备战2025年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用

第三章一元函数的导数及其应用3.1导数的概念、意义及运算1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.2.体会极限思想.3.通过函数图象直观理解导数的几何意义.4.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax+6.会使用导数公式表.【教材梳理】1.导数的概念及其意义（1）函数的平均变化率:对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx)．这时，x的变化量为Δx，y（2）导数的概念:如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y=f(x)在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做（3）导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f（4）导函数的概念:当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f2.导数的运算（1）基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=cf'(xf(x)=xα（αf'(x)=f(f'(x)=f(f'(x)=f(x)=ax（af'(x)=f(f'(x)=f(x)=logax（f'(x)=f(f'(x)=（2）导数的四则运算法则法则和差[f(x积[f(x)g(x)]'=商[f(x)g（3）简单复合函数的导数一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).它的导数与函数y=【常用结论】3.导数的两条性质（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.（2）可导函数y=f(x)的导数为f'(x)，若f'(x)为增函数,则f4.几类重要切线方程（1）y=x-1是曲线y=lnx的切线，y=x是曲线y=ln图1（2）y=x+1与y=ex图2（3）y=x是曲线y=sinx图3（4）y=x-1是曲线y=x2-图4由以上切线方程又可得重要不等式，如lnx≤x-11.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）f'(x0)与[f(（2）函数在x=x0处的导数反映了函数在区间[x0,（3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (√)（4）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (×)（5）函数f(x)=sin(-x)2.（教材练习改编）函数f(x)的图象如图所示，则四个数值0，f'(1),f'(2),A.0 B.f'(1) C.f'(2) D.[解析]解：f'(3)>f'(2)>f3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足fA.-e B.-1 C.1 D.[解析]解：对函数f(x)求导，得f'(x)=2f'(1)+1x,将x=14.函数f(x)=ln(2x-1)A.y=x-1 B.y=2x-[解析]解：因为f(x)=ln(2x-1)，所以f'(x)=22x-1，考点一求导运算例1求下列函数的导数：（1）y=(3x[答案]解：因为y=(3=6x3所以y'=18x（2）y=x[答案]y'=(x（3）y=3[答案]y'=(=(3=3=(ln3+1)(3（4）y=ln[答案]y'==1x（5）y=[答案]令u=2x-5则y'=(ln即y'=2【点拨】一般对函数式先化简再求导，常用求导技巧有：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用公式化简函数，再求导；⑥复合函数：确定复合关系，由外向内，层层求导.变式1.（1）设f(x)=(2x+a)2，且fA.0 B.-2 C.1 D.2[解析]解：由f(x)=4x2依题意得，f'(2)=16+4a=8，解得故选B.（2）设函数f(x)=x(x+k)(A.0 B.-1 C.3 D.-[解析]解：因为f(x所以f'(x)=(x+k)(x+2k)(（3）若函数f(x)=12x2[解析]解：因为f'(x)=x-2f'(0)sinx+1，令x=0，得f（4）设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(ex[解析]解：（方法一）令t=ex，故x=lnt，所以f(t)=lnt（方法二）等式两边同时求导，即exf'(ex)=1+ex故填2.考点二导数的几何意义命题角度1导数的几何意义例2若点P是函数y=2sinxsinx+cosx图象上任意一点，直线l为点A.(-∞,1) B.[0,1] C.[1,+∞) D.(0,1][解析]解：因为y=2所以y'==2cos因为-1<sin2x≤1所以11+sin2x≥所以直线斜率的范围是[1,+∞).故选C.【点拨】导数的几何意义是曲线上一点处切线的斜率.变式2.已知函数f(x)=alnx-1x，a∈R.若曲线y=f[解析]解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=ax+1x2，曲线y=f(x)命题角度2求切线方程例3（1）[2021年全国甲卷]曲线y=2x-1x+2[解析]解：当x=-1时，y=-3，故点(-1,-3)因为y'=2(所以y'|故切线方程为5x-y+2=0.（2）若曲线y=x的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为(A.14 B.12 C.14或18 D.1[解析]解：由题意，设切点坐标为(x0,x0)，由y=x=x​1又切线过点(8,3)，所以3-x0=12x0(8-x0)，整理得x0-6x（3）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)（e为自然对数的底数），则点[解析]解：设A(x0,lnx0)所以y'|则该曲线在点A处的切线方程为y-ln因为切线经过点(-e,-1),所以-即lnx0=ex0所以A点坐标为(e,1).故填(【点拨】曲线切线方程的求法:①以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f'(x)；求切线的斜率f'(x0)；写出切线方程y-f(x变式3.（1）曲线y=2sinx+cosx在点A.x-y-πC.2x+y-[解析]解：因为y'=2cosx-sinx，所以y'|x=π=2cosπ-sinπ=-2，则（2）直线y=kx-1是曲线y=1+lnxA.e B.e2 C.1 D.e[解析]解：设切点为(x0由y=1+lnx，得y'=1则曲线在切点处的切线方程为y-1-lnx0=1x0(x-x0)（3）曲线y=x-1x(x>0)上点P(x0,y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B[解析]解：由题意可得y0=x0-1x0，x0>0则切线的方程为y-x令x=0得y=-2x0，令y所以△OAB的面积S=解得x0=5（舍去负根），所以点P的坐标为(5,4命题角度3两曲线的公切线例4若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2[解析]解：设直线y=kx+b与y=lnx+2相切于点(x1,lnx1所以1x1=1x2+1，lnx1+1=ln(x【点拨】处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程（组）并解出参数，建立方程（组）的依据主要是：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.变式4.[2020年全国Ⅲ卷]若直线l与曲线y=x和x2+y2=1A.y=2x+1 B.y=2x+1[解析]解：设直线l在曲线y=x上的切点为(x0,x0)，则x0>0,函数y=x的导数为y'=12x，则直线l的斜率k=12x0,直线l的方程为y-x0=12x0(x-x0),即x-命题角度4根据切线情况求参数例5[2022年新高考Ⅰ卷]若曲线y=(x+a)ex[解析]解：因为y=(x+a)设切点为(x0,y0),则y切线方程为y-(因为切线过原点，所以-(x整理得x02因为切线有两条，所以Δ=a2+4a>0,解得另解：由切线斜率k=y0-0x0-0所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).故填(-∞,-4)∪(【点拨】求曲线切线的条数一般是设出切点(t,f(t)),由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题（零点问题）.本题利用导数的几何意义研究确定的切线,注意等价转化思想的应用：切线有两条→切点(x0,y0)变式5.[2023届江苏南通高三上一检]已知过点A(a,0)作曲线y=(1-x)exA.-3 B.3 C.-3或1 D.3[解析]解：设切点为(x0由已知得y'=-xex，则切线斜率k=-直线过点A(a,0)，则-(1-x切线有且仅有1条，即Δ=(a+1)2-4=0【巩固强化】1.下列叙述正确的是(D)A.若f(x)=xB.设函数f(x)=xlnx,C.已知函数f(x)=3xD.设函数f(x)的导函数为f'(x)[解析]解：对于A,f'(x)=sinx+对于B，f'(x)=lnx+1⇒对于C,f'(x)=6xe2对于D,f'(x)=2x+3f'(2)+12.函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)A.2f'(3)<f(5)-C.f(5)-f(3)<2f[解析]解：由图，知f'(3)<f(5)-f(3)5-3<3.已知函数f(x)=asinx+cosx在点(0,f(0))A.1 B.2 C.-1 D.-[解析]解：f'(x函数f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f'(0)=a4.曲线y=f(x)在x=1A.0 B.2 C.-2 D.-[解析]解：设曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x因此，f'(1)-f(1)=1-3=-25.如图，为了满足游客的需求，某公园欲修一条环湖公路（图中虚线所示，其满足某三次函数），并与两条直道公路平滑连接（相切），则该环湖弯曲路段满足的函数解析式可以是(D)A.y=14xC.y=12x[解析]解：对于A，y'=34x2-1，将x=2代入，此时导数为2，与点对于B，y'=34x2+x-2，将x=0代入，此时导数为-2对于C，y'=32x2+x-3，将对于D，y'=32x2-x-1，将x=0，x=2故选D.6.已知曲线f(x)=ex在点P(0,f(0))处的切线也是曲线gA.e3 B.e2 C.e2[解析]解：因为f(x)=ex，所以f'(x)=ex，f(0)=1，f设y=x+1与曲线g(x)相切于点(x0,ln(ax0))，则g'(7.[2022年新高考Ⅱ卷]曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为[解析]解：因为y=ln|x|，当x>0时，y=lnx，设切点为(x0又切线过坐标原点，得-lnx0=-1，解得x0=e由对称性可知，当x<0时，过原点的切线方程为y=-1ex.故填y8.设函数f(x)=ax-bx，曲线y（1）求f(x[答案]解：切线方程7x-4y-当x=2时，y=12.于是2a-b2故f(x（2）证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0[答案]证明：设P(x由y'=1+3x2，知曲线在点P(即y-(令x=0，得y=-从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-6令y=x，得y从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0【综合运用】9.设曲线f(x)=aex+b和曲线g(A.-1 B.0 C.1 D.3[解析]解：因为f'(x)=ae所以f'(0)=a，g'(0)=0，所以又M(0,2)为f(x)与g(x)公共点，所以f(0)=所以b+c-a10.若函数f(x)=3x+1x-3(x>0)的图象与函数g(x)=txA.1e B.e2 C.1e或2e D.1[解析]解：由题知，kl=2，令f'(x)=3-1x2=2，又x>0，解得x=1设函数g(x)=txex与直线所以2x0-1=解得x0=1,t=1e11.点A在直线y=x上，点B在曲线y=lnx上，则|A.22 B.1 C.2 D.2[解析]解：设平行于直线y=x的直线l:y=x+b设直线y=x+b与曲线y=lnx的切点为(m又y'=1x,即1m=1，则m=1，b=-1，则直线l:y=12.关于x的方程kx=sinx(k∈(0,1))在(-3π,3π)内有且仅有5个根，设最大的根是αA.α>tanα B.α<tanα[解析]解：由题意作出y=kx与y=sinx因为方程kx=sinx(k∈(0,1))在(-3π所以α必是y=kx与y=sinx在(2π,3π)内相切的切点的横坐标，设切点为(x0,y0),x0∈(2π,5π13.[2022年全国甲卷]已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2（1）若x1=-1，求a[答案]解：由题意，知f(-1)=-1-(-1)=0，f'(x)=3x2-1，f'(-1)=3-1=2，则y=f设该切线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2))，g'(（2）求a的取值范围.[答案]f'(x)=3x2-1，则曲线y=f(x设该切线与曲线y=g(x)切于点(x2,g(x2))则3x12-1=2令h(x)=94x4-2x3-32令h'(x)<0，解得x<-13或0<x<1，则xx(-∞,--(-0(0,1)1(1,+∞)h'-0+0-0+h单调递减5单调递增1单调递减-1单调递增则h(x)的值域为[-1,+∞)，故a的取值范围为【拓广探索】14.已知实数a,b满足a2-3lna-b=0,cA.1 B.2 C.2 D.5[解析]解：分别设y=f(x)=则(a-c)2+(b+(a-c)2+(b+c)2因为y=f(x)=x设与直线y=-x平行的切线切点横坐标为m则f'(m)=2m-可得f(1)=1，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0,所以直线x+y-2=0与直线x+y=03.2导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.【教材梳理】1.函数的单调性与导数的关系一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f2.利用导数判断函数f(x第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f'(x第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f3.函数值变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.【常用结论】4.在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增（减）的充分不必要条件.可导函数f(x)在(a,1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）若函数f(x)在(a,b（2）若函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，则（3）在(a,b)内,f'(x)≤0且f'(x)=0（4）函数f(x)=x-lnx的单调递增区间为（5）若函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)2.（教材例题改编）设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(xA.B.C.D.[解析]解：由函数图象可知，当x∈(-∞,1)时，函数f(x)单调递减，此时f'(x)<0;当x∈(1,4)时，f(x)单调递增，此时f'(x)>0，当3.函数y=f(x)在定义域(-32,3)内可导，图象如图所示，记y=f(A.[-13,1]∪[2,3)C.[-32,1[解析]解：由图象知f(x)在[-13,1]和[2,3)上单调递减，所以不等式f'(4.已知函数f(x)=1+x-sinx，则f(2)，fA.f(2)>f(3)>fC.f(2)>f(π[解析]解：f'(x)=1-cosx，当x∈(0,π]时，f'(x)>0，所以考点一导数法研究函数的单调性命题角度1不含参函数的单调性例1（1）函数f(x)=(3-x2A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,3)和(1,+∞) D.(-3,1)[解析]解：因为函数f(x所以f'(由f'(x)>0，得即3-2x-x2>0，则x2+2x-3<0，解得-（2）已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsinx+[解析]解：f'(x令f'(x则其在区间(-π,π)上的解集为(-π,-π即f(x)的单调递增区间为(-π,-故填(-π,-π2)【点拨】确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数f(x)的定义域.第二步，求f'(x).第三步，解不等式f'(x变式1.（1）函数f(x)=xlnx[解析]解：因为f(x)=xlnx，所以所以f'(x令f'(x)<0，解得0<x<1所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，故填(0,1)（2）下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在(-∞,0)上单调递增的是(C)A.f(x)=xC.f(x)=3x[解析]解：A中，f'(x)=cosx-xsinx，所以f'(x)在B中，f(-x)=ex+e-x2=C中，f(-x)=-3x-2又f'(x)=3-2cosx，x所以f(x)在(-∞,0)上单调递增，D中，f'(x)=3x2-1，当x<0时，f(x)在（3）[2022届河南部分重点中学高三月考改编]函数f(x)=sin[解析]解：f'(x令f'(x)≥0⇒x=0或4cos2x-1≥0⇒cosx≥12,又命题角度2含参函数单调性的讨论例2（1）已知函数f(x)=3(x-1)ex-[答案]解：依题意，f'(x①当a≤0时，ex-a>0,故f(x)②当a>0时，令f'(x)=0⇒x当a=1时，f'(x)≥0，函数当0<a<1时，lna<0，当x∈(-∞,lna)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(lna,0)当a>1时，lna>0，当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(0,lna)时，f'(（2）已知函数f(x)=ax2[答案]解：f(x)的定义域为f'(x①当a≥0时，令f'(x)<0，解得x∈(0,1)，令f则f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为②当a<-1时，令f'(x)=0，解得x=1当x∈(0,-1a)∪(1,+∞)时，f'(x)<0则f(x)的单调递减区间为(0,-1a)和③当a=-1时，f'(x)=-2(x-④当-1<a<0时，令f'(x)=0，解得当x∈(0,1)∪(-1a,+∞)时，f'(x)<0则f(x)的单调递减区间为(0,1)和(-1a综上，当a≥0时，f(x)的单调递减区间为(0,1)当a<-1时，f(x)的单调递减区间为(0,-1a)当a=-1时，f(x)当-1<a<0时，f(x)的单调递减区间为(0,1)和【点拨】划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.变式2.（1）已知函数f(x)=(x-a[答案]解：由题意，f'(x①当a≤0时，ex-a>0，令f'(x)<0，解得x故f(x)在(-∞,a)②当a>0时，令f'(x)=0，解得x1由y=x与y=lnx由f'(x)>0，解得x>a由f'(x)<0，解得故f(x)在(-∞,lna)和(综上可得,当a≤0时，f(x)在(-∞,a)当a>0时，f(x)在(-∞,lna)和（2）已知函数f(x)=12x2+(a[答案]解：函数f(x)的定义域为f'(x①若a≤1，则当x∈(0,1)时，f'(x)<0，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减；当x∈(1,+∞)时，f②若1<a<2，则当x∈(0,a-1)或x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在区间(0,a-1),③若a=2，则当x∈(0,+∞)时，f'(x)≥0，所以函数f(④若a>2，则当x∈(0,1),x∈(a-1,+∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在区间(0,1),(a-1,+∞)综上所述，当a≤1时，函数f(x)在区间(0,1)当1<a<2时，函数f(x)在区间(0,a-1)当a=2时，函数f(x)当a>2时，函数f(x)在区间(0,1),(a-考点二利用导数解决函数单调性的应用问题命题角度1图象识别例3函数y=f(x)的导函数y=f'(A.B.C.D.[解析]解：由导函数y=f'(x)的图象可知，该图象在x轴的负半轴上有一个零点（不妨设为x1），并且当x<x1时，f'(x)<0，该图象在x轴的正半轴上有两个零点（从左到右依次设为x2，x3），且当x∈(x1,x2)时，f'(x)>0；当x∈(x2,x3)时，f'(x)<0当x>x3时，f【点拨】利用导数进行图象识别有以下三个结论：①在导函数图象中,在x轴上方区域对应原函数单调递增区间,在x轴下方区域对应原函数单调递减区间;②在导函数图象中,图象由x轴上方到x轴下方与x轴的交点为极大值点;由x轴下方到x轴上方与x轴的交点为极小值点;③导函数与x轴的交点不一定是极值点,交点两侧导函数值可能恒正或者恒负,若交点是极值点,交点两侧导函数值必须异号.变式3.（1）已知函数y=xf'(x)的图象如图所示，则函数fA.B.C.D.[解析]解：由题意知，当x<0时，xf'(x)>0，则f'(x)<0当0<x<b时，xf'(x)>0，则f'(x当x>b时，xf'(x)<0，则f'(x)<0综上所述，只有D选项符合题意.故选D.（2）【多选题】下列图象中，可以作为函数f(x)=13x3+A.B.C.D.[解析]解：由题意得f'(x)=x2+2当a=0时，f'(x当a=-1时，f'(x)命题角度2比较大小例4（1）已知函数f(x)=2x+e-x-ex，a=f(20.3),A.c<b<a B.b<a<[解析]解：由题意，f'(x)=2-e-x-ex=2-(e-因为20.3>20=1，0<0.30.2<0.30=1，log0.32<log0.31=0，所以2（2）已知a,b,c∈(0,3)，且a5=5a,b4=A.a>b>c B.c>a>[解析]解：a5=5a即lnaa=ln55，b4设f(x)=lnxx，则f(a)=f'(x当x>e时，f'(x)<0当0<x<e时，f'(x因为a,b,c∈(0,3),f(a)=f(5),f(b)=f(4),f因为f(5)<f(4)<f(3)，所以f(a【点拨】①利用导数比较大小,有时需要利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题;②比较大小时，需关注函数的性质,如奇偶性、对称性，进而把自变量转移到同一区间，再利用单调性比较即可.变式4.（1）已知函数f(x)=cosx-12x2，记A.a<b<c B.b<a<[解析]解：因为f(x)的定义域为R,f(-x)=因为f'(x)=-sinx-x,设g(x)=因为f'(0)=0，所以当x≥0时，f'(x)≤0，所以f(因为-log215=log25>2所以f(-log215)<f（2）[2022届江西高三阶段练习]设a=ln28，b=1e2A.a<c<b B.a<b<[解析]解：令f(x)=lnxx2，则f'(因此f(x)在又因为a=ln28=ln416因为4>e>6>e故选B.（3）[2021年全国乙卷]设a=2ln1.01，b=ln1.02，A.a<b<c B.b<c<[解析]解：a=2ln1.01=ln1.012下面比较c与a,b的大小关系.记f(x)=2ln(1+x)-1+4x由于1+4x-所以当0<x<2时，1+4x-(1+x)2>0所以f(x)在所以f(0.01)>f(0)=0,即2ln1.01>1.04令g(x)=ln(1+2x)-1+4x由于1+4x-(1+2x)2=-4x2，当x>0即函数g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0,即ln综上，b<c<a命题角度3解不等式例5已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1，且f'(x)>1A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1)[解析]解：令t=x2，则f(x2)<x设g(x)=f(因为对于任意的x∈R，都有f所以对任意x∈R，都有g'(x)>0且g(1)=f(1)-12-12=0，所以f(t)-t2-12<0的解为【点拨】构造函数解抽象不等式:①对于不等式f'(x)>k(k≠0),构造函数g(x)=f(x)-kx+b.②对于不等式xf'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=xf(x);对于不等式xf'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=f(x)x(x≠0).③对于不等式xf'(x)+nf(x变式5.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)[解析]解：令F(x)=f(x)x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F'(x)=xf'(x)-f(x)x2，当x>0时，xf'(x)-命题角度4求参数的范围（值）例6（1）若函数f(x)=ln(ax+1)+1-x1+[解析]解：f(x)的单调递增区间为[1,+∞)，即f(x)仅在区间[1,+∞)上单调递增,f若2-aa≤0，即a≥2，则x2≥2-a若2-aa>0，即0<a<2，则f(x)的单调递增区间为[2-aa,+∞),（2）若函数f(x)=ln(ax+1)+1-x1+[解析]解：f'(x)=aax+1-2(x+1)2=ax2+a-2(ax+1)(x【点拨】根据函数单调性求参数的一般思路:①利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集;②f(x)为增函数的充要条件是对任意的变式6.（1）函数f(x)=13x3-ax2在A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[-1,+∞)[解析]解：f'(x)=x2-2ax=x(所以f'(x)≤0在(-2,-1)上恒成立，由二次函数f'(x)=x(故选B.（2）设函数f(x)=3x2+axex(a∈RA.[-92,+∞) B.(-∞,92][解析]解：f'(=-3因为f(x)在所以f'(x)≤0，即a≥-令u(x则u'(x所以u(x)在所以u(x所以a的取值范围是[-92故选A.（3）已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)[解析]解：f'(x令f'(x)<0,即6x2所以函数f(x)的单调递减区间为所以b-a=m3所以m的最大值为6.故填6.学科素养·“二次求导”中的理性思维典例判断函数f(x)=[答案]解：f'(x令g(x)=x2-2xlnx-1,则g'(x)=2x-2lnx-又h(1)=0,故h(x)≥0（x≥1时）,则g故g(x)≥0（x≥1时），从而f'(x)>0（x【点拨】求导后思路受阻时，常考虑二次（多次）求导（需利用函数思想先构造函数），尤其是对于解析式含ex,lnx,xn,sinx,cosx等混合结构时.注意：结合端点或特殊点函数值符号；一般令变式.（1）判断函数f(x)=[答案]解：f'(x令g(x)=(-x3-当x≥0时，g'(x)≤0,则g(故当x>0时，g(x)<0，则f'(x)<0,（2）当x>0时，比较sinx与x-[答案]解：令f(x)=sinx-x+x36,则f'(x)=cosx则h(x)单调递增，又h(0)=0,则h(x)≥0,所以g(x)单调递增，又g(0)=0,则g(x)>0（x>0时）,故f(【巩固强化】1.函数f(x)=-lnxA.(-12,0)和(12,+∞)C.(0,12)[解析]解：函数f(x)的定义域为f'(x令f'(x)>0，得所以函数f(x)的单调递增区间为故选D.2.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f'(xA.f(b)>fC.f(c)>f[解析]解：依题意得，当x∈(-∞,c)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(-∞,3.设函数f(x)=12x2-9lnxA.(1,2] B.[4,+∞) C.(-∞,2] D.(0,3][解析]解：f'(x)=x-9x(x>0)，当x-9x≤0时，有0<x≤3,4.已知函数f(x)=(x2-x-A.B.C.D.[解析]解：f'(x当-2<x<1时，f'(x)<0，当x<-2所以f(x)在(-2,1)上单调递减，在(-∞,-2)和(1,+∞)又当x<-2时，x2-x-1>0故选A.5.若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(A.[1,+∞) B.[1,32) C.[1,2)[解析]解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=4x-1x，由f'(x)=06.设函数f(x)=ex-alnx(a∈R)，则“a<A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]解：函数f(x)的定义域为f'(x)=ex-ax，当a<0时，f当a=0时，f(x)=ex故选A.7.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3，且f(x)的导数f'(x)在RA.(1,+∞) B.(-∞,-1)C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)[解析]解：令g(x)=f(x)-2x-1，所以g'(x)=f'(x)-2<0，所以g8.已知函数f(x)=12x[答案]解：f(x)的定义域为(0,+∞)，①当a≤0时，令f'(x)<0，得0<x<1；令f'(x)>0，得x>1，此时②当0<a<1时，令f'(x)<0，得a<x<1；令f'(x)>0，得0<x<a或x>1③当a=1时,显然f'(x)≥0恒成立，此时f(x④当a>1时,令f'(x)<0，得到1<x<a；令f'(x)>0，得到0<x<1或x>a.此时f【综合运用】9.若函数f(x)=ex(sinx+a)A.[2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[解析]解：因为f(x)=ex所以f'(x由于函数f(x)=ex(sinx+a)在区间(-得a≥-sin当-π2<x<则-22所以-2≤-2sin(因此，实数a的取值范围是[1,+∞).故选C.10.制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙两个科研小组，分别用两种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为2sin12mm,乙小组制作的晶圆厚度为3sinA.甲小组制作工艺水平更高 B.乙小组制作工艺水平更高C.甲、乙小组制作工艺水平相当 D.无法判断哪个小组制作工艺水平更高[解析]解：设f(x)=sinxx,令g(x)=xcosx-sinx,x∈(0,π2),g'(x)=-xsinx<0,所以g(x)在(0,π2所以3sin13>211.对任意的x1,x2∈(1,3]，当x1<x2时，x1A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.[9,+∞) D.(9,+∞)[解析]解：依题意，x1-x2-a3lnx则对任意的x1,x2∈(1,3]，当x1<x2时，f(因此，∀x∈(1,3]，f'(x)=1-a3x≤0，得a≥3x，而(3x12.已知a=4ln3π,b=3ln4π,c=4lnπ3A.c<b<a B.b<c<[解析]解：令f(x)=lnxx，则f'(x)=1-lnxx2所以f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减.又4>π>3>e，所以f(4)<f(π故b12π<c12π<13.证明：（1）-0.01>[答案]证明：观察不等式，若令x0=0.99，则x0-1>lnx0,构造函数f(x)=x-1-lnx,则f'(x)=x故f(0.99)>f(1)，即0.99-1-ln0.99>0（2）1.1<e[答案]证明：观察不等式，若令x0=0.1,则x02=0.01,从而考虑证明不等式1+x对于f(x)=ex故当x≠0时，ex>x+1对于g(x)=1+x+x2-ex,令h'(x)=0,易得h(x)max=h(ln2)=1+2结合h(x)先增后减得,在(0,1)上h(x)>0,则在(0,1)上g(x)单调递增，故当x综上，1.1<e0.1【拓广探索】14.已知函数f(x)=ln(ax3A.b<a<c B.b<c<[解析]解：设g(x)=ax由图象可知，函数f(x)先单调递增，再单调递减，最后单调递增，且当x=1所以函数g(x所以g'(x)=3ax2+b=0有两个实根，即x=±-b3a又由f(0)=lnc>0由f(1)=ln(a+所以c>1-a-b=1-a+3第2课时利用导数研究函数的极值与最大（小）值借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.【教材梳理】1.函数的极值（1）函数极值的定义：如图，函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0.类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f'(x（2）函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y=f(x)在某一点的导数值为0是函数y=f(x)①f'(②在x=x0附近的左侧f'(（3）导数求极值的方法：解方程f'(x)=0，当f'(x0)=0时,如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，那么f(x0)2.函数的最大（小）值（1）函数最大（小）值的再认识①一般地，如果在区间[a,b]上函数②若函数y=f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)为函数在[a,b]上的最小值，f(b)为函数在[a,b]上的最大值（2）导数求最值的一般步骤:设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在①求函数y=f(x)②将函数y=f(x)3.三次函数的图象、单调性、极值设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)（1）a>0Δ>0Δ≤0图象单调性在(-∞,x1)，在(x1在R上是增函数极值点个数20对称中心(-b3（2）a<0Δ>0Δ≤0图象单调性在(x1,x2)上单调递增；在在R上是减函数极值点个数20对称中心(-b31.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）函数的极大值不一定比极小值大. (√)（2）对于可导函数f(x)，f'(x0)=0是x（3）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值. (√)（4）函数f(x)在(a,b)内单调,则函数f(x（5）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. (×)2.函数f(x)的导函数为f'(x)=-x(A.最小值f(0) B.最小值f(-2) C.极大值f(0) D.[解析]解：令f'(x)=-x(x+2)>0，解得-2<令f'(x)=-x(x+2)=0令f'(x)=-x(x+2)<0即函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-2)，所以函数f(x)有极大值f(0)3.（教材习题改编）已知函数y=f(x)的导函数yA.函数f(x)有2B.函数f(x)有1C.函数f(x)有3D.函数f(x)有1[解析]解：由y=f当x<x2时，y=f当x2<x<x3时，y=f'(x)<0，所以y所以y=f(x)在x=x24.[2022年全国甲卷]当x=1时，函数f(x)=alnx+bA.-1 B.-12 C.12[解析]解：由题意f(1)=b=-2，则f(x)=alnx-2x.因为f'(x)=ax+2x2=ax+2x2，f'(1)=a+2=0考点一利用导数解决函数的极值问题命题角度1由图象判断函数的极值例1设三次函数f(x)的导函数为f'(x)，函数A.f(x)的极大值为f(B.f(x)的极大值为f(-C.f(x)的极大值为f(3)D.f(x)的极大值为f(-3)[解析]解：由图象可知：当x=-3和x=3时，xf'(x)=0当x<-3时，xf'(x)>0当-3<x<0时，xf'(x当0<x<3时，xf'(x)>0当x>3时，xf'(x)<0所以f(x)在(-∞,-3)上单调递减；在(-3,0),(0,3)上单调递增；在(3,+∞)所以f(x)的极小值为f(-3)，极大值为f(3)【点拨】由导函数图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:①由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;②变式1.已知函数f(x)，g(x)的导函数f'(x)，A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值[解析]解：由F(x)=g(x)-f由图可知F'(x)=0的三个根即为g'(x当x∈(-∞,x2)时，g'(当x∈(x2,x3)当x∈(x3,+∞)时，g'(所以F(x2)为F(x)的极大值，F(x3)为故选B.命题角度2求已知函数的极值例2（1）设函数f(x)=mx-e[答案]解：因为f(x)=mx-当m≤0时，f'(x)=m-ex当m>0时，由f'(x)=m由f'(x)=m-所以f(x)在(-∞,lnm)上单调递增，在(lnm综上所述，当m≤0时，函数f(当m>0时，f(x)有极大值（2）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+aA.11或18 B.11 C.18 D.17或18[解析]解：因为函数f(x)在x=1所以f(1)=10，且f'(1)=0即1+a+b+a2=10而当a=-3，b=3时，f'(x)=3(x-1)2≥0，函数在x【点拨】求函数f(x)极值的步骤：第一步，确定函数的定义域；第二步，求导函数f'(x)；第三步，解方程f'(x)=0，求出在函数定义域内的所有根；第四步，列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x变式2.（1）若函数f(x)=(x2-ax-1)exA.-e B.-2e2 C.5[解析]解：由题意，f'(x所以f'(1)=(2-2a)e=0，解得a=1，故则f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增，在所以f(x)的极大值为f(-2)=5（2）若x1,x2是函数f(x)=x[解析]解：因为f(x)=x2所以f'(x令f'(x)=0，得Δ=49-4×2×4=17>0因为x1,x2是函数f所以x1,x2是方程2所以x1+x2=所以f(=x=(x=(72故填4ln2命题角度3已知极值情况求参数范围例3若函数f(x)=x2-2xA.(12,+∞) B.(-12,0)[解析]解：因为f(x所以f'(x)=2x-2+a所以2x2-2x+a所以Δ=4-8a>0,a>0,解得【点拨】解含参数的极值问题要注意：①f'(x0)=0是x0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数y=f(x)在区间(a变式3.（1）[2021年全国乙卷]设a≠0，若x=a为函数f(xA.a<b B.a>b C.ab[解析]解：若a=b，则f(x)=所以f(x)有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a附近是不变号，在x=b附近是变号的.依题意，当a<0时，由x>b时，f(x)≤0，画出f(x)的图象如图1所示,由图可知当a>0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如图2所示,由图可知综上所述，ab>a2成立.（2）已知函数f(（Ⅰ）当a=-3时，求函数f([答案]解：当a=-3时，f(所以f'(x)=x2-2x-3=(x-当x<-1时，f'(x)>0，则f(当-1<x<3时，f'(x)<0，则当x>3时，f'(x)>0，f(x所以当x=-1时，f(x)当x=3时，f(x)（Ⅱ）设g(x)=f(x)+f'(x)+a[答案]解：g(x则g'(x问题转化为方程g'(x)=0在区间所以g'(-1)⋅g'(1)<0解得a<-1或a>故a的取值范围为(-∞,-1)∪(13考点二利用导数解决函数的最值问题命题角度1求函数最值例4设函数f(x)=alnx-bx2(x（1）求实数a，b的值；[答案]解：f'(x因为函数f(x)在x=1所以f'(1)=a-（2）求函数f(x)在[[答案]由（1）知，f(xf'(x当1e≤x≤e时，令f令f'(x)<0，得所以f(x)在[1e,1)上单调递增，在f(1e)=-1-12e2所以f(x故f(x)在[1e,e]【点拨】不含参函数直接按步骤求最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间;二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.变式4.已知函数f(（1）求函数f(x[答案]解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1x-2x=1-2x2x，令f'(x（2）求函数f(x)在(0,[答案]由（1）知，f(x)在(0,22)所以当0<a<22时，f(x)当a≥22时，f(x)在(0,2综上所述，当0<a<22时，f(当a≥22时，f(x命题角度2已知最值情况求参数范围例5若函数f(x)=13x3+x2[解析]解：由题意得f'(x)=x2+2x=x(x+2)，故令13x3+x2-23=-23得，x=0或【点拨】由于所给区间是开区间，故最值点不可能在区间端点处取得，进而分析极值点与区间端点的关系即可.变式5.（1）已知函数f(x)=ex+x2+(a-A.(-e,1) B.(1-e,1) C.(-[解析]解：由f(x)=ex+x2+(a-2)x+1得f'(x)=ex+2x+a故选A.（2）已知f(x)=-13x3+mx2+1[解析]解：由题意知，f'(x令f'(x)=0，得x1=0因为f(x)在区间[2,4]上的最大值就是函数所以极大值点为x=2m，所以2≤2m≤4故填[1,考点三三次函数的性质命题角度1三次函数的对称性问题例6对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f'(x)是函数f(x)的导数，f″(x)是函数f'(x)的导数，若方程f″(（1）函数f(x)=13[解析]因为f(x所以f'(x)=x2令f″(x)=0，解得f(1所以f(x)的对称中心为（2）计算f(12[解析]因为f(x)的对称中心为(12所以f(1故填(12,1)【点拨】三次函数f(x)的图象一定是中心对称图形，对称中心横坐标即其导函数f'(x)变式6.[2023届浙江高三开学考试]已知函数f(x)=x3-3x2+9x[解析]解：因为f'(x)=3x2-6x+9，对称轴为x=1因为f'(x)=3x2-6x所以方程f(a)=7,f(b)=15的解a因为f(a)+f(b)=2f(1)=22，所以(a,7),命题角度2三次函数的零点问题例7已知函数f(x)=2x3+3x2+m,0≤x[解析]解：当0≤x≤1时，f所以f(x)在区间最小值为f(0)=m，最大值为f在(1,+∞)上，m≠0时，f(x)为单调函数，m=0故要使f(x则f(x)在区间[0,1]和区间所以在(1,+∞)上f(x)必单调递减且则m<0,m+5>0，故填(-5,【点拨】三次函数零点问题同样需要先借助导数画出大致图象再判断，通常可以转化为一元二次方程根的分布问题，再借助二次函数或韦达定理来解决.变式7.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+3，若函数gA.(-24,8) B.(-24,1] C.[1,8] D.[1,8)[解析]解：f'(x)=3x2-6x-9=3(x当x变化时，f'(x)与fx[-2,-1)-1(-1,3)3(3,5]f+0-0+f↗极大值↘极小值↗故当x=3时，函数f(x)又因为f(-2)=(-2)3-3×(-2)2-9×(-2)+3=1，所以当x=-1时，函数f(x)又因为f(5)=53-3×52-9×5+3=8，所以函数f作函数f(x)在[-2,5]由图象可知，当y∈[1,8)时，函数f(x)的图象与直线因此当m∈[1,8)时，函数g(x)=f(x)-故m的取值范围为[1,8).故选D.考点四利用导数解决实际问题例8蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包下半部分近似一个圆柱、上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥.今制作一座蒙古包，下半部分圆柱的高为2m,上半部分圆锥内部的母线长为3m，当该蒙古包的内部空间最大时，其内部的实际占地面积为[解析]解：设底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则h=9-r2所以V==2π=-π3令f(h)=-π则f'(h)=-π令f'(h)=0,得h=7-2又因为母线长为3，所以0<h<3所以当0<h<7-2时，f'(h)>0，f(h)单调递增；当7-所以当h=7-2时，f(h)取得最大值，即V故内部的实际占地面积S=π故填(47【点拨】函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题.变式8.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+127x2（单位：万元），又知产品单价的平方与产品件数x[解析]解：设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2=kx又生产100件这样的产品单价为50万元，所以502=k100记生产x件产品时，总利润为f(x所以f(x)=mx-C(x)=500由f'(x)>0得0<x<225，由f故函数f(x)在(0,225)上单调递增，在因此当x=225时，f(x)取最大值.即产量定为225【巩固强化】1.函数f(x)的导函数为f'(x)，函数A.x=2是f(x)的零点 B.x=2C.x=1是f(x)的极大值点 D.x=-2[解析]解：对于A，无法判断x=2是否为f(x)对于B，因为在x=2左侧附近，(x-2)f'(x)<0，故f'(x)>0，在x=2右侧附近，(x-对于C，因为f'(1)=0，在x=1左侧附近，(x-2)f'(x)>0，故f'(x)<0，在x=1右侧附近，(x对于D，因为f'(-2)=0，在x=-2左侧附近，(x-2)f'(x)<0，故f'(x)>0，在x=-2右侧附近，(x故选D.2.已知函数f(x)=13ax3+12A.2 B.3 C.5 D.9[解析]解：f'(x)=ax2+bx-2，则f'(2)=4a+2b3.函数y=(x+1)ex+1,A.2e-2 B.5e5 C.[解析]解：y'=(x当-3<x<-2时，y'<0，当-2<所以函数y=(x+1)ex+1在因为f(-3)=-2e所以函数y=(x+1)ex+1,x∈[-3,4]4.已知函数f(x)=2f'(1)⋅lnx-A.2ln2-2 B.2ln2+2 C.ln[解析]解：因为f'(x)=2f'(1)x-1，所以f'(1)=2f易知当x∈(0,2)时,f'(x)>0，当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0，所以x=25.已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在A.0 B.1 C.2 D.3[解析]解：f'(x)=6x2+6mx+2n,由题意有f'当m=5,n=-18时，f'(x)=6x2+30x-36=(x+6)(6x-6)，则f(x当m=-2,n=3时，f'(x)=6x2-12x+6=6(x-1)2≥0，则f(x)在R6.已知函数f(x)=x3+3mx+1在(0,1)A.{m|m≥0}C.{m|-1<m<0}[解析]解：因为f(x)=x3+3mx+1，所以f'(x)=3(x2+m)，因为f(x)7.若x=1是函数f(x)=(x2+[解析]解：由f(x)=(x2因为x=1为函数f(所以f'(1)=[1+(a+2)×1+a-1]e1-1=2所以f'(x)=(x2令f'(x)=0，得x=1当x<-2或x>1时，f'(x)>0，当-所以f(x)在(-∞-2)和(1,+∞)上递增，在所以当x=-2时，f(所以f(x)的极大值为f(-2)=(4+2-1)e-8.已知函数f(（1）当a=0时，直线y=kx为函数f(x[答案]解：因为f(x)=lnx设切点为P(x0,由②③⇒y0=1，代入①⇒x所以k=1（2）求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值g[答案]f'(x)=1x因为x∈[1,2]，所以当a≤1时，f'(x)≥0，f(x)当1<a<2时，令f'(x)>0⇒所以f(x)在[1,a]递减，[当a≥2时，f'(x)≤0，f(所以g(a综上，g(【综合运用】9.一般地，对于一元三次函数f(x)，若f″(x0)=0，则(x0,f(x0)为三次函数f(xA.(-∞,-3322) B.(-∞,0) C.[解析]解：由函数f(x)=x3+ax2由f″(x0)=6x0+2af'(x)=3x(x+2a3)，当x<0或则f(x)在(-∞,0)，(-2a因此，当x=0时，f(x)取得极大值f(0)=1，当x=-2a因函数f(x)有三个零点，即函数y=f(x解得a<-3322，则实数故选A.10.已知函数f(x)=sin(2x+π6)-xA.-3 B.-32 C.32[解析]解：由题意，得f'(x)=2cos(2即2cos(2x+π6令g(x)=2cos(2当x∈[0,π6]时，π6所以-5≤-4sin(2x+所以g(x)在x∈[0,π则m≥3，m的最小值为3故选D.11.直线x=a(a>0)分别与曲线y=2x+1，y=x+lnxA.1 B.2 C.2 D.3[解析]解：令f(x)=2x+1-x-ln当0<x<1时，f'(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当x故f(x易知点A(a,2a+1)，B因此，|AB|的最小值为2.12.[2022届江苏高三开学考试]函数f(x)=x2+a2+bA.e B.2e C.1e2[解析]解：f'(x因为f(x)有极小值点，记为x0，则f'(又f(x0)=0即a2=-x02设a2-当x0≥e时，所以g(x0)=x02+2x02所以a2-b的最小值为2e13.[2022年江苏无锡教科院高二期末]【多选题】已知函数f(x)=13A.当a=-1时，f(x)B.当a=1时，f(x)C.∃a>0，使得f(x)D.当a>0时，若g(x)=f(x)-14x[解析]解：当a=-1时，f(x)=-13x3+x，当a=1时，f(x)=13x3-x2+xf(x)=13当a=1时，f'(x)=(x-1)2≥0g(x则g'(xΔ=(a+1)2-3a=a2-a+1>0，所以g'(x)=0有两个不等的实根x1,x2，设x1<x2，当x<x1或x(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x故选BCD.【拓广探索】14.“二进制”提出后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究,研究方法如下：对于正整数n，x(x≥2)，我们准备nx张不同的卡片，其中写有数字0，1，…，x-1的卡片各有n张,如果用这些卡片表示n位x进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示xn个不同的整数（例如n=3，x=10时，我们可以表示出000,…,999共103个不同的整数）.假设卡片的总数nx为一个定值，那么x进制的效率最高,则意味着nx张卡片所表示的不同整数的个数xn最大.A.二进制 B.三进制 C.十进制 D.十六进制[解析]解:设nx=k为定值，则nx张卡片所表示的不同整数的个数y=x​假设x，k∈R+，则lny=kx求导可得y'=e​kxln因为e​kxlnx·kx2>0，所以当0<x<e时，y'>0，当x>则只需比较2​k2，3因为（2​k2）​6=23k=8k，（3k3）故选B.阶段集训3范围：3.1导数的概念、意义及运算∼3.2导数在研究函数中的应用一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=x3-2xfA.-1 B.1 C.-2 D.[解析]解：f'(x)=3x2-2f'(1)2.已知函数f(x)=12x2+2A.(-3,1) B.(0,1)C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(1,+∞)[解析]解：由题设，f'(x)=x-3x+2=x2+2x-3x.又定义域为(0,+∞)，令f'(x)<03.等比数列{an}中的项a1，a105是函数f(A.3 B.±3 C.-3 D.[解析]解：由题意，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)，则当x∈(-∞,1)时，f'(x)>0，函数单调递增，当x∈(1,3)时,f'(x)<0，函数单调递减，当x∈(3,+∞)时，f'(x)>0，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数f(x)的两个极值点，即a14.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数A.函数f(x)有极大值f(-3)B.函数f(x)有极小值f(-3)C.函数f(x)有极小值f(3)D.函数f(x)有极小值f(-3)[解析]解：由图可知，当x<-3时，x+1<0，则f当-3<x<-1时，x+1<0当-1<x<3时，x+1>0当x>3时，x+1>0，则f所以函数f(x)有极小值f(-3)故选D.5.过原点的直线与函数f(x)=cosx在[0,π]上的图象切于点A.-2 B.-1 C.3 D.[解析]解：切点为(x0,cosx0)，f'(x)=-sinx,则f'(x06.已知函数f(x)=x3+a2x2+(2A.1 B.2 C.2 D.22[解析]解：f'(x因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=3+2而a2+b2=(所以(a+b)2≤4，即a+b≤2，当且仅当a所以a+b的最大值为2.7.已知函数f(x)=x3-9x2+29x-30，实数m，A.6 B.8 C.10 D.12[解析]解：f(x)=x3-9x2+29x-30=(x-3)3因为实数m，n满足f(m)=-12，f(n根据对称性，得12(m+n故选A.8.已知a=ln24，b=1e2，c=lnπ2π，则A.a<c<b B.b<a<[解析]解：令f(x)=lnx令f'(x)<0，解得因此f(x)在(又a=ln24=ln416=f(4)，b故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有(BC)A.(sinB.已知函数f(x)在R上可导，且f'(1)=1C.一质点的运动方程为s=t2，则该质点在tD.若y=f(x[解析]解：(sinπ4)'=0limΔx→0f(1+2Δxs'=2t，所以该质点在t=2时的瞬时速度是2×2=4，y'=f'(x)故选BC.10.[2022届河北保定二模]若直线y=3x+m是曲线y=x3(A.m=-2 B.m=-1 C.n=6[解析]解：设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)对于函数y=x3(x>0)，y'=3x2，则3a2对于函数y=-x2+nx则-2b+n=3(b所以-b2又b>0，所以b=2，n=711.[2022年新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)=x3A.f(x)有两个极值点 B.C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y[解析]解：f'(x)=3x2-1，令f'(x)>0,得x>33或x<-33,令f'(x)<0，得-3因为f(-33)=1+239>0，f(33)=1-239>0，f(-2)=-5<0，所以函数f(x)在(-2,-33)令h(x)=x3-x，该函数的定义域为R，h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x)，则令f'(x)=3x2-1=2，可得x=±1，又f(1)=f(-1)=1，当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x12.[2023届广东茂名高三阶段练习]已知函数f(x)=exA.函数f(x)在B.函数f(xC.当且仅当e<m<3时，方程D.若当x∈(-∞,t](t∈Z)时，函数f([解析]解：函数f(x)=ex(x2f'(x)=x(x-1)ex，当x<0或x>1时，f'(x)>0，当0<x<1时，f'(f(0)=3，f(1)=e，当x→+∞时，f(x)→+∞，当x→-∞如图，若当x∈(-∞,t](t∈Z)时，函数f(x)的最大值为3，则一定有t≥0，而故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f[解析]解：由f(x)=3xf'(e)+lnx,得f'(x14.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx[解析]解：设x<0，则-x>0，又f(x)为奇函数，所以f(x又f(-1)=-1，所以切线方程为y+1=x+1，即x-y15.已知函数f(x)=2x3-ax2+b，若存在a，b使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1，最大值为[解析]解：f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).不妨令a3>1，则f'(x)<0在区间[0,1]上恒成立，f(x)在区间[0,1]上单调递减，此时要满足题意则16.已知f(x)为偶函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x)+xf'(x)<0，其中[解析]解：令g(x)=xf(x)，根据题意可知，因为g'(x)=f(x)+xf'(x)，所以当x≥0时，g'(x)<0，由不等式(1-x)2xf(2x)>(x-1)f(x-1)，即g(2综合突破一导数的综合问题第1课时导数与不等式考点一证明不等式命题角度1构造函数证明不等式例1已知函数f(x)=aex（1）当a=2时，判断函数f([答案]解：当a=2时，f(x)=2e设g(x)=f'(x)=2ex-2所以g(x)在(-∞,0)上单调递减，在所以g(x)min=g(0)=2-0=2所以函数f(x)是R（2）若a>1，证明f(x)>cosx[答案]证明：先证对任意x∈[0,+∞)，ex令p(x)=ex-x2令m'(x)=0，得x=ln2，所以m(x所以m(x所以p'(x)>0，所以p(x)在[0,+∞)上单调递增，所以p(x当a>1时，f(即f(x)>cosx【点拨】①证明f(x)>g(x)，可以构造函数h(x)=f(x)-g(x变式1.已知函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=a+（1）求a,b的值；[答案]解：f'(x)=11+由题意得g(0)=f(0)=0,f'(0)=g'（2）证明：f([答案]证明：令h(x则h'(x令h'(x)>0，得-1<x<0，令所以h(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，所以所以h(x)≤h(0)=0命题角度2利用结论证明不等式例2已知函数f(（1）当m=1时，求曲线y=f(x[答案]解：当m=1时，f(所以f'(x所以f(1)=e-1所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为（2）当m≥1时，证明：f[答案]证明：当m≥1f(x要证明f(x)>1，只须证明以下给出三种方法证明ex-（方法一）设g(x)=ex设h(x)=ex所以函数h(x)=g'(x因为g'(12)=e​12所以函数g'(x)=ex-1x在(0,+∞)因为g'(x0)=0，所以ex当x∈(0,x0)当x∈(x0,+∞)所以当x=x0时，g(x故g(x综上可知，当m≥1时，f(（方法二）先证明ex≥设h(x)=ex因为当x<0时，h'(x)<0，当x>0所以当x<0时，函数h(x)单调递减，当x>0所以h(x)≥h(0)=0,ex≥要证ex-lnx-下面证明x-ln设p(x)=x-当0<x<1时，p'(x)