高中数学讲义：数列求和

高中数学讲义：数列求和

目录

1.课程目标......................................................................1

2.常见数列求和方法...........................................................2

2.1.分组求和法..............................................................2

2.2.倒序相加法求和.........................................................2

2.3.错位相减法.............................................................3

2.4.裂项相消法.............................................................3

2.5.数列求和之裂项相消法...................................................4

2.6.错位相减法.............................................................4

2.7.数列求和之错位相减法...................................................5

2.8.数列求和之倒序相加法...................................................5

2.9.公式法..................................................................5

2.10.分组求和法............................................................6

2.11.数学归纳法............................................................6

2.12.观察法.................................................................6

3.数列求和方法总结...........................................................7

4.课后作业....................................................................7

4.1.利用常用求和公式求和....................................................7

4.2.错位相减法求和..........................................................7

4.3.倒序相加法求和..........................................................8

4.4.分组法求和.............................................................8

4.5.裂项法求和.............................................................8

5.答案........................................................................9

1.课程目标

A.掌握常见数列求和公式

B.掌握几种常用数列求和方法

常见数列Sn公式

1.等差数列

2.等比数列

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3.12+22+....+n2

4.l3+23+....+n3

2.常见数列求和方法

2.1.分组求和法

——通过分组构造常见数列

分组法求和

【例1】

求数列｛〃(〃+1)(2〃+1)｝的前n项和

2.倒序相加法

----ai+an相等

2.2.倒序相加法求和

适合满足如下条件的数列求和。

6+4〃必+%，…，%+4

所构成的新数列具有一定规律，一般为等差或等比数列，特殊情况为

4+%=。2+%一1=,,=%+%

详情见数列求和之倒序相加法

【例2】

求si/1+sin22+•••+sin288+sin289二？

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2.3.错位相减法

【例3】

求数列纭品亭…前〃项的和

4.列项求和法

-------q=/(〃+1)-/(〃)

【例4】

__1_

"n(n+1)

【例5】

1

"〃(〃+1)(〃+2)

【例6】

1

“G+J.+1

【例7】

求证:cosl

cosOcoslcoslcos2cos88cos89sin2l

2.4.裂项相消法

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顾名思义，就是将数列an通项拆分为若干项，一般为某数列bn相邻两项

之差，这样求和时便可以抵消中间部分，只剩首尾两项。常见的能够裂项的数

列如下所示。

b

4

77(77+67)an勿+Q

=lii----=ln(〃+1)-11177

n

Q-1

nJ/7+I+五

=%•加=(%+!一〃!

an1)

n11

Q------------........................

(〃+l)!n!(w+1)!

T11

4一(2n-l)(2n+1-1)-2n-l-2M+1-l

11(11)

%

7?(77+1)(/7+2)2[，(〃+l)(77-bl)(z?4-2)?

详情见数列求和之裂项相消法。

2.5.数列求和之裂项相消法

]

{an+b)(cn+d)

0

(ad-be)an+bcn+d

2.6.错位相减法

适用于差比数列求和，即an=bncn,其中bn为等差数列，cn为等比数列。

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详情见数列求和之错位相减法。

2.7.数列求和之错位相减法

4=bnCn

等差X等比

2.8.数列求和之倒序相加法

S=q+生+…+%

S=4+。„_1+…+弓

2s=(q+&)+…+(4+4)

2.9.公式法

顾名思义，直接利用等差数列和等比数列求和公式进行求解，公式如下

等差数列：

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2.10.分组求和法

适合由两容易求和的数列相加组成的数列求和。即可以写成如下表达形式

的数列

且bn和cn的和可利用其他求和方式进行求解。

详情见数列求和之公式法和分组求和法。

数列求和之公式法和分组求和法

等比数列

叫(9=1)

=<4。一

(#1)

.1—9

2.11.数学归纳法

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个/局

部自然数范围内成立。

2.12.观察法

即通过Sn的前几项结果猜想Sn的表达式，然后通过证明该猜想得到求和

结果，一般可采用数学归纳法进行证明。

详情见数列求和之数学归纳法和观察法。

数列求和之数学归纳法和观察法

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3.数列求和方法总结

下面将对数列求和方法做一个总结，同时会列举一些高考真题及解答，以

加深大家对这些方法的认识和理解。

详情见数列求和之总结篇。

4.课后作业

4.1.利用常用求和公式求和

cn(a+a)n(n-\),

1、等差数列求和公式：S”=qx^n=na.+———-d2、等比数列求和公式:

”212

na、(q—1)

S„='=4—a“q牛

\-q~\-q7

［例1］已知log3X=----------，X+X~+%3H-------FX”+一•的前n项和.

log23

S

［例2］设S,,=l+2+3+...+n,ndN*,求/(〃)=-------------的最大值.

(〃+32电+］

4.2.错位相减法求和

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这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a„-b„｝的前n

项和，其中｛a。）、｛bO｝分别是等差数列和等比数列.

［例3］求和：S“=l+3x+5x2+7x3+•••+（2〃-1）X"T..............①

2462n

［例4］求数歹lj—f，…刖n项的和.

222232"

4.3.倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原

数列相加，就可以得到n个（%+%）.

［例6］求sin?10+sin22°+sin23°H---i-sin2880+sin289°的值

4.4.分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或

常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

［例7］求数列的前n项和：1+1,F4,——+7,--•,----+3/2—2,...

aa2an-'

［例8］求数列｛n（n+l）（2n+l））的前n项和.

4.5.裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后

重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）

sinl°

如:⑴an=/(n+l)-/(n)(2)tan(n+1)°-tann

cosn°cos(h4-l)0

1I(2〃)21+?2〃一12〃1+1

(3)⑷%)

〃(〃+1)nn+1(2n-l)(2n+l)

〃(〃-11)5+2)=如(〃1+1)(〃+1)(1〃+2)

(5)］

几十212(〃+1)—〃111—,则S“=1----1—

-n-1

%»(/1+1)'2"~n(n+l),'T~n-2-(n+1)2""(〃+1)2"

111

［例9|求数歹ij---产,—7=---7=,■,,,~i=---------/，….的前n项和.

1+J2J2+J3++l

12n,2

［例10］在数列｛an｝中，an=----+----+•••+----，又b.=---------，求数列｛bn｝的前n项

几+1〃+1〃+1an•arl+i

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的和.

111cosl0

［例11］求证:------------1-------+--.-.-.--I-------------------------

cosO°cosl°cosfcos2°cos88°cos89sin2r

5.答案

［例1］

1-111c1

解：由lOg3X=-----=>log3x=-log32=>x=—

log232

J(i__L)

■,x(\-xn｝1

由等比数列求和公式得：S=x+x+x+,—l-x"=-------=--------------=1--------

1-x.12"

1—

2

［例2］.

解：由等差数列求和公式得Sn=g〃(〃+1),S,,=；(〃+1)("+2)

•••/(«)=---------=——-----=----------=-------------<—・•♦当—-［，即

(〃+32)品犷+34”+64H34+64(向力)由。50返

nyin

n=8时，«//(\n/ma)x=—50

［例3］

解：由题可知，｛(2〃-l)x"T｝的通项是等差数列｛2n—1｝的通项与等比数列｛xn~'｝的通项之积：

设xS“=lx+3x2+5x3+7x4++…②(设制错位)

①—②得(1—x)S“=1+2x+2厂+2,x+2x"H—,+2.x"1-(2〃-l)x"

1_x"T

n

(错位相减)再利用等比数列的求和公式得：(1-x)Sn=1+2%---------(2n-l)x.

1-x

(2〃—l)x""—(2〃+l)x"+(1+x)

o,.=-------------------------------：---------------------

(If

［例4］

246In

设S”==-+—r+—r+--,H.......................................①

222232”

2462〃

=------1--------1--------F-.•+----...……②①一②得

2223242,,+,

第9页共11页

“1、。222222〃c12〃

(1一二电二二+3+不+二+…+二一；^=2-77T―、

［例6］

解：^S=sin2l°+sin220+sin230+---+sin288°+sin289°.......①

将①式右边反序得：S=sin289°+sin288°+—Fsin230+sin220+sin210...②

又因为sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=l,①+②得：

2S=(sin2l+cos2f)+(sin220+cos22°)+*-i+(sin289：+cos2890)=89s=44.5

［例7］

解：设=(1+1)+(—F4)+(――+7)H---F(——+3〃-2)

acran~

将其每一项拆开再重新组合得

Sn=(1+—+-4~+・・・+^Y)+(1+4+7+・・・+3〃-2)(分组)

aaa

1」

当a=］时，S“=〃+吐业=空迦(分组求和)当时，S,,=Y+叁』

n22",12

1---

a

_a-a［~n(3〃—1)〃

CL~\2

［例8］解：设cik=k(k+1)(2%+1)=2k‘+3k2+k:.Sn=^k(k+1)(2^+1)=

k=\

£(2公+3/+左)

k=\

〃〃n

将其每一项拆开再重新组合得：S„=2J2后3+3工&?+Zk=

k=\k=］k=\

2(l3+23+---+/73)+3(l2+22+---+n2)+(l+2+---+n)

n2(n+1)2〃(〃+l)(2〃+l)n(n+l)«(n+l)2(n+2)

=---------1--------------1-------=-------------

222