高中数学 初高中衔接教材 第七讲 不等式-人教版高一全册数学教学案

第七讲不等式

现实生活中充满着不相等的数量关系，可以用不等式来处

理，在初中学习不等式的基础上，对不等式要有进一步的理解，

特别是理解不等式知识的体系，知道在实数范围内研究不等式、

不等式的基础公理，在公理基础上研究不等式的基本性质，从而利

用它们解不等式和证明不等式，解不等式的过程就是不等式不断等

价转化的过程。

在探索各种不等式的解法的过程中，体会不等式、方程和函

数之间的内在联系。在证明不等式的基本性质和简单不等式的过程

中，学习和掌握不等式证明的基本思想方法。有了对不等式的深刻

理解，为进一步学习函数和其它数学知识提供必要的基础，也可

以应用它们来解决一些简单的实际问题。从而也理解不等式

（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

不等式的基础是在实数范围内

a>jb=a-b>0,a=jb=a-jb=0,a<jb=a-jb<0，匕是研究不等式的公

理，由此出发要理解和掌握不等式的八条（初中阶段只有三条）

基本性质的来龙去脉。不等式的基本性质是研究不等式的理论依

据，必须深刻理解每一个性质成立的前提条件。证明一个不等式

正确时要找到合理的不等式性质，证明一个不等式错误时只要举

出一个反例或用反证法。

解不等式的过程就是利用不等式的有关性质进行不断等价

转化和化简，最终得到所含未知数的范围，这也是解各种不等式

的基本思想和方法。

初中阶段我们已经学习了一元一次不等式和一元一次不等

式组的解法。高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等

式等知识。本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知

识。

7.1一元二次不等式及其解法

一、核心要点

7.1.1不等式的基本概念

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子。

2、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个

适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所

有解组成的集合叫做这个不等式的集解。

4、解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。

7.1.2不等式的基本性质

性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数，不等号的

方向不变。即

如果a>b，那么a+m>b+m；

如果a<b，那么a+m<b+m。

性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号

的方向不变。即

如果a〉b,且m〉o，那么am〉bm（或a〉b）；

mTn

如果a<b，且m>0，那么am<bm（或'〈g）。

mm

性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号

的方向改变。即

如果a>b，且m<0，那么am<bm（理,;

mm

如果a<b，且m<0，那么am>bm（电'之）。

mm

7.1.3一元一次不等式及不等式组

1、概念：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等

式叫做一元一次不等式，一元一次不等式的一般形式为ax>b。

2、一元一次不等式的解

①当a>0时，x>9；

a

②当a<0时,x<3

a

③当a=0时，若b<0,贝卜为任意实数，若*0,则无解。

3、一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一

次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。不等式组中

所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等

式组的解集的过程叫做解不等式。

4、不等式组的解法：转化为一元一次不等式，求解每个不等

式，得公共部分，即为不等式组的解集。

7.1.4一元二次不等式

1、一元二次不等式：一个整式不等式只含有一个未知数，

并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等

式。

2、它的~■般形式是ax2+bx+c〉0或ax2+bx+c<0(aw0)。

3、一元二次不等式的解法

(1)化二次项系数为正；

(2)观测相应的二次函数图像；

对］.兀一次不寺式曲^+法+公。或0X2+bx+c<0(a>Q)的解，

可以按照其对应方程aA2+bx+c=0(a>0)的判别式△>()、△=()、A<0

(其中△=核一4双)分为以下三种情况进行讨论。

①当△>()时，函数/(%)=如+法+<?((1>0)的图像与x轴有两个

交点(x,0)和(％,0)。那么由图7-1可得：

12

②当△=0时,函数y(x)=axz+bx+c(a>0)的图像与光轴只有一个

交点(-2,0)(其中x=x=-A)o那么由图7-2可得：

2a122a

③当A<0时，函数/(x)=ox?+bx+c(a>0)的图像与x轴无父点。

那么由图7-3可得：

解(3)原不等式的解是口|3-、，阮<达3+、葩｝

44

(4)原不等式的解是一3<%<

4.练1、求下列不等式的解集:

(1)X2-X>X+15(2)4x2-4x+1>0；

解：（1）原不等式的解是｛x|x41-丁，或XN1+反｝

（2）原不等式的解是｛x|x*?

（3）X2+X-6>0；（4）

（x-1）（x+2）>（x-2）（2x+1）o

解（3）原不等式的解是x<-3或x>2.

（4）原不等式的解是xKO或xN4.

7.2简单分式不等式的解法

一、核心要点

7.2.1分式不等式的定义：分母中含有未知数的不等式叫做分式

不等式。

7.2.2简单分式不等式的解法：对简单分式不等式进行等价转

化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.

二、考点突破

例2、解下列不等式：

（1）T<0；（2）x+3:

x+1x2—X+1

分析：⑴类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”

将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数（式）相除

异号，那么这两个数（式）相乘也异号，可将分式不等式直接转化

为整式不等式求解.（2）注意到经过配方法，分母实际上是一

个正数.

解：（1）解法（一）原不等式可化为：

解法（二）原不等式可化为：

3

(2x-3)(x+1)<0=>-1<x<-

2

⑵:X2-x+1=(x」)2+：〉o原不等式可化为：

24

x+3>0=>x>-3

练2、解不等式，43

x+2

解：原不等式可化为：

说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0.

(2)本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符

号：

小结练习

1、解下列一元二次不等式

(1)2X2-3X+1<0；⑵-X>3-2X2;

答案：(1)解集为：(1,1)

2

(2)解集为：{x|xw-1,或XN1}

2

⑶x(2x-3)<3-2x-x2；⑷x2+2x+4〉0；

答案:(3)解集为：J-e1+J之)

66

(4)解集为：R

(5)X2-2x+1<0；(6)2x2+X+1<0o

答案(5)解集为：{1}

(6)解集为：》

2、解下列分式不等式：

(1)二<0；⑵HwO；

x+7x+7

(3)H<1

x+7

3.不等式1一2x>。的解集是。

x+1

4.不等式1<2的解集是.

x2--------------------------

总结：归纳分式不等式的解法：

⑴化分式不等式为标准型：

(2)将分式不等式转化为整式不等式求解如:

拓展：高次不等式的解法解不等式：x2-3x+2<o.

X2-2X-3

7.3含参数的不等式的解法及恒成立问题

一、核心要点

7.3.1含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，

因此需要对参数的不同取值进行分类讨论而加以求解。一般情况

下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：

(1)对二次项系数含参数的一元二次不等式，要注意对二

次项系数是否为零进行分类讨论，特别地，当二次项系数为零时

可以转化为一元一次不等式来求解；

(2)含参数的一元二次不等式，在其解的情况下不明确的

情况下，需要对其判别式分A〉。、△=()、△<()三种情况加以讨论；

(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其对应方程

的根冷与表示成形如a(x-M(x-x?)的形式时，且两根ox?中含参

数，展卷需要对其根分大〉与'冕/"三种情况进彳?日论，或

借助韦达定理求解。

7.3.2与一元二次不等式有关的逆向问题

给出了一个一元二次不等式的解集，则可知a的符号和

ax2+bx+c=0的两根,由韦达定理可知a,b,c之间的关系。

7.3.3含参数的不等式的恒成立问题

不等式恒成立，则不等式的解集为丹，一元二次不等式

ax2+t)x+c>0(a*0)在R上怛成立的条件是

a>0,ax2+bx+c<0(ah0)在月上恒成立的条件是

A=b2-4ac<0;

二、考点突破

例3、已知m是实常数，解关于x的不等式：m(x+m)>x+10

答案：当m—1〉0时，x>-m-1；

当m-1=0时，不等式无解；

当m-1<0时，x<-m-1；

练3、解关于x的不等式：

⑴4(x+1)〉ax+3；⑵a(x-a)>b(x-b)<>

答案：(1)当a〉4时，x<-L；

a—4

当a=4时,x为一^切实数；

当a<4时，x>——；

a—4

(2)当a〉匕时，x〉a+b；

当a=b时，原不等式无解；

当a<匕时，x<a+b

例4、如果不等式3%2+6x-m<0无解，求m的取值范围。

答案：m<-3

练4、不等式(a-1)X2-(a-1)x-1<0的解为一■切实数,求a的取

值范围。

答案：综上所述：当一3<a«1时，原不等式的解为一切实数。

注意：对二次项系数为零的情况的讨论。

练5、若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为斤，求m的取

值范围。

解：1Wm<9

练6、若关于x的不等式mx2-(m+3)x-120的解集为力，求实

数m的范围。

答案：-9<m<-1

例5、设a为参数，解关于x的一元二次不等式

ax2-(a+1)x+1<0°

解：(1)当a=0时，x>1；

(2)当a/0时，原不等式可化为a(x-J)(x-1)<0。

a

①若a>0,当0<a<1时,1<x<—;当a〉1时，—<x<1°

aa

②若a<0，*〉1或*61。

a

练7、解不等式X2一(a+1)x+a>0。

答案：当a<1时,乂<2或*>1；

当a=1时,xw1；

当a>1时，x<1或x>a。

例6、右不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x|-3<x<4｝,求不等式

bxz+2ax-c-3b<0的解集。

答案：解集为：｛x|-3<x<5｝

练8、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0(aw0)的解集是

｛x|x<2,或x>3｝，求不等式取+ax+c〉0的解集。

答案：｛x|x<-1,或x二6｝

5

练9、不等式a*+少-2<0的解集为｛x|-1<x<2｝，求a与b的

值。

答案：a=1,b=-1

练10>已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是

｛x|x<1,或x>2｝，求关于乂的不等式ax2-bx+cW0的解集。

2

答案：[-2,4]

2

练11、已矢口关于x的不等式kx2—(k2+1)x-3<0的解为一1<x<3,

求k的值.

分析：对应的一元二次方程的根是一1和3，且对应的二次函

数的图象开口向上.根据一元二次方程根与系数的关系可以求

解.

k>0

।k2*1

解：由题意得：〈_i+3=「nk=1

k

说明：本例也可以根据方程有两根-1和3,用代入法得：

k(-1)2-(k2+1)(—1)-3=0，仁32—3(。2+1)-3=0,且注意k〉o，从而

k=1・

小结练习

练1、求关于x的不等式m2X+2>2mx+m的

解.解：原不等式可化为：m(m-2)x>m-2

(1)当巾-2>0即m〉2时，mx>1，不等式的解为x>」；

m

(2)当p?一2<0即m<2时，mx<1•

①0<m<2时，不等式的解为x<」；

m

②m<0时，不等式的解为x〉」；

m

③m=0时，不等式的解为全体实数.

(3)当m-2=0即m=2时，不等式无解.

综上所述：当m<0或m〉2时，不等式的解为x>1；当0<m<2

m

时，不等式的解为x<1；当m=0时，不等式的解为全体实数；

m

当m=2时，不等式无解.

练2、已知关于x的不等式k2-kx>x+2的解为x>-1,求实

2

数k的值.

分析：将不等式整理成ax〉匕的形式，可以考虑只有当a>0

时，才有形如x>2的解，从而令&=-!•

aa2

解：原不等式可化为：(_k-l)x>-k2+2.

所以依题意：«j°J<-1=k=-3-

练3、已知对于任意实数x,kx2-2x+k恒为正数，求实数k的

取值范围.

解：显然k=0不合题意，于是:

7.4含绝对值的不等式的解法

一、核心要点

x,(x>0)

我们知道，|x|=0,(x=0)它表示实数X在数轴上所对应的点到

-x,(x<0)

原点的距离。因此，求不等式|*|<a2〉0)的解集就是求数轴上到

原点的距离小于a的点所对应的实数x的集合。

7.4.1最简单的含绝对值的不等式的解法

|x|<a(a>0)的解为-a<x<a5

|x|<a(a=0)无解；

Ix|<a(a<0)无解；

|x|>a(a>0)的解为x<-a或x〉a；

|x|>a(a=0)的解为xw0的一切实数；

|x|>a(a<0)的解为一'切实数；

7.4.2较简单的含绝对值的不等式的解法

r1A.……\ax+b>-c

|ax+b|<c(c>0)o_c<ax+Lb<c衿；

ax+b<c

(2)|ax+b|>c(c>0)=ax+b<-c^ax+b>-c；

(3)|x-a|+|x-b|<c(c>0)的解法：

先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值

(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分

成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的

符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解。这

种方法我们称为零点分段