素养提升9⇒圆周运动的临界极值问题

圆周运动的临界极值问题题型一水平面内圆周运动的临界极值问题（精品微信公众号：偷着学）物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。1.常见的临界情况（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。（2）物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。（3）绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直（意味着绳上无弹力）；绳上拉力恰好为最大承受力等。2.分析方法分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。【例1】（多选）如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为质点），用一根长为3l的细线（不计质量）相连，放在绝缘的水平圆形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是μ。转台可绕过圆心的竖直轴OO'以角速度ω逆时针转动（俯视），且A、B到转轴的距离分别为l和2l。初始时，A、B间的连接细线恰好拉直但没有张力，转台的角速度ω极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则（）A.当ω＜μgl时，B.当μg2l＜ω＜μgl时，随着ω的缓慢增大，C.若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当ω＝2μgl时，物块A、D.若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当ω＝2μgl时，物块A、答案：BD解析：在B所受的静摩擦力达到最大时，细线刚要产生张力，对B，有μmg＝mω12·2l，解得ω1＝μg2l，可知当ω＞μg2l时，细线产生张力，故A错误；当ω从μg2l继续增大时，B所需向心力是A的两倍，由受力分析可知，A所受指向圆心的静摩擦力将减小，当A所受静摩擦力为0时，对B，有μmg＋T＝mω22·2l，对A，有T＝mω22l，联立可得ω2＝μgl，可知当μg2l＜ω＜μgl时，随着ω的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小，故B正确；当两物块即将相对滑动时，对A、B系统用牛顿第二定律，有2μmg＝mω2·2l－mω2l，解得ω＝2μgl，若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，除摩擦力外，A、B所受的洛伦兹力的合力是从A指向B的，即有2μmg－qBωl＝mω2·2l－mω2l，可知在2μmg－qBωl＞0的情况下，所解得的ω比2μgl1.（多选）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的甲、乙两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O'分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O'的间距分别为RA、RB，且RA＝2RB。若乙轮盘由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增大，则下列说法正确的是（）A.滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ωA∶ωB＝1∶3B.滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的大小之比为aA∶aB＝2∶9C.转速增大后滑块B先发生滑动D.转速增大后两滑块一起发生滑动解析：ABC由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲r甲＝ω乙r乙，又r甲∶r乙＝3∶1，则ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，选项A正确；滑块相对盘开始滑动前，根据a＝ω2R得，A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，选项B正确；滑块的最大静摩擦力分别为fA＝μmAg，fB＝μmBg，最大静摩擦力之比为fA∶fB＝mA∶mB，转动中所受的静摩擦力之比为fA'fB'＝mAaAmBaB＝2m2.（多选）（2024·湖北六县质检）如图所示，AB为竖直放置的光滑圆筒，一根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为m1＝5kg的小球（可视为质点），另一端和细绳BC（悬点为B）在结点C处共同连着一质量为m2的小球（可视为质点），长细绳能承受的最大拉力为60N，细绳BC能承受的最大拉力为27.6N。圆筒顶端A到C点的距离l1＝1.5m，细绳BC刚好被水平拉直时长l2＝0.9m，转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在BC绳被拉直之前，用手拿着m1，保证其位置不变，在BC绳被拉直之后，放开m1，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（）A.在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大B.当角速度ω＝533rad/s时，C.当角速度ω＝3rad/s时，AC绳刚好被拉断D.当角速度ω＝4rad/s时，BC绳刚好被拉断解析：ABD转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，AC绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大，m2竖直方向处于平衡，由FTAcosθ＝m2g，可知在BC绳被拉直之前，AC绳中拉力逐渐增大，A正确；BC绳刚好被拉直时，由几何关系可知AC绳与竖直方向的夹角的正弦值sinθ＝35，对小球m2受力分析，由牛顿第二定律可知m2gtanθ＝m2ω12l2，解得ω1＝533rad/s，B正确；当ω＝3rad/s＞533rad/s，BC绳被拉直且放开了m1，m1就一直处于平衡状态，AC绳中拉力不变且为50N，小于AC绳承受的最大拉力，AC未被拉断，C错误；对小球m2，竖直方向有m1gcosθ＝m2g，可得m2＝4kg，当BC被拉断时有m1gsinθ＋FTBC＝m2ω22l2题型二竖直面内圆周运动的临界极值问题1.两类模型对比轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）受力示意图F弹向下或等于零F弹向下、等于零或向上力学方程mg＋F弹＝mvmg±F弹＝mv轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）临界特征F弹＝0mg＝mv即vmin＝gRv＝0即F向＝0F弹＝mg轻绳模型（最高点无支撑）轻杆模型（最高点有支撑）讨论分析（1）最高点，若v≥gR，F弹＋mg＝mv2R，绳或轨道对球产生弹力F（2）若v＜gR，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道（1）当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心；（2）当0＜v＜gR时，mg－F弹＝mv2R，F弹背离圆心并随v（3）当v＝gR时，F弹＝0；（4）当v＞gR时，mg＋F弹＝mv2R，F弹指向圆心并随2.解题技巧（1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；（2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系；（3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。【例2】如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，g取10m/s2，下列说法正确的是（）A.a＝2.5B.b＝40C.若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80mD.当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm答案：C解析：从A到B，根据动能定理可得－mgR＝12mv2－12mv02，在B点，根据牛顿第二定律得F＝mv2R，联立解得F＝64JR－80N，结合题图乙可知b＝80N，a＝8064m－1＝54m－1，故A、B错误；小球恰能通过最高点时，在最高点，根据牛顿第二定律可得mg＝mvC2R，从最低点到最高点，根据动能定理可得－mg·2R＝12mvC2－12mv02，联立解得R＝0.32m，故D错误；离开最高点后做平抛运动，则有2R＝12gt2，x'＝vCt；－mg·2R＝12mvC2－12mv02，且R＜0.32m，联立解得x'＝（1.6－41.（多选）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为FN，小球的速度大小为v，其FN－v2图像如图乙所示。已知重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（）A.小球的质量为aB.圆形管道内侧壁半径为cg－C.当v2＝d时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为dbc－D.小球在最低点的最小速度为2c解析：AB规定竖直向下为正方向，设圆形管道内侧壁半径为R，小球受到圆形管道的作用力大小为FN，在最高点，由牛顿第二定律，当FN＝mg时，v＝0，当FN＝0时，由重力提供向心力有mg＝mv02R＋r，解得v0＝g（R＋r），故当0＜v＜g（R＋r）时，小球受到内管壁向上的弹力，由牛顿第二定律有mg－FN＝mv2R＋r，解得FN＝－mv2R＋r＋mg，当v＞g（R＋r）时，小球受到外管壁向下的弹力，由牛顿第二定律有mg＋FN＝mv2R＋r，解得FN＝mv2R＋r－mg，结合图线可得a＝b＝mg，故小球的质量为ag或bg，故A正确；当FN＝0时，mg＝mv2R＋r，则v2＝g（R＋r）＝c，解得圆形管道内侧壁半径R＝cg－r，故B正确；当v2＝d时，小球受到外侧壁竖直向下的作用力，由牛顿第二定律有mg＋FN＝mv2R＋r，解得FN＝m2.（2024·广东汕头一模）如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，A、B分别为轨道的最高点和最低点，轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，则（）A.铁球绕轨道可能做匀速圆周运动B.由于磁力的作用，铁球绕轨道运动过程中机械能不守恒C.铁球在A点的速度必须大于gRD.轨道对铁球的磁性引力至少为5mg，才能使铁球不脱轨解析：D铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，其中铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与运动的方向垂直，所以磁力和支持力都不能对铁球做功，又由于不计摩擦和空气阻力，故只有重力对铁球做功，所以铁球的机械能守恒，在圆轨道的最高点，铁球的速度最小，在圆轨道的最低点，铁球的速度最大，故铁球不可能做匀速圆周运动，A、B错误；铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，在最高点轨道对铁球的支持力的方向可以向上，小铁球的速度只要大于0即可通过最高点，故铁球在A点的速度不是必须大于gR，故C错误；由于铁球在运动的过程中机械能守恒，所以铁球在最高点的速度越小，则机械能越小，在最低点的速度也越小，根据Fn＝mv2r，可知铁球在最低点时需要的向心力越小，而在最低点时，铁球受到的重力的方向向下，支持力的方向也向下、只有磁力的方向向上，要使铁球不脱轨，轨道对铁球的支持力一定要大于0，所以铁球恰好不脱轨的条件是：铁球在最高点的速度恰好为0，而且到达最低点时，轨道对铁球的支持力恰好等于0，根据机械能守恒定律，铁球在最高点的速度恰好为0时，到达最低点时的速度满足：mg·2R＝12mv2，又轨道对铁球的支持力恰好等于0，则磁力与重力的合力提供向心力，即F－mg＝mv2R，联立解得F＝5mg可知，要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为题型三斜面上圆周运动的临界极值问题物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力在垂直斜面方向的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。【例3】（多选）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5m处有一小物体（可视为质点）与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则以下说法中正确的是（）A.小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大B.小物体受到的摩擦力可能背离圆心C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为32，则ω的最大值是D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为32，则ω的最大值是3答案：BC解析：小物体在最高点时，可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上（即背离圆心），也可能沿斜面向下（即指向圆心），摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A错误，B正确；当小物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，则支持力FN＝mgcos30°，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos30°，根据合力提供向心力，有μmgcos30°－mgsin30°＝mω2R，解得ω＝1.0rad/s，故C正确，D错误。如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（）A.小球在顶端时，速度大小为glB.小球在底端时，速度大小为5C.小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变D.小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和解析：B小球在顶端时，绳的拉力FT与重力沿斜面向下的分力的合力提供小球做圆周运动所需的向心力，有FT＋mgsinθ＝mv2l，可知绳的拉力越小，小球的速度越小，当绳的拉力为零时，小球恰好在斜面上做圆周运动，在顶端时的速度为vmin＝glsinθ＝gl2，选项A错误；小球由顶端向底端运动时，只有重力对小球做功，根据动能定理有mg·2lsinθ＝12mv2－12mvmin2，代入数据可得v＝5gl2，选项B正确；小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动、其所受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变，绳的拉力大小和方向均不断变化，根据牛顿第三定律，以斜劈为研究对象，斜劈在小球恒定的压力、绳沿斜面方向不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡，绳的拉力沿斜面方向不断变化，故其在水平和竖直方向上的分量也在不断变化，跟踪训练·巩固提升（精品微信公众号：偷着学）1.（2024·上海统考一模）如图所示，用光电门传感器和力传感器研究小球经过拱桥最高点时对桥面压力FN的大小与小球速度的关系。若光电门测得小球的挡光时间t，多次实验，则t越短（）A.FN越小，且大于小球重力B.FN越大，且大于小球重力C.FN越小，且小于小球重力D.FN越大，且小于小球重力解析：C小球挡光时间t越短，说明小球通过最高点的速度越大，小球经过拱桥最高点时，根据牛顿第二定律，有mg－FN'＝mv2r，则FN'＝mg－mv2r，又FN＝FN'，可知，v越大FN越小2.（多选）如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，不计空气阻力，则（）A.小球受重力、支持力、拉力和向心力B.小球可能只受拉力和重力C.当ω＝522rad/s时D.当ω＝25rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用解析：BC转速较小时，小球紧贴锥体，则FTcosθ＋FNsinθ＝mg，FTsinθ－FNcosθ＝mω2lsinθ，联立可得FT＝mgcosθ＋mω2lsin2θ，FN＝mgsinθ－mω2lsinθcosθ，因此，随着转速的增加，FT增大，FN减小，设当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtanθ＝mω02lsinθ，解得ω0＝522rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝25rad/s＞ω0时，小球已经离开斜面，3.（2024·重庆西南大学附属中学模拟）如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上有一长为L＝0.8m的轻杆，杆一端固定在O点，可绕O点自由转动，另一端系一质量为m＝0.05kg的小球（可视为质点），小球在斜面上做圆周运动，g取10m/s2。要使小球能到达最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（）A.4m/s B.210m/sC.25m/s D.22m/s解析：A因为是球与杆连接，所以小球恰好到达A点的临界速度大小为vA＝0时，对应B点的速度最小，设为vB，对小球从A到B的运动过程，由动能定理有2mgLsinα＝12mvB2－12mvA2，代入数据解得vB4.（2024·四川绵阳诊断）如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B（均可视为质点），光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时（）A.球B的速度为零B.球A的速度大小为2C.水平转轴对杆的作用力为1.5mgD.水平转轴对杆的作用力为2.5mg解析：C球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即仅由球B的重力提供向心力，则有mg＝mvB22L，解得vB＝2gL，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝122gL，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝mvA2L，解得F＝1.5mg，即杆受到的弹力大小为1.5mg5.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，让圆盘从角速度为0开始转动，角速度逐渐增大，两物体与圆盘不发生相对滑动，（两物体均可看作质点，重力加速度为g）则下列说法正确的是（）A.随着角速度的增大，物体乙受到的摩擦力先增加再逐渐减少B.随着角速度的增大，物体甲始终受到摩擦力C.圆盘旋转的角速度最大不得超过μD.圆盘旋转的角速度最大不得超过μ解析：D当圆盘转动角速度较小时，乙的向心力由静摩擦力提供，绳子没拉力，由牛顿第二定律得fm＝mω2L，乙受的静摩擦力随角速度增大而增大，当角速度增大到ω1时，静摩擦力达到最大静摩擦力μmg，角速度再增大，绳子拉力出现，由牛顿第二定律T＋μmg＝mω2L，随着角速度增大，乙受的摩擦力保持不变，一直为最大静摩擦力μmg。则随着角速度的增大，物体乙受到的摩擦力先增加后保持不变，当绳子有拉力时，甲才开始受到摩擦力作用，故A、B错误；当绳子的拉力增大到等于甲的最大静摩擦力时，角速度达到最大，对乙和甲，分别有T＋μmg＝mω2L，T＝μMg，联立可得ω＝μ（Mg＋mg）mL，6.如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1.5m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为32（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），转动轴与水平面间的夹角为60°，取g＝10m/s2，则ω的最小值是（A.1rad/s B.303C.10rad/s D.5rad/s解析：C对小物体受力分析如图所示，其受重力mg，弹力FN，静摩擦力f。ω取最小值时，物体在图示位置将要发生相对滑动。由牛顿第二定律有mgcos60°＋FN＝mω2r，在平行于桶壁方向上，达到最大静摩擦力，即fmax＝mgsin60°，由于fmax＝μFN，联立解得ω＝10rad/s，选项C正确。7.如图所示，放在水平转台上可视为质点的物体A、B、C随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与C之间的动摩擦因数为2μ、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、C以及B离转台中心的距离分别为1.5r、r。设最大静靡擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A.物体A受到的摩擦力大小为6μmgB.转盘对物体C的摩擦力大小为9mω2rC.维持物体A、B、C能随转台一起转动，转盘的角速度应满足ω≤2D.随着转台角速度增大，最先被甩出去的是物体B解析：C若物体A、C随转盘一起转动恰好不相对转盘滑动，则μ×4mg＝4mω12×1.5r，解得ω1＝2μg3r，则此时A、C之间的静摩擦力fAC＝3mω12×1.5r＝3μmg，物体A、C之间的最大静摩擦力为fmA＝2μ×3mg＝6μmg，则此时A、C之间不会相对滑动，则物体A受到的摩擦力大小为3μmg，选项A错误；当转盘以角速度ω匀速转动时，转盘对物体C的摩擦力大小为fC＝4mω2×1.5r＝6mω2r，选项B错误；若转盘角速度增加到使B恰好发生滑动，则根据μ×2mg＝2mω22r，可得ω2＝μgr＞ω1，可知随着转盘角速度增大，最先被甩出去的是物体A、C；若要维持物体A、B、C能随转台一起转动，这只需A、C相对转盘不发生滑动，则μ×4mg≥4mω2×1.5r，解得转盘的角速度应满足8.（2024·湖南邵阳模拟）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球一初速度，使其绕O点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示。设R、m、r、引力常量G以及F1和F2为已知量，忽略各种阻力。以下说法正确的是（）A.该星球表面的重力加速度为FB.小球在最高点的最小速度为FC.该星球的密度为FD.卫星绕该星球的第一宇宙速度为F解析：B在最低点，有F1－mg＝mv12r，在最高点，有F2＋mg＝mv22r，由机械能守恒定律得mg·2r＋12mv22＝12mv12，联立可得g＝F1－F26m，故A错误；设星球表面的重力加速度为g，小球能在竖直面内做圆周运动，即能过最高点，恰能过最高点的条件是只有重力提供向心力，有mg＝mv02r，得小球在最高点