2025届高考数学二轮复习函数典型例题第5讲函数的周期性含解析

Page14第5讲函数的周期性典型例题【例1】若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（） A． B． C． D．【答案】【解析】,当时,.由于在区间上单调递增,则,所以.又在区间上单调递减,所以在处取得最大值,则，又,所以,解得.故选C.【例2】(多选题)已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由图象可知,,则,所以A错误.当时,,则，解得,从而函数的【解析】式为又,故D错误.故选BC.【例3】(多选题)若函数,则（）A.是周期函数 B.在上有4个零点 C.在上是增函数 D.的最小值为 【答案】【解析】对于,函数不是周期函数,故A错误.对于令,在上,求得,,故B正确.对于,当时,由于,所以且,故在上单调递增,故C正确.对于,当时,由于,当时,,故D错误.故选BC.【例4】已知函数(为常数)的图象的一条对称轴为直线,若,且满意在区间上是单调函数,则的最小值为________．【答案】【解析】因为直线是图象的对称轴,所以,化简可得,即,所以.由,可得.因为在区间上是单调函数,又由对称性得,所以.当时,取得最小值,故答案为.【例5】(多选题)已知函数,将图象上全部点向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到函数的图象.若为偶函数,且最小正周期为,则（）A.的图象关于点对称 B.在上单调递增 C.在上有且仅有3个解 D.在上有且仅有3个极大值点 【答案】AC【解析】将函数图象上全部点向左平移个单位长度,可得的图象,再将横坐标缩短为原来的,可得的图象.函数的最小正周期为,即,解得,可得,又为偶函数,则,即,当时,可得,所以.令,即,当时,,即函数的图象关于点对称,所以A正确.当时,,可知在区间上不是单调函数,所以B不正确.由,可得,即,从而,即.又,得,所以在上有且仅有3个解,故C正确.由,得.由或,得或,此时取得极大值,所以在上有且仅有2个极大值点,故D不正确.故选AC.【例6】(多选题)已知函数的定义域为,值域为,则的值可能是A. B. C. D. 【答案】【解析】的值域为,即,所以,,故,所以的最大值为.当取最小值时,,此时,.故选CD.【例7】若函数有最大值2,最小值,则（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】【解析】 .因为函数的最大值为2,最小值为,所以得,所以.故选D.【例8】设,则函数的最大值为________．【答案】【解析】分子中第一项是分母中第一项的倍,先考虑与的大小关系.由于,所以,所以,当且仅当,即时,取最大值.【例9】(多选题)已知函数,且对随意都有,则（）A.的最小正周期为 B.在上单调递增 C.是的一个零点 D.【答案】【解析】由题意知的图象关于直线对称,则,即，整理得,即,所以,又,所以,D正确.,从而的最小正周期为,故正确.当时,可得,若,则在上单调递减,故错误.,从而是的一个零点,故正确.故选ACD.【例10】(多选题)将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象,则下列关于函数的说法中正确的是A.最小正周期为 B.图象关于点对称 C.图象关于轴对称 D.在上单调递增 【答案】【解析】将函数的图象向左平移个单位长度,可得的图象;再向上平移1个单位长度,得到函数的图象.的最小正周期为,故A正确.令,得,可得它的图象关于点对称,故B正确.是偶函数,它的图象关于轴对称,故C正确.当时,单调递增,单调递减,故D错误.故选ABC【例11】(多选题)已知函数的图象的一条对称轴为直线,其中为常数,且,则以下结论中正确的是A.的最小正周期为 B.将的图象向左平移个单位长度所得图象关于原点对称C.在上单调递增 D.在上有66个零点【答案】AC【解析】函数的图象的一条对称轴为直线,则.因为,所以,则,周期正确.将的图象向左平移个单位长度,得的图象,明显的图象不关于原点对称,B错误.由,取0,则是的一个单调递增区间,又,所以在区间上单调递增,C正确.由,得,解得.由,得.因为,所以,所以在上有67个零点,错误.故选AC.【例12】函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,为图象与轴的交点,且/为正三角形,则的值为________．【答案】【解析】,,故. .故答案为.【例13】已知,点从点沿直线运动到点,过点作的垂线,记直线左侧部分的多边形为,如图,设的面积为的周长为.(1)求和的解析式;(2)记,求的最大值.【答案】(1)(2).【解析】(1)如图,作的高,由=5，BC=8，得AD=3.当时,,所以,,.当时,,所以,,(2)当时,,最大值为.当时,当且仅当时,有最大值,又,故最大值为.【例14】(多选题)已知函数,若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离至少为,且在区间上存在最大值,则的可能取值为()A.4 B.3 C.2