2024-2025学年高三数学新高考一轮复习专题7.1平面向量的概念及线性运算含解析

Page107.1平面对量的概念及线性运算课标要求考情分析核心素养1.了解向量的实际背景．2.理解平面对量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.驾驭向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.驾驭向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.新高考3年考题题号考点数学建模数学运算直观想象逻辑推理2024(Ⅰ)卷3向量加减、数乘混合运算2024(Ⅱ)卷3向量加减、数乘混合运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面对量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是随意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:a结合律:a减法求a与b的相反向量-ba数乘求实数λ与向量a的积的运算①λ②当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反；

当①λ②λ+μ③λ3.共线向量定理向量平行(共线)的充要条件：a//向量aa≠0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点的向量，即A1A22.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP=3.三点共线定理：对于平面上的任一点O，OB、OC不共线,OA=λOB+μOC(λ4.解决向量的概念问题要留意两点：①不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；②要特殊留意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满意条件.5.a1.【P24T22】如图在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，设BA=a,BC=b，则BE=

A.12a+14b B.12.【P16T8】设e1,e(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF=3e1-ke

考点一向量的有关概念【方法储备】向量有关概念的关注点：【特殊提示】1.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定，但方向不确定.2.两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.【典例精讲】例1.(2024·湖南省株洲市联考)以下说法正确的是(

)A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合B.零向量没有方向

C.共线向量又叫平行向量D.若向量a和b都是单位向量，则a【名师点睛】解决向量的概念问题须要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满意条件，要特殊留意零向量的特殊性.【靶向训练】练1-1(2024·湖北省黄冈市月考)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是随意的；②若a，b都是单位向量，则a=b；③向量AB与BA相等．则全部正确命题的序号是(

)A.① B.③ C.①③ D.①②练1-2(2024·黑龙江省模拟.多选)下列叙述中错误的是(

)A.若a=b，则3a>2b

B.已知非零向量a与b且a/​/b，则a与b的方向相同或相反

C.若a/​/b，考点二平面对量的线性运算【方法储备】1.平面对量线性运算的解题策略2.平面对量线性运算中的参数问题角度1平面对量的线性运算【典例精讲】

例2.(2024·浙江省温州市模拟)我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC=a，BA=b，BE=3EFA.1225a+925b【名师点睛】

在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【靶向训练】练2-1(2024·广东省模拟)如图所示，M，N分别是ΔABC的边AB，AC上的点，且AM=2MB，NC=2AN，则向量MN=A.13AB-23AC练2-2(2024·广东省佛山市模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AC=2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB=a，AC=b，则向量AD=

(

)A.a+b

B.12a+角度2平面对量线性运算中的参数问题【典例精讲】例3.(2024·广东省一轮复习联考)已知梯形ABCD中，AD//BC，BF=3FC，AH=3HF，且BH=λBA+μBCA.364

B.564

C.7【名师点睛】在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线、相像三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.【靶向训练】练2-3(2024·安徽省期末)已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若AE=λAB+μAD，则A.12 B.13 C.1练2-4(2024·湖北省武汉市期中)在△ABC中，已知点D为AB边的中点，点N在线段CD上，且CN=2若AN=13AC+λA.13 B.-13 C.考点三平面对量共线定理及其应用【方法储备】1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．2.向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1若λ1a+λ2【特殊提示】在考虑向量共线问题时，要留意考虑零向量.角度1向量共线的问题【典例精讲】例4.(2024·广东省模拟)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma-3b与a+(2-m)b共线，则实数m的值为

；若ma-3b与a【名师点睛】考查平面对量的共线定理应用问题，依据平面对量的共线定理，列方程求得m的值，验证ma-3b【靶向训练】练3-1(2024·江西省宜春市月考)设a与b是两个不共线向量，且向量a+λb与-(b-2a)练3-2(2024·山东省模拟.多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，肯定能使a，b共线的是(

)A.2a-3b=4e且a+2b=-2e

B.存在相异实数λ，μ，使λa-μb=角度2三点共线的问题【典例精讲】例5.(2024·江苏省扬州市模拟)设平面对量a，b不共线，若AB=a+5b，BC=-2aA.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线

C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线【名师点睛】本题主要考查向量的加减，以及平面对量的共线的条件，利用平面对量的加减，以及向量共线的充要条件求解．【靶向训练】练3-3(2024·辽宁省模拟)已知向量m，n不共线，向量OA=5m-3n，OB=xm+n，若O，A.-53 B.53 C.练3-4(2024·湖南省邵阳市期中)在△ABC中，点P满意2BP=PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM=xAB，AN=yA.3 B.32 C.1 D.核心素养系列直观想象——平面对量在平面几何中的应用平面对量作为一种基本工具,在平面几何问题的求解中有极其重要的地位和作用,尤其是平面对量的几何意义,其中又有许多独特之处,若在解题中能合理运用,必能起到化难为易,化繁为简的作用.【方法储备】利用向量运算法则的几何意义解决问题通常有两种方法：1.依据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他学问求解相关问题;2.平面几何中假如出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，可考虑利用向量学问求解.【典例精讲】例6.(2024·江苏省南通市模拟)已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满意AG=xAM+yAN,其中x+y=1,若AM=3【名师点睛】本题考查向量的加减运算，平面对量基本定理，属于基础题．依据题意，利用平面对量基本定理解得AC=53AN，则△ABC和【靶向训练】练4-1(2024·江苏省联考)已知a，b是不共线向量，设OA=2a+b，OB=a+2b，OC=3a+b，A.4 B.5 C.6 D.8练4-2(2024·河南省鹤壁市模拟)点P是菱形ABCD内部一点，若2PA+3PB+PC=0，则菱形ABCDA.6 B.8 C.12 D.15

易错点1．平面对量概念理解错误例7.(2024·山东省青岛市模拟.多选)下面的命题正确的有(

)A.方向相反的两个非零向量肯定共线

B.单位向量都相等

C.若a，b满意|a|>|b|且a与b同向，则a>b;

D.“若A、B、C、D易错点2．共线定理理解错误例8.(2024·湖南省长沙市联考)已知△ABC所在平面内的一点P满意PA+PB+PC=BC，则点A.△ABC的外面 B.△ABC的内部 C.边AB上 D.边AC上答案解析【教材改编】1.【解析】取BC中点F，连接FA，

因为在梯形ABCD中，BC=2AD，所以四边形ADCF是平行四边形，所以FA//CD，FA=CD，

则BE=BC+CE=BC+12CD=2.【解析】(1)证明：由已知可得：BD=CD-CB=e1-4e2，AB=2(e1-4e2)=2BD⇒AB//BD，

∵AB与BD有公共点B，∴A、B、D三点共线；【考点探究】例1.【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误；

零向量是方向随意的向量，B错误；

共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；

若a，b都是单位向量，两向量的模长都为1，但方向不肯定相同，D错误；

故选C．练1-1.【解析】依据零向量的定义可知①正确；

依据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不肯定相同，故两个单位向量不肯定相等，故②错误；

向量AB与BA互为相反向量，故③错误．

故选A．练1-2.【解析】对于A，因为向量是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；

对于B，非零向量a与b且a/​/b，则a与b的方向相同或相反，故B正确；

对于C，若b=0，则零向量与随意向量平行，所以对随意向量a与c，均有a//b，b//c，故此时a与c不肯定平行，故C错误；

对于D，由单位向量的定义可得，对任一非零向量a，

例2.【解析】(法一)过点F作FG⊥BC于点G，不妨设BE=3，EF=1，

则BF=4，FC=BE=3，所以BC=42+32=5，

所以FG=BF CFBC=4×35=125，

所以BG=BF2-FG2=42-1252练2-1.【解析】因为AM=2MB，NC=2AN，所以MN练2-2.【解析】设圆的圆心为O，半径为r，连接OD、BD、CD．

在Rt△ABC中，∠ABC=π2，AC=2AB，

所以∠BAC=π3，∠ACB=π6，

因为∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，

所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6，则依据圆的性质BD=CD=AB，

又因为在Rt△ABC中，AB=例3.【解析】由AD//BC，BF=3FC，AH=3HF，∴BC=43BF，故选D．练2-3.【解析】在平行四边形ABCD中，由对角线交于点O，则点O为AC的中点，

又E为AO的中点，则AE=12AO=12×12AC练2-4.【解析】如图所示，△ABC中，点D为AB边的中点，∴CD=AD-AC=12AB-AC；∴AN=CN-CA=13AB例4.【解析】因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线，所以m=-32-m，解得m=-1或m=3．

当m=-1时，ma-3b=-a-3b，a+(2-m)b=a+3b，ma-3b与a+(2-m)b共线反向；

当练3-1.【解析】已知a与b是两个不共线的向量，且向量a+λb与-(b-2a)共线，

所以存在常数k

使a+λb练3-2.【解析】对于A选项，因为向量a，b是两个非零向量．2a-3b=4e且a+2b=-2e，所以a=27e，b=-87e，此时能使a，b共线，故A正确；

对于B选项，存在相异实数λ，μ，使λa-μb=0，要使非零向量a，b共线，由共线向量基本定理知成立，故B正确；

对于C选项，当x+y=0时，xa+yb=0，假如x=y=0，则不能使a，例5.【解析】∵AB=a+5bAD=∵AD与AB有公共点A，∴AD与AB共线，即A，B，D三点共线．

故选练3-3.【解析】因为O，A，B三点共线，所以∃λ∈R，使得

OB=λOA，即即(5λ-x)m=(3λ+1)n．又因为向量m，n不共线，所以5λ-x=3λ+1=0，则x=-5练3-4.【解析】因为2BP=PC，AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，

所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=【素养提升】例6.【解析】设BC边的中点为D，G为△ABC的重心，所以AG=23AD，即AG=2因为x+y=1，则y=59，所以13AC=59AN，即故答案为：209练4-1.【解析】∵OA=2a+b，OB=a+2b，OC=3作如图所示，取AB的中点E，CD中点F，过O作AB和CD的垂线并交AB于点G，交CD于点H，

OE=12(OA+OB)=32(a+b)，OF=12(OC+练4-2.【解析】由2PA+3PB+PC=0，得CP=3PB+2PA