广西大学附中2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）

广西大学附中2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图

形的是（）

2.的半径为4cm,点P到圆心。的距离为5CM,点P与的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.无法确定

3.下列说法中，正确的是（）

A.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是必然事件

B.打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件

C.明天会下雨是不可能事件

D.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖

4.在平面直角坐标系中，将二次函数y二X2的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单

位，平移后的解析式是（）

A.y=（x+2）2+2B.y=（x+2）2-2C.y=（x-2）2+2D.y=（x-2）2-2

5.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种

颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位

置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率

424

6.如图，A8是。。的直径，弦垂足为下列结论不成立的是（）

A.CM=DMB.CB=DBC.ZACD=ZADCD.OM=BM

7.某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元，已知第一季度的总营业额共218万元，如

果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为（）

A.50（1+x）2=218

B.50+50（l+x）+50（1+x）2=218

C.50（1+2%）=218

D.50+50（l+x）+50（l+2x）=218

8.若关于x的一元二次方程x2+4x+,〃=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A.m>-4B.m>4C.-4D.m<4

9.我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十

五步有木，问出南门几何步而见木？”大意是：今有正方形小城ABC。的边长BC为200

步，如图，各边中点分别开一城门，走东门E15步外有树Q.问出南门尸多少步能见到

树。（即求点尸到点尸的距离）（注：步古代的计量单位）答（）

A.366二步B.466二步C.566二步D.666二步

3333

10.如图，以正方形ABC。的AB边为直径作半圆。过点C作直线切半圆于点凡交边

于点E,若△（?£）《的周长为12,则线段AE的长为（）

22

11.一次函数y=ax+6（。#0）与二次函数y=ax2+bx（a/0）在同一平面直角坐标系中的

图象可能是（）

12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-8,0）,点C的坐标为（0,6）,将

矩形048c绕。按顺时针方向旋转a度得到OA'B'C',此时直线04'、直线B'C

分别与直线BC相交于点P、Q.当45°<aW90°,且BP=/8。时，线段PQ的长是

()

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

13.在平面直角坐标系中，点P（-3,1）关于坐标原点中心对称的点P'的坐标是

14.如图,A8是圆。的直径,C、。两点在圆上，NCAB=20°,则NAOC的度数等于

15.圆锥的底面半径为5cm,它的侧面展开图扇形的半径为\5crn,则这个扇形的圆心角为

度.

16.已知”是方程x2-2x-1=0的两根，则汴-的值为.

17.如图：正方形OGFE的边EF在aABC边2C上，顶点£＞、G分别在边AB、AC上，AH

L8C于H,交。G于P,已知8c=48,AH=16,那么S正方形DGEF=.

A

18.设。为坐标原点，点A、8为抛物线丫=炉上的两个动点，且O4_LOB.连接点4、B,

过O作OCLAB于点C,则点C到y轴距离的最大值为.

三.解答题（共8小题，共66分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（6分）计算：-32+/（1-2）X3-|-6|.

20.（6分）解方程：3x7=0.

21.(8分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐

标系中，△ABC的三个顶点A(5,2),B(5,5),C(1,1)均在格点上.

(1)画出AABC向左平移5个单位后的图形△AiBCi，并写出点的坐标.

(2)画出△ASG绕Ci顺时针旋转90°后的图形△42&G，并写出4点的坐标.

(3)在(2)的条件下，求A到上所经过的路径长.

22.(8分)“垃圾分类，从我做起”，为改善群众生活环境，促进资源循环，提升全民文

明素养，垃圾分类已经在全国各地开展.垃圾一般可分为可回收物、厨余垃圾、有害垃

圾、其它垃圾四类，我们把以上对应类别的垃圾桶分别依次记为A,B,C,D.甲拿了

一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶4,B,C,D.

(1)直接写出甲扔对垃圾的概率；

(2)请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率.

23.(8分)如图，正三角形、正方形、正六边形等正〃边形与圆的形状有差异，我们将正

〃边形与圆的接近程度称为“接近度”.

(1)角的“接近度”定义：设正”边形的每个内角的度数为〃,将正"边形的"接近

度”定义为1180-刑.于是，|180-川越小,该正〃边形就越接近于圆，

①若〃=3,则该正〃边形的“接近度”等于.

②若〃=20,则该正〃边形的“接近度”等于.

③当“接近度”等于,时，正〃边形就成了圆.

(2)边的“接近度”定义：设一个正〃边形的外接圆的半径为R,正"边形的中心到各

边的距离为d,将正n边形的“接近度”定义为|4-1I.分别计算〃=3,〃=6时边的

“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正〃边形就成了圆？

24.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进货价,

经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据

如下表：

售价x（元/件）606570

销售量y（件）140013001200

（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）

（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何

给这种衬衫定价？

（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%,设销售这种衬衫每月

的总利润为卬（元），求卬与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润

是多少？

25.如图，以的直角边BC为直径作。。，交斜边EC于点4,ACBC于点D,

点厂是8E的中点，连接CF与A。相交于点G,延长A尸与CB的延长线相交于点P.

（1）求证：PA是。。的切线；

（2）求证：点G为A。的中点；

（3）若2FG=EB,且。。的半径长为3,求BO的长度.

26.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-/+6x+c交x轴于A,8两点（A在B

左侧），交y轴于点C,且。C=OB=3,对称轴/交抛物线于点。，交x轴于点G.

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）如图2,过点C作CHLOG于H,在射线HG上有一动点M（不与〃重合），连

接MC,将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN,连接DN,在点M的运动过程中，粤

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；

(3)如图3,将抛物线y=+嬴+c向右平移后交直线/于点芯，交原抛物线于点。且

点Q在第一象限，过点。作QP_Lx轴于点P,设点。的横坐标为机，问：在原抛物线y

=-N+6x+c上是否存在点凡使得以P,Q,E,尸为顶点的四边形是平行四边形？若存

在，求出机的值；若不存在，说明理由.

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图

【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的

图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

解：选项A、B、。都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图

形重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是

中心对称图形，

故选：C.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对

称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自

身重合.

2.的半径为4cm,点P到圆心。的距离为5CTO,点P与。。的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.无法确定

【分析】根据点在圆上，则〃=「：点在圆外，点在圆内，即点到圆心的距

离，r即圆的半径）.

解：\'OP=5>4,

.♦.点P与。。的位置关系是点在圆外.

故选：C.

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等

价关系是解决问题的关键.

3.下列说法中，正确的是（）

A.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是必然事件

B.打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件

C.明天会下雨是不可能事件

D.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖

【分析】根据随机事件，概率的意义，概率公式，逐一判断即可解答.

解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故A不符合题意；

8、打开电视机，正在播放广告这一事件是随机事件，故B符合题意；

C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；

D、“彩票中奖的概率为1%”表示买彩票中奖的可能性是10%,故。不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了随机事件，概率的意义，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题

的关键.

4.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单

位，平移后的解析式是（）

A.尸（x+2）2+2B.>>=（x+2）2-2C.y=（x-2）2+2D.尸（x-2）2-2

【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案.

解：将二次函数的图象向向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线

的解析式是y=（x+2）2-2,

故选：B.

【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：“左加右减，上加下

减”，并用规律求函数解析式.

5.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种

颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位

置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率

是（)

424

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

①符合条件的情况数目；

②全部情况的总数.

二者的比值就是其发生的概率的大小.

解：：转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，

指针指向白色区域的概率是手=5，

42

故选:B.

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有〃种可能，而且这

些事件的可能性相同，其中事件A出现巾种结果，那么事件A的概率P(A)=也.

n

6.如图，A8是。0的直径，弦CZ)_L4B,垂足为下列结论不成立的是()

A.CM=DMB.CB=DBC.ZACD=ZADCD.OM=BM

【分析】先根据垂径定理得CM=DM,CB=DB，AC=AD-再根据圆周角定理得到NAC。

=/A£»C,而0M与8M的关系不能判断.

解：是。。的直径，弦CQ_LA8,

：.CM=DM,筋=俞，

，ZACD=ZADC.

故选：D.

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也

考查了圆周角定理.

7.某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元，已知第一季度的总营业额共218万元，如

果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为()

A.50(1+x)2=218

B.50+50(1+x)+50(1+x)2=218

C.50(1+2%)=218

D.50+50(1+x)+50(l+2x)=218

【分析】先得到二月份和三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业

额+三月份的营业额=218万元，把相关数值代入即可.

解：：一月份的营业额为50万元，平均每月增长率为x,

二月份的营业额为50(1+x),

三月份的营业额为50(1+x)(1+x)=50(1+x)2,

,可列方程为50+50(1+x)50(1+x)2=218,

故选：B.

【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，掌握此问题的

一般形式为“a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量，。为终止时间的有关数量”是解

决问题的关键.

8.若关于x的一元二次方程/+以+帆=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()

A.m>-4B./n>4C.mW-4D.fti<4

【分析】根据判别式的意义得到A=42-4m>0,然后解不等式即可.

解：根据题意得△=4?-4,”>0,

解得m<4.

故选：D.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+%x+c=0(aWO)的根与A-4ac

有如下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

9.我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十

五步有木，问出南门几何步而见木？”大意是：今有正方形小城ABCQ的边长BC为200

步，如图，各边中点分别开一城门，走东门口5步外有树。.问出南门F多少步能见到

树。(即求点尸到点P的距离)(注：步古代的计量单位)答()

.41---1----,D

十7。

甲

p

9oo9

A.366工步B.466三步C.566工步D.666三步

3333

【分析】证明△CP/saQCE,利用相似三角形的性质得昙=罂，然后利用比例性

10015

质可求出CK的长.

解：CE=100,CF=100,EQ=15,

■:QE//CF,

：.ZPCF=ZQ,

而/PFC=NQEC,

:.丛PCFs/\CQE,

,PF=CF

••瓦一代

国二3，

10015

9

：.PF=666—（步）；

3

答：出南门尸666得步能见到树Q,

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相

似三角形对应边的比相等的性质求得结论.

10.如图，以正方形4BC。的AB边为直径作半圆。过点C作直线切半圆于点尸，交A。边

于点E,若△CDE的周长为12,则线段AE的长为（）

ED

31

A.1B.2C.—D.—

22

【分析】设正方形ABC。的边长为如AE=xf则AQ=CQ=C8=m,先证明是。。

的切线，因为CE与。0相切于点F,所以FE=AE=x,CF=CB=m,即可由△CQE的

周长为12列方程〃lx+w+x+加=12,得〃2=4,再根据勾股定理列方程(4-X)2+42=(4+X)

2,解方程求出x的值即可.

解：•・•四边形48CO是正方形，

:・AD=CD=CB,ZA=ZD=90°,

设正方形A8CD的边长为〃2,AE=x,则AO=CQ=CB=/%,

TA。经过。。的半径04的外端，且4£>_LOA,

・・・AO是O。的切线，

・・・CE与。。相切于点F,

FE=AE=x,CF=CB=m,

•；DE+CE+CD=12,

:.m-x+ni+x+m=12,

VDE2+CD2=C£2,

・'.(4-x)2+42=(4+x)2,

Ax=l,

・・・线段AE的长为1,

故选：A.

【点评】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理

等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形ABCD的边长是解题的关键.

11.一次函数y=ax+b(aWO)与二次函数y=ax2+bx(〃W0)在同一平面直角坐标系中的

图象可能是()

【分析】根据二次函数丫=苏+以与一次函数y="+6（aW0）可以求得它们的交点坐标,

从而可以判断哪个选项是正确的.

2

解：y=ax+bx

y=ax+b

解得，x=7或.

y=0ly=a+b

故二次函数>=4f+法与一次函数）,=公+6（a^O）在同一平面直角坐标系中的交点在x

轴上或点（1,a+b）.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一

次函数图象的特点.

12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-8,0）,点C的坐标为（0,6）,将

矩形0A8C绕。按顺时针方向旋转a度得到OA'B'C',此时直线。4'、直线夕C

分别与直线BC相交于点尸、Q.当45°<aW90°,且时，线段PQ的长是

【分析】过点。作于H,连接OQ,构造直角三角形，运用勾股定理求得PC

的长，进一步求得线段8P的长度.

解:V45°<aW90°,

...点P在点B的右侧.如图，过点。作于H,连接。。，则QH=OC'=0C.

"：S^POQ=^PQ-OC,S&POQ=^OP-QH,

：.PQ=OP.

设BP=x,

'：BP=^BQ,

.\BQ=2x.

则OP=PQ=BQ-BP=x,PC=8—元.

在RtZkPCO中，根据勾股定理知，PC2+OC2=OP2,即（8-x）2+62=X2,

解得、=尊.

4

9R

：.PQ=BP=^-.

故选：B.

【点评】此题考查了坐标与图形的变化——旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线

段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

13.在平面直角坐标系中，点尸（-3,1）关于坐标原点中心对称的点P'的坐标是（3,

-1）.

【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特征解决此题.

解：根据关于原点对称的点的坐标的特征，得点P（-3,1）关于坐标原点中心对称的

点P'的坐标是（3,-1）.

故答案为：（3,-1）.

【点评】本题主要考查关于原点对称的点的坐标的特征，熟练掌握关于原点对称的点的

坐标的特征是解决本题的关键.

14.如图，AB是圆0的直径，C、D两点在圆上，/C4B=20°,则NADC的度数等于

110°

D

【分析】连接BC,A8为OO直径，NACB=90°,求出NB的度数，然后根据圆内接四

边形的性质求出NADC的度数.

解：连接BC.

为。。直径，

/.ZACB=90°,

'：ZCAB=20°,

AZB=90°-20°=70°,

在圆内接四边形A8CQ中，

/AOC=180°-70°=110°.

故答案为：110°.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，作出辅助线是解题的关键.

15.圆锥的底面半径为5cm,它的侧面展开图扇形的半径为15cro,则这个扇形的圆心角为

120度.

【分析】先计算出圆锥的底面圆的周长=2n・5=10m再根据圆锥的侧面展开图为扇形，

扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长得到弧长为IOTT,半径

为15,然后利用弧长公式得到关于"的方程，解方程即可.

解：：底面半径为5cm,

，圆锥的底面圆的周长=2TT・5=IOTT,

设圆心角力〃度，

n兀X15

・・・10n=

180

.*./?=120.

故答案为：120.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面

圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；也考查扇形的弧长公式：/=畸1(〃为扇形的

圆心角，/•为半径).

16.已知他，〃是方程/-2x-1=0的两根，则加2-加+〃的值为3.

【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到“2-2m-1=0,"?+〃=2,

22

即〃於-2m=lfm-m-n变形为m-2m+(m+n),然后利用整体代入的方法计算即可.

解：,・加，〃是方程N-2%-1=0的两根，

ni2-2m-1=0,m+〃=2,

/.m2-2/?2=1,

Azn2-in-n=ni2-(m+〃)=1+2=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若芍，初是一元二次方程以2+bx+c=0(a#0)的

两根时，Xl+X2=--%1-X2=-.也考查了一元二次方程解的定义.

ata

17.如图：正方形OGFE的边EF在△ABC边3c上，顶点。、G分别在边AB、AC上，AH

LBC于“，交DG于P,已知BC=48,AH=\6,那么S正方形DGEF=」£_.

【分析】根据。G〃BC得出△AOGS/\ABC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似

比，列方程求出正方形的边长，则可得出答案.

解：设正方形。GEF的边长为x.

由正方形QEFG得，DG//EF,BPDG//BC,

；AH_LBC,

：.AP1DG.

♦：DG〃BC,

：.AADG^AABC,

.DGAP

BCAH

•；PH_LBC,DELBC,

:・PH=ED,AP=AH-PH,

日nDG一AH-PH

CBAH

由2C=48,AH=16,DE=DG=x,

解得x=12.

正方形DEFG的边长是12,

•IS正方形DGEF=DE2=122=144-

故答案为144.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质.解题的关键是由平行线

得到相似三角形，利用相似三角形的性质列出方程.

18.设0为坐标原点，点A、B为抛物线了=工2上的两个动点，且0AJ_08.连接点A、B,

过0作OCYAB于点C,则点C到y轴距离的最大值为

【分析】分别作AE、8尸垂直于x轴于点E、F,设OE=a,OF=b,由抛物线解析式可

得AE=/,BF=h2,作AHLBH于H,交y轴于点G,连接AB交y轴于点D,设点。

(0,m),易证△AOGs/\ABH,所以理•=旭，即二兽丁=_9_.可得m=ab.再

22

BHAHb_aa+b

2

证明△AEOS/\OFB,所以勇•=《§,即且一=丹，可得必=1.即得点。为定点，坐

OFBFbb2

标为(0,1),得00=1.进而可推出点C是在以。。为直径的圆上运动，则当点C到

y轴距离为此圆的直径的一半，即•时最大.

解：如图，分别作AE、垂直于x轴于点E、F,

设0E=mOF—b,由抛物线解析式为y=/,

则AE=/,BF=b2,

作于H,交y轴于点G,连接A2交)，轴于点。，

设点。(0,m),

*：DG〃BH,

：.△AOGS^AB”，

・DG_=AG即irra'_a

-，_

**BHAH'b2_a27^b'

化简得：〃?=48.

VZAOB=90°,

••,NA0E+N8。尸=90°,

又NAOE+NEAO=90°,

；・NBOF=NEAO,

又NAEO=NBb。=90°,

/\AEO^/\OFB.

.AE=EO

••丽―丽’

即上居，

bb‘

化简得ab=\.

则m=H=1,说明直线A3过定点。，。点坐标为（0,1）.

VZDCO=90°,DO=\,

・・・点。是在以。。为直径的圆上运动，

...当点C到y轴距离为■时，点C到y轴的距离最大.

图1

【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周

角定理，此题难度较大，关键是要找出点。为定点，确定出点c的轨迹为一段优弧，再

求最值.

三.解答题(共8小题，共66分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(6分)计算:-32-?-|H-(1-2)X3-|-6|.

【分析】先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘除法，最后算加减法即可.

解：-32—+(1-2)X3-|-6|

2

=-9X—F(-1)X3-6

3

=-6+(-3)+(-6)

=-15.

【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

20.(6分)解方程：『-3X-5=0.

【分析】根据公式法即可求出答案.

解：Vx2-3x-5=0,

Ad=l,b=-3,c=-5,

•••△=9-4X(-5)=29>0,

.r-3±V29

-2

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属

于基础题型.

21.(8分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐

标系中，AABC的三个顶点A(5,2),B(5,5),C(1,1)均在格点上.

(1)画出△ABC向左平移5个单位后的图形△4BC1，并写出Ai点的坐标.

(2)画出绕Ci顺时针旋转90°后的图形△4历。，并写出点的坐标.

(3)在(2)的条件下，求Ai到A2所经过的路径长.

【分析】（1）利用平移的性质，找到点Ai、Bi、Ci，依次连接即可;

（2）根据旋转的性质，分别作出点82、C2；

（3）利用弧长公式计算即可.

解：（1）如图△AiBCi即为所求，A,（0,2）；

（2）如图282cl即为所求，&（-3,-3）；

（3）由勾股定理得：4G=3+12=后,

；.A1到A2所经过的路径长为冢兀后=0不兀.

1802

【点评】本题考查作图-旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌

握平移、旋转变换的性质，属于中考常考题型.

22.（8分）“垃圾分类，从我做起”，为改善群众生活环境，促进资源循环，提升全民文

明素养，垃圾分类已经在全国各地开展.垃圾一般可分为可回收物、厨余垃圾、有害垃

圾、其它垃圾四类，我们把以上对应类别的垃圾桶分别依次记为A,B,C,D.甲拿了

一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并排的4个垃圾桶4,B,C,D.

（1）直接写出甲扔对垃圾的概率；

（2）请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式求解；

（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲、乙两人同时扔对垃圾的结果数,

然后根据概率公式求解.

解：（1）甲扔对垃圾的概率为《；

4

（2）画树状图为：

乙ABcDABCDABCDABCD

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人同时扔对垃圾的概率=±.

16

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求

出明再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件4或事件

8的概率.

23.（8分）如图，正三角形、正方形、正六边形等正〃边形与圆的形状有差异，我们将正

〃边形与圆的接近程度称为“接近度”.

（1）角的''接近度"定义：设正〃边形的每个内角的度数为机。，将正〃边形的“接近

度”定义为1180-〃（于是，|180川越小，该正〃边形就越接近于圆，

①若〃=3,则该正〃边形的“接近度”等于120.

②若”=20,则该正〃边形的“接近度”等于18.

③当“接近度”等于0.时，正"边形就成了圆.

（2）边的“接近度”定义：设一个正〃边形的外接圆的半径为凡正”边形的中心到各

边的距离为d,将正〃边形的“接近度”定义为|.分别计算〃=3,〃=6时边的

“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正“边形就成了圆？

【分析】解答本题从正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直

角三角形入手分析，求解即可

解：(1)①120②18③0；

(2)当〃=3时，

VZCAB=60°,

：.ZOAD=30°,

/.sinZOAD=—=—,

r2

/.1--1I△

'R12

当〃=6时，

VZCAD=120°,

：.ZOAD=60°,

：.sinZOAD=—=^-,

r2

二中1|=尊；

当边的“接近度”等于0时，正〃边形就成了圆.

QC

1/0\\

D

【点评】此题考查了正多边形与其外接圆的关系.解此题的关键是注意数形结合思想的

应用.

24.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进货价,

经市场调查，每月的销售量），（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据

如下表:

售价x（元/件）606570

销售量y(件)1400130()1200

(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)

(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何

给这种衬衫定价？

(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%,设销售这种衬衫每月

的总利润为卬(元)，求w与x之间的函数关系式，x为多少时，卬有最大值，最大利润

是多少？

【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式：

(2)根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户

最大优惠；

(3)根据题意，可以得到卬与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到

售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少.

解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=区+乩

(60k+b=1400

165k+b=1300,

解得,(k=-2°,

lb=2600

即y与x之间的函数表达式是y=-20^+2600；

(2)(x-50)(-20x+2600)=24000,

解得，xi=70,X2=110,

•••尽量给客户优惠，

.•.这种衬衫定价为70元；

(3)由题意可得,

w=(x-50)(-20x+2600),

=-20/+3600*-130000,

卬=-20(x-90)2+32000,

•.•该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%,每件售价不低于进货价,

.rx>5o

*'l(x-50)+50450%’

解得，50WxW75,

\*a=-20<0,抛物线开口向下,

.•.当x=75时，w取得最大值，此时w=27500,

答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元.

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意,

利用二次函数的性质和方程的知识解答.

25.如图，以的直角边8c为直径作G）。，交斜边EC于点A,于点£>,

点尸是BE的中点，连接CF与AO相交于点G,延长A尸与CB的延长线相交于点P.

（1）求证：PA是。。的切线；

（2）求证：点G为AO的中点；

（3）若2FG=EB,且。。的半径长为3,求8。的长度.

【分析】（1）要证P4是。。的切线，就要证明/幺。=90°,连接A。，AB,根据N

EBO=90°,和直角三角形的等量代换，就可得出结论；

（2）根据切线判定知道EBLBC,而ADLBC,从而可以确定AD//BE,那么△BFCs

△DGC,又点尸是欧的中点，就可得出结论；

（3）点尸作于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可

以求出BD的长度.

解：（1）证明：如图，连接AO,AB,

:BC是OO的直径,

AZBAC=90°,

在RtZ\84E中，尸是斜边BE的中点,

:.AF=FB=EF,

：.ZFBA=ZFAB,

又；0A=OB,

ZABO^ZBAO,

；NEBO=90°,

ZEBO=ZFBA+ZABO=ZFAB+ZBAO=NE4O=90°,

是OO的切线；

(2)证明：WC是。。的直径，ZEBO=90°,

：.EB±BC.BE是OO的切线

又

:.AD〃BE,

:ABFCSADGC,AFECS^GAC,

.BFCFEFCF

••丽而AG"CG'

.BFEF

**DG'AG'

是斜边BE的中点，

:.BF=EF,

：.DG=AG,

...点G为4。的中点；

(3)解：过点尸作F”_LA£＞于点H,如图，

,:BDLAD,FHLAD,

：.FH//BC.

由(2)知，NFBA=NBAF,

：.BF=AF.

由已知，有2/G=EB,点尸是BE的中点，

:.BF=FG,

：.AF=FGf即aAFG是等腰三角形.

・；FH_LAD,

:・AH=GH,

9

：DG=AGf

：.DG=2HGf

即跑」

DG2

■:FH//BD,BF//AD,NFBD=90°,

二四边形尸是矩形，BD=FH,

'：FH//BC,

:.丛HFGS/\DCG,

.FH_FG_HG_1

•⑤而而巧，

；O。的半径长为3,

:.BC=6.

.BD二BD=BD二1

"CD"BC-BD=6-BD"2'

解得BD=2.

：.BD=2.

【点评】本题考查的是切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性

质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证

垂直即可

26.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+〃