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文档简介
第七讲不等式
现实生活中充满着不相等的数量关系,可以用不等式来处
理,在初中学习不等式的基础上,对不等式要有进一步的理解,
特别是理解不等式知识的体系,知道在实数范围内研究不等式、
不等式的基础公理,在公理基础上研究不等式的基本性质,从而利
用它们解不等式和证明不等式,解不等式的过程就是不等式不断等
价转化的过程。
在探索各种不等式的解法的过程中,体会不等式、方程和函
数之间的内在联系。在证明不等式的基本性质和简单不等式的过程
中,学习和掌握不等式证明的基本思想方法。有了对不等式的深刻
理解,为进一步学习函数和其它数学知识提供必要的基础,也可
以应用它们来解决一些简单的实际问题。从而也理解不等式
(组)对于刻画不等关系的意义和价值。
不等式的基础是在实数范围内
a>jb=a-b>0,a=jb=a-jb=0,a<jb=a-jb<0,匕是研究不等式的公
理,由此出发要理解和掌握不等式的八条(初中阶段只有三条)
基本性质的来龙去脉。不等式的基本性质是研究不等式的理论依
据,必须深刻理解每一个性质成立的前提条件。证明一个不等式
正确时要找到合理的不等式性质,证明一个不等式错误时只要举
出一个反例或用反证法。
解不等式的过程就是利用不等式的有关性质进行不断等价
转化和化简,最终得到所含未知数的范围,这也是解各种不等式
的基本思想和方法。
初中阶段我们已经学习了一元一次不等式和一元一次不等
式组的解法。高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等
式等知识。本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知
识。
7.1一元二次不等式及其解法
一、核心要点
7.1.1不等式的基本概念
1、不等式:用不等号表示不等关系的式子。
2、不等式的解:对于一个含有未知数的不等式,任何一个
适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
3、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,它的所
有解组成的集合叫做这个不等式的集解。
4、解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式。
7.1.2不等式的基本性质
性质1:不等式两边都加上(或减去)同一个数,不等号的
方向不变。即
如果a>b,那么a+m>b+m;
如果a<b,那么a+m<b+m。
性质2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号
的方向不变。即
如果a〉b,且m〉o,那么am〉bm(或a〉b);
mTn
如果a<b,且m>0,那么am<bm(或'〈g)。
mm
性质3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号
的方向改变。即
如果a>b,且m<0,那么am<bm(理,;
mm
如果a<b,且m<0,那么am>bm(电'之)。
mm
7.1.3一元一次不等式及不等式组
1、概念:只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等
式叫做一元一次不等式,一元一次不等式的一般形式为ax>b。
2、一元一次不等式的解
①当a>0时,x>9;
a
②当a<0时,x<3
a
③当a=0时,若b<0,贝卜为任意实数,若*0,则无解。
3、一元一次不等式组:由几个含有同一个未知数的一元一
次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。不等式组中
所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等
式组的解集的过程叫做解不等式。
4、不等式组的解法:转化为一元一次不等式,求解每个不等
式,得公共部分,即为不等式组的解集。
7.1.4一元二次不等式
1、一元二次不等式:一个整式不等式只含有一个未知数,
并且未知数的最高次数是二次,这样的不等式叫做一元二次不等
式。
2、它的~■般形式是ax2+bx+c〉0或ax2+bx+c<0(aw0)。
3、一元二次不等式的解法
(1)化二次项系数为正;
(2)观测相应的二次函数图像;
对].兀一次不寺式曲^+法+公。或0X2+bx+c<0(a>Q)的解,
可以按照其对应方程aA2+bx+c=0(a>0)的判别式△>()、△=()、A<0
(其中△=核一4双)分为以下三种情况进行讨论。
①当△>()时,函数/(%)=如+法+<?((1>0)的图像与x轴有两个
交点(x,0)和(%,0)。那么由图7-1可得:
12
②当△=0时,函数y(x)=axz+bx+c(a>0)的图像与光轴只有一个
交点(-2,0)(其中x=x=-A)o那么由图7-2可得:
2a122a
③当A<0时,函数/(x)=ox?+bx+c(a>0)的图像与x轴无父点。
那么由图7-3可得:
解(3)原不等式的解是口|3-、,阮<达3+、葩}
44
(4)原不等式的解是一3<%<
4.练1、求下列不等式的解集:
(1)X2-X>X+15(2)4x2-4x+1>0;
解:(1)原不等式的解是{x|x41-丁,或XN1+反}
(2)原不等式的解是{x|x*?
(3)X2+X-6>0;(4)
(x-1)(x+2)>(x-2)(2x+1)o
解(3)原不等式的解是x<-3或x>2.
(4)原不等式的解是xKO或xN4.
7.2简单分式不等式的解法
一、核心要点
7.2.1分式不等式的定义:分母中含有未知数的不等式叫做分式
不等式。
7.2.2简单分式不等式的解法:对简单分式不等式进行等价转
化,转化为整式不等式,应当注意分母不为零.
二、考点突破
例2、解下列不等式:
(1)T<0;(2)x+3:
x+1x2—X+1
分析:⑴类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”
将之化为两个一元一次不等式组处理;或者因为两个数(式)相除
异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化
为整式不等式求解.(2)注意到经过配方法,分母实际上是一
个正数.
解:(1)解法(一)原不等式可化为:
解法(二)原不等式可化为:
3
(2x-3)(x+1)<0=>-1<x<-
2
⑵:X2-x+1=(x」)2+:〉o原不等式可化为:
24
x+3>0=>x>-3
练2、解不等式,43
x+2
解:原不等式可化为:
说明:(1)转化为整式不等式时,一定要先将右端变为0.
(2)本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符
号:
小结练习
1、解下列一元二次不等式
(1)2X2-3X+1<0;⑵-X>3-2X2;
答案:(1)解集为:(1,1)
2
(2)解集为:{x|xw-1,或XN1}
2
⑶x(2x-3)<3-2x-x2;⑷x2+2x+4〉0;
答案:(3)解集为:J-e1+J之)
66
(4)解集为:R
(5)X2-2x+1<0;(6)2x2+X+1<0o
答案(5)解集为:{1}
(6)解集为:》
2、解下列分式不等式:
(1)二<0;⑵HwO;
x+7x+7
(3)H<1
x+7
3.不等式1一2x>。的解集是。
x+1
4.不等式1<2的解集是.
x2--------------------------
总结:归纳分式不等式的解法:
⑴化分式不等式为标准型:
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解如:
拓展:高次不等式的解法解不等式:x2-3x+2<o.
X2-2X-3
7.3含参数的不等式的解法及恒成立问题
一、核心要点
7.3.1含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数,
因此需要对参数的不同取值进行分类讨论而加以求解。一般情况
下,含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下:
(1)对二次项系数含参数的一元二次不等式,要注意对二
次项系数是否为零进行分类讨论,特别地,当二次项系数为零时
可以转化为一元一次不等式来求解;
(2)含参数的一元二次不等式,在其解的情况下不明确的
情况下,需要对其判别式分A〉。、△=()、△<()三种情况加以讨论;
(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其对应方程
的根冷与表示成形如a(x-M(x-x?)的形式时,且两根ox?中含参
数,展卷需要对其根分大〉与'冕/"三种情况进彳?日论,或
借助韦达定理求解。
7.3.2与一元二次不等式有关的逆向问题
给出了一个一元二次不等式的解集,则可知a的符号和
ax2+bx+c=0的两根,由韦达定理可知a,b,c之间的关系。
7.3.3含参数的不等式的恒成立问题
不等式恒成立,则不等式的解集为丹,一元二次不等式
ax2+t)x+c>0(a*0)在R上怛成立的条件是
a>0,ax2+bx+c<0(ah0)在月上恒成立的条件是
A=b2-4ac<0;
二、考点突破
例3、已知m是实常数,解关于x的不等式:m(x+m)>x+10
答案:当m—1〉0时,x>-m-1;
当m-1=0时,不等式无解;
当m-1<0时,x<-m-1;
练3、解关于x的不等式:
⑴4(x+1)〉ax+3;⑵a(x-a)>b(x-b)<>
答案:(1)当a〉4时,x<-L;
a—4
当a=4时,x为一^切实数;
当a<4时,x>——;
a—4
(2)当a〉匕时,x〉a+b;
当a=b时,原不等式无解;
当a<匕时,x<a+b
例4、如果不等式3%2+6x-m<0无解,求m的取值范围。
答案:m<-3
练4、不等式(a-1)X2-(a-1)x-1<0的解为一■切实数,求a的取
值范围。
答案:综上所述:当一3<a«1时,原不等式的解为一切实数。
注意:对二次项系数为零的情况的讨论。
练5、若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为斤,求m的取
值范围。
解:1Wm<9
练6、若关于x的不等式mx2-(m+3)x-120的解集为力,求实
数m的范围。
答案:-9<m<-1
例5、设a为参数,解关于x的一元二次不等式
ax2-(a+1)x+1<0°
解:(1)当a=0时,x>1;
(2)当a/0时,原不等式可化为a(x-J)(x-1)<0。
a
①若a>0,当0<a<1时,1<x<—;当a〉1时,—<x<1°
aa
②若a<0,*〉1或*61。
a
练7、解不等式X2一(a+1)x+a>0。
答案:当a<1时,乂<2或*>1;
当a=1时,xw1;
当a>1时,x<1或x>a。
例6、右不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},求不等式
bxz+2ax-c-3b<0的解集。
答案:解集为:{x|-3<x<5}
练8、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0(aw0)的解集是
{x|x<2,或x>3},求不等式取+ax+c〉0的解集。
答案:{x|x<-1,或x二6}
5
练9、不等式a*+少-2<0的解集为{x|-1<x<2},求a与b的
值。
答案:a=1,b=-1
练10>已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是
{x|x<1,或x>2},求关于乂的不等式ax2-bx+cW0的解集。
2
答案:[-2,4]
2
练11、已矢口关于x的不等式kx2—(k2+1)x-3<0的解为一1<x<3,
求k的值.
分析:对应的一元二次方程的根是一1和3,且对应的二次函
数的图象开口向上.根据一元二次方程根与系数的关系可以求
解.
k>0
।k2*1
解:由题意得:〈_i+3=「nk=1
k
说明:本例也可以根据方程有两根-1和3,用代入法得:
k(-1)2-(k2+1)(—1)-3=0,仁32—3(。2+1)-3=0,且注意k〉o,从而
k=1・
小结练习
练1、求关于x的不等式m2X+2>2mx+m的
解.解:原不等式可化为:m(m-2)x>m-2
(1)当巾-2>0即m〉2时,mx>1,不等式的解为x>」;
m
(2)当p?一2<0即m<2时,mx<1•
①0<m<2时,不等式的解为x<」;
m
②m<0时,不等式的解为x〉」;
m
③m=0时,不等式的解为全体实数.
(3)当m-2=0即m=2时,不等式无解.
综上所述:当m<0或m〉2时,不等式的解为x>1;当0<m<2
m
时,不等式的解为x<1;当m=0时,不等式的解为全体实数;
m
当m=2时,不等式无解.
练2、已知关于x的不等式k2-kx>x+2的解为x>-1,求实
2
数k的值.
分析:将不等式整理成ax〉匕的形式,可以考虑只有当a>0
时,才有形如x>2的解,从而令&=-!•
aa2
解:原不等式可化为:(_k-l)x>-k2+2.
所以依题意:«j°J<-1=k=-3-
练3、已知对于任意实数x,kx2-2x+k恒为正数,求实数k的
取值范围.
解:显然k=0不合题意,于是:
7.4含绝对值的不等式的解法
一、核心要点
x,(x>0)
我们知道,|x|=0,(x=0)它表示实数X在数轴上所对应的点到
-x,(x<0)
原点的距离。因此,求不等式|*|<a2〉0)的解集就是求数轴上到
原点的距离小于a的点所对应的实数x的集合。
7.4.1最简单的含绝对值的不等式的解法
|x|<a(a>0)的解为-a<x<a5
|x|<a(a=0)无解;
Ix|<a(a<0)无解;
|x|>a(a>0)的解为x<-a或x〉a;
|x|>a(a=0)的解为xw0的一切实数;
|x|>a(a<0)的解为一'切实数;
7.4.2较简单的含绝对值的不等式的解法
r1A.……\ax+b>-c
|ax+b|<c(c>0)o_c<ax+Lb<c衿;
ax+b<c
(2)|ax+b|>c(c>0)=ax+b<-c^ax+b>-c;
(3)|x-a|+|x-b|<c(c>0)的解法:
先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值
(称为零点),将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分
成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的
符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含绝对值的不等式去解。这
种方法我们称为零点分段
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