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Page15湖南省长沙市2024-2025学年高一数学上学期期中试题一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设(是虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除法运算求出,即可得出复平面内对应的点所在象限.【详解】解:由所以所以复数在复平面内对应的点位于第一象限故选:A.2.向量,,则()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先求出,再依据数量积的计算公式计算即可.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.3.已知向量=(,sin),=(sin,),若,则锐角为()A.30° B.60° C.45° D.75°【答案】A【解析】【分析】由向量共线的坐标表示计算.【详解】∵,∴sin2=×=,∴.∵为锐角,∴=30°.故选:A.4.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形,若,那么原的面积是()A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据斜二测画法可得原三角形的底边及高,进而可求原三角形的面积.【详解】因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形,所以的底.腰,在中为直角三角形,高.所以直角三角形的面积是.故选:D.5.若复数是纯虚数,则()A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】先化简求出,依据是纯虚数可求出,即可求出.【详解】,当为纯虚数时,,解得,,.故选:A.6.在中,,,,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由余弦定理:,可得,则,即,再由,求解即可.【详解】由题意,在中,,,,由余弦定理:,故,即,故,即,所以,则.故选:D7.“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传闻常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽视不计)从地面点看楼顶点的仰角为30°,沿直线前进79米到达点,此时看点的仰角为45°,若,则楼高约为().A.65米 B.74米 C.83米 D.92米【答案】B【解析】【分析】设的高度为,在直角三角形中用表示出,由可求得得楼高.【详解】设的高度为,则由已知可得,,,所以,解得,所以楼高(米).故选:B.【点睛】本题考查解三角形的实际应用.属于基础题.8.在长方体中,,分别在线段和上,,则三棱锥的体积最小值为A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此三棱锥中点D到平面MNC1的距离为定值,只要C1到MN的距离最小,则ΔMNC1的面积最小,则三棱锥D-MNC1的体积最小.【详解】如图,面MNC1就是平面ACC1A1,因此D点到面MNC1的距离为定值,由题意是正方形,由对称性知当(或)与重合时,到直线的距离最小,最小值为5,此时,∴.故选A.【点睛】最值问题求法许多,如用代数学问建立函数,用基本不等式,解不等式等是常用方法,有时也可利用共线求距离最短,通过运动轨迹求最值等.二、多项选择题(本题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知向量,,若,则()A.或 B.或C.或 D.或【答案】AC【解析】【分析】依据向量垂直的坐标表示,由题中条件求出,再由向量模的坐标表示,求出,即可得出结果.【详解】因为向量,,所以,若,则,即,解得或,故A正确,B错;当时,;当时,;故C正确,D错.故选:AC.10.已知是两条不重合直线,是两个不重合平面,则下列说法正确的是()A.若,,,则与是异面直线B.若,,则直线平行于平面内的多数条直线C.若,,则D.若,,则与肯定相交.【答案】BC【解析】【分析】对A,可得与平行或异面;对B,依据平行线间传递性可得;对C,依据平面平行的性质可得;对D,可推断当时,.【详解】对A,若,,,则与平行或异面,故A错误;对B,若,,则平面内全部与平行的直线都与平行,故B正确;对C,若,则平面内全部直线都与平行,因,所以,故C正确;对D,若,,当时,,故D错误.故选:BC.11.在三棱柱中,底面为正三角形,侧棱垂直于底面,分别是的中点,是的中点.给出下列结论正确的是()A.若是上的动点,则与异面 B.平面C.若该三棱柱有内切球,则 D.平面平面【答案】BC【解析】【分析】A.若是的中点,证明,所以该选项错误;B.如图,连接,则可以证明平面.所以该选项正确;C.设内切圆的半径为,分析得,所以该选项正确;D.前面已经证明平面.利用分析得到该选项错误.【详解】A.如图,若是的中点,则,所以,则与不异面,所以该选项错误;B.如图,连接,则平面,不在平面内,所以平面.所以该选项正确;C.设内切圆的半径为,则,所以该选项正确;D.前面已经证明平面.假设平面平面,则平面,但是事实上不在平面内,所以该选项错误.故选:BC12.在中,下列说法正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则为钝角三角形D.存在满意【答案】ABC【解析】【分析】依据大角对大边,以及正弦定理,推断选项A;利用余弦定理和正弦定理边角互化,推断选项B;结合诱导公式,以及三角函数的单调性推断CD.【详解】A.,,依据正弦定理,可知,故A正确;B.,,即,由正弦定理边角互化可知,故B正确;C.当时,,即,即,则为钝角三角形,若,,即成立,是钝角,当是,,所以综上可知:若,则为钝角三角形,故C正确;D.,,,即,故D不正确.故选:ABC【点睛】关键点点睛:本题考查推断三角形的形态,关键学问点是正弦定理和余弦定理,推断三角形形态,以及诱导公式和三角函数的单调性.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形,则该圆柱的体积是___________.【答案】【解析】【分析】分析可得圆柱上下底面圆的直径,圆柱的高,由圆柱的体积公式,即得解【详解】由题意,圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形故圆柱上下底面圆的直径,圆柱的高由圆柱的体积公式,故圆柱的体积故答案为:14.已知直线m,n,平面α,β,若,,,则直线m与n的关系是___________【答案】平行或异面【解析】【分析】由题意,直线m与n没有交点,分析即得解【详解】由题意,,,故直线m与n没有交点故直线m与n平行或异面故答案为:平行或异面15.已知为单位向量,若,则___________.【答案】【解析】【分析】由条件,可得,所以可得答案.【详解】由为单位向量,则,则所以所以故答案为:16.在中,内角,,所对的边分别为,,,若,,则面积的最大值为___________,周长的取值范围为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用二次函数学问可得的最大值,依据三角形面积公式可得面积的最大值;利用余弦定理可得,依据三角形两边之和小于第三边可得,从而可得周长的取值范围【详解】由得,所以,所以当时,的最大值为,所以,即面积的最大值为;由余弦定理可得,所以,又,所以,所以,即周长的取值范围为.故答案为:;.【点睛】关键点点睛:求三角形面积最大值的关键是求出的最大值,利用二次函数学问可得的最大值,求三角形周长的取值范围的关键是求出的取值范围,利用余弦定理和三角形两边之和小于第三边可得的取值范围.四.解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)17.已知复数(1)当实数为何值时,为实数;(2)当实数为何值时,为纯虚数.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】由实数和纯虚数的定义,分别列出等式和不等式,求解即可【小问1详解】若z为实数,则,即故或;【小问2详解】若z为纯虚数,则,由,可得又,故且故.18.如图所示,已知直角梯形,,,,,.求:(1)以所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积;(2)以所在直线为轴旋转一周所得几何体的体积.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)可知以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,依据圆台表面积的求法求出即可;(2)以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,求出体积即可.【详解】解:(1)以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是,下底面半径是,高,母线,∴该几何体的表面积为.(2)以所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,其中圆锥的高为,圆锥的母线,圆柱的母线,圆锥和圆柱底面半径,故该组合体体积为.19.如图,在菱形中,,.(1)若,求的值;(2)若,,求.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)结合平面图形以及平面对量的线性运算即可求出,的值,进而求出结果;(2)依据平面对量的加法运算得到,在结合(1)中,利用平面对量数量积的运算律以及定义即可求解.【详解】(1)因为,,所以,所以,,故.(2)∵,∴,∵为菱形,∴,∴,即.20.如图:在正方体中,E为的中点.(1)求证:平面;(2)上是否存在一点F,使得平面平面,若存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,上的中点F即满意平面平面理由见解析【解析】【分析】(1)通过连接BD,利用正方形的性质,可构造中位线平行关系.即可得到线面平行条件并得以证明(2)若F为上的中点,则易构造平行四边形证明,同时由(1)知所以可得面面平行条件,并可证明平面平面.【小问1详解】连结交于O,连结∵因为正方体,底面为正方形,对角线、交于O点,所以O为的中点,又因为E为的中点,在中∴是的中位线∴;又为平面,平面,所以平面.【小问2详解】证明:上的中点F即满意平面平面.因为F为的中点,E为的中点,所以,所以四边形为平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以∥平面;由(1)知平面,又因为,所以平面平面.21.在中,角,,所对的边分别为,,,且.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,且,求.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)先用正弦定理将原式中角用角表示,再用同角三角函数关系求出的值,进而求出角;(Ⅱ)先用正弦定理将角化为边,依据边的关系引入参数表示,的长,再结合(Ⅰ)中结论用余弦定理得到方程,从中解出(用表示),最终用三角形面积解出参数的值,即可求出的长.【详解】解:(Ⅰ)由正弦定理得,所以可化为,得.因为,所以.(Ⅱ)由正弦定理可将化为.设,,依据余弦定理得,整理得,解得,所以,解得,所以.22.已知向量,,其中为坐标原点.(
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