第07讲 二次函数与一元二次方程、不等式（9大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第07讲二次函数与一元二次方程、不等式(9大考点)

考点一：一元二;欠不等式的概念及讲析

考点二：一元二;欠不等式的解法

考点三：含有参数的一元二欠不等式的解法

考点四一元:以方程根恸'布I礴

考点五：一元二次不等式与二次函徵、一元二次方程关系

但考点考向

一、一元二次不等式的概念及形式

(D.概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

(2).形式：

①+bx+c>0(aWO)；②ax?+bx+c50(aWO)：

③ax?+8x+c<0(aW0)；@ax+6x+cW0(a#0).

二、一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系

(1).一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合

叫做这个一元二次不等式的解集.

⑵)关于x的一元二次不等式a*2+6x+c>0(a/0)或af+Z^x+cVO(a#0)的解集；

若二次函数为/■(x)=ax2+"+c(aW0),则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函

数/Xx)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合.

(3).三个“二次”之间的关系：

设f(x)=ax+bx+c(5>0),方程a*+Ax+c=O的判别式/=Z?2—4ac

判别式/

/>04=0zKO

=B—4ac

解不等式求方程f(x)=0的有两个不等的实数有两个相等的实数

没有实数解

f{x}>0解解由，X2解Xi=X2

或f(x)<y

L

画函数y=F(x)的

0的步骤

示意图

oX.=X%

1L2J

得不{x[X<X[b

Ax)>o{x|xW一前R

等式或X>及}

的解

Xx)<03^1<XA2)00

集

U技巧方法

1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把aVO的情况转化为a>0时

的情形.

2.在解决不等式a?+bx+c>0(或20)对于一切xGR恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，

需要对二次项系数。进行讨论，并研究当。=0时是否满足题意.

3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在

区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.

u考点精讲

考点一：一元二次不等式的概念及辨析

一、单选题

1.(2022•江苏•高一)关于X的不等式以2+bx+c<0的解集为(-3,1),则不等式法2+如+c<0的解集为()

A.。，2)：B.(-1,2)C卜;，1)D.1T」)

【答案】D

a>0

【解析】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系-3+1=-^,得到的关系，

a

-3xl=-

代入不等式化简求解.

a>0

【详解】奴2+for+c、vO的解集是（-3』），.•「-3+1=—3,得6=2兄。=一3%

-3x1=-

a

则不等式bx2+or+c<0o2ax2+ax—3a<0f

3

即2f+>3<0,解得：

所以不等式的解集是（-1，i）.

故选：D

2.（2021.广东广雅中学高一阶段练习）关于x的一元二次不等式4产+伪工+9<0与生/+打工+。2<。的解集

分别为尸、Q,则“"=%=旦”是“一，，的（）

a2b2c2

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式性质，若对应二次函数的开口不同即便对应系数-=*=立，解集也是不同,

a2b2c2

而解集相同，若解析为空，则对应系数可以各不相同，据此即可得解.

【详解】由"===幺，若4%异号，

^^2C、

则--元二次不等式优X+G<0与+^x+C2<0的解集不同，

则"幺=%=2"不是“。”的充分条件，

a2b2C2

反之当P=Q=0,

如f+x+lcO和/+犬+2<0,

止匕时—=口=9"不成立，

a2b2c2

则“幺=2=£L,,不是“…’’的必要条件，

a,b2c2

故""=3=g"是“八。”既不充分也不必要条件，

a2b2c2

故选：D

二、填空题

222

3.（2021・全国•高一专题练习）一元二次不等式的一般形式：ax+hx+c>0,ax+hx+c<0fax+hx+c>0,

ax2+bx+c<0,其中存0,其中a,b,c均为

【答案】常数

【分析】根据一元二次不等式一般形式中参数的含义即可得出结论.

【详解】根据一元二次不等式的一般形式的相关概念可知，式中的参数ab,c均为常数

故答案为：常数.

考点二：一元二次不等式的解法

1.（2020•吉林省实验高一期中）不等式x（4—x）<3的解集为（）

A.{x|x<l或x>3}B.{中<0或x>4}

C.{x[l<x<3}D.{x[0<x<4}

【答案】A

【解析】由题：等式x（4-x）<3化简为：X2-4X+3>0

（x-l）（x-3）>0解得：x<l或x>3.故选：A

1,

2.—x+3x-5>0.

2

【解析】原不等式可化为/一6犬+10<0，因为6x+10=（x-3y+l>0恒成立，

所以原不等式无解，即原不等式的解集为0.

3.-2X2+3X-2<0；

（3丫7

【解析】原不等式可化为2/一3%+2>0,因为2——3x+2=2x--+」>0恒成立,

I4）8

所以原不等式的解集为R.

4.求下列不等式的解集.

8]

（1）3X2+5X-2<0；（2）-4%2+18X——>0；

4

⑶-X2+6x-9>0;⑷x2+x-l<0;

【解析】（1）因为3%2+5X-2=（X+2）（3X—1）,所以原不等式等价于（x+2）（3x-l）W0,

解得—所以原不等式的解集为1%-2<%<,,.

33

(2)原不等式可化为4f—18x+?W0,配方得(2x—<0,

9

nQn

=-

乂(2x--月20,所以(2x——y=0,解得x=—,所以原不等式的解集为｛x4

224

(3)原不等式可化为X2_6X+9<0.：△=(—6>-4x9=0,.•.原不等式的解集是。.

(4)VA=l-4x(-l)=5>0,又•.•/+%_1=0的两个实数根为一工+@一且，

122■22

，原不等式的解集是"x|—1一^^<x<~~+~~,

2222

考点三：含有参数的一元二次不等式的解法

1.(2020•全国高一)函数/(幻=/+2(。—1)%+2在(—8,4]上是减函数，则实数a的取值范围是

【答案】a<-3

【解析】因为函数/0)=/+2(。-1)8+2在(一叫4]上是减函数，

所以对称轴》=一(。-1)24,即。〈一3.故答案为：a<-3

2.(2019•浙江省高一期末)若关于x的不等式/—火+人<o的解集是(一1,2),则。=,

b=・

【答案】1-2

—1+2=。

【解析】由题得V,,、c,，所以干1,於-2.故答案为(1).1(2).-2

(-1)-2=/?

3.解关于x的不等式/—(3a—1)x+(2a*2—2)>0.

【答案】原不等式可化为[x—g+l)][x-2(d—l)]>0,讨论a+1与2(刘一1)的大小

(1)当a+1>2(a—1),即水3时,x>a+1或K2(a—1).

(2)当a+l=2(a—l),即a=3时，xWa+L

(3)当a+l〈2(a—1),即a>3时,x>2(a—1)或水a+1,

综上:当上3时,解集为｛x|x〉a+l或集2Q-1)｝,

当a=3时，解集为｛x|xWa+l｝,

当&>3时，解集为｛x|彳>2(a-1)或K&+1｝.

4.(2019•北京市第十三中学高一期中)已知函数〃同=—幺+2%+1,

①函数的值域是.

②若函数在［-3,句上不是单调函数,则实数。的取值范围是.

【答案】(F,2］(1,+?)

【解析】①/(%)=+2x+1,定义域为H,开口向下，/(x)=+2x+1=—(f—2x+1)+2

=一(%—1)2+242,所以函数的值域是

②因为〃x)=—(x-iy+2,时称轴为x=l,若函数在［-3,句匕不是单调函数，

则a>l,故实数。的取值范围是(1,+?).故答案为：①(-8,2］；②(1,+?)

5.已知M是关于x的不等式2/+(3a—7)x+3+a—2a2<0的解集，且〃中的一个元素是0,求实数a的取值

范围，并用a表示出该不等式的解集.

【答案】原不等式可化为(2x—a—1)(x+2a-3)<0,由x=0适合不等式得(a+1)(2a—3)>0,

3

所以a<—1或a>2.

a+15a+1

若水一1,则一2a+3—2=2(—a+l)>5,所以3—2a>2，

［a+1

此时不等式的解集是卜<K3—2a

3a+155a+1

若於5，由一2a+3—2=5（—a+l）＜一彳，所以3—2尿2,

a+l

此时不等式的解集是［x3—2水:

(a+1、3(己+

综上，当水一1时，原不等式的解集为(丁，3—2#,当眇万时，原不等式的解集为(3-2GTJ.

考点四：一元二次方程根的分布问题

一、单选题

1.(2022•甘肃庆阳・高一期末)关于x的方程-+(加-2)X+2〃L1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数加的

取值范围是()

]_32

A.B.C.；，2)D.2

2522,3停|邛-何

【答案】D

【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于（0,1）,分为三种情况，即可得解.

【详解】方程/+。W-2）》+2〃7-1=0对应的二次函数设为：f（x）=x2+（m-2）x+2m-1

因为方程/+。"-2次+2机-1=0恰有-根属于（0,1）,则需要满足：

17

①〃°）./⑴＜（），（2〃?—1）（3，〃-2）＜（）,解得：；＜'"＜（：

②函数“X）刚好经过点（0,0）或者（1,0），另个零点属于（0,1）,

把点（0,0）代入，（司=/+。"-2比+2,"-1,解得：根=g,

此时方程为x2-：x=0,两根为o，p而不任（0,1），不合题意，舍去

2

把点（1,0）代入/（》）=/+（〃?-2）犬+2，”-1,解得：m=§，

此时方程为3Y-4x+l=0,两根为1,p而：«0』），故符合题意；

③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于（0,1）,

△=（〃?-2）"—4（2〃?-1）=0,解得〃7=6±2＞/7,

当机=6+2近时，方程x2+（m_2）x+2m-l=0的根为-2-77,不合题意；

若帆=6-2",方程/+。“-2）》+2，"-1=0的根为e-2,符合题意

综上：实数，”的取值范围为（；,|0卜-2近｝

故选：D

二、多选题

2.（2021•江苏・海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程/一4》+机=0有正数根的充分不必要条件是（）

A.m=4B.m=5C.m=\D.机=—12

【答案】ACD

【分析】由题意利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐一检验各个选项，从而得出结论.

【详解】解：设/（彳卜/-©+加，则二次函数/（X）的图象的对称轴为x=2.

当机=4时，方程即f_4x+4=（x-2）2=0,求得x=2,满足方程有正根，

但由方程f-4%+%=0有正数根，可得〃2）=w-4M0,即

故机=4是方程d—4x+机=0有正数根的充分不必要条件，故A满足条件;

当相=5时，方程即d-4x+5=（x-2）2=-l,求得xw0,不满足方程有正实数根,

故〃?=5不是方程/-4%+根=0有正数根的充分条件，故排除B.

当,"=1时，方程即x2-4x+l=（x-2）z=3,求得工=2±百，满足方程有正根，

但由方程』—4x+m=0有正数根，可得〃2）=m-440,即m44,

故帆=1方程M-叔+加=0有正数根的充分不必要条件，故C满足条件；

当m=-12时，方程即/-4》-12=0,求得》=-2,或x=6,满足方程有正根，

但由方程f-4x+〃?=0有正数根，可得/（2）=〃L440,即加44,

故m=-12方程/一4%+加=0有正数根的充分不必要条件，故D满足条件，

故选：ACD.

3.（2021.湖南•长沙市实验中学高一期中）已知关于x的方程?+（相一3）x+/n=0,下列结论正确的是（）

A.方程必+（加一3）x+m=0有实数根的充要条件是mW{团依<1或加>9}

B.方程/+（加一3）x+m=0有一正一负根的充要条件是〃?£{m\m<0]

C.方程/+（机-3）X+〃2=O有两正实数根的充要条件是{w|0<w<l}

D.方程/+（加一3）x+〃z=0无实数根的必要条件是{m\m>\}

【答案】BCD

【分析】根据二次方程根与系数的关系和充要条件和必要条件的定义，依次判断每个选项的正误得到答案.

【详解】方程/+（〃?-3）x+,〃=0有实数根的充要条件是△=（机-3）2-4WN0,解得他G（fo』k[9,一），A

错误；

方程3）x+〃?=0有一正一负根的充要条件是=-4根>0,解得切<…⑼，B正确；

m<0

△=（加一3）'—4m>0

方程x2+（,〃-3）x+m=0有两正实数根的充要条件是•m>Q,解得mw（O,l],C正确；

3-m>0

方程/+（桁-3）x+,”=0无实数根的充要条件是△=（机-3）2-4〃?<0>解得〃好0,9）,

（1,9）=（1,+00）,故必要条件是所任{”极>1},故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

4.（2022・全国•高一专题练习）方程f-（2-a）x+5-。=0的两根都大于2,则实数。的取值范围是.

【答案】-5<a4T

【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.

【详解】解：由题意，方程/一（2—a）x+5—a=。的两根都大于2,

令"X）=%2—（2—a）x+5—a,

>0[a2>16

可得</（2）>0,即5+5>0,解得一5<aV—4.

2-a-2-a>4

------>2

I2

故答案为：—5<a<—4.

5.（2022・全国•高一专题练习）方程如2-（根-1卜+1=0在区间（0,1）内有两个不同的根，则根的取值范围为

【答案】m>3+2正

m>0

<加-1<]

【分析】令/（尤）=侬2-（m—1卜+1,即可得到f（o）=i,依题意可得,解得即可;

/0）>o

A>0

【详解】解：令:（力=32-（加一1卜+1,图象恒过点（0,1）,

方程侬2_5_1》+1=。在区间（0#内有两个不同的根,

m>0

八加一1,m>0

0<------<1

2mn,〃？>1，解得，*>3+20・

/(l)>0(///-1)'-4，“>0

A>0

故答案为：%>3+20

6.（2022•全国•高一专题练习）己知方程f—（2a+l）x+a（a+l）=0的两根分别在区间（0,1）,（1,3）之内，则

实数〃的取值范围为

【答案】（0,1）.

【分析】求出方程的解，然后由解满足的条件求参数范围.

（详解】方程x?-（2a+l）x+a（a+1）=0=（x—a）[x—（a+1）]=0

方程两根为%=。,%2=。+1，

-0<。<1

若要满足题意，则〈।,，解得Ovavl,

[1V4+1<3

故答案为：（0,1）.

7.（2022・全国•高一专题练习）若方程2x（丘-4）-/+6=0有两个不相等的实根，则左可取的最大整数值是

【答案】1

【分析】方程化为（2左一1）炉—8》+6=0,有两个不相等的实根即A>0,解不等式即可求出答案.

【详解】方程化为（2Z—1）/—8X+6=0,

由A=64-24（2左一1）>0,kx；解得k<g,

所以％最大整数值是1.

故答案为：I.

四、解答题

8.（2022・全国•高一专题练习）求实数〃，的范围，使关于x的方程金+2（〃?一1）%+2a+6=0.

（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小；

（2）有两个实根外夕，且满足0<a<l<£<4；

（3）至少有一个正根.

75

【答案】1，（2）--<m<--,（3）m<-l

54

【分析】设旷=/（可=/+2（m-1卜+2〃?+6,一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开

口方向这几个方面来确定.

（1）设）=/（x）=x2+2（m-l）x+2m+6.

依题意有/（2）<0,即4+4（6—1）+2机+6<0,得m<-l.

（2）设^=f（x）-x2+2（m-l）x+2m+6.

f（0）=2m+6>0

依题意有./（lj=4〃?+5<0,解得一（〈加

/（4）=10w+14>0'

（3）设»=/（x）=x2+2（/M-1）X+2/H+6.

方程至少有一个正根，则有三种可能：

A>0m<一1或加>5

①有两个正根，此时可得，/(0)>0,即・m>-3.,.—3<77?W—1.

m<\

----^>0

,-2

②有一个正根，一个负根，此时可得/（0）<0,得〃z<-3.

6+2加=0

③有•个正根，另一根为0,此时可得，2（加_］）<（），，"=一工

综上所述，得mW-1.

9.（2022•江苏•图一）命题P：关于x的方程x?+x+〃z=0有两个相异负根；命题g:3xe（0,+co）,

x2-3/nr+9<0.

（1）若命题夕为假命题，求实数”的取值范围；

（2）若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数〃?的取值范围.

【答案】（D（F,2］：（2）］。,；］（2,+oo）

O

【分析】（1）将问题转化为对Vx«0,”），V—3g+9之0为真命题，分离变量可得则可得

x

3/n<6,进而求得结果；

（2）由（1）可知9为真时用的范围；由一元二次方程根的分布可求得〃为真时团的范围；根据两个命题

一真一假可分类讨论得到结果.

⑴若命题4为假命题，则对D尤£（0,+8）,f—3/nr+9N0为真命题；

9

/.3/nr<x2+9,即3“<x+—；

x

x+—>2lx--=6（当且仅当x=2,即x=3时取等号），.•.3%46,解得：m<2,

xxxx

・•・实数机的取值范围为（F,2］.

（2）由（1）知:若命题q为真命题，则〃z>2：

fA=1—4m>01

若命题"为真命题，则〈八，解得：0<根<:；

［加>04

若P真夕假，则0<，"<!；若。假4真，则，">2；

4

综上所述：实数用的取值范围为(0,)1(2,+8).

考点五：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程关系

一、多选题

1.(2021・全国•高一单元测试)已知函数凡¥)=/+以+伙〃>0)有且只有一个零点，则()

A./一从“

B.。2-|—>4

b

C.若不等式/+办一旅0的解集为⑴，X2),则工优2>0

D.若不等式N+or+bvc的解集为⑴，功，且以/一口|=4,则C=4

【答案】ABD

【分析】由题设可得△=屋一仍=0,根据不等式的性质、基本不等式判断A、B,利用一元二次不等式的解

集，结合根与系数关系判断C、D.

【详解】由於)=/+or+伙〃>0)有且只有•个零点，故可得△=*—4方=0,即〃2=4〃>0.

A,*—浜*等价丁•〃一4h+420,显然(。一2)2沙，故正确；

B,a2+-=4b+->2.4b--=4,当且仅当46=：>0,即匕=；时，等号成立，故正确；

bb\bb2

C,由己知得：xiX2=-b<01故错误；

D,由已知得：c=0的两根为制，无2,贝ijlx-己1=+w)2_4芯%2_J的_4(。_o)=2&=4,

故可得。=4,故正确.

故选：ABD.

二、填空题

2.(2022・全国•高一■专题练习)已知不等式or?+Zzx+c>0的解集是{工1。<工</},a>(),则不等式

ex2+bx+a>0的解集是.

【答案】

I尸a)

【分析】根据一元二次不等式与二次方程之间的关系，以及根与系数的关系即可求解.

【详解】由不等式江+法+‘>()的解集是{x[a<x</?}(a>0),可知：

a，用是一元二次方程ar?+云+c=o的实数根，且。<0；

hr

由根与系数的关系可得：a+B=-匕,ap=-,

aa

b

所以不等式cV+for+q>。化为-rx2+-x+l<0,即：加d-(a+A)x+l<0；

aa

化为3f(4x-i)<o；

又a(P，a)0,.•・£>/〉0；

，不等式CX2+〃X+"O的解集为：｛号

故答案为:

3.（2022♦河南安阳•高一期末）二次函数/（力=依2+版+0•的部分对应值如下表:

X-4一3-234

y2112505

则关于x的不等式⑪?+m+c<0的解集为.

【答案】（—1,3）

【分析】根据所给数据得到二次函数的对称轴，即可得到/'（3）=/（-1）=0,再根据函数的单调性，即可得

解；

【详解】解：•••/（-2）=/（4）,.♦.对称轴为x=l,

.••”3）=/（T）=0，

又：/（x）在（9』）上单调递减，在。,内）上单调递增，

加+版+<;<0的解集为（T3）.

故答案为：（—1,3）

4.（2022・全国•高一）已知二次函数y=/+6x+c图象如图所示则不等式加一*+3Mo的解集为.

【答案】1］口［3,~)

【分析】数形结合，根据二次函数的图象，求得参数。,c,再求一元二次不等式即可.

【详解】根据二次函数法+c的图象可知，一1,2为方程/+取+c=0的两根，

故一1+2=-。,一lx2=c,a|J^=-l,c=-2,

则属2一5+340即一V+2X+340，也即x2-2x-320，

(x-3)(x+l)>0,解得xN3或xW-l.

故不等式解集为

故答案为：(―8,-1］7［3,+00).

5.(2022•宁夏银川・高一期末)已知函数/*)=*2+0¥+仇。,661<),设A={M/(x)Wa},

若A=3*0成立，则实数。的最大值是

-4

【答案】y

【分析】设不等式/+⑪+后。的解集为［%,回，从而得出韦达定理，由/(/(x))4。可得为4/(同4々，要

2

使4=8=［和对，即不等式々的解集为［芭,引，则可得为W/(x)n“n=匕一(，以及士氏是方程

〃x)-X2=0的两个根，再得出其韦达定理，比较韦达定理可得出乡=。，从而求出士，b与。的关系，代入

2

%得出答案，

z\222

【详解】f［x)-x1+ax+b-［x+—\+b-—,则f^x)>b-^-

由题意设集合A=［X1，w］,即不等式/的解集为A,七］

所以不%是方程/+也+8-。=0的两个不等实数根

贝|］4=片_4(b-q)>(),x)+x2--a,XyX2-b-a

则由/(/W)4a可得%4f(x)4%,

由4=8=［芭,々］,所以不等式％4/(力4々的解集为［内，W］

所以斗7(力*=。-9

玉,受是方程〃*)-%=0,即/+公+8-三=0的两个不等实数根，

所以X+冗2=—。,%X2=b-X2

故=〃，X=-2a,则人=〃—2。~，

则A—cr-4（a-2ci~-。）=9a~>0,则aw0

由—即—2aSa—2"—幺，即二/一。40,解得04a43

4443

44

综上可得0<。4；,所以。的最大值为:

33

4

故答案为：—

6.（2022・全国•高一专题练习）设不等式V-2ar+a+2Vo的解集为A,若A={x|14x43},则a的取值范围

为.

【答案】-l<a<y

【分析】根据给定条件按集合A是否是。分类讨论，再借助一元二次方程根的情况列式求解作答.

【详解】因不等式父-2ar+a+2Vo的解集为A,旦Aq{x|14x43},

则当A=0时，A=4a2-4(a+2)<0,解得：-l<a<2,止匕时满足Aq{x|14xM3},BP-l<a<2,

当AK0时，不妨令A={x|X|4占），则一元二次方程/-2依+。+2=0在{x|lVx<3}上有两个

根X|,X?,

△=4<32-4(6/+2)>0a<3

l2-2a+a+2>0

I2-2a+a+2>0

于是有解4a2_4(a+2)N0得a4-l或aN2,解,3?-24・3+“+220得：

32-2a-3+a+2>05

14a43

l<a<3\<a<3

贝帝24a4*综合得：-l<a<y,

所以〃的取值范围为一<“4曰.

故答案为：—1<“4日

三、解答题

7.（2022•湖南•高一课时练习）已知机<〃，试写出两个一元二次不等式，使它们的解集分别为:

⑵（九〃）.

【答案】（l）x?-（/〃+〃）x+加">。（答案不唯一）

（2）x2-（〃z+/）x+〃”?<0（答案不唯一）

【分析】根据一元二次不等式的解集的两个端点为对应方程的两个实数根，结合韦达定理可得答案.

（I）一元二次不等式的解集为（3,w）=（〃,y）,则加，〃为对应的方程的两个实数根，

由韦达定理可设不等式为Y+其中

则x?-（加+”）为+加〃>0满足条件

（2）一元二次不等式的解集为（八，?），则加，”为对应的方程的两个实数根，

由韦达定理可设不等式为Y机+“卜+〃?〃<0,其中

则/一（,"+〃）彳+»7"<0满足条件

8.（2021•全国•高一专题练习）利用函数y=》2—2x—3的图象说明当），>0、产0、y=0时x的取值集合分别

是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？

【分析】结合一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的知识进行求解.

【详解】y=x2—2x—3的图象如图所示.

函数）,=/—2x—3的值满足），>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y=N—3的图象在x轴上方时

点的横坐标x的集合｛x|x<T或x>3｝；

同理，满足）y。时x的取值集合为｛x[T<x<3｝,

满足y=0时x的取值集合，亦即y=/—2r-3图象与x轴交点横坐标组成的集合｛—1,3｝.

这说明：方程加+汝+。=0（存0）和不等式ax2+Z>x+c>0（a>0）或ar2+bx+c<0（a>0）是函数y=or2+bx+c（存0）

的一种特殊情况，

也就是当y=0时，函数），=谓+灰+<?（对0）就转化为方程，

当y>0或.y<0时，就转化为一元二次不等式.

考点六：一元二次不等式恒成立问题

一、单选题

1.（2022・四川资阳•高一期末）若xeR,ax2+ax-1<0,则实数〃的取值范围是（）

A.（TO）B.（Y,0]C.H，0）D.[Y,0]

【答案】B

fa<0

【分析】分两种情况讨论：。=0和人八，解出实数”的取值范围，即得.

[A<0

【详解】对xwR,ax2+ax-1<0,

当〃=0时，则有—IvO恒成立；

[（2<0

当avO时，贝日2,解得

综上所述，实数。的取值范围是（Y,。].

故选：B.

2.（2021.徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）若对于任意x4"?,"?+H,都有

/+,加_1<。成立，则实数机的取值范围是（）

A.[利B/-卓。）

21「五一

C.--,0D.---,0

【答案】B

【分析】由函数/。)=丁+,加-1为开口向上的二次函数，要使任意xe[m,〃z+l],都有/>(x)<0恒成立，只需

/(〃?)<0,/(m+1)<0.即可求出答案.

【详解】由题可得f(x)=x2+m-l<0对于xe[见加+1]恒成立，即｛,/。")=?；一：°'、

f(m+1)=2H厂+3m<0,

解得:_巫<加<0.

2

故选：B.

二、填空题

3.(2022.陕西汉中.高一期末)若关于尤的一元二次不等式2/+?>0对于一切实数尤都成立，则实数&

O

的取值范围为.

【答案】(-6,6)

【分析】由判别式小于o可得.

【详解】由题意△=^-4x2x]<0,

o

故答案为：(-石，百).

4.(2021・湖北・石首市第一中学高一阶段练习)已知。>儿关于x的不等式以2+2x+h〉0对于一切实数x

恒成立，又存在实数%,使得以；+2而+匕=0成立，则土々最小值为.

a-b

【答案】2夜

【分析】由。^+2犬+匕20对于••切实数x恒成立，可得。>0,且A40：再由士q,eR,使ar(：+2%+力=0

成立，可得ANO,进而可得而的值为1,将上直可化为上々=(。-〃)+二一，利用基本不等式可得结

a-ba-ha-b

果.

【详解】因为办2+2x+〃N0对于一切实数4恒成立，

所以。>0,且△=4-4a640,所以a〃之1；

再由*,eR,使/2+2/+匕=0成立，

可得△=4-4ab>0,所以abW1,

所以必=1,

因为即a-b>0,所以立互=心心工土辿=(“")+二一220，

a-ba-ba-b

2

当且仅当。-6=告，即"6=&时，等号成立，

a-b

所以的最小值为2近，

a-b

故答案为：2夜

三、解答题

5.(2021•四川成都•高一期末)己知函数/。)="谓+3mx+2,〃?eR.

(1)若加=1,求不等式/。)<0的解集；

(2)若不等式/«>0对一切实数x都成立，求m的取值范围.

【答案】⑴{42<工<-1},(2)0?)

【分析】(1)直接解一元二次不等式即可，

(2)由题意可得如，3m+2>0对一切实数x都成立，然后分加=0和加力0两种情况求解

(1)当机=1时，f(x)=x2+3x+2,

由f(x)<0,得炉+3，+2<0,

(x+l)(x+2)<0,解得

所以不等式的解集为{止2<》<-1}

(2)由题意可得加+3如+2>0对一切实数x都成立，

当机=0时，2>0恒成立，符合题意，

当〃件0时，因为+37nv+2>0对一切实数x都成立，

f"?>08

所以A=(3『8a<。’解得°<\，

8

综上

9-

即也的取值范围为0,1j

6.(2022•湖南常德♦高一期末)己知二次函数〃力=如2+桁+。"，b,c为实数)

⑴若，(力<。的解集为(1，2),求不等式。2+法+。<0的解集；

(2)若对任意xeR,〃>0时，f(x)20恒成立，求牛的最小值；

(3)若对任意xeR,2x+24/(x)42x2-2x+4恒成立，求而的最大值.

【答案】⑴卜(2)1,⑶g

【分析】(I)根据•元二次不等式的解与元二次方程的根之间的关系即可求解.

(2)根据二次函数的性质可得。>0力>082-4ac40,进而根据基本不等式即可求解.

⑶取x=l得a+"c=4,根据判别式小于0可得c=a+2,进而可得a,c,b的关系，根据基本不等式即

可求解

(1)依题意知，a>0,且方程加+6x+c=0的两根为1，2

bc

由根与系数间的关系得-2=3,£=2,则。=-3a,c=2a.

aa

故不等式cd+bx+a=2a2-3ax+a=a(2x2-3x+l)=a(2x-l)(x-l)<0

解得：1<X<1,即原不等式的解集为卜ig<尤

(2)因为x£R,。>0时，f(X)2。恒成立，

a>0,Z>>0,b2-4ac<0,4ac>b2»即。>0,

所以竺£之也2^=1(当且仅当a=c=A时等号成立)

bbb2

(3)令1=1,则4<a+〃+cK4,所以。+/?+c=4.

对任意xeR,2x4-2<ax1+bx+c,恒成立，

所以"2+(b-2)x+c—220恒成立.

所以〃>0且△=S—2)2—4a(c—2)=(a+c—2)2—4a(c—2)=(〃-c+2)2<0

所以c=a+2,此时2〃+办=2,

因此生虫丫=_1,当且仅当力=1时等号成立，此时c=(,(或

22(2J222

"=〃(2-2a)=2々(1一〃)=一2(〃一()<-^)

验证，2f—2x+4-/(x)=2Y—2x+4-1-x2+xd—J-—x~—3XH———(x-1)20成立