【第2部分暑期衔接】第一单元第4课《分数的混合运算和简便运算》（新课衔接站）-数学五升六暑期专项讲义（教师版）人教版

人教版数学五升六暑期精编专项讲义—新课衔接站第一单元《分数乘法》第4课《分数的混合运算和简便运算》教学目标教学目标1、掌握分数乘加、乘减混合运算的运算顺序。2、会用整数乘法的运算定律推广运用到分数乘法，并使一些计算简便。知识导航知识导航【典例引入01】（2021六上·红塔期末）甲数是30，乙数比甲数的少4，乙数是。【答案】16【完整解答】解：30×-4

=20-4

=16

故答案为：16。【思路引导】根据分数乘法的意义用甲数乘，再减去4即可求出乙数。【典例引入02】（2021六上·晋城期中）计算下列各题能简算的要简算。（1）×+×（2）20×（-）×【答案】（1）×+×

=×（+）

=×1

=（2）20×（-）×

=20××

=1×

=【思路引导】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；在有小括号的计算中，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。典例分析典例分析【典例分析01】（2021六上·隆回期末）一批水果。第一天卖出，第二天卖出剩下的，这批水果（）。A．卖完了 B．还剩原来的 C．还剩原来的【答案】C【完整解答】解：1×（1-）=，×（1-）=，所以这批水果还剩原来的。

故答案为：C。【思路引导】把这批水果看成单位“1”，那么第一天卖出后还剩几分之几=1×（1-第一天卖出几分之几），所以这批水果还剩原来的几分之几=第一天卖出后还剩几分之几×（1-第二天卖出剩下的几分之几）。【典例分析02】（2022六上·椒江期末）根据图意，列式（或方程）计算。（1）（2）【答案】（1）解：48×（1＋）

=48×

=60（万元）（2）解：260÷（1＋）

=260÷

=140（千克）【思路引导】（1）六月份产值=五月份产值×（1＋）；（2）梨的质量=梨和苹果的总质量÷（1＋）。【典例分析03】（2021六上·通榆期末）人心脏跳动的次数随年龄而变化。青少年心跳每分钟约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多。婴儿每分钟心跳多少次？【答案】解：75+75×

=75+60

=135（次）

答：婴儿每分钟心跳135次。【思路引导】根据分数乘法的意义，用青少年每分钟心跳的次数乘求出婴儿每分钟比青少年多的次数，然后用加法求出婴儿每分钟心跳的次数。变式训练变式训练【变式训练01】（2021六上·蒙城期末）小华读一本180页的故事书，第一天读了全书的，第二天读了全书的，两天一共读了（）页。A．90 B．120 C．160【答案】B【完整解答】解：180×（＋）

=180×

=120（页）。

故答案为：B。【思路引导】两天一共读的页数=一本故事书的总页数×（第一天看的分率＋第二天看的分率）。【变式训练02】（2021六上·英德期末）严重的水土流失致使每年大约有16亿吨的泥沙流入黄河，其中的泥沙沉积在河道中，其余的被带到入海口。每年大约有多少亿吨泥沙被带到入海口？【答案】解：16×（1-）

=16×

=12（亿吨）

答：每年大约有12亿吨泥沙被带到入海口。【思路引导】亿流失的总重量为单位“1”，被带到入海口的泥沙占总量的（1-），根据分数乘法的意义计算即可。【变式训练03】（2021六上·科左中旗期中）计算下列各题，能简算的要简算。①24×÷②（－）×＋③×＋÷6④（＋）×24⑤×33＋×46＋⑥÷÷【答案】①24×÷

=24××

=64；

②（-）×+

=（-）×+

=×+

=+

=+

=

=；

③×+÷6

=×+×

=（+）×

=1×

=；

④（+）×24

=×24+×24

=16+4

=20；

⑤×33+×46+

=×（33+46+1）

=×80

=70；

⑥÷÷

=×20×

=16。【思路引导】①将除法变成乘法，再进行约分，最后将约分后的数值相乘即可得出答案；

②先计算小括号里面的减法，再计算括号外面的乘法，最后计算加法；

③先将除法变成乘法得到×+×，再根据乘法分配律得到（+）×，据此简便运算；

④根据乘法分配律得到×24+×24，据此简便运算；

⑤根据乘法分配律得到×（33+46+1），据此简便运算；

⑥先将除法变成乘法，再进行约分，最后计算即可得出答案。知识总结知识总结（一）分数乘法混合运算1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c（二）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的倒数）2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。例如：a×b=1则a、b互为倒数。3、求倒数的方法：①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。②求整数的倒数：整数分之1。③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。4、1的倒数是它本身，因为1×1=10没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。5、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。课堂基础夯实课堂基础夯实一、选择题1．（2020六上·无棣期末）工厂运来吨煤，12月份用去了，还剩多少吨？下面算式正确的是（）A．- B．× C． D．【答案】D【完整解答】解：把煤的总吨数看作单位“1”，用去了，那么还剩1-=，还剩的吨数就是：×（1-）。

故答案为：D。

【思路引导】把工厂运来吨煤看成单位“1”，要求剩下的质量，就是求总质量的（1﹣）是多少，列式×（1﹣）进行计算即可。2．（2019六上·佛山期中）比8千克多是多少千克？列式是（）．A． B． C． D．【答案】C【完整解答】解：比8千克多是：8×（1+）千克即8+8×千克。

故答案为：C。【思路引导】比a+单位多几分之几是多少单位用乘法，即a×（1＋几分之几）+单位，也可以是a+a×几分之几+单位。3．（2021六上·晋城期中）一条路长1200米，笑笑走了这条路的，还剩（）路没走。A．900米 B．300米 C．1200米【答案】B【完整解答】解：1200×（1-）=1200×=300米，所以还剩300米没走。

故答案为：B。【思路引导】还剩没走的米数=这条路的长度×（1-笑笑走了这条路的几分之几），据此代入数值作答即可。4．（2021六上·临沂期中）六（1）班同学做好事120件，（）六（2）班做好事多少件？（）列式为120×（1-）A．六（2）班比六（1）班多 B．六（2）班比六（1）班少C．六（2）班是六（1）班的 D．六（1）班比六（2）班少【答案】B【完整解答】解：六（2）班比六（1）班少，列式为：120×（1-）。

故答案为：B。【思路引导】六（2）班做好事的件数=六（1）班做好事的件数×（1-）。二、判断题5．（2020六上·渠县月考）比2吨的少吨的数是吨。（）【答案】（1）正【完整解答】解：2×-

=-

=（吨）

故答案为：正确。

【思路引导】求比一个数的几分之几少几的数是多少，用这个数×它的几分之几-几。6．（2020六上·江门月考）9–9×=0×=0。（）【答案】（1）错误【完整解答】9-9×=9-=，原题计算错误。

故答案为：错误。

【思路引导】观察算式可知，算式中有乘法和减法，先算乘法，后算减法，据此顺序解答。7．（2019六上·云浮期中）＋×=（＋）×（）【答案】（1）错误【完整解答】

=

=；

本题计算错误。

故答案为：错误。

【思路引导】本题运算顺序错误，正确的是先算乘再算加。8．（2021六上·菏泽期中）+×=1×=。（）【答案】（1）错误【完整解答】解：+×

=+

=。

故答案为：错误。

【思路引导】在没有小括号，既有加减法，又有乘除法的计算中，要先算乘除法，再算加减法。9．（2020六上·沽源期末）修一条400米长的路，第一天修了全长的，第二天修了余下的，还剩200米没有修。（）【答案】（1）错误【完整解答】解：第一天修的：400×=100（米），

第二天修的：（400-100）×=300×=200（米），

没修的长度：400-100-200=100（米），原题说法错误。

故答案为：错误。

【思路引导】根据分数乘法的意义先求出第一天修的长度；用第一天修后余下的长度乘求出第二天修的长度；用总长度减去两天修的长度即可求出没有修的长度。三、填空题10．（2021六上·峄城期中）2021年中秋佳节，国强的爸爸购买了8斤月饼，其中是五仁馅的，是黑芝麻馅的，其余都是果脯馅的。五仁馅的月饼买了斤；黑芝麻馅的月饼买了斤；果脯馅的月饼买了斤。【答案】2；4；2【完整解答】解：8×=2（斤）

8×=4（斤）

8-2-4

=6-4

=2（斤）

故答案为：2；4；2。【思路引导】五仁馅月饼购买的质量=国强爸爸购买月饼的总质量×五仁馅月饼占的分率；黑芝麻馅月饼购买的质量=国强爸爸购买月饼的总质量×黑芝麻馅月饼占的分率；果脯馅月饼购买的质量=国强爸爸购买月饼的总质量-五仁馅月饼购买的质量-黑芝麻馅月饼购买的质量。11．（2020六上·新疆期末）工程队修一条100米长的水渠，已经修了全长的，还剩米没修。【答案】25【完整解答】100×（1-）=100×=25（米）

故答案为：25。

【思路引导】把这条水渠看作单位“1”，减去修了的占全长的分数，再乘实际的长度即可。12．（2020六上·渭滨期末）千克比120千克多。比35千克少千克是千克。【答案】160；34【完整解答】120×（1＋）

=120×

=160（千克）

35-=（千克）

故答案为：160；。

【思路引导】根据题意可知把120千克看作单位”1“，比它多的数是：120×（1＋）；第二问都是千克数，直接相减即可。13．（2021六上·惠阳期中）比60米多是米；240吨比吨少。【答案】100；288【完整解答】解：60×（1＋）

=60×

=100（米）

240÷（1-）

=240÷

=288（吨）

故答案为：100；288。

【思路引导】求比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用乘加或乘减计算。已知比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用除加或除减计算。14．（2021六上·揭阳期中）儿童公园周六上午的门票收入是840元，下午的收入比上午的增加，这一天儿童公园的门票收入是元。【答案】2160【完整解答】解：840×（1+）+840

=840×+840

=1320+840

=2160（元）

故答案为：2160。【思路引导】下午的收入是上午收入的（1+），根据分数乘法的意义求出下午的收入，然后把上午和下午的收入相加求出总收入。四、计算题15．（2020六上·唐县期末）直接写得数。

1.5×=×30=3.14×30=300×200%=-=1+2%=+=+×=×+×=×99+99×=【答案】1.5×=2.5×30=363.14×30=94.2300×200%=600-=1+2%=1.02（102%）+=+×=×+×=×99+99×=99【思路引导】分数乘整数，整数与分子相乘的乘积作分子，分母不变，能约分的要先约分，再计算.

含百分数的运算，先把百分数化成分数或小数，然后再计算；

一个算式中，有乘法和加法，先算乘法，后算加法，据此顺序计算；

观察数据可知，两个乘法算式的积相加，如果有相同的因数，可以利用乘法分配律简算；

异分母分数加减法计算方法：先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算，计算结果能约分的要约成最简分数。16．（2021六上·周口期中）脱式计算。（1）（+）×1.2（2）×+×（3）1+÷×（4）26×【答案】（1）（+）×1.2=×=（2）×+×

=×（+）

=（3）1+÷×=1+××=1（4）26×=（25+1）×=23【思路引导】（1）先算小括号里面的加法，再算小括号外面的乘法；

（2）运用乘法分配律简便计算；

（3）先算除法，再算乘法，最后算加法；

（4）把26写成（25+1），然后运用乘法分配律简便计算。五、解答题17．（2021六上·天河期末）某商场一件外套原价490元，现在的售价比原价降低了。现在的售价是多少元？【答案】解：490×（1-）

=490×

=350（元）答：现在的售价是350元。【思路引导】现在的售价=外套的原价×（1-现在的售价比原价降低了几分之几），据此代入数值作答即可。18．（2021六上·兴化期中）一根绳子长米，第一次用去它的，第二次用去米，这根绳子比原来短了多少米？【答案】解：×+

=+

=（米）

答：这根绳子比原来短了米。【思路引导】这根绳子比原来短的长度=第一次用去的长度+第二次用去的长度，其中第一次用去的长度=这根绳子的长度×第一次用去几分之几，据此代入数值作答即可。六、综合题19．（2020六上·潍城期末）（1）填出图中的分数；（2）你发现男女运动员人数之间有怎样的等量关系？写在下面：【答案】（1）（2）女运动员人数×（1＋）＝男运动员人数。【完整解答】解：（1）把女运动员人数看作单位“1”，平均分成了7份，多2份，所以男运动员人数比女运动员人数多；

（2）等量关系式是：女运动员人数×（1＋）=男运动员人数。

故答案为：（2）女运动员人数×（1＋）=男运动员人数。

【思路引导】（1）把女运动员人数看作单位“1”，男运动员人数比女运动员人数多；

（2）男运动员人数=女运动员人数×（1＋）。20．有一本160页的故事书，军军第1天看了全书的，第2天看了全书的，余下的第3天看完。（1）军军前2天一共看了页，第3天看了页。（2）军军第2天比第1天多看了页。【答案】（1）144；16（2）16【完整解答】解：（1）160×（+）=144页，所以前2天一共看了144页，160-144=16页，所以第3天看了16页；

（2）160×（-）=16页，所以军军第2天比第1天多看了16页。

故答案为：（1）144；16；（2）16。【思路引导】（1）前两天一共看的页数=这本书的总页数×两天一共看了全书的几分之几；第三天看的页数=这本书的总页数-前两天一共看的页数；

（2）军军第2天比第1天多的页数=这本书的总页数×第2天比第1天多看全书的几分之几。课后提优训练课后提优训练一、选择题1．（2021六上·临沂期中）两根1米的绳子，第一根截去它的，第二根截去米，两根绳子余下部分相比较（）。A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．不能确定【答案】C【完整解答】解：第一根：1-1×

=1-

=（米）

第二根：1-=（米）

米=米

故答案为：C。【思路引导】第一根剩余的长度=总长度-总长度×截去的分率；第二根剩余的长度=总长度-截去的长度，然后比较大小。2．（2021六上·金昌期中）一台空调，先涨价，后又降价了，这台空调现价同原价比（）。A．原价低 B．现价低 C．相等【答案】B【完整解答】解：1×（1+）×（1-）

=1××

=

1＞，所以现价比原价低。

故答案为：B。【思路引导】把原价看作单位“1”，涨价后的价格是原价的（1+）；降价后的价格又是涨价后价格的（1-），根据分数乘法的意义求出现价，再与原价比较即可。3．（2021六上·昌黎期中）学校举行“美食节”活动。六（2）班的“营业收入”是480元，（），六（3）班的“营业收入”是多少元?列式为480×（1＋）。A．六（3）班比六（2）班多 B．六（2）班比六（3）班多C．六（3）班比六（2）班少 D．六（2）班比六（3）班少【答案】A【完整解答】解：六（3）班比六（2）班多，列式为：480×（1＋）。

故答案为：A。

【思路引导】六（3）班的“营业收入”=六（2）班的“营业收入”×（1＋）。4．（2021六上·营山期中）一种商品先提价，再降价，最后的价格（）。A．原价不变 B．比原价低 C．比原价高【答案】B【完整解答】解：1×（1＋）×（1-）

=1××

=

1＞，最后的价格比原价低。

故答案为：B。【思路引导】一种商品先提价，提价后的价格是原价的（1＋），后来又降价，是在（1＋）的基础上降价的，降价后的价格是（1＋）的（1-），所以这种商品比原价低。5．（2021六上·揭阳期中）有400千克煤，用去后，又用去余下的，还剩（）。A．144千克 B．200千克 C．240千克 D．256千克【答案】D【完整解答】解：400×（1-）×（1-）

=400××

=320×

=256（千克）

故答案为：D。【思路引导】第一次用去后还剩总重量的（1-），根据分数乘法的意义先求出第一次用后剩下的重量；第二次用后还剩的重量是第一次用后剩下重量的（1-），根据分数乘法的意义求出还剩的重量即可。二、判断题6．（2021六上·营山期中）一根绳子长米，用去，还剩米。（）【答案】（1）错误【完整解答】解：-×

=-

=（米）

故答案为：错误。【思路引导】还剩下的长度=一根绳子的总长度-用去的长度；其中，用的长度=一根绳子的总长度×用去的分率。7．（2020六上·沽源期末）由男生比女生人数多可知：男生人数=女生人数+。（）【答案】（1）错误【完整解答】解：由男生比女生人数多可知：男生人数=女生人数×（1+）。原题说法错误。

故答案为：错误。

【思路引导】以女生人数为单位“1”，男生人数是女生人数的（1+），根据分数乘法的意义求出男生人数即可。8．（2020六上·昌黎期中）修一条长千米的水渠，已经修了，还剩下千米。（）【答案】（1）错误【完整解答】解：

=

=（千米）

故答案为：错误。

【思路引导】剩下的长度=总长度-已经修的长度，其中已经修的长度=总长度×，据此列式计算即可。三、填空题9．（2021六上·澄江期末）比2克少克是克，比6克多是克，【答案】；10【完整解答】解：第一问：2-=（克）；第二问：6×（1+）=6×=10（克）。

故答案为：；10。【思路引导】第一问：用2克减去比2克少的克即可解决问题；

第二问：比6克多的重量是6克的（1+），根据分数乘法的意义列式计算即可。10．（2021六上·周口期中）某一款童装先降价，再提价，此时的售价原价。（填“>、<或=”）【答案】<【完整解答】解：假设原价是“1”，则现价：

1×（1-）×（1+）

=1××

=

1＞，所以此时售价＜原价。

故答案为：＜。【思路引导】假设原价是“1”，降价后的价格是原价的（1-）；提价后的价格又是降价后价格的（1+）；根据分数乘法的意义求出售价，再与原价比较即可。11．（2020六上·鼓楼期中）在横线上填上“>”"<”或“=”。【答案】＜；＜；=；＜；＞【完整解答】因为＜1，所以×＜；

因为=，＜1，所以×＜，＜；

因为=，-=，所以=-；

因为-=，×=，＜，所以-＜×；

因为+=1，×=，1＞，所以+＞×。

故答案为：＜；＜；=；＜；＞。

【思路引导】在乘法里，一个非0数乘小于1的非0数，积小于这个数；一个非0数乘大于1的数，积大于这个数，据此比较大小；

比较两个算式的大小，先计算出得数，再比较大小。四、计算题12．（2021六上·科左中旗期中）直接写出得数。×16＝2.5×＝×＝0×＋＝1÷＝÷＝÷＝×÷＝【答案】×16=122.5×=1.5×=0×+=

1÷=÷=÷=×÷=【思路引导】在没有括号的算式里，若只有加减或只有乘除，从左往右依次进行计算；若既有加减又有乘除，先计算乘除再计算加减。

分数乘以分数计算法则：分子与分子相乘作为积的分子，分母与分母相乘作为积的分母。

分数与小数（整数）的计算方法：先将小数（整数）与分数的分母进行约分，接下来再进行相乘即可。

除以一个数等于乘以这个数的倒数。13．（2020六上·陈仓期末）看图