专题11 对数与对数函数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题11对数与对数函数（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 4【考点1】对数的运算 4【考点2】对数函数的图象及应用 6【考点3】对数函数的性质及应用 7【分层检测】 8【基础篇】 9【能力篇】 10【培优篇】 11考试要求：1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理知识梳理1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．4．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．5．（2021·全国·高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．6．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.67．（2021·天津·高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．三、填空题10．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.11．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．12．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则，．考点突破考点突破【考点1】对数的运算一、单选题1．（2023·宁夏银川·三模）设，，，则（

）A． B．C． D．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（

）（结果取整数，参考数据：）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（

）A．，使 B．，使C．，有 D．，有4．（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则．6．（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，）反思提升：1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【考点2】对数函数的图象及应用一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象为（

）A． B．C． D．2．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（21-22高一上·河北张家口·期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．4．（2022·湖南岳阳·一模）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（

）A．， B．在上是奇函数C．在上是单调递增函数 D．当时，三、填空题5．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线过函数，且）的定点，则的最小值为.6．（2024·全国·模拟预测）已知函数则函数有个零点．反思提升：1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【考点3】对数函数的性质及应用一、单选题1．（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（

）A． B．C． D．2．（2021·宁夏银川·二模）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%二、多选题3．（20-21高三上·辽宁大连·期中）对于实数，，下列真命题的为（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，且，则的最小值为4．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数值域为B．函数是增函数C．不等式的解集为D．三、填空题5．（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为．6．（22-23高三上·湖北武汉·期末）对任意正实数，记函数在上的最小值为，函数在上的最大值为，若，则的所有可能值.反思提升：利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量记为年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为，则比值的整数部分为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024·湖南·一模）已知，且，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．二、多选题5．（2022·海南·模拟预测）下列函数最小值为2的是（

）A． B．C． D．6．（2023·福建厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（

）A． B． C． D．7．（2024·河南·模拟预测）已知正数，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2022·上海·模拟预测）若函数（且）有最大值，则的取值范围是.9．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则．10．（2021·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，则.四、解答题11．（21-22高一上·四川资阳·期末）已知（其中且）．(1)若，，求实数的取值范围；(2)若，的最大值大于1，求的取值范围．12．（2023·四川成都·二模）已知函数(1)当时，求函数的定义域；(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.【能力篇】一、单选题1．（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（

）．A． B． C． D．二、多选题2．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是C．函数在区间上单调递减D．若函数的值域为，则实数的取值范围是三、填空题3．（2024·全国·模拟预测）表示两个实数，中的较小数．已知函数，且当时，，则的最小值