专题24 三角函数的图象与性质-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题24三角函数的图象与性质（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 5【考点1】三角函数的定义域和值域 5【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性 7【考点3】三角函数的单调性 8【分层检测】 10【基础篇】 10【能力篇】 12【培优篇】 13考试要求：1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.知识梳理知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（

）A．1 B． C． D．3二、多选题6．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（

）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题7．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．8．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

9．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．10．（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为．考点突破考点突破【考点1】三角函数的定义域和值域一、单选题1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数是（

）A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为二、多选题3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．关于直线对称C．关于点中心对称 D．的最小值为4．（2024·贵州贵阳·二模）函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．在上的值域为C．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是三、填空题5．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形中，，点分别在线段上，且，则的最小值为．6．（2021·河南郑州·二模）在△中，角，，的对边分别为，，，，，若有最大值，则实数的取值范围是．反思提升：1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性一、单选题1．（2024·重庆·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数的最小正周期为，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．的对称轴为B．的最小正周期为C．的最大值为1，最小值为D．在上单调递减，在上单调递增5．（2024·辽宁·二模）已知函数满足0，且在上单调递减，则（

）A．函数的图象关于点对称 B．可以等于C．可以等于5 D．可以等于36．（23-24高三上·山西运城·期末）已知函数，则（

）A．的一个周期为2 B．的定义域是C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是．8．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数.9．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为.反思提升：(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z).【考点3】三角函数的单调性一、单选题1．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·陕西榆林·三模）已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2022·湖北武汉·三模）已知函数的零点为，则（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南长沙·一模）已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A．B．的图象过点C．函数的图象关于直线对称D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是三、填空题5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，（，，）的大致图象如图所示，将函数的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为.6．（2022·上海闵行·模拟预测）已知，若，则的取值范围是.反思提升：1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·福建·模拟预测）若函数在上有零点，则整数A的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024·贵州黔南·二模）若函数为偶函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（2024·云南·模拟预测）已知函数，如图，图象经过点，，则（

）A．B．C．是函数的一条对称轴D．函数在区间上单调递增6．（2023·辽宁·模拟预测）已知定义域为的偶函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数，下列说法中正确的有（

）A．是奇函数 B．在区间上单调递增C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为三、填空题8．（2022·江西·模拟预测）将函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数g(x)的图像，若，则的最小值是．9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数在单调递增，在单调递减，则实数的取值范围是．10．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数为偶函数，且当时，，则的值可能为.四、解答题11．（2022·北京门头沟·一模）已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心.(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．12．（2021·浙江·模拟预测）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间．（2）若对任意的，方程（其中）始终有两个不同的根，．①求实数的值；②求的值．【能力篇】一、单选题1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（

）

A． B． C． D．二、多选题2．（2024·云南·模拟预测）已知函数的图象关于点成中心对称，则（

）A．在区间上单调递减B．在区间上有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线三、填空题3．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则；的取值范围是．四、解答题4．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．(1)求，的值；(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．【培优篇】一、单选题1