概率论与数理统计（慕课版第2版）课件 第3章 习题课+8

概率论与数理统计（慕课版）习题课第3章

多维随机变量及其分布2📚例1袋中有1个红球、2个黑球与3个白球.

解（1）因为是有放回地取球,故（2）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.（1）求;别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数.回地从袋中取球两次,每次取一个球,以X、

Y、Z分现有放3（2）根据题意,X、Y可能的取值为0,1,2,{X=1,Y=0}、{X=1,Y=1}、{X=2,Y=0}.

当(X,Y)的取值为{X=0,Y=0}时,表示取到了两个白球,则(X,Y)可能的取值有{X=0,Y=0}、{X=0,Y=1}、{X=0,Y=2}、则二维随机变量4同理可得，5因此，(X,Y)的联合概率分布为XY01201/41/31/911/61/9021/3600

设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分📚例26解布,Y的概率分布为

.机变量Z=XY的分布函数,则函数

的间断点个数为().A.0B.1C.2D.3记

为随7由于

x与

y相互独立，故

（1）若z<0,则

所以z=0为间断点，故有一个间断点，应选B.8🎯方法归纳本题求间断点的个数，实际上就是要求分布函数代入，写出的表达式,再对中z的取值进行讨论，进而确定间断点的个数。首先将离散型随机变量Y的不同取值分别随机变量。的表达式，其中X为连续型随机变量，Y为离散型📚例39

设随机变量相互独立,其中X1与X2的概率分布为均服从标准正态分布,X3

（1）求二维随机变量的分布函数,结果用标准正态分布函数表示.（2）证明随机变量Y服从标准正态分布.解（1）

由二维随机变量的分布函数的定义，可得10因为，则可将离散型随机变量不同取值分情况代入，即

又因为X1，X2，X3相互独立,故11（2）证明：12因此，Y服从标准正态分布.13🎯方法归纳本题也是一个即含有连续型随机变量，又含有离散型随机变量的混合表达式的随机变量分布函数问题，对于此类问题有效的方法是：值代后展开，利用概率的计算公式，获得仅含有连续型随机变量的表达，再利用连续型随机变量的已知条件求按照离散型随机变量不同取解即可.📚例414解

设二维随机变量（X,Y）在区域

上服从均匀分布，令求二维随机变量

的概率分布.

因为（X,Y）为区域D上的均匀分布,如图所示,15区域D的面积为,故二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

根据

的定义,将分以下四种情况讨论:16①②③④17因此,的概率分布为

Z1Z20101/4011/21/4📚例5

设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1和4的指数分布,则___.

A.B.C.D.18解

又因为X与Y相互独立,故

故应选A.📚例619

设（X,Y）是二维随机变量,X的边缘概率密度为在给定X=x(0<x<1)的条件下，Y的条件概率密度为（1）求（X,Y）的概率密度

；（2）Y的边缘概率密度

；（3）求.20解

（1）由题意知,（2）Y的边缘概率密度为.当0<y<1时,.

故，Y的边缘概率密度为21（3）📚例7.如果随机变量Z的定义如下

设X与Y是两个相互独立的随机变量，且,求Z的分布律.22解

因X与Y两个相互独立，其联合概率密度为

由此可得，;.Z01P因此,Z的分布律为📚例823解

设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,令（1）写出(X,Y)的概率密度函数;.

（1）由题意知，(X,Y)的联合概率密度为（3）求Z=U+X的分布函数（2）问U与X是否相互独立?24（2）设t为常数，且0<t<1,则因为

，所以

U与

X不相互独立.25（3）当z<0时，

；

26综上所述，Z的分布函数为27🎯方法归纳本题是一个综合性的题目,考察了联合概率密度函数、随机变量的独立性以及混合型随机变量分布函数的求解.独立性的讨论中，首先对U与X的关系进行初步的判断，因U与X有关，显然是不独立的，因此只需要找到一组反例，证明不独立即可.

在

时，先根据U与X的在求

取值📚例928

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为解（1）求条件概率密度（2）求条件概率（1）关于X的边缘概率密度为故条件概率密度

,即29（2）关于Y的边缘概率密度为所以

因此,📚例1030解

设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布,则___.A.与μ无关,与σ2有关B.与μ有关,与σ2无关

C.与μ、σ2都有关D.与μ、σ2都无关

由正态分布的性质可知X-Y服从正态分布，且,则

故因此，概率与μ关无,与σ2有关，应选A.📚例1131解

设X与Y的联合概率密度函数为求Z=X-Y的密度函数.的阴影部分,因此有

图32

综上所述,Z的概率密度为📚例1233解求Z=X+Y的密度函数.设随机变量X与Y相互独立,且

.

由题意知X和Y的概率密度函数为

因Z=X+Y，则Z的取值范围如下图所示:34随机变量X与Y相互独立，利用卷积公式,可以求出Z的概率密度函数,即当z<0时,;

当z>1时，综上所述，Z的概率密度为；.📚例1335解

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为试求：（1）常数b的值；（2）边缘概率密度

；（3）随机变量

的分布函数.（1）由概率密度函数的性质36

可得.（2）当0<x<1时,因此，关于X的边缘概率密度为37

当y>0时,（3）因为

，故X与Y相互独立.

记X、Y、U的分布函数分别为

，

因此，关于Y的边缘概率密度为根据最大值的分布公式有.利用(2)中求出的概率密度函数,可以求出,即38将X、Y的分布函数代入最大值的分布公式，可得39📚例14

解

(1)由古典概率计

试求：

分布律为40(2)📚例1541解

(1)由密度函数性质设二维随机变量的联合密度函数为其余

所以

.42(2)由已知得43

(3)如右图所示:📚例1644解设服从区域上的均匀分布,写出的联合密度函数以及(1)因区域

的面积为1,故由定义得联合密度函数为:45(2)所求概率为

📚例1746解(1)通过计算

的联合分布函数为设二维随机变量的联合密度函数为

分别计算边缘分布函数.47故与的边缘分布函数分别为📚例1848解已知,求

的密度函数.因为，又由正态分布的线性变换仍是正态分布知所以📚例1949解（1）由二维离散型随机变量边缘分布律定义得50所以与的边缘