湖南省长沙市2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

Page15湖南省长沙市2024-2025学年高一数学上学期期中试题一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除法运算求出，即可得出复平面内对应的点所在象限.【详解】解：由所以所以复数在复平面内对应的点位于第一象限故选：A.2.向量，，则（）A.－1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求出，再依据数量积的计算公式计算即可.【详解】，，，.故选：C.【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.3.已知向量＝(，sin)，＝(sin，)，若，则锐角为（）A.30° B.60° C.45° D.75°【答案】A【解析】【分析】由向量共线的坐标表示计算．【详解】∵，∴sin2＝×＝，∴．∵为锐角，∴＝30°．故选：A．4.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据斜二测画法可得原三角形的底边及高，进而可求原三角形的面积.【详解】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形，所以的底．腰，在中为直角三角形，高．所以直角三角形的面积是．故选:D．5.若复数是纯虚数，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】先化简求出，依据是纯虚数可求出，即可求出.【详解】，当为纯虚数时，，解得，，．故选：A.6.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由余弦定理：，可得，则，即，再由，求解即可.【详解】由题意，在中，，，，由余弦定理：，故，即，故，即，所以，则.故选：D7.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传闻常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽视不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（）．A.65米 B.74米 C.83米 D.92米【答案】B【解析】【分析】设的高度为，在直角三角形中用表示出，由可求得得楼高．【详解】设的高度为，则由已知可得，，，所以，解得，所以楼高（米）．故选：B．【点睛】本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．8.在长方体中，,分别在线段和上，，则三棱锥的体积最小值为A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此三棱锥中点D到平面MNC1的距离为定值，只要C1到MN的距离最小，则ΔMNC1的面积最小，则三棱锥D－MNC1的体积最小．【详解】如图，面MNC1就是平面ACC1A1，因此D点到面MNC1的距离为定值，由题意是正方形，由对称性知当（或）与重合时，到直线的距离最小，最小值为5，此时，∴．故选A．【点睛】最值问题求法许多，如用代数学问建立函数，用基本不等式，解不等式等是常用方法，有时也可利用共线求距离最短，通过运动轨迹求最值等．二､多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知向量，，若，则（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】AC【解析】【分析】依据向量垂直的坐标表示，由题中条件求出，再由向量模的坐标表示，求出，即可得出结果.【详解】因为向量，，所以，若，则，即，解得或，故A正确，B错；当时，；当时，；故C正确，D错.故选：AC.10.已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则与是异面直线B.若，，则直线平行于平面内的多数条直线C.若，，则D.若，，则与肯定相交.【答案】BC【解析】【分析】对A，可得与平行或异面；对B，依据平行线间传递性可得；对C，依据平面平行的性质可得；对D，可推断当时，.【详解】对A，若，，，则与平行或异面，故A错误；对B，若，，则平面内全部与平行的直线都与平行，故B正确；对C，若，则平面内全部直线都与平行，因，所以，故C正确；对D，若，，当时，，故D错误.故选：BC.11.在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是的中点.给出下列结论正确的是（）A.若是上的动点，则与异面 B.平面C.若该三棱柱有内切球，则 D.平面平面【答案】BC【解析】【分析】A.若是的中点，证明，所以该选项错误；B.如图，连接,则可以证明平面.所以该选项正确；C.设内切圆的半径为，分析得,所以该选项正确；D.前面已经证明平面.利用分析得到该选项错误.【详解】A.如图，若是的中点，则,所以，则与不异面，所以该选项错误；B.如图，连接,则平面,不在平面内，所以平面.所以该选项正确；C.设内切圆的半径为，则,所以该选项正确；D.前面已经证明平面.假设平面平面，则平面,但是事实上不在平面内，所以该选项错误.故选：BC12.在中，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则为钝角三角形D.存在满意【答案】ABC【解析】【分析】依据大角对大边，以及正弦定理，推断选项A；利用余弦定理和正弦定理边角互化，推断选项B；结合诱导公式，以及三角函数的单调性推断CD.【详解】A.，，依据正弦定理，可知，故A正确；B.，，即，由正弦定理边角互化可知，故B正确；C.当时，，即，即，则为钝角三角形，若，，即成立，是钝角，当是，，所以综上可知：若，则为钝角三角形，故C正确；D.，，，即，故D不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查推断三角形的形态，关键学问点是正弦定理和余弦定理，推断三角形形态，以及诱导公式和三角函数的单调性.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是___________.【答案】【解析】【分析】分析可得圆柱上下底面圆的直径，圆柱的高，由圆柱的体积公式，即得解【详解】由题意，圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形故圆柱上下底面圆的直径，圆柱的高由圆柱的体积公式，故圆柱的体积故答案为：14.已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是___________【答案】平行或异面【解析】【分析】由题意，直线m与n没有交点，分析即得解【详解】由题意，，，故直线m与n没有交点故直线m与n平行或异面故答案为：平行或异面15.已知为单位向量，若，则___________.【答案】【解析】【分析】由条件，可得，所以可得答案.【详解】由为单位向量，则，则所以所以故答案为：16.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为___________，周长的取值范围为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用二次函数学问可得的最大值，依据三角形面积公式可得面积的最大值；利用余弦定理可得，依据三角形两边之和小于第三边可得，从而可得周长的取值范围【详解】由得，所以，所以当时，的最大值为，所以，即面积的最大值为；由余弦定理可得，所以，又，所以，所以，即周长的取值范围为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：求三角形面积最大值的关键是求出的最大值，利用二次函数学问可得的最大值，求三角形周长的取值范围的关键是求出的取值范围，利用余弦定理和三角形两边之和小于第三边可得的取值范围.四.解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程和演算步骤）17.已知复数（1）当实数为何值时，为实数；（2）当实数为何值时，为纯虚数.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】由实数和纯虚数的定义，分别列出等式和不等式，求解即可【小问1详解】若z为实数，则，即故或；【小问2详解】若z为纯虚数，则，由，可得又，故且故.18.如图所示，已知直角梯形，，，，，.求：（1）以所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；（2）以所在直线为轴旋转一周所得几何体的体积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）可知以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，依据圆台表面积的求法求出即可；（2）以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，求出体积即可.【详解】解：（1）以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底面半径是，下底面半径是，高，母线，∴该几何体的表面积为.（2）以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，其中圆锥的高为，圆锥的母线，圆柱的母线，圆锥和圆柱底面半径，故该组合体体积为.19.如图，在菱形中，，.（1）若，求的值；（2）若，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）结合平面图形以及平面对量的线性运算即可求出，的值，进而求出结果；（2）依据平面对量的加法运算得到，在结合（1）中，利用平面对量数量积的运算律以及定义即可求解.【详解】（1）因为，，所以，所以，，故.（2）∵，∴，∵为菱形，∴，∴，即.20.如图：在正方体中，E为的中点.（1）求证：平面；（2）上是否存在一点F，使得平面平面，若存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在,上的中点F即满意平面平面理由见解析【解析】【分析】（1）通过连接BD，利用正方形的性质，可构造中位线平行关系.即可得到线面平行条件并得以证明（2）若F为上的中点，则易构造平行四边形证明，同时由（1）知所以可得面面平行条件，并可证明平面平面.【小问1详解】连结交于O，连结∵因为正方体，底面为正方形，对角线､交于O点，所以O为的中点，又因为E为的中点，在中∴是的中位线∴；又为平面，平面，所以平面.【小问2详解】证明：上的中点F即满意平面平面.因为F为的中点，E为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以∥平面；由（1）知平面，又因为，所以平面平面.21.在中，角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先用正弦定理将原式中角用角表示，再用同角三角函数关系求出的值，进而求出角；（Ⅱ）先用正弦定理将角化为边，依据边的关系引入参数表示，的长，再结合（Ⅰ）中结论用余弦定理得到方程，从中解出（用表示），最终用三角形面积解出参数的值，即可求出的长．【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理得，所以可化为，得．因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理可将化为．设，，依据余弦定理得，整理得，解得，所以，解得，所以．22.已知向量，，其中为坐标原点.（