江苏省无锡市2021-2022学年九年级上册数学期末测试试题（含答案）

江苏省无锡市2021-2022学年九年级上册数学期末测试试题（一）

一、选一选（本大题共10题，每小题3分，共计30分.在每小题所给出的四个选

项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑.）

1.化简J记得（）

A.±4B.±2C.4D.-4

【答案】C

【解析】

【详解】716=4.

故选C.

2.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是对称图形的个数是（）

【答案】C

【解析】

【详解】根据轴对称图形和对称图形的概念可判定个，第二个,第四个图形既是轴对称图形又是对

称图形，故选C.

3.tan30。的值为（）

A.yB.3C.GD.—

223

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用角的三角函数值求解即可.

【详解】tan3（T=@,故选。.

3

【点睛】本题考查角的三角函数的值的求法，熟记的三角函数值是解题的关键.

4.一元二次方程x2-2x+2=0的根的情况为（）

A.有两个等根B.有两个没有等根C.只有一个实数根D.没有实数

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根

【答案】D

【解析】

【详解】：在方程f-2x+2=0中，△=(-2)2-4XlX2=-4<0,

该方程没有实数根.

故选D.

点睛:本题考查了一元二次方程(a#0)的根的判别式△="-4ac：当△>()时，一元二

次方程有两个没有相等的实数根；当A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<()时，

一元二次方程没有实数根.

5.下列运算中正确的是()

A.(—)2=-9B.(a-b)(-a-b)=aJ-bJ

3

C.2a2*a3=2a6D.(-a),04-(-a)』

【答案】D

【解析】

【详解】A、(一；)=1+(一5=9'故本选项错误；

B、(a-b)(-a-b)=乂-42,故本选项错误；

C、2a2a3=2a5,故本选项错误；

D^(-a)%(-a)4=al0-^a4=a6,故本选项正确；

故选D.

6.下列四个命题中真命题是()

A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形B.对角线垂直且相等的四边形是菱形

C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形D.四边都相等的四边形是正方形

【答案】C

【解析】

【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可.

【详解】A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；

B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；

C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；

D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；

故选：C.

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【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定

理、菱形的判定定理.

7.如图，点4是反比例函数y=5x>0）图象上•一点，Z8_Lx轴于点5,点C在x轴上，且OB=OC,

若△/BC的面积等于6,则左的值等于（）

A.3B.6C.8D.12

【答案】B

【解析】

【详解】,：OB=OC,

•e•S^AOB=yS^ABC=-X6=3,

/.\k=2S^ABC=6,

・・•反比例函数的图象位于象限，

:.k=6,

故选B.

点睛:本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数图像上任一点P,向X

X

轴和y轴作垂线你，以点尸的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数网.

8.如图，D、E分别是AABC的边AB、BC上的点，且DE〃AC,AE、CD相交于点0,若SADOE：SACOA=1：

36,则SABDE与SABAC的比是（）

A.1：3B.1：4C.1：5D.1：36

【答案】D

【解析】

【分析】

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【详解】•:DE"AC,

.S^EO/DE1

・・T=（------->=—

S^oc4c36

.DE1

•・---=一，

AC6

"：DE//AC,

:.△BDEsdBAC,

.S岫DE=（DE_）2=J_

,,SMACAC36

故选D.

9.如图，在RtZUBC中，ZC=90°,以△48。的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点

在△XBC的其他边上，则可以画出的没有同的等腰三角形的个数至多为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D,4BCD就是等腰三角

形；

②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E,4ACE就是等腰三角形；

③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F,4BCF就是等腰三角形；

④作AC的垂直平分线交AB于点H,AACH就是等腰三角形；

⑤作AB的垂直平分线交AC于G,则4AGB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分线交AB于I,则aBCI和aACI都是等腰三角形.

⑦作AC的垂直平分线交AB于I,则△BCY和△NC7都是等腰三角形.

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故选D.

考点：画等腰三角形.

10.如图，已知正比例函数产kx(k>0)的图象与x轴相交所成的锐角为70。，定点A的坐标

为(0,8),P为y轴上的一个动点,M、N为函数产kx(k>0)的图象上的两个动点，则AM+MP+PN

的最小值为()

8sin200(1+cos20°+sin20°cos20°)

【答案】B

【解析】

【详解】作y轴关于直线对称的对称直线OC,作直线严丘关于y轴对称的对称直线OD,

点"是点N关于直线)，=履的对称点.作垂足为E,交y轴于点尸，交直线产方:于

作PN_L直线严丘垂足为N,如图，

•:PN=PE,AM=A'M,

：.AM+PM+PN=A'M+PM+PE=A'E,

：.此时AM+MP+PN值最小，

在RtZX/'EO中，VZA'EO=90°,OA'=OA=S,ZA'OE=3ZAOM=60°,

：.OE=^OA'=4,

:.A，E=60E=4^,

即AM+MP+PN的最小值为4.

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故选B.

y=kx

点睛：本题考查轴对称-最短问题、垂线段最短、直角三角形3。度角的性质、勾股定理等知识,

解题的关键是利用轴对称性质正确找到等P的位置，题目有点难度，是最短问题中比较难的题

目.

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分.请把答案直接填写在

答题卡相应位置上.）

11.据媒体报道，我国因环境污染造成的经济损失每年高达680000000元，数据680000000用

科学记数法表示是_____.

【答案】6.8x10s

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axlO。，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同.当原数值大于10时，n

是正数；当原数的值小于1时，n是负数.

【详解】解：680000000=6.8x108元.

故答案为：6.8x108.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示，准确确定axion中a与n的值是解题的关键.

12.若式子与有意义，则实数X的取值范围是.

【答案】x>3

【解析】

【详解】解：二次根式中被开方数x-320,所以xN3.

故答案为：x>3.

13.已知方程x2+mx-3=0的一个根是1,则它的另一个根是.

【答案】-3

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【解析】

【详解】设另一根为不,则1•々=-3,

解得，占=—3,

故答案为一3.

14.如图，点8、E、C、F在一条直线上，AB//DE,S.AB=DE,请添加一个条件_使

△ABC/ADEF.

【答案】或8C=EF或8E=C/或

【解析】

【分析】判定一般三角形全等一共有四种方法，根据这四种方法一一选择即可.

【详解】解：添加8E=C/

■:BE=CF,

：.BC=EF,

*：AB//DE,

；.NB=NDEF,

,:AB=DE,

:.△ABC/△DEF(SAS).

故答案为：AB=DE(答案没有).

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，根据判定的方法选择合适的方法，关键是要能熟练

运用三角形的判定方法.

15.如图，aABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E,连接BE,若BE=9,BC=12,则

cosC=.t

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【解析】

【详解】试题分析：线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.根据DE是BC的中垂线可

由1,CD62

得CE=BE=9,CD=：BC=6,NEDC=90°,则ncosC=——=一=一.

2CE93

考点：中垂线的性质、三角形函数.

16.如图，在Rt/iAOB中，直角边OA、0B分别在X轴的负半轴和y轴的正半轴上，将AAOB

绕点B逆时针旋转90。后，得到AA'O'B，且反比例函数y=-的图象恰好斜边A'B的中点C,

x

若SABO=4，tan/BAO=2,则卜=.

【答案】6

【解析】

【分析】先根据凡.。=4,tan/8/O=2求出40、8。的长度，再根据点C为斜边⑷8的

中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为左值.

【详解】设点C坐标为(x,y),作CDLBO'交边BO'于点D,

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AO

•.0ABO=；AOBO=4，

AO=2,BO=4，

•.•△ABOgAABO,

.,.AO=A'O'=2,BO=BO'=4,

•••点C为斜边A'B的中点，CD1BO',

CD=-AV=1,BD=-BO'=2,

22

y=BO-CD=4-1=3,x=BD=2,

k=x-y=3x2=6.

故答案为6.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合

适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于左值求解即可.

17.如图,在四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,CD=2O,DA=10751则BD的长为_.

【答案】

【解析】

【详解】作。A/LBC,交BC延长线于连接/C,如图所示:

则NAf=90°,

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，ZDCM+ZCDM=90°,

VZJBC=90°,AB=6,BC=8,

."G/iaBCMOO,

VCL>=20,AD=l()B

:.A^CD2=AD2,

.•.△/CD是直角三角形，N4CD=90。,

：.N4CB+NDCM=9O。,

：.ZACB=ZCDM,

'：ZABC=ZM=90°,

:AABCSACMD,

.ABBCACJ

**CMDMAD2，

:.CM=2AB=6,DM=2BC=8,

：.BM=BC+CM=IO,

•••BZBM+DM2^^.

故答案为2a.

18.如图1,在平面直角坐标系中，将MBCD放置在象限，且AB〃x轴.直线y=-x从原点出发

沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度1与直线在x轴上平移的

【答案】JIU或上叵

4

【解析】

【详解】①当/8>4时如图1,

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：.EF=AG=OF-0E=4

・・•直线解析式为：尸-x

・・・ZAGD=ZEFD=45°

・•・△4G。是等腰直角三角形

：.DH=GH=—DG=—X3正=3,

22.一

：.AH=AG-GH=4-3=1,

心而健+庆沪正+产Vio；

②当48=4时，如图2,

：.1J=AB=4,IM=AN=5,

,直线解析式为：y=-x,

:・MKLB是等腰直角三角形,

：.KL=BL=—KB=3,

2

,・Z8=4,

：・AL=AB-BL=1,

同①得，DM=MN,

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，过K作KM〃/M,

.•.tan/£MN=^=3,

AL

DM_DM

tanZDAN3

4

JAN=AM+MN=^DM=5，

3

15

：.DM=MN=­

4f

1RB

：.AM=AN-MN=5-,

44

AD=yJAM2+DM

故答案为JiU或生叵.

点睛：此题考查平移的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点，以及渗透分类讨论思想.正

确求得平行四边形的高是关键.

三.解答题(本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时

应写证明过程或演算步骤)

19.(1)计算：(g)1-GCOS30°+(2014-n)°；

(2)化简：a(a+1)-(a+1)(a-1).

3

【答案】(1)-(2)a+1

2

【解析】

【详解】试题分析：(1)项根据一个数的负整数指数幕等于这个数正整数次暴的倒数计算，第

二项根据角的三角函数值计算，第三项非零数的零次幕等于1；

(2)项根据单项式与多项式的乘法法则计算，第二项根据平方差公式计算，第二项运算的结果

要先写到括号里..

解：(1)(1)1-73：OS30O+(2014-n)0

=2-Vj亭］

3

2

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-_3'"

21

(2)a(a+1)-(a+1)(a-1)

=a2+a-(a2-1)

=a+l.

20.(1)解方程：x2-4x-6=0

x-3(x-2)<4

(2)解没有等式组：<x—1<x+1>

【答案】(1)X=2±710(2)1<X<5

【解析】

【详解】试题分析：(1)把-6移到方程的右边，然后两边都加上4,把左边写成完全平方的形

式，然后两边开平方求解；

(2)先分别解两个没有等式，然后求两个没有等式解集的公共部分即可.

解：(1)Vx2-4x=6,

Ax2-4x+4=6+4,即(x-2)2=10,

则x-2=±而5，

.■.x=2±yio；

(2)解没有等式x-3(x-2)<4,得：x>l,

解没有等式与空L,得:x<5,

23

则没有等式组的解集为Kx<5.

21.如图，在平行四边形ABCD中，CE是NDCB的角平分线，且交AB于点E,DB与CE相交于点

0,

(1)求证：AEBC是等腰三角形；

(2)己知：AB=7>BC=5,求---的值.

DB

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【答案】（1）证明见解析（2）—

12

【解析】

【详解】试题分析：（I）欲证明△EBC是等腰三角形，只需推知8c=8E即可，可以由N2=N3

得至lj：BC=BE；

CDOD7

（2）通过相似三角形△COOS/XEOB的对应边成比例得到——=——=-,然后利用分式的

EBOB5

OR

性质可以求得J5

DB12

解：（1）催四边形ABCD是平行四边形,

•.CD〃AB,

\Z1=Z2.

；CE平分/BCD,

\Z1=Z3,

,•Z2=Z3,

•.BC=BE,

♦.△EBC是等腰三角形；

(2)VZ1=Z2,Z4=Z5,

,.△COD^AEOB,

.CD^OD

,丽■而

•,平行四边形ABCD,

,.CD=AB=7.

；BE=BC=5,

.CDOD7

'EBOB

.OB.5

"WX2'

点睛：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.在判

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定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本

图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用三角形相似

的性质时主要利用相似比计算相应线段的长.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知△/BC三个顶点的坐标分别是Z(2,2),B(4,0),C

(4,-4).

(1)请在图中，画出ANBC向左平移6个单位长度后得到的△小8|。；

(2)以点。为位似，将△/BC缩小为原来的g,得到ZU282C2,请在图中y轴右侧，画出△/2S2C2,

并求出N/2C282的正弦值.

【答案】(1)见解析(2)巫

10

【解析】

【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

(2)利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案.

试题解析：

【详解】(1)如图所示：△小SG，即为所求；

(2)如图所示：ZU282c2，即为所求，由图形可知，ZA2CIB2=ZACB,

过点A作AD±BC交BC的延长线于点D,

由X(2,2),C(4,-4),B(4,0),易得D(4,2),

故Z£)=2,CD=6,AC=V22+62=2-\/10,

sinZ^C5=—=—

AC2Mlo-

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即sinN4GB2Vw

2lo-

【点睛】考点：作图-位似变换；作图-平移变换；解直角三角形.

23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60石米的点D（点D与楼底C在同一

水平面上）出发，沿斜面坡度为i=l：6的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A

_4

的仰角为53°,求楼房AC的局度（参考数据：sin53°g0.8,cos53°80.6,tan53°«=-,

3

计算结果用根号表示，没有取近似值）.

【答案】15+60

【解析】

【分析】如图作BN_LCD于N,BMJ_AC于M,先在RT/SBDN中求出线段BN,在RTAABM

中求出AM,再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题.

【详解】如图作BN_LCD于N,BM_LAC于M.

在RT^BDN中，

BD=30,BN：ND=1：也,

；.BN=15,DN=155

VZC=ZCMB=ZC=90°,

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，四边形CMBN是矩形，

，CM=BM=15,BM=CN=6073-15^3=45，

在RTAABM中，tanZABM=

~BM~3

.•.AM=60G，

/.AC=AM+CM=15+60A/3.

【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念.

24.2014年，锡东新城碧桂苑楼盘以均价每平方米8000元的均价对外.由于受周边地区及炒房

的影响，该楼盘在二年内疯涨，至2016年该楼盘的均价为每平方米11520元.如果设每年的增

长率相同.

(1)求平均每年增长的百分率；

(2)假设2017年该楼盘的均价仍然增长相同的百分率，有一工作了十年的李老师准备购买一

套100平方米的住房，他持有现金80万元，可在银行贷款50万元，李老师的愿望能否实现？

(房价按照均价计算，没有考虑其它因素.)

【答案】(1)平均每年增长的百分率为20%(2)李老师的愿望没有能实现

【解析】

【详解】试题分析：(1)设平均每年增长的百分率为x,根据“2016年的房价=2014年的房价

XI加增加百分率的平方”，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；

(2)根据“房屋的总价=2017年房屋单价X房屋面积”，即可求出100平方米的住房的总价，

再于李老师持有的现金及银行贷款的总和进行比较后即可得出结论.

解：(1)设平均每年增长的百分率为X,

根据题意得:8000x(1+x)2=11520,

解得：x=20%,x=-144%(舍去)，

答：平均每年增长的百分率为20%.

(2)100xll520x(1+20%)=1382400(元),

1382400>800000+500000=1300000,

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...李老师的愿望没有能实现.

25.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标(0,6),AC_Ly轴，且AC=AO,点B,C横坐标相同,

1人

点D在AC上，tanNAOD=一，若反比例函数y=-(x>0)的图象点B、D.

3x

(1)求：k及点B坐标：

(2)将AAOD沿着0D折叠，设顶点A的对称点Ai的坐标是Ai(m,n),求：代数式m+3n的值

以及点Ai的坐标.

【答案】(1)(6,2)；(2)(3.6,4.8)

【解析】

【详解】试题分析：(1)先根据tanN4OD='，』坐标(0,6)得出力。的长，再根据点。在

3

反比例函数片"(x>0)的图象上可求出发的值，由8c〃/。，得出8点坐标；

X

(2)过点小作防〃。力交力。于交x轴于R连接04，根据ZC〃x轴可知

NAiED=/4FO=90°,由相似三角形的判定定理得出△。及1产人4］万。，设小(〃?，〃)，可得

m6-/7

出一=-----，加2+〃2=2加+6〃，，再根据勾股定理可得出m2+〃2=36,于是得到结论.

nm-2

解：(1)・・,点A坐标(0,6),tanZAOD=y,

AAD=2,

AD(2,6)

•.•点D在反比例函数y=上(x>0)的图象上，

X

.,.6=—,解得k=12,

2

VAC=AO,点B,C横坐标相同，

...点B、C的横坐标都是6,

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:.BCZ/AO,

AB(6,2)；

(2)过点Ai作EF〃0A交AC于E,交x轴于F,连接0A「

,・，AC〃x轴，

.\ZAiED=ZAiFO=90°,

VZOAiD=90°,

・・.NAiDE=NOAiF,

AADEAi^AAiFO,

VAi(m,n),

・

..—m=—6n—,

nID-2

/.m2+n2=2m+6n,

Vm2+n2=OAi2=OA2=36,

/.m+3n=18,

即m=18-3n,

:.(18-3n)2+n2=36,

解得ni=6(舍去),n2=4.8,

/.m=18-3x4.8=3.6,

即点A的坐标为(3.6,4.8).

点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，翻折的性质，勾股定理、相似三角形的

判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中.

26.如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A(6,0),B(0,12),点C的坐标为(3,0)

(1)求直线AB的解析式；

(2)在线段AB上有一动点P.

①过点P分别作x,y轴的垂线，垂足分别为点E,F,若矩形OEPF的面积为16,求点P的坐

标.

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②连结Q,,是否存在点P,使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若没有存在,

请说明理由.

(2)①点P(2,8)或(4,4)；②存在，点P的坐标为(3,6)或

一/276、

点P(--,—)

55

【解析】

【详解】试题分析：(1)由于/((6,0),B(0,12),利用待定系数法即可求出直线N8的解

析式;

(2)①可以设动点尸(x,-2x+12),由此得到PF=-2x+12,再利用矩形OE尸产的面积

为16即可求出点尸的坐标;

②存在，分两种情况:种由CP//OB得△4CPS”OB,由此即可求出P的坐标；第二种CPA.AB,

根据已知条件可以证明然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出长，再过

点尸作轴，垂足为“，由此得到进一步得到然后利用相似

三角形的对应边成比例就可以求出点尸的坐标.

解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,如图1：

依题意,6k+b=0

b=12

/.y=-2x+12；

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图1

(2)①设动点P(x,-2X+12),则PE=x,PF=-2x+12,

；SOEPF=PE・PF=X(-2x+12)=16,

••Xi=2fXz=4；

经检验XI=2,xz=4都符合题意，

.,.点P(2,8)或(4,4)；

②存在，分两种情况

VA(6,0),B(0,12),

，OA=6,OB=12,AB=6收

种：CP//OB,

.'.△ACP^AAOB,

而点C的坐标为(3,0),

...点P(3,6)；

第二种CP_LAB,

VZAPC=ZAOB=90",ZPAC=ZBAO,

AAAPC^AAOB,

•.•A""P二AC，

0AAB

.AP3

5

如图2,过点P作PHJ_x轴，垂足为H,

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，PH〃OB,

.•.△APH^AABO,

.PHAPAH

••丽■二AB=OA'

诟

•••PH5AH-

•DU_6AI_I_3

••rn——~»AH———,

55

?97

/.OH=OA-AH=6--^―

55

.•.点p（乌，堤）.

55

.♦.点P的坐标为（3,6）或点P（21，❷）.

55

点睛：本题综合考查了函数与几何知识的应用，熟练运用相似三角形的性质与判定以及直角三

角形等知识求出线段的长是解题的关键.

27.将a/BC绕点4按逆时针方向旋转6度，并使各边长变为原来的凡倍，得△/9。，即如图

①，我们将这种变换记为［仇«］.

（1）如图①，对△48C作变换［60。，6］得△力*C,则Swo：SMBC=;直线BC与直线

夕C所夹的锐角为度；

（2）如图②，△48C中,NB4c=3Q°,4c8=90°,对△ZBC作变换［仇川得使点8、

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C、C在同一直线上，且四边形N8夕。为矩形，求6和〃的值；

(3)如图③，ZUBC中，AB=AC,ZBAC=36°,BC=I,对作变换［仇川得使点

B、C、9在同一直线上，且四边形/3BC为平行四边形，求。和〃的值.

1+亚

【答案】(1)3；60(2)60°,2(3)72°,

2

【解析】

【分析】(1)先证△NBCSA48，C,得出心.。：=(百¥

=3，NB=/B'.可

证NBMB'=NB4B'=60°即可.

(2)由四边形是矩形，可得N84C=90。，然后由%NC4C=NB4C-NA4C,即可求得。

的度数，又由含30。角的直角三角形的性质，即可求得〃的值.

(3)由四边形9。是平行四边形，易求得4NCAC'=N4CB=72。,又由MBCsAB物,根

据相似三角形的对应边成比例，易得4B2=CB・BB，=CB(BC+CB'),继而求得答案.

iiARr-

【详解】解：(1)如图，・・,NA4C=N8NC',0-二工二V3,

ACAB

:・AAB'C'S/\ABC,

*.*/A=/B'NM,

：./BMB'=NBAB'=60°,

故答案为：3；60.

(2)・・,四边形是矩形，

jNBAC=90°.

；・0=/CAC=NBAC-ZBAC=900-30°=60°.

在RtLABB1中，N/89=90。，N8/斤=60。，

JN4B'B=30。.

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：.AB^rAB,即n=——=2.

AB

(3),・•四边形力8夕。是平行四边形,

工AC〃BB：

又〈/BAC=36。,

9：AB=AC,

J/ABC=C8=g(180。-36。)=72°

，O=ZCAC'=ZACB=120.

：.ZCfABr=ZBAC=36°.

而NB=NB,

：.AABCs^B'BA.

:.AB：BB'=CB：AB.

：.AB2=CB-BB'=CB(BC+CBD.

而CB'=AC=AB=B'C,BC=\,

：.AB2=\(]+0,

解得，〃8=上正.

2

VJ5>0,

.B'C'1+亚

••n=----=-----

BC2

28.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条

中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图(1)、图(2)、图(3)中，AF、BE是4ABC

的中线，AF_LBE于点P,像AABC这样的三角形称为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.

【特例探究】

(1)如图1,当tan/PAB=l,c=2，5时，a=,b=；

如图2,当NPAB=30°,c=4时，a=,b=；

【归纳证明】

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a?、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利

用图3证明你的结论.

【拓展证明】

(3)如图4,oABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、

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