第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（十六大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）含解析

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（十六大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟真题练 2题型一：单调性的定义及判断 2题型二：复合函数单调性的判断 2题型三：分段函数的单调性 3题型四：利用函数单调性求函数最值 4题型五：利用函数单调性求参数的范围 4题型六：利用函数的单调性比较函数值大小 5题型七：函数的奇偶性的判断与证明 5题型八：已知函数的奇偶性求参数 6题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值 6题型十：奇函数的中值模型 7题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 7题型十二：函数对称性的应用 8题型十三：函数周期性的应用 9题型十四：对称性与周期性的综合应用 9题型十五：类周期与倍增函数 10题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 1002重难创新练 1103真题实战练 13题型一：单调性的定义及判断1．下列函数在上单调递减的是（

）A． B． C． D．2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数，则（

）A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数，且.(1)求的值，并指出函数的奇偶性；(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.题型二：复合函数单调性的判断4．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．5．函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三：分段函数的单调性7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型四：利用函数单调性求函数最值11．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是.12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数①若，则的最小值为.②若有最小值，则实数的取值范围是.13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是.14．函数的最大值为.题型五：利用函数单调性求参数的范围15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．16．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．18．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型六：利用函数的单调性比较函数值大小19．已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（

）A． B． C． D．20．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（

）A． B．C． D．21．已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为A． B．C． D．题型七：函数的奇偶性的判断与证明22．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是奇函数23．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．24．（2024·高三·江西·期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（

）A．是偶函数B．是偶函数C．是奇函数D．是奇函数25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．26．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2).题型八：已知函数的奇偶性求参数27．设函数，若为奇函数，则28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数为奇函数，则.29．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则.30．设奇函数，则的值为.题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则．32．已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则．33．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则.34．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（

）A． B． C． D．题型十：奇函数的中值模型35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为.36．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中且，，，则和的值一定不会是（

）A．和 B．-3和4C．3和-1 D．和37．已知函数，正实数满足，则的最小值为.38．已知函数，则是（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函数；若，则.39．（2024·安徽安庆·三模）若，都有成立，则函数在上的最大值与最小值的和为.题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式40．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．41．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．42．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且，则不等式的解是（

）A． B．C． D．43．（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．题型十二：函数对称性的应用44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式．45．（2024·四川泸州·一模）函数的对称中心为．46．已知函数，函数满足，若与的图象有6个交点，则所有交点横坐标之和等于.47．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（

）A． B．C． D．48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（

）A． B． C． D．题型十三：函数周期性的应用49．已知函数的定义域是，，，当时，，则．50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则．51．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则．52．（多选题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（

）A．的一个周期为4 B．点是函数的一个对称中心C．时， D．题型十四：对称性与周期性的综合应用53．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（

）A． B． C．3 D．454．（2024·云南昆明·一模）已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则（

）A．21 B．22 C． D．55．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则.56．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（

）A． B． C． D．57．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（

）A． B． C．4 D．658．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，且当时，，则.题型十五：类周期与倍增函数59．（2024·江西上饶·一模）已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的取值范围是．A． B．C． D．60．（2024·河北衡水·一模）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（

）.A． B．C． D．题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性61．已知定义在上的函数满足：．(1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求；(3)若，判断并证明的单调性．62．已知定义在上的函数满足，，，且．(1)求，，的值；(2)判断的奇偶性，并证明．63．已知函数对任意，，总有，且当时，，．(1)求证：是上的奇函数；(2)求证：是上的减函数；(3)若，求实数的取值范围．1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（

）A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．方程有解C．是偶函数 D．是偶函数3．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（

）A．3 B．2 C． D．4．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数6．（2024·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（

）A． B． C． D．17．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．为偶函数C．有最小值 D．在上单调递增9．（多选题）（2024·湖南常德·一模）若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有（

）A．函数的图象关于原点对称B．在定义域上单调递增C．当时，D．10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（

）A．为偶函数 B． C． D．11．（多选题）（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（

）A． B．函数是奇函数 C． D．的一个周期为312．（多选题）（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．213．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式．①；②至少有两个零点；③有最小值．14．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则．15．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数.16．（2024·山西吕梁·二模）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为.1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则．2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．4．（2024年上海夏季高考数学真题）已知，，且是奇函数，则．5．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（

）A． B． C． D．8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．10．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．111．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．12．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．114．（2021年全国新高考II卷数学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数．①；②当时，；③是奇函数．15．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数是偶函数，则.16．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若是奇函数，则，．第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟真题练 2题型一：单调性的定义及判断 2题型二：复合函数单调性的判断 3题型三：分段函数的单调性 4题型四：利用函数单调性求函数最值 6题型五：利用函数单调性求参数的范围 8题型六：利用函数的单调性比较函数值大小 9题型七：函数的奇偶性的判断与证明 11题型八：已知函数的奇偶性求参数 13题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值 14题型十：奇函数的中值模型 16题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 18题型十二：函数对称性的应用 20题型十三：函数周期性的应用 22题型十四：对称性与周期性的综合应用 24题型十五：类周期与倍增函数 28题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 3002重难创新练 3203真题实战练 41题型一：单调性的定义及判断1．下列函数在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确；对于B，函数在区间上是减函数，故B正确；对于C，函数在上是增函数，故C不正确；对于D，函数在上是增函数，故D不正确.故选：B．2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数，则（

）A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减【答案】B【解析】因为函数的定义域为R，且，所以是奇函数，又，作出函数图象如下图：由图知，函数在和上单调递增，在上单调递减.故选：B3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数，且.(1)求的值，并指出函数的奇偶性；(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.【解析】（1）因为，又，所以，所以，，此时，所以为奇函数；（2）任取，则，因为,所以,所以,所以即，所以函数在上是增函数.题型二：复合函数单调性的判断4．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，令，解得，即函数的单调递增区间是.故选：D.5．函数的单调增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，则，解得或，所以的定义域为，又开口向上，对称轴为，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调增区间为.故选：A.6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得函数在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得，故a的取值范围是.故选；B.题型三：分段函数的单调性7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数满足对任意的实数，都有成立，不妨设，则，则，即，则函数在上为减函数，则，解得，因此，实数的取值范围是，故选：D．8．已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，对于任意实数，都有成立，不妨设，则，所以在上单调递减，所以，解得.故选：D9．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，函数是增函数，则，即；由，求导得，函数在上单调递增，于是在上恒成立，因此在上恒成立，即；又函数在上单调递增，则，从而，所以实数的取值范围是.故选：B10．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，故在R上单调递减，所以，解得：.故选：D.题型四：利用函数单调性求函数最值11．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是.【答案】或【解析】由题意，令，，，，当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，因为存在最小值，故需，解得，结合，此时；当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，因为存在最小值，故需，即，解得，这与矛盾；当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；则实数的取值范围为或．故答案为：或．12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数①若，则的最小值为.②若有最小值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】①当时，，则当时，，当时，，故的最小值为；②由，则当时，，由有最小值，故当时，的最小值小于等于，则当且时，有，符合要求；当时，，故不符合要求，故舍去.综上所述，.故答案为：；.13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是.【答案】16【解析】由，而，因为单调递增，所以，则的最大值是16.故答案为：1614．函数的最大值为.【答案】/【解析】因为，令，则，令，，因为函数在上单调递增，所以，即，则，即函数的最大值为，当且仅当时取等号.故答案为：题型五：利用函数单调性求参数的范围15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C16．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A．17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，由题可知恒成立，即.令，则，所以在上单调递增，由，可得，即，所以，所以，当时，，不符合题意，故的取值范围是.故选：B18．设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，函数在R上单调递减，因此函数的递增区间是，递减区间是，依题意，，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：A题型六：利用函数的单调性比较函数值大小19．已知定义在上的函数满足，且当时，,若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以的图象关于成轴对称，注意到当时，由复合函数单调性可得在上为增函数，故在上为增函数，所以距离越远值越大，因为，距离最远的为，故最大，而，且，所以，综上所述，.故选：A.20．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故，故，由对勾函数性质可得，，且，综上所述，有.故选：C.21．已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为A． B．C． D．【答案】B【解析】因为所以；因为，所以；故偶函数在,上单调递增，故，即故选：B.题型七：函数的奇偶性的判断与证明22．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是奇函数【答案】C【解析】令，，∴为奇函数，故A错误；令，∴，∴为偶函数，故B错误；令，，∴为偶函数，故C正确；令，∴，∴为偶函数，故D错误．故选：C23．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为定义域为，则，所以函数的对称中心为，所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，该函数的对称中心为，故函数为奇函数.故选：A.24．（2024·高三·江西·期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（

）A．是偶函数B．是偶函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】B【解析】对A，，故是奇函数，故A错误；对B，，故是偶函数，故B正确；对C，，故是偶函数，故C错误；对D，，故是偶函数，故D错误.故选：B25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】对于A中，函数的定义域为，且，所以为的奇函数，符合题意；对于B中，函数的定义域为，且，所以为的奇函数，符合题意；对于C中，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为定义域上的奇函数，符合题意；对于D中，函数的定义域为关于原点对称，且，所以为定义域上的偶函数，不符合题意.故选：ABC.26．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2).【解析】（1）由题意知，，或，所以定义域为，关于原点对称，，所以，所以，所以为奇函数.（2）由题意知的定义域为，，所以，所以，所以为奇函数.题型八：已知函数的奇偶性求参数27．设函数，若为奇函数，则【答案】【解析】，又，易知的对称中心是，把它的图象向右平移1个单位，再向下平行一个单位得图象的函数为奇函数．，由题意，∴，．故答案为：－2．28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数为奇函数，则.【答案】【解析】设，若函数是奇函数，则是奇函数，函数的定义域为，，即，则，则.故答案为：29．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则.【答案】【解析】函数是奇函数，，当时，，，而当时，，则，当时，，，而当时，，则，所以，.故答案为：30．设奇函数，则的值为.【答案】0【解析】因为函数为奇函数，所以，即，所以.故答案为：.题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则．【答案】27【解析】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数，而，①所以，即，②由①②得，所以．故答案为：.32．已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则．【答案】【解析】因为……①所以因为为偶函数，为奇函数，所以……②①②联立解得：，，所以.故答案为：.33．已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则.【答案】【解析】和已知条件相加得故故故答案为：34．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数，则，所以，即，解得.故选：B题型十：奇函数的中值模型35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为.【答案】2【解析】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数最大值和最小值之和为0，则函数的最大值和最小值之和为2.故答案为：2.36．（2024·全国·模拟预测）已知函数，其中且，，，则和的值一定不会是（

）A．和 B．-3和4C．3和-1 D．和【答案】C【解析】令，，易得，，所以，因为，所以为奇数，验证可知A、B、D三组数值和均为奇数，C组数值和为偶数，故C组数值一定不是和的值.故选：C.37．已知函数，正实数满足，则的最小值为.【答案】2【解析】令，由，得定义域为R，，即函数是奇函数，而，当时，函数是增函数，又是增函数，于是函数在上单调递减，由奇函数的性质知，函数在上单调递减，因此函数在R上单调递减，由，得，即，则，即，又，所以，当且仅当时取得，所以的最小值为2.故答案为：238．已知函数，则是（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函数；若，则.【答案】奇【解析】因为定义域为R,则，则，所以为奇函数.因为，所以，所以，所以故答案为：奇，39．（2024·安徽安庆·三模）若，都有成立，则函数在上的最大值与最小值的和为.【答案】【解析】依题意，，都有成立，令，则，所以；令，，即令，则的定义域为，且，故为上的奇函数，，令，则的定义域为，且，故为上的奇函数，故为上的奇函数，由奇函数的图象关于原点对称，故在上的最大值与最小值的和为故为上的最大值与最小值的和为，故答案为：题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式40．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，，令，则，所以是奇函数．又由，可得，即，得．由，因为均为上的减函数，所以在上单调递减，所以，即，解得，即实数的取值范围是．故选：A41．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，设，显然定义域为，，又，所以为上的奇函数，又，所以在上单调递增，又，则，所以，即，所以，解得，则满足的的取值范围是．故选：C．42．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且，则不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为.因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为.故选：C43．（2024·辽宁·一模）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】记，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减.因为，所以为偶函数.所以，又在上单调递增，所以，即，解得.故选：C题型十二：函数对称性的应用44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式．【答案】（答案不唯一）【解析】的图象关于原点对称，则的图象关于点对称．同样如函数也满足题意．故答案为：（答案不唯一）．45．（2024·四川泸州·一模）函数的对称中心为．【答案】【解析】因为，则的图象可以由函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，因为为奇函数，函数图象关于原点对称，所以关于对称.故答案为：46．已知函数，函数满足，若与的图象有6个交点，则所有交点横坐标之和等于.【答案】6【解析】已知函数，绘制其图像如下图：根据图像易知函数关于中心对称；又函数满足，易知也关于中心对称.由于与均关于中心对称，可得两个函数的交点也关于中心对称，设其交点分别为，，…，，根据对称性易知，即得：.故答案为：47．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设所求函数的图象上任意一点，则点关于对称的点为，由题意知点Q在的图象上，可得，即函数关于对称的函数解析式为．故选：D．48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为奇函数，所以，所以关于对称，因为，所以的对称中心为，，所以也关于对称，所以与两个图象的交点也关于对称，所以对于每组对称点和均满足，，所以.故选：B.题型十三：函数周期性的应用49．已知函数的定义域是，，，当时，，则．【答案】【解析】由得：，又，，，，.故答案为：.50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则．【答案】【解析】因为是奇函数，所以，用替换上式中的，可得，在中，用替换，可得，所以，用替换该式中的，可得，所以，所以函数的周期为，在中，令，得，在中，令，得，在中，令，得，所以，所以.故答案为：.51．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则．【答案】【解析】因为为偶函数，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以函数为周期函数，周期为，所以，由，可得，由，可得，所以，所以，故答案为：.52．（多选题）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（

）A．的一个周期为4 B．点是函数的一个对称中心C．时， D．【答案】AD【解析】为奇函数，，且，函数关于点，偶函数，，函数关于直线对称，，即，，令，则，，，故的一个周期为4，故A正确；则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；当时，，，，又，，解得，，，当时，，故C不正确；，故D正确.故选：AD.题型十四：对称性与周期性的综合应用53．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】由函数的图象关于原点对称，，即，即①，由函数的图象关于y轴对称，可得②，由可得，又得，两式相加，，将①式代入，得，则得，将②式代入得，，则，于是，即的周期为12.又，由①可得，得，又由可得，即得.因，可得，，于是，故选：B.54．（2024·云南昆明·一模）已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则（

）A．21 B．22 C． D．【答案】C【解析】∵为偶函数且，则，故关于点对称，又∵，则，则是以周期为4的周期函数，故关于点对称，∴，则，又∵，则，故.故选：C.55．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则.【答案】【解析】对任意，由于，且函数的定义域为，故点在曲线上，且曲线关于点中心对称，故点也在曲线上，从而，从而对任意有.从而对任意，由知，即.根据条件又有，即.现在对任意的整数，我们有：，所以，从而有：.故有：.故答案为：.56．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可知关于对称，又，则，又，则，，.故选：A.57．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【解析】因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，即，即，所以.所以关于点中心对称.又是定义域为的偶函数，所以，所以，即，所以函数的周期为4.所以，所以.故选：D.58．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，且当时，，则.【答案】【解析】因为均为偶函数，所以，，所以函数关于对称，函数关于对称，由可得，即，为常数，所以，即关于点对称，且函数关于对称，所以，，故，即是函数的一个周期，由可得，所以，即，所以关于点对称，且函数关于对称，则，，故，所以是函数的一个周期，又当时，，所以，所以，由，令，则，而，所以，则，所以，则.故答案为：题型十五：类周期与倍增函数59．（2024·江西上饶·一模）已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的取值范围是．A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，；当时，；又时，，所以可作出函数在[－2，4]的图像如下：又函数在区间[－2，4]内有3个零点，所以函数与在区间[－2，4]内有3个不同交点，由图像可得或,即或.故选D60．（2024·河北衡水·一模）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（

）.A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，可得在，上单调递减，在上单调递增，在，上的值域为，，在上的值域为，，在上的值域为，，，，在上的值域为，，当时，为增函数，在，上的值域为，，，解得；当时，为减函数，在，上的值域为，，，解得；当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，的范围是或．故选：．题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性61．已知定义在上的函数满足：．(1)判断的奇偶性并证明；(2)若，求；(3)若，判断并证明的单调性．【解析】（1）是奇函数，证明如下：因为，令，得到，令，得到，即，所以是奇函数.（2）令，得到，由（1）知是奇函数，所以.（3）在上单调递增，证明如下：在上任取，令，则，又因为，而，所以，即，得到，所以在上单调递增.62．已知定义在上的函数满足，，，且．(1)求，，的值；(2)判断的奇偶性，并证明．【解析】（1）令，得，因为，所以．令，得，因为，所以．令，得，即，因为，所以，所以．（2）为偶函数．证明如下：令，得，由（1）得，即，又的定义域为，所以为偶函数．63．已知函数对任意，，总有，且当时，，．(1)求证：是上的奇函数；(2)求证：是上的减函数；(3)若，求实数的取值范围．【解析】（1）证明：函数对任意，，总有，令，则，解得.令，得到，则可证，是上的奇函数.（2）证明：在上任取、且，则，由（1）是上的奇函数，所以，因为，所以.由题可知，当时，，所以.即所以函数是上的减函数.（3）因为，令，则令，则.因为，所以又因为函数是上的减函数，所以，则，解得，则实数的取值范围是.1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（

）A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增【答案】D【解析】由，得且，因为，所以函数为奇函数，所以的图象关于原点对称，所以选项A正确．因为，所以是函数的一个周期，由选项A知点是函数的图象的对称中心，则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确．因为，所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确．方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误．方法二：因为，所以在区间上单调递减，所以选项D错误．故选：D．2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．方程有解C．是偶函数 D．是偶函数【答案】C【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，取，得，则，取，得，则，故错误；对于B，取，得，则，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程无解，故B错误.对于CD，由知，所以是偶函数，不是偶函数，故C正确，错误.故选：C.3．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】设，则，即，即，所以.因为，所以，.故选：A4．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由题意得，函数为奇函数，且定义域为，由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意，所以当时，，所以.故选：D.5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【解析】当时，不恒成立，故，A错误．B：解法一

令，得，又，所以，故，B错误．解法二

令，得，又，所以，B错误．C：解法一

由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．解法二

令，得，又，所以，所以，结合选项得C错误，D正确．综上可知，选D．故选：D.6．（2024·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因为为偶函数，所以，即，所以，又是奇函数，所以，即，所以，则，所以是以为周期的周期函数，又当时，，所以，则，所以.故选：A7．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的图象在x轴上方，对，都有，若的图象关于直线对称，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，故有．因为，都有，所以，所以，又函数的图象在x轴上方，所以，所以，即函数的周期为4．当，可得，所以，当，可得，所以，所以，所以.故选：C．8．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．为偶函数C．有最小值 D．在上单调递增【答案】C【解析】由于函数的定义域为R，且，令，则，得，时，恒成立，无法确定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；由于的对称轴为与的位置关系不确定，故在上不一定单调递增，D也不确定，由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，故选：C9．（多选题）（2024·湖南常德·一模）若定义在上的连续函数满足对任意的实数都有且，则下列判断正确的有（

）A．函数的图象关于原点对称B．在定义域上单调递增C．当时，D．【答案】BCD【解析】由知恒成立，再由知恒成立.设，则，且.故，.由于，故.而，故归纳即知.又因为对有，故归纳即知.特别地有，故，所以对有.这就得到了，从而.设有无理数，有理数数列使得，由于是连续的，故，而，故.这就表明.由于，故不是奇函数，故其图象并不关于原点对称，A错误；由于在定义域上单调递增，且当时，，故B，C正确；对于D，由可得，从而，D正确.故选：BCD.10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（

）A．为偶函数 B． C． D．【答案】BC【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式：．证明过程如下：．由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误．因为，故选项B正确．因为，故选项C正确．因为，故，故选项D错误．方法二：对于选项A，因为的定义域为，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误．对于选项B，令，则．而，所以，故选项B正确．对于选项C，由选项B可知，，令，则，所以．又因为为奇函数，所以，故C正确．对于选项D，由选项B以及，可得，所以，同理可得．因为，故，故D错误．故选：BC11．（多选题）（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（

）A． B．函数是奇函数 C． D．的一个周期为3【答案】AC【解析】令，则，所以，A选项正确；令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；，令，则，令，则，所以，所以，因为，所以，，C选项正确；令，则，所以，，所以，的一个周期为6，D选项错误.故选：AC．12．（多选题）（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【解析】因为函数是奇函数，则不等式，可变形为，因为函数在上单调递增，则不等式成立，则，解得，1，2符合题意，故选：CD.13．（2024·山东潍坊·二模）请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式．①；②至少有两个零点；③有最小值．【答案】（答案不唯一）【解析】取，其对称轴为，满足①，令，解得或2，满足②至少有两个零点，，当，，满足③有最小值.故答案为：（答案不唯一）.14．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则．【答案】2499【解析】因为的图象关于点对称，所以，则即，又的图象关于直线对称，则，所以，即，可得，则是以4为周期的函数.因为，由，令，得，所以，，，所以.故答案为：2499.15．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数.【答案】【解析】定义域为，，所以，故，故答案为：16．（2024·山西吕梁·二模）已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为.【答案】/【解析】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，得，两式相减得，所以，由时，由，得；由时，由，得；又由，结合，，所以成首项为，公差为的等差数列，所以，且此等差数列为递增数列，所以的中位数为：.故答案为：.1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则．【答案】2【解析】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D3．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，，则，则不是偶函数，故D错误.故选：B.4．（2024年上海夏季高考数学真题）已知，，且是奇函数，则．【答案】【解析】因为是奇函数，故即，故，故答案为：