(x-1)[x-(a-1)]≤0,当a>2时,不等式解集为[1,a-1];当a=2时,不等式解集为{1};当a<2时,不等式解集为[a-1,1].(2)y≥-x2-2,即a≤2x+1x对随意x∈[1,+∞)恒成立,∵2x+1x≥4x·1x=4,当且仅当x=1x,即x=1时∴a≤4,∴a的取值范围为(-∞,4].15.解(1)依据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.16.解(1)由y<2得x2-4x+3<0,即1<x<3,所以y<2的解集为{x|1<x<3};(2)不等式y>|m-3|对随意x∈R恒成立⇔|m-3|<ymin,由y=x2-4x+5=(x-2)2+1得y的最小值为1,所以|m-3|<1恒成立,即-1<m-3<1,所以2<m<4,所以实数m的取值范围为(2,4).17.ABC∵关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),∴a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的根.∴x1+x2=2,x1x2=1-3aa=∴x2-x1=(x1+x2)由x2-x1>4及x1+x2=2,可得x2