第四节-含绝对值的不等式

知识梳理1．实数的绝对值(1)绝对值的定义：(2)实数绝对值的几何意义：|a|的几何意义是数轴上表示实数a的点到______的距离．2．含有绝对值的不等式(1)最简单的含绝对值的不等式如果m＞0，则①|x|≤m⇔_____________；②|x|≥m⇔______________.第四节含绝对值的不等式a0－a原点－m≤x≤mx≤－m或x≥m知识梳理(2)含有绝对值的不等式的解法①当c≥0时，|x＋b|≤c的解集为_____________________；|x＋b|＞c的解集为_____________________；②当c＜0时，|x＋b|≤c的解集为_____________________；|x＋b|＞c的解集为_____________________．{x|－c－b≤x≤c＋b}{x|x>c－b或x<－c－b}∅R典例解析【例1】解下列含绝对值的不等式：(1)|2x－1|＜3;(2)|3－2x|＞5；(3)|3x－2|>0.【解析】(1)将|2x－1|＜3＜3去绝对值符号，得－3＜2x－1＜3，即－2＜2x＜4，解得－1＜x＜2.∴不等式的解集是(－1，2)．(2)将|3－2x|＞5去绝对值符号，得3－2x＜－5或3－2x＞5，即－2x＜－8或－2x＞2，解得x＞4或x＜－1.∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．(3)∵|3x－2|>0，∴当x≠时，|3x－2|>0恒成立，∴不等式的解集是(1)(－1，2)(2)(－∞，－1)∪(4，＋∞)(3)典例解析【举一反三1】(1)含绝对值的不等式|3x－1|≤7的解集是_____________．(2)含绝对值的不等式|2x－1|≥5的解集是____________．【提示】将|3x－1|≤7去绝对值符号，得－7≤3x－1≤7，即－6≤3x≤8，解得－2≤x≤∴原不等式的解集是【提示】由|2x－1|≥5得2x－1≥5或2x－1≤－5，解得x≥3或x≤－2，∴原不等式的解集是{x|x≥3或x≤－2}．{x|x≥3或x≤－2}典例解析(3)含绝对值的不等式|2－5x|≤0的解集是___________．【思路点拨】含绝对值的不等式的求解关键是根据等价转化去掉绝对值符号，要注意不等式是否含有等号．可联想“小于取中间，大于在两边”加以记忆．【提示】∵不等式|2－5x|≥0恒成立，∴不等式|2－5x|≤0的解集为典例解析【例2】已知不等式|x＋a|＜b的解集是(1，3)，求实数a，b的值．a＝－2，b＝1【解析】不等式|x＋a|＜b等价于－b＜x＋a＜b，即－a－b＜x＜b－a，∵不等式的解集是(1，3)，∴解得a＝－2，b＝1.典例解析【举一反三2】(1)已知不等式|x－6|＜m的解集是(3，9)，则实数m＝________.(2)已知不等式|x－a|＜3b(b＞0)的解集是(－2，10)，则实数a＝________，b＝________.3【提示】不等式|x－6|＜m等价于－m＜x－6＜m，即6－m＜x＜m＋6，∵不等式的解集是(3，9)，∴m＝3.【思路点拨】对于含参数的绝对值不等式，先根据等价转化去掉绝对值符号，再根据已知的解集确定参数的取值．【提示】不等式|x－a|＜3b(b＞0)等价于－3b＜x－a＜3b，即a－3b＜x＜a＋3b.∵不等式|x－a|＜3b(b＞0)的解集是(－2，10)，∴a－3b＝－2且a＋3b＝10，解得a＝4，b＝2.42典例解析【例3】解不等式：3≤|5x－7|≤5.【解析】原不等式等价于由不等式|5x－7|≥3可得5x－7≤－3或5x－7≥3，即5x≤4或5x≥10，解得x≤或x≥2.由不等式|5x－7|≤5可得－5≤5x－7≤5，即2≤5x≤12，解得∴原不等式的解集是典例解析【举一反三3】已知|x－1|＜a(a＞0)的解集是(－1，c)，则a＋c的值等于________．5【提示】由|x－1|＜a(a＞0)，得－a＜x－1＜a，∴1－a＜x＜1＋a，∵不等式的解集为(－1，c)，∴解得a＝2，c＝3，∴a＋c＝5.【思路点拨】注意转化思想的应用，含有两个不等式号的不等式等价于一个不等式组．不等式的解集与相应方程的根密切相关．一般地，不等式的解集是以相应方程的根为端点的．典例解析【例4】设集合A＝{x||x－2|≤3}，集合B＝{x||x－1|≥1}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.(1)A∩B＝{x|－1≤x≤0或2≤x≤5}(2)A∪B＝R【解析】由|x－2|≤3得－1≤x≤5，由|x－1|≥1得x≤0或x≥2.所以A∩B＝{x|－1≤x≤0或2≤x≤5}；A∪B＝R.典例解析【举一反三4】已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x∈Z|－1<x<2}，则A∩B等于()A．{x|－1<x≤1}

B．{x|－2<x<2}C．{0，1}

D．{－1，0，1}C【思路点拨】解绝对值不等式找出集合的解集，在数轴上画出解集，数形结合找出集合A∩B，A∪B的解集．【提示】注意元素的取值范围x∈Z.同步精练一、单项选择题1．不等式|2x－3|≥2x－3解集是()A．∅

B.

C.

D．R2.不等式|x|＞3的解集是()A．∅

B．RC．(－3，3)

D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D【提示】将2x－3看成一个数，∵任何一个实数的绝对值大于等于自身，故选D.D【提示】根据绝对值的几何意义做出正确判断，故选D.同步精练3．不等式1－|x－1|≥0的解集是()A．(0，2)

B．(－∞，0]∪(2，＋∞)C．[0，2]

D．(－∞，0]∪[2，＋∞)C【提示】原不等式等价于|x－1|≤1，等价于－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，故选C.同步精练4．不等式组的解集为()A．{x|－1＜x＜1}

B．{x|－2＜x＜0}C．{x|－2＜x＜1或1＜x＜2}

D．∅B【提示】解不等式|x－1|＞1可得x＜0或x＞2；解不等式|x|＜2可得－2＜x＜2.∴不等式组的解集为{x|－2＜x＜0}，故选B.同步精练5．不等式|2x－5|≤1的解集是()A．(2，3)

B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C．R

D．[2，3]6．不等式的解集为()A．{x|－1＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|－1＜x＜1}D．{x|－1≤x≤2}D【提示】不等式|2x－5|≤1等价于－1≤2x－5≤1，解得2≤x≤3，∴不等式的解集为[2，3]，故选D.【提示】分别求解集再求交集得不等式的解集为{x|0＜x＜1}，故选B.B同步精练二、填空题7．不等式|x＋2|≤3的解集可用区间表示为__________．8．不等式|2－x|≥1的解集可用区间表示为____________________．[－5，1]【提示】原不等式等价于－3≤x＋2≤3，解得－5≤x≤1，∴原不等式的解集用区间表示为[－5，1]．【提示】原不等式等价于|x－2|≥1，即x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3.∴原不等式的解集用区间表示为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(－∞，1]∪[3，＋∞)同步精练9．由不等式|2x－1|≤3的整数解组成的集合为__________________．10．由已知集合M＝{x||x＋2|≥1}，N＝{x||x－2|≤1}，则M∩N＝__________.{－1，0，1，2}【提示】不等式|2x－1|≤3等价于－3≤2x－1≤3，即－2≤2x≤4，解得－1≤x≤2，∴答案为{－1，0，1，2}．【提示】∵M＝{x||x＋2|≥1}＝{x|x＋2≤－1或x＋2≥1}＝{x|x≤－3或x≥－1}，N＝{x||x－2|≤1}＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|x≤－3或x≥－1}∩{x|1≤x≤3}＝{x|1≤x≤3}．{x|1≤x≤3}同步精练11．不等式|12－5x|≥0的解集为__________．R【提示】不等式|12－5x|≥0恒成立，∴x∈R.同步精练三、解答题12．解不等式：3＞|4－5x|≥1.解：∵不等式3＞|4－5x|≥1等价于∴不等式的解集是同步精练13．已知不等式|x－a|＜b的解集是{x|－2＜x＜7}，求a和b的值．解：∵不等式|x－a|＜b等价于－b＜x－a＜b，即a－b＜x＜b＋a，∵不等式的解集是{x|－2＜x＜7}，同步精练14．求使式子有意义的x的取值范围．解：要使式子由不等式4－|x|≥0可得|x|≤4，即－4≤x≤4；由不等式|