人教版九年级数学同步学案：第24章 圆 (二)

24.1圆的有关性质

24.1.1圆

「概念课」圆的基本概念

学习目标

□了解圆的两种定义

□了解圆心、直径、半径、弦、弧

视频助学请先思考引导问题，再看视频【圆的基本概念】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是圆？请举几个圆的例子(00:00-03:57)

1.圆是一种很常见的干面用形，生活中可以找到很多包含圆形的

物体，如轮胎、、(举两个视频中未出现过

的例子).

2.圆的第一种定义：在一个平面内，线段Q4绕它固定的一个端点。,另一个端

点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点。叫做,连接圆心与圆上任意一点的

线段叫做.半径一般用字母来表示.

右图中的圆可以表示为.

3.圆的第二种定义：到距离等于的所有的点组成的图形叫做圆.其中定

点指的是，定长指的是.

从这个定义可以看出，圆的所有半径.右图中，。以与

08的数量关系为.

4.如图，A、B是。上的两点，ZAOB=60°,。的半径r=6,求A3.

解：OA=OB=6,NAQ?=60°.

.,.△A03是.

AB=.

B

5.在。中，AB=CD,求证：ZAOC=NBOD.

证明：OA===.

AB=CD.

•GO

..ZAOB^ZCOD.

:.ZAOC=ZBOD.

引导问题2什么是弦？什么是直径？(03:57-05:25)

6.连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过的弦叫做直径.直径一般用字母

来表示.对于同一个圆，直径与半径的数量关系为

7.尝试证明直径是圆中最长的弦.一一~、

证明：OA=OB=({)\

吐—

0A+0BAB、----'

：.d>AB

结论：是圆中最长的弦.

引导问题3什么是圆弧？(05:25-07:23)

8.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧.的弧

叫做劣弧，________的弧叫做优弧.表示劣弧需要用________/、

个点，表示优弧需要用个点.右图中A、B两点之(?I

间的劣弧可以表示为,A、8两点之间的优弧可以葭/

表示为.

9.的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中，能够互相的弧叫做等弧.只有

长度相等的两段弧(一定是/不一定是)等弧.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

24.1.2垂直于弦的直径

「概念课」垂径定理

学习目标

□理解并掌握垂径定理

视频助学请先思考引导问题，再看视频【垂径定理】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是垂径定理？(00:00-03:45)

1.圆是触对称图形，每一条所在的直线都是圆的对称轴.

2.由圆的对称性，可以得到奉骨定理：平分弦，并且平

分.右图中，由ZE必B，可以得到AC=,

.

3.如下图，在。中，直径43_1弦。。于E,下列结论错误的是

(a)CE=DE(b)CE=OE

(c)AD=AC(d)BD=BC

4.到的距离叫做弦心距.右图中，线段A5的弦心

距为线段的长度.

5.平分弦的直径一定垂直弦吗？若不能请你作图举出反例吗？

因此，我们得到垂径定理的推论：______________垂直于弦，并且平分

引导问题2如何使用垂径定理？(03:45-07:53)

6.如右图，△OCD为等腰三角形，底边CD交。于A、8两点，求证：AC^BD.

7.如右图，A3是。的直径，是弦，A3J_8于点E,若A5=10,0E=3,求

CO的长.

8.上图中的OC、CE、。后一起组成了“黄金三角形"，其中OC是,CE是

，OE是.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：

「解题课」用垂径定理算弦长

能力目标

□垂径定理的应用

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【用垂径定理算弦长】讲题.

1.如图，A3是。的直径，弦CD_LAB,垂足为E,若C£>=6,BE=1,求。的

半径.

黄金三角形

找到三角形三边长度

勾股定理

2.已知。的半径为5,弦48=6,弦CD=8,AB//CD,求这两条平行弦AB、CD

的距离.

3.己知。的半径为10,点A为。内一点，且。4=6,过点A作的。的所有弦中,

求弦长的最大值和最小值.

检查梳理看视频【用垂径定理算弦长】，核对拔高练习答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】.

「解题课」弦心距的灵活应用

能力目标

□垂径定理的应用

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【弦心距的灵活应用】讲题.

1.如图，P是。外一点，直线24、PC分别与。交于A、B、C、。四点，PO平

分乙BPD,求证：AB=CD.

攻略

作弦心距

构造黄金三角形

找到三角形三边

勾股定理求解

2.如图，DE为半圆的直径，。为圆心，DE=10,延长DE到A,使得£4=1,直线AC

与半圆交于8、。两点，且NZMC=30°,求弦5c的长.

3.如图，在。内有折线0ABe，点8、C在圆上，点A在。内，其中。4=4,BC=10,

NA=N8=60°,求A3的长.

检查梳理看视频【弦心距的灵活应用】，核对拔高练习答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

24.1.3弧、弦、圆心角

「概念课」弧、弦、圆心角

学习目标

□了解圆心角

□了解弦、弧、圆心角的对应关系

视频助学请先思考引导问题，再看视频【弧、弦、圆心角】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是圆心角？(00:00-01:07)

1.圆具有,它绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形______

2.称为圆心角.右图中，NA、4B、N。中，

是圆心角.

引导问题2圆心角、弧、弦之间有什么关系？(01:07-03:57)

3.①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的_______也相等.右图

中，若ZAO3=Z4'OB',则,AB=.

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，

i

所对的_______也相等.弧的度数是指弧所对的的度数.右

图中，若=则,AB=.

③在回吧里等.中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，所对的和

分别相等.右图中，若43=A'B',则=,AB=

4.如图，A6是。的直径，C、。是。上两点，弦8C=CO=D4,

求/BCD.

解：连接OC、OD

BC=CD=DA

：.ZAOD=ZCOD=Z

/4。8=180°

:.ZAOD^ZCOD=Z

在。中，。4=

：.AAOD,、是等边三角形

ZBCO=ZDCO=°

ZBCD=Z_____+Z______=

5.如图，在。中，弦AB=CO,求证AD=3C.

证明：AB^CD

：.AB=______

:.AD+=BC+

AD=______

：.AD=BC

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

24.1.4圆周角

「概念课」圆周角定理

学习目标

□了解圆周角的概念

□理解并掌握圆周角定理

视频助学请先思考引导问题，再看视频【圆周角定理]，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是圆周角？(00:00-02:17)

1.顶点在________,两边都与圆________的角叫做圆周角.下图中，NABC是圆周角的是

不是的原因为_____________________.

(a)S)(。)A

NBAC称为________所对的圆周角.BC所对的圆心角有[\]

2.如右图,

一个，所对的圆周角有_______个.请你在图中再画出两\/

7/口

-----------

个BC所对的圆周角.因为Q

3.右图中的/ft4c________(是/不是)所对的圆周角，

引导问题2圆周角与圆心角有什么关系？什么是圆周角定理？(02:17-07:40)

4.尝试发现圆周角与圆心角之间的关系.

⑴如右图，当点A在30的延长线上时：

OA=OC.

.•.ZBAC=NOC4.

ZBOC=Z_______+Z_______=2Z_______.

(2)如右图，当点4在图中所示的位置上时:

连结A0并延长交。于点。.

由第一种情况可知,

ZBOD=2Z______,

ZD0C=2Z______.

ZBOC=ZBOD+ZDOC=2Z______+2Z_______=2Z

(3)如右图，当点A在图中所示的位置上时：

连结A0并延长交。于点D.

由第一种情况可知，

ZBOD=2Z______，

ZD(?C=2N______,

：.ZBOC=/BOD-ZDOC=2Z______-2Z_______=2Z_______

综合以上三种情况，可以得到圆周角定理：一条弧所对的等于

它所对的的.如右图，Z1=Z______=卜

5.弧的度数=它所对的度数.圆周角等于它所对弧的度数的

6.如右图，在。中，ZABC=50°,求NAOC./

如右图，A、B、C、D、E是0上五点，且

AB=BC=CD=DE=EA,求NADC.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」圆周角定理的推论

学习目标

□理解并掌握圆周角定理的推论

□掌握圆内接四边形的概念及其结论

视频助学请先思考引导问题，再看视频【圆周角定理的推论】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？(00:00-02:47)

1.推论：或等弧所对的圆周角相等.

如右图，N1=N________=N________=N________,原因是:

如右图，已知AB=CD,则N1=N________

原因是.

2.如图，在。中，弦A6与弦CO相交于点P,NC4B=40。，ZAPD=65°,求N8.

引导问题2圆内接四边形的对角有什么关系？(02:47-04:50)

3.同弦所对的圆周角一定相等吗？请你补全下列计算步骤.

如右图，已知A、B、C、。在圆上，求NA与NC的数量关系.

解：Z_______所对的弧是BCD,Z_________所对的弧是BAO

：.ZA+ZC=°.

结论：圆内接四边形的对角.圆内接四边形是指的四边形.

4.如右图，图中角的相等关系分别为：Zl=Z4,

/=N,N=N

N________=N________.

图中角的互补关系分别为：44。+288=180°,

N________+N________=180°.

引导问题3直径所对的圆周角是多少度？(04:50-08:00)

5.定理：直径所对的圆周角是.如右图，43是。的直径,

则Zl=N_______=Z_______=Z_______=°

6.定理：。的圆周角所对的弦是直径.

7.如图，四边形ABCD内接于。，是。的直径,

BC=CD,NA=30°.

求NABC的度数.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」圆与倒角

能力目标

□利用圆的结论倒角

□倒弧法

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【圆与倒角】讲题.

1.如图，已知是。的直径，点C、。在。上，ZABC=50°,请分别用倒角法与

倒弧法求出NO的度数，并比较哪种方法更简便.

攻略

倒角法：

同弧所对的圆周角

相等

倒弧法：

把已知角转化为弧

的度数

标出所有的弧

再求目标角

2.如图，A3是。的直径，点C、。、E都在。上，若NC=N£)=NE,求NA+N3

的度数.

3.如图，AABC内接于。，乙4=50。，ZABC=60°,

BD是。的直径，BD交AC于点、E,连接。C,求

N8EC的度数.

攻略

倒弧法：

把已知角转化为弧

的度数

标出所有的弧

再求目标角

圆内角=所对两

段弧度数和的•半

圆外角=所对两

段弧度数差的•半

4.如图，MN是半圆。的直径，若NK=20。，ZPMQ=40°,求NMQP的度数.

检查梳理看视频【圆与倒角】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

「解题课」圆中的计算与证明

能力目标

□巧用圆周角定理倒角

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【圆中的计算与证明】讲题.

1.如图，在ZXABC中，AD,8。分别平分N84C和

NABC,延长AO交AABC的外接圆于E,连接BE,

2.如图，AA3C的高AZ＞、BE相交于点H,延长A。交八45。的外接圆于点G,连

接3G.求证：HD=GD.

3.如图，A3为。的直径，点。在。上，延长至点。，使DC=CB,延长Z)A与

。的另一个交点为E,连接AC、CE.若AB=JM,

BC-AC=2,求CE的长.

检查梳理看视频【圆中的计算与证明】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

24.2点和圆、直线和圆的位置关系

2421点和圆的位置关系

「概念课」点和圆的位置关系

学习目标

□了解点和圆的位置关系

□会判断点和圆的位置关系

视频助学请先思考引导问题，再看视频【点和圆的位置关系】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1点和圆有几种位置关系？(00:00-07:06)

1.下表中记录了点和圆的三种位置关系.请将下表补充完整.

(其中d指点到圆心的距离，即PO，「指

圆的半径)

2.靶子的直径是10米，李狗蛋扔出的飞镖距靶心6米，那么飞镖代表的点

和靶子代表的圆的位置关系为,因为.

取值时，点4在。外部，且点B在。的内部?

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」点到圆的距离

能力目标

□求点到圆的最大、最小距离

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【点到圆的距离】讲题.

1.。的半径为5c加，。内点P满足0P=3。%,求。上各点到点尸的最大距离和最

小距离.

攻略

I当A是P。的延

长线与。交点

时.尸A最大

2当A是0P的

延长线与。交点

时，PA最小

2.点P是。外一点，点A是。上任意一点，求AP何时最大，何时最小.

3.点P到。上各点的最大距离为5,最小距离为1,求。的半径.

检查梳理看视频【点到圆的距离】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

「概念课」确定圆的条件

学习目标

□了解确定圆的条件

□过平面上不共线的三点作圆

视频助学请先思考引导问题，再看视频【确定圆的条件】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1根据圆的定义，如何确定一个圆？（00:00-00:49）

1.确定圆最简单的方法是确定和.圆心决定圆的

,半径决定圆的.

引导问题2两点确定一条直线，几个点确定一个圆？（00:49-06:35）

2.已知平面内一点A,请在下图中作出三个经过点A的圆，并观察此时圆心的位置.

A

通过动手操作，我发现，一个点（能/不能）确定一个圆，因为

.因此过一个点可以作个圆.

3.已知平面内两点A、B,请在下图中作出两个同时经过A、B的圆，并观察此时圆心的

位置.（提示：。4=08）

AB

••

通过动手操作，我发现，当已知一个圆经过两点时，圆心一定在这两点的

________________上.但圆心的位置________（能/不能）确定，因为

.因此过两个点可以作个圆.

4.已知平面内三个不去缱的点A、8、C,请在下图中作出一个同时经过A、B、C的圆，

并观察此时圆心的位置.（提示：OA^OB=OC）

AB

••

*

c

通过动手操作，我发现，当已知一个圆经过不外线的三点时，圆心一定在其中任意两点

的垂直平分线上.由于三条垂直平分线,所以圆心的位置________（可以/不可

以）确定，因此只能作出个圆.

结论：确定一个圆.

5.如果三个点都在同一条直线上，这时能确定一个圆吗？请你画图表示，并说明理由.

6.1碗的圆形镜子摔碎了，请你运用在本节课中学到的知识，来帮她画出原本镜子的形

状吧.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」三角形的外接圆

学习目标

□了解三角形的外接圆

□会画出三角形的外接圆

视频助学请先思考引导问题，再看视频【三角形的外接圆】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是三角形的外接圆？(00:00-01:32)

1.请运用在上个视频中学到的知识，尝试在下图中作一个圆，使这个圆通过八43。的三

个顶点.

2.经过八43。的三个可以作一个。，。叫做AMBC的

.反过来说，AA3C是。的.其中，点。是

△ABC三条的交点，它也叫做/XABC的.

引导问题2三角形的外接圆有哪些性质？外心有哪些性质？(01:32-07:06)

BCBC

B

结论：锐角三角形的外心在三角形的,直角三角形的外心是直角三角形

钝角三角形的外心在三角形的.

6.如右图，在AMBC中，AB=AC=10,BC=12,求人钻。的

外接圆的半径.

解：如图所示，作于。

AB=AC

:.BD=DC=LBC=6

2

设八钻。外接圆圆心是。，则。在线段上

连接03、0C,设ZVIBC外接圆半径为厂，则。4==

在用△AB。中，根据勾股定理得：AD=«f-(y=

:.OD^AD-AO=

在HZX08O中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2,即

解得________

.,.△48C外接圆半径是

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」反证法

学习目标

□了解反证法

视频助学请先思考引导问题，再看视频【反证法】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1什么是反证法？（00:00-03:06）

1.使用反证法共分三步：（1）假设结论；（2）通过推理找；（3）根据

得到原结论成立.

2.有一天，果冻老师饿了，路边有两家看起来一样的桂林米粉店，（a）店顾客很多，S）店

没有顾客，你认为更好吃的一家是.因为如果S）店的米粉比（a）店好吃，那应

该3）店人（多/少），与已知条件矛盾.

厂羡味米粉店QL绝嘛米粉店1

foim

俗）

引导问题2反证法在解题中如何应用？(03:06-06:57)

3.已知八48。，求证：NA,ZB,NC中不能有两个角是直角.

证明：假设,不妨设NA=N3=9（）°

ZA+ZB+ZC180°,这与矛盾

“”不成立

ZB,NC中不能有两个角是直角

4.出现矛盾的3种方式：（1）与、、相矛盾；（2）

与相矛盾；（3）推出的结论.请举出一个自相矛盾的

例子：.

5.在八48。中，NB4c是钝角，点。是/XABC的外心，证明：。在/XABC的外部.

证明：假设,则。在八钻。的边上或"台。的内部.

如右图，若。在人钻。的边上，不妨设。在5c上，根据外心

的性质，。4==，所以八43c是_______三/\、

BO

角形，与八46c是钝角三角形矛盾.

如右图，若。在/XABC的内部，则。4==xk

.-.Zl=z__,Z4=Z___,Z2=Z____

设Nl=N3=a,N4=N6=尸,N2=N5=y

ZABC+ZACB+ABAC=_°

:.a^(3+y=°

/.ABAC=a+y(>/</=)90°,与矛盾.

综上所述，.

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

24.2.2直线和圆的位置关系

「概念课」直线和圆的位置关系

学习目标

□了解直线和圆的位置关系

□会判断直线和圆的位置关系

视频助学请先思考引导问题，再看视频【直线和圆的位置关系】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1直线和圆有几种位置关系？(00:00-07:02)

1.直线和圆时，称直线和圆相当；直线和圆时，称直线和圆相

切,这条直线叫做圆的，这个唯一的公共点叫做；直线和圆________

时，称直线和圆祖容，这条直线叫做圆的.

下表中记录了直线和圆的三种位置关系.请将下表补充完整.

2.如图，NAO8=30。，点P在03上，OP=5,以P为圆心，/•为半径作P,分别

在下列条件下判断直线。4与P的位置关系.(1)r=2

(2)r=2.5(3)r-3

解:d=PH=-OP=

2

(1)d直线。4和P

(2)d直线。4和P

(3)d.•.直线。4和P

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」切线的判定定理和性质定理

学习目标

□理解并掌握切线的判定定理

□理解并掌握切线的性质定理

视频助学1请先思考引导问题，再看视频【切线的判定定理】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1如何判定一条直线是圆的切线？(00:00-03:14)

1.切线的判定定理：经过并且________________的

直线是圆的切线.其中半径的外端指的是半径与圆的.

下图中，不是。的切线的是.不是的理由为

⑷S)(c)

2.切线的判定方法共有三种：

(1)切线的定义：当直线与圆________________时，称直线与

圆相切.

(2)切线的判定定理：当_________________等于时，

直线与圆相切.

(3)切线的判定定理：经过并且

的直线是圆的切线.

引导问题2切线的判定定理该如何使用？(03:14-06:51)

3.定理的作用：证明直线是圆的.

第一步：找;

第二步：连;

第三步：证.

(友情提醒：此秘籍仅供记忆.)

4.如右图，在△A3C中，BA=BC,以A3为直径作0,交AC于点。，过点。作

DE1BC,垂足为点E.求证：DE为。的切线.

证明：连接O。、BD.

AB是。的直径，

：.ZBDA=°.

又BA=BC,

AD—.

又,

ODHBC.

又DELBC,

;.DE为。的切线.

视频助学2请先思考引导问题，再看视频【切线的性质定理】，然后完成引导问题下方的摘要填空.

引导问题1圆的切线有哪些性质？(00:00-03:40)

切线的性质定理：圆的切线垂直于.

尝试证明此定理:

如右图，。4是。的半径，直线/是。的切线,切点为A,

证明：/_L04.

证明：使用反证法.

假设结论不成立一假设/与。4

推理找矛盾如何证明下面这个结论呢?—看圆心到直线的距离和半径的大小关系

即.和.的大小关系

根据矛盾得到直线/与OOBOA

原结论成立与/是切线矛盾

l±OA

引导问题2切线的性质定理该如何使用？(03:40-05:52)

2.第一步：找

第二步：连.

第三步：得.

(友情提醒：此秘籍仅供记忆)

3.如图，A3与。切于点C,OA=OB,。的直径为8,AB=10,求。4的长.

证明：连接OC.

A3切。于点C,

OA=OB,

/.AC=—x

2

。的直径为8,

OC=・

在心△O4C中，根据勾股定理得=/(—>+(__)2=

引导问题3切线的性质定理与判定定理有什么联系和区别？(05:52-06:50)

性质定理判定定理

条件中已知切线问题中已知切线

找切线找切点

连半径连半径

得垂直证垂直

是。0的切线■■110A

.,.11OA.・”是。。的切线

切线->垂直垂直一切线

线上练习完成视频后相应的【专项练习】

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」切线的综合应用（上）

能力目标

□将切线转化为垂直

□利用切线进行计算

拔高练习不看视频先试试！做完再看视频【切线的综合应用（上）】讲题.

己知：如图，A6是。的直径，4c是弦，直线EE是

过点C的切线，AD于点O.求证:

ABACACAD.

攻略：

切线

连半径

得垂直

2.如图，在ZX/LBC中，AB^AC,以AC为直径作。交BC于前D.过点。作。的

切线，交A3于点E,交C4的延长线于点厂.求证：FE±AB.

EB

3.如图，AB是。的直径，过点B作。的切线8W,弦CO//BM交A5于点产，且

DA=DC,连接AC、AD,延长AD交8M于点E.（1）

M

求证：AADC是等边三角形；（2）连接OE,若DE=2,求E

OE的长.

检查梳理看视频【切线的综合应用（上）】，核对拔高练习标准答案并订正，最后完整梳理一遍解题过

程.

线上练习完成视频后相应的【专项练习工

「解题课」切线的综合应用（下）

能力目标

□利