专题16.1二次根式（备课件）八年级数学下册系列（人教版）

16.1二根次式第十六章二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结

八年级数学下册（人教版）

教学课件二次根式的概念与性质学习目标1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）4.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.（重点）5.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）复习引入问题1

什么叫做平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2

什么叫做算术平方根?

如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用表示.问题3

什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.思考

用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为Sm2，则边长为_____m．(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．图

图

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．问题1

这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根．上面问题中，得到的结果分别是：，，，．

讲授新课一、二次根式的概念及有意义的条件①根指数都为2;②被开方数为非负数.问题2

这些式子有什么共同特征？归纳总结

一般地，我们把形如

的式子叫做二次根式.

“”称为二次根号.两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥0注意：a可以是数，也可以是式.典例精析例1下列各式是二次根式吗?

(m≤0),(x,y异号)解析：（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0,（7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根.活动：探究二次根式有意义的条件及其非负性解：由x-1≥0，得x≥1

例2当x取何值时,二次根式有意义?当x≥1时，

在实数范围内有意义.试求当x=9时，二次根式的值.当x=9时，

思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.

要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.归纳【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)∵无论x为何实数，∴当x=1时，在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.

被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加如有意义的条件：(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：

A＞0；(4)二次根式与分式的和如有意义的条件：

A≥0且B≠0.归纳总结1.下列各式：.

一定是二次根式的有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.x

≥1

x

≥0且x≠2

练一练问题1

当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.

当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时，≥0.问题2

二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？二、二次根式的双重非负性

二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知≥0.

二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结例3若，求a-b+c的值.解：

由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.

多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例4已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得∴x=3，∴y=8，∴3x+2y=25.∵25的算术平方根为5，∴3x+2y的算术平方根为5．【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．解：由题意得∴a=3，∴b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．

若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳已知|3x-y-1|和互为相反数，求x+4y的平方根．解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．解得x=1，y=2．∴x+4y=1+2×4=9，∴x+4y的平方根为±3.练一练正方形的边长为，

用边长表示正方形的面积为

，又∵面积为a，即.三、（a≥0）的性质活动1如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？

这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？活动2

为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？

...算术平方根平方运算024

...a(a≥0)02=0

...观察两者有什么关系？

22=4420根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：

是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于2的非负数.因此.同理，分别是0,4，的算术平方根，即得上面的等式.归纳总结

的性质：一般地，＝a(a

≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.典例精析例5

计算：(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？解：例6

在实数范围内分解因式：

解：

本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.归纳练一练（1）若,则a-b+c=___解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015,所以x+2y=1+2×2015=4031....平方运算算术平方根20.1

0...a(a≥0)2

...观察两者有什么关系？

四、的性质填一填：

＝a(a≥0)....平方运算算术平方根-2-0.1

...2

...观察两者有什么关系？

a(a＜0)思考：当a＜0时，=？-a归纳总结a(a≥0)-a(a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

的性质：例7化简：解：，而3.14＜π，要注意a的正负性.注意

化简：

练一练解：（2）辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．（）（）（）（）××√√议一议：如何区别与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例8实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，∴原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab【变式题】

实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.解：根据数轴可知b＜a＜0，∴a+2b＜0，a-b＞0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b．

利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意例9已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a+b+c＞0，b+c＞a，b+a＞c，∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b+c＞0两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把

或

连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.概念学习数表示数的字母

想一想到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？代数式整式分式二次根式五、代数式的定义（1）一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；例10解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是km/h，逆水行驶的速度是km/h．（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.

（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以所以它的长为列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．归纳总结1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.D．B练一练2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.

方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“＞”或“＜”等.

火眼金睛1、下列各式哪些是二次根式?

判断二次根式课后训练(1)(2)(3)解：由得(a为任何实数)2当a是怎样的实数时,下列二次根式在实数范围内有意义?快乐训练营∴当a≥-1时，在实数范围内