专题08直线的交点坐标与距离公式（4个知识点4个拓展1个突破6种题型1个易错点2种高考考法）（原卷版）

专题08直线的交点坐标与距离公式（4个知识点4个拓展1个突破6种题型1个易错点2种高考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.两条直线的交点坐标知识点2.两点间的距离公式知识点3.点到直线的距离公式知识点4.两条平行线间的距离拓展1.过两直线交点的直线方程问题的一般解法拓展2.距离公式拓展3.灵活结合几何性质求直线方程拓展4.与直线有关的对称问题的解决方法突破与直线有关的对称的应用【方法二】实例探索法题型1.两条直线的交点坐标的应用题型2.方程含参数的直线过定点问题题型3.平面上两点间距离公式的应用题型4.运用解析法解决平面几何问题题型5.点到直线的距离公式的应用题型6.两条平行直线间的距离的应用【方法三】差异对比法易错点.处理距离的综合问题时分类讨论不全致误【方法四】仿真实战法考法1．点到直线的距离公式考法2．两条平行直线间的距离【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.两条直线的交点坐标（1）一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))．若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0的交点．【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.【变式1】（2022秋•顺义区期末）若直线x﹣ay＝0与直线2x+y﹣1＝0的交点为（1，y0），则实数a的值为（）A．﹣1 B． C．1 D．2【变式2】若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是()A．k＞－eq\f(2,3) B．k＜2C．－eq\f(2,3)＜k＜2 D．k＜－eq\f(2,3)或k＞2知识点2.两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．【变式1】（2022秋•重庆期末）已知三角形的三个顶点A（2，4），B（3，﹣6），C（5，2），则BC边上中线的长为（）A． B． C． D．【变式2】已知点A(－3,4)，B(2，eq\r(3))，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．知识点3.点到直线的距离公式从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d＝．【例3】(1)已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________．(2)求点P(3，－2)到下列直线的距离：①y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；②y＝6；③x＝4.【变式1】（2022秋•金水区校级期末）若直线l与直线y＝x平行，且原点到直线l的距离为2，则直线l的方程为．【变式2】．求点P0(―1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0.知识点4.两条平行线间的距离两平行线的距离就是指平行线上的点到另一条直线的最短距离，因为两直线平行，所以直线上的点到另一条平行线上的点的距离都相等，若设两条平行线的表达式为：ax+by+c＝0和ax+by+d＝0，其中c≠d，那么这两条直线的距离为：d＝【例4】(1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为()A．4 B．eq\f(2\r(13),13)C．eq\f(5\r(13),26) D．eq\f(7\r(10),20)(2)已知直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．【变式1】（2022秋•滨江区校级期末）已知直线l1：2x+3my﹣m+2＝0，l2：mx+6x﹣4＝0，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为．【变式2】已知直线l的方程为2x－y＋1＝0.(1)求过点A(3,2)，且与直线l垂直的直线l1的方程；(2)求与直线l平行，且到点P(3,0)的距离为eq\r(5)的直线l2的方程．拓展1.过两直线交点的直线方程问题的一般解法过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．【例5】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．拓展2.距离公式1．求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．2．求方程的问题立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．3．最值问题(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．(3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．【例6】已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．拓展3.灵活结合几何性质求直线方程【例7】（2023秋·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A．或 B． C． D．【变式1】（2023春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线，，能构成三角形，求a应满足的条件．拓展4.与直线有关的对称问题的解决方法【例8】．（2023秋·河北邢台·高二河北南宫中学校考阶段练习）一条光线从点射出，与轴相交于点，则反射光线所在直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则长为.【变式2】（2023·全国·高二专题练习）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．【变式3】（2023秋·广西南宁·高二校考阶段练习）已知直线和点(1)求点关于直线的对称点的坐标；(2)求直线关于点对称的直线方程.突破与直线有关的对称的应用【例9】（2023秋·高二单元测试）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．(1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标；(2)求点的坐标；(3)求的周长．【变式】（2023·全国·高二随堂练习）某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方?【方法二】实例探索法题型1.两条直线的交点坐标的应用1．（2022秋•西青区校级期末）过直线l1：x﹣2y+4＝0与直线l2：x+y+1＝0的交点，且过原点的直线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝02．（2022秋•桂林期末）已知直线l1：3x+4y﹣2＝0与l2：2x+y+2＝0的交点为P．（1）求交点P的坐标；（2）求过点P且平行于直线l3：x﹣2y﹣1＝0的直线方程．题型2.方程含参数的直线过定点问题3．（2022秋•恩阳区期中）直线l：mx﹣3m+y﹣1＝0（m∈R）过定点A，则点A的坐标为（）A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，﹣1） D．（3，1）4．（2022秋•七里河区校级期末）已知直线l：ax+y+a+1＝0，其恒过的定点为．题型3.平面上两点间距离公式的应用5．（2022秋•静海区校级期末）点P（1，m）到直线l：3x+4y﹣2＝0的距离等于3，求m的值为．6．（2022秋•颍州区校级期末）已知△ABC中，B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）直线kx﹣y+4﹣3k＝0过定点，设该定点为A，求△ABC的面积．题型4.运用解析法解决平面几何问题7．（2023·全国·高二课堂例题）在直角三角形中，点为斜边的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：．8．（2023·全国·高二随堂练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.题型5.点到直线的距离公式的应用9．已知直线l1：3x＋4ay－2＝0(a＞0)，l2：2x＋y＋2＝0.(1)当a＝1时，直线l过l1与l2的交点，且垂直于直线x―2y―1＝0，求直线l的方程；(2)求点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，1))到直线l1的距离d的最大值．题型6.两条平行直线间的距离的应用10．（2022秋•阳泉期末）若两条直线l1：x+2y﹣6＝0与l2：x+ay﹣5＝0平行，则l1与l2间的距离是（）A． B． C． D．11．（2023春•靖江市校级月考）已知两条直线l1：（a+1）x+2y﹣2＝0和l2：x+ay﹣1＝0，其中a∈R．若l1∥l2，则直线l1与l2之间的距离为．12．（2022秋•水磨沟区校级期末）已知直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+14＝0相互平行，则它们之间的距离是．【方法三】差异对比法易错点.处理距离的综合问题时分类讨论不全致误13．（2022秋•静海区校级期末）点P（1，m）到直线l：3x+4y﹣2＝0的距离等于3，求m的值为．【方法四】仿真实战法考法1．点到直线的距离公式1．（2020•新课标Ⅲ）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（）A．1 B． C． D．2考法2．两条平行直线间的距离2．（2020•上海）已知直线l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，则l1与l2的距离为．【方法五】成果评定法一．选择题（共8小题）1．（2023秋•沧县校级月考）若A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4），求△ABC的面积为（）A．28 B．14 C．56 D．202．（2022秋•郊区校级期末）已知直线，若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为（）A．1 B．2 C． D．3．（2023•武安市校级开学）已知A（4，0）到直线4x﹣3y+a＝0的距离等于3，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣13或﹣19 C．﹣1或﹣31 D．﹣134．（2023春•樟树市校级期末）若直线y＝x+2k+1与直线y＝﹣x+2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．[﹣，﹣] D．[﹣，]5．（2023•高邮市开学）两条平行直线3x﹣y+3＝0和ax﹣y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A． B． C． D．6．（2023秋•泗阳县校级月考）若点P（x，y）在直线2x+y﹣5＝0上，O是原点，则OP的最小值为（）A． B．2 C． D．47．（2023秋•平罗县校级月考）已知直线l1：3x+4y﹣5＝0与l2：3x+5y﹣6＝0相交，则它们的交点是（）A．（﹣1，） B．（，1） C．（1，） D．（﹣1，﹣）8．（2022秋•舟山期末）已知点P在直线y＝x+3上，A（1，0），B（3，0），则|PA|+|PB|的最小值为（）A． B．5 C． D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022秋•香坊区校级期末）已知A（3，4），B（﹣6，﹣3）（A，B∉l）两点到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，则a的值可能为（）A． B． C．﹣1 D．1（多选）10．（2022秋•嘉兴期中）下列各结论，正确的是（）A．直线x﹣y﹣1＝0与两坐标轴交于A，B两点，则 B．直线2x﹣y＝0与直线之间的距离为 C．直线上的点到原点的距离最小为1 D．点A（﹣1，1）与点B（2，0）到直线x﹣y＝0的距离相等（多选）11．（2022秋•益阳期末）定义点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c＝0（a2+b2≠0）的有向距离为．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是（）A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝﹣1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1+d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1•d2≤0，则直线P1P2与直线l相交（多选）12．（2023•武安市校级开学）下列结论不正确的是（）A．过点A（1，3），B（﹣3，1）的直线的倾斜角为30° B．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3） C．直线x+2y﹣4＝0与直线2x+4y+1＝0之间的距离是 D．已知A（2，3），B（﹣1，1），点P在x轴上，则|PA|+|PB|的最小值是5三．填空题（共4小题）13．（2023秋•泗阳县校级月考）平行直线l1：3x﹣4y+6＝0与l2：6x﹣8y+9＝0之间的距离为．14．（2023•山西开学）已知直线l经过点（1，1），且A（﹣4，﹣1），B（﹣2，3）两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为．15．（2022秋•宿迁期末）过点（2，3）的直线l被两平行直线l1：2x﹣5y+9＝0与l2：2x﹣5y﹣7＝0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1＝0上，则直线l的方程是．16．（2023秋•南岸区校级月考）A是直线l：y＝﹣3x上的一点，B（3，2）为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当△AOC面积最小时，点A的坐标是．四．解答题（共6小题）17．（2022春•崇明区校级期中）设常数a∈R，已知直线l1：（