2025版新教材高中数学单元素养测评卷三第三章函数的概念与性质新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1单元素养测评卷(三)函数的概念与性质一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝2－xC．y＝x3＋xD．y＝－x2＋82．[2024·山东临沂一中高一月考]函数f(x)＝eq\f(1,\r(x－2))－(x－3)0的定义域是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(2，3)∪(3，＋∞)D．[3，＋∞)3．下列各组函数表示相同函数的是()A．f(x)＝eq\r(x2)和g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝1和g(x)＝x0C．f(x)＝|x|和g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,－x，x<0))D．f(x)＝x＋1和g(x)＝eq\f(x2－1,x－1)4．向高为H的水瓶内注水，始终到注满为止，假如注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形态大致是()5．下图是函数y＝f(x)的图象，f(6)的值为()A.3B．4C．5D．66．使幂函数y＝xα为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数的α值为()A．－1B．－eq\f(2,3)C．－eq\f(1,2)D．27．某电影票单价30元，相关实惠政策如下：①团购10张票，享受9折实惠；②团购30张票，享受8折实惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种实惠政策，现须要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为()A．1180元B．1230元C．1250元D．1152元8．[2024·河北张家口高一期末]设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)<0的解集是()A．{x|0<x<2}B．{x|x<－2或x>2}C．{x|x>2}D．{x|－2<x<0或0<x<2}二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．[2024·广东湛江高一期末]下列函数中，在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞)的是()A．y＝xeq\f(1,2)B．y＝x2－2x＋1C．y＝eq\f(3,x)D．y＝x310．下列函数中，满意f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|2x|B．f(x)＝xC．f(x)＝eq\r(x)D．f(x)＝eq\f(1,x)11．设函数f(x)、g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()A．f(x)·g(x)是奇函数B．|f(x)|·g(x)是偶函数C．f(x)·|g(x)|是偶函数D．|f(x)·g(x)|是奇函数12．给定函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则下列错误的说法是()A．M(2)＝3B．∀x≥1，M(x)≥2C．M(x)有最大值D．M(x)最小值为0三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．[2024·广东茂名高一期末]我国闻名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学学习和探讨中，常用函数的图象来探讨函数的性质．请写出一个在(0，＋∞)上单调递增且图象关于y轴对称的函数：________．14．[2024·湖南岳阳高一期末]若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x≥0,x＋2，x<0))，则f(f(－1))＝________．15．[2024·清华附中高一期末]已知x∈[－3，－1]，则函数y＝x＋eq\f(4,x)＋2的最大值为________，最小值为________．16．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)[2024·湖南新化高一期末]已知函数f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2).(1)求f(x)的定义域和f(－3)的值；(2)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)把函数y＝f(x)的解析式写成分段函数的形式；(2)在坐标系中画出y＝f(x)的图象．19．(本小题满分12分)[2024·山东枣庄高一期末]已知函数f(x)＝eq\f(mx＋1,1＋x2)是R上的偶函数．(1)求实数m的值，推断函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性(不必证明)；(2)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值和最小值．20．(本小题满分12分)[2024·河北秦皇岛高一期末]已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x).(1)推断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明；(2)推断f(x)的奇偶性，并求f(x)在区间[－2，－1]上的值域．21．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x>0时，f(x)＝eq\f(1－x,x).(1)若a>0，求f(－a)；(2)当x<0时，求f(x)的解析式；(3)若f(m)＝eq\f(1,2)，求m的值．22．(本小题满分12分)某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)＝10x2＋100x；当年产量不小于30百件时，c(x)＝501x＋eq\f(10000,x)－4500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．(1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式；(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？单元素养测评卷(三)1．答案：C解析：由y＝|x|，可得f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，x∈R，即f(x)＝|x|为偶函数；由y＝2－x，可得f(－x)＝2＋x≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，x∈R，所以f(x)＝2－x既不是奇函数也不是偶函数；由y＝x3＋x，可得f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，x∈R，所以f(x)＝x3＋x是奇函数；由y＝－x2＋8，可得f(－x)＝－(－x)2＋8＝－x2＋8＝f(x)，x∈R，所以f(x)＝－x2＋8是偶函数．2．答案：C解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2>0,x－3≠0))，解得x>2且x≠3.∴函数f(x)＝eq\f(1,\r(x－2))－(x－3)0的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).3．答案：C解析：对A：因为f(x)＝eq\r(x2)＝|x|定义域为R，g(x)＝(eq\r(x))2定义域为[0，＋∞)，所以f(x)与g(x)不是相同函数；对B：因为f(x)＝1定义域为R，g(x)＝x0定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f(x)与g(x)不是相同函数；对C：因为f(x)＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,－x，x<0))，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,－x，x<0))，所以f(x)与g(x)定义域和对应关系相同，所以f(x)与g(x)是相同函数；对D：因为f(x)＝x＋1定义域为R，g(x)＝eq\f(x2－1,x－1)定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，所以f(x)与g(x)不是相同函数．4．答案：B解析：当容器是圆柱时，容积V＝πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满意条件；由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上渐渐变小，∴A、C不满意条件，而B满意条件．5．答案：A解析：由图象可知x∈[3，9]时，y＝f(x)为一次函数，且过点(3，6)，(9，0)，设x∈[3，9]时，f(x)＝kx＋b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝3k＋b,0＝9k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝9))，则f(x)＝－x＋9，因此f(6)＝－6＋9＝3.6．答案：B解析：A选项，y＝eq\f(1,x)是奇函数，不符合题意．B选项，y＝eq\f(1,\r(3,x2))为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，符合题意．C选项，y＝eq\f(1,\r(x))是非奇非偶函数，不符合题意．D选项，y＝x2，在(0，＋∞)上递增，不符合题意．7．答案：A解析：由第③种方案可知，500÷30≈16.7，17×30＝510，510－80＝430，430÷510≈0.84，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票30张：30×30×0.8＝720(元)，再以第③种方案购买余下的18张：18×30－80＝460(元)，所以共须要720＋460＝1180(元).8．答案：D解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)；又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(－2)＝0；eq\f(f（x）－f（－x）,x)＝eq\f(2f（x）,x)<0，即eq\f(f（x）,x)<0；当x>0时，f(x)<0，∴0<x<2；当x<0时，f(x)>0，∴－2<x<0，∴eq\f(f（x）－f（－x）,x)<0的解集为{x|－2<x<0或0<x<2}．9．答案：ACD解析：A.y＝xeq\f(1,2)在(0，＋∞)上是增函数，所以函数的值域为(0，＋∞)，所以该选项正确；B．y＝x2－2x＋1在(0，＋∞)上的值域是[0，＋∞)，所以该选项错误；C．y＝eq\f(3,x)在(0，＋∞)上是减函数，所以函数的值域为(0，＋∞)，所以该选项正确；D．y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，所以函数的值域为(0，＋∞)，所以该选项正确．10．答案：AB解析：f(x)＝|2x|，f(2x)＝4|x|，2f(x)＝4|x|，∴A正确；f(x)＝x，满意f(2x)＝2x＝2f(x)，∴B正确；f(x)＝eq\r(x)，f(2x)＝eq\r(2x)，2f(x)＝2eq\r(x)，不满意f(2x)＝2f(x)，∴C不正确；f(x)＝eq\f(1,x)，f(2x)＝eq\f(1,2x)，2f(x)＝eq\f(2,x)，∴D不正确．11．答案：AB解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，故f(x)·g(x)是奇函数，A正确；|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，故|f(x)|·g(x)为偶函数，B正确；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，故f(x)·|g(x)|是奇函数，C错误；|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，故|f(x)·g(x)|为偶函数，D错误．12．答案：ABC解析：由f(x)－g(x)>0，即x＋1－(x＋1)2>0，可得－1<x<0，由f(x)－g(x)≤0，即x＋1－(x＋1)2≤0，可得x≤－1或x≥0，所以M(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1<x<0,（x＋1）2，x≤－1或x≥0))，当x＝2时，M(2)＝(2＋1)2＝9，A选项错误；当x≥1时，M(x)min＝M(1)＝(1＋1)2＝4，B选项错误；当x≥0时，M(x)为单调递增函数，无最大值，C选项错误；因为M(x)在(－∞，－1]上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以M(x)min＝M(－1)＝0，D选项正确．13．答案：y＝x2(答案不唯一)解析：∵函数在(0，＋∞)上单调递增且图象关于y轴对称，∴函数可为y＝x2.14．答案：1解析：f(－1)＝(－1)＋2＝1，则f(f(－1))＝f(1)＝1.15．答案：－2－3解析：因函数y＝x＋eq\f(4,x)＋2在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，当x∈[－3，－1]时，函数y＝x＋eq\f(4,x)＋2在[－3，－2]上单调递增，在[－2，－1]上单调递减，即有当x＝－2时，ymax＝－2，而当x＝－3时，y＝－eq\f(7,3)，当x＝－1时，y＝－3，则ymin＝－3，所以函数y＝x＋eq\f(4,x)＋2的最大值为－2，最小值为－3.16．答案：{x|x>2或x<－2}解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，所以f(x)在[0，＋∞)单调递减，又f(2)＝0，所以f(－2)＝f(2)＝0，所以当x>2时f(x)<0，当0<x<2时f(x)>0，当x<－2时f(x)<0，当－2<x<0时f(x)>0，综上可得当x>2或x<－2时f(x)<0，即不等式的解集为{x|x>2或x<－2}．17．解析：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,x＋2≠0))，则定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)，且f(－3)＝eq\r(－3＋3)＋eq\f(1,－3＋2)＝－1.(2)由a>0，结合(1)知f(a)，f(a－1)有意义．所以f(a)＝eq\r(a＋3)＋eq\f(1,a＋2)，f(a－1)＝eq\r(a－1＋3)＋eq\f(1,a－1＋2)＝eq\r(a＋2)＋eq\f(1,a＋1).18．解析：(1)当x>eq\f(3,2)时，f(x)＝|x＋1|－|2x－3|＝x＋1－2x＋3＝4－x；当－1≤x≤eq\f(3,2)时，f(x)＝|x＋1|－|2x－3|＝x＋1＋2x－3＝3x－2；当x<－1时，f(x)＝|x＋1|－|2x－3|＝－x－1＋2x－3＝x－4.故f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x，x>\f(3,2),3x－2，－1≤x≤\f(3,2),x－4，x<－1)).(2)函数图象如图所示：19．解析：(1)若函数f(x)＝eq\f(mx＋1,1＋x2)是R上的偶函数，则f(－x)＝f(x).即eq\f(m（－x）＋1,1＋（－x）2)＝eq\f(mx＋1,1＋x2)，解得m＝0.所以f(x)＝eq\f(1,1＋x2).函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又函数f(x)是R上的偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0]上为增函数，所以函数f(x)在[－3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数．又f(－3)＝eq\f(1,10)，f(0)＝1，f(2)＝eq\f(1,5)，所以f(x)min＝f(－3)＝eq\f(1,10)，f(x)max＝f(0)＝1.20．解析：(1)f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，证明如下：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝(x1－eq\f(1,x1))－(x2－eq\f(1,x2))＝(x1－x2)＋(eq\f(1,x2)－eq\f(1,x1))＝(x1－x2)＋eq\f(x1－x2,x1x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2＋1).因为x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，所以x1x2>0，x1－x2<0.于是eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2＋1)<0，即f(x1)<f(x2).故f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(－x)＝－x＋eq\f(1,x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．由(1)得f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，结合奇偶性可得f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．又因为f(－2)＝－eq\f(3,2)，f(－1)＝0，所以f(x)在区间[－2，－1]上的值域为[－eq\f(3,2)，0].21．解析：(1)因为f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)；又a>0，且当x>0时，f(x)＝eq\f(1－x,x)，∴f(a)＝eq\f(1－a,a)，