2025版新教材高中数学第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数余弦函数的性第1课时正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性导学案新人教A版必修第一册

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性【学习目标】(1)了解周期函数、周期、最小正周期的意义．(2)会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期．(3)驾驭y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会推断简洁三角函数的奇偶性．题型1函数周期性的推断【问题探究1】(1)视察f(x)的部分图象，函数图象每相隔多少个单位重复出现？(2)由诱导公式一：sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx．结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征？图象改变趋势是怎样的？例1求下列三角函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x；(3)y＝2sin(12x－π(4)y＝|cos2x|.题后师说求三角函数最小正周期的3种常用方法跟踪训练1求下列三角函数的最小周期：(1)y＝cos3x；(2)y＝3sin(2x＋π6(3)y＝2cos(12x－π(4)y＝|sinx|.题型2三角函数奇偶性的推断【问题探究2】依据诱导公式三可知，对于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？例2推断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin(34x＋3(2)f(x)＝|sinx|＋cosx；(3)f(x)＝x2cos(x＋π2题后师说推断三角函数奇偶性的2个策略跟踪训练2推断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sinxcosx；(2)f(x)＝1-题型3三角函数周期性与奇偶性的综合例3(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sin2x|C．y＝sin(π2＋2x)D．y＝cos(3π2(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，π2]时，f(x)＝sinx，则f(5A．－12B．12C．－3一题多变将本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？学霸笔记：三角函数周期性与奇偶性的解题策略利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值和求解析式的问题．跟踪训练3函数f(x)＝12sin(ωx－π2)(ω≠0)，则f(x)是________(填“奇函数”或“偶函数”)，若f(x)的周期为π，则ω随堂练习1.函数y＝3sin(－2x＋π3A．3B．πC．π32．下列函数中是偶函数的是()A．y＝sin2xB．y＝－sin2xC．y＝sin|2x|D．y＝sin2x＋13．下列函数中周期为π，且为偶函数的是()A．y＝cosxB．y＝sin2xC．y＝sin2x+π2D．y＝cos4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________．课堂小结1.求三角函数周期性常用的方法．2．三角函数奇偶性的推断．3．三角函数周期性与奇偶性的综合应用．第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性问题探究1提示：(1)每相隔1个单位重复出现．(2)自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图象发生“周而复始”的改变．例1解析：(1)法一：因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知y＝3sinx的周期为2π.法二：因为ω＝1，所以T＝2π.(2)法一：因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.法二：因为ω＝2，所以T＝2π(3)法一：因为2sin[12(x＋4π)－π3]＝2sin(12x＋2π－π3)＝2sin(12x－π3)，由周期函数的定义知，y法二：因为ω＝12，所以T＝2(4)y＝|cos2x|的图象如图：由图象可知y＝|cos2x|的周期为π2跟踪训练1解析：(1)因为ω＝3，所以T＝2π(2)因为ω＝2，所以T＝2π(3)因为ω＝12，所以T＝2(4)y＝|sinx|的图象如图：由图象可知y＝|sinx|的周期为π.问题探究2提示：函数y＝sinx是奇函数，函数y＝cosx是偶函数．例2解析：(1)f(x)＝sin(34x＋3π2)＝－cos34x，因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝－cos(－34x)＝－cos34x＝f(所以函数f(x)＝sin(34x＋3(2)函数f(x)＝|sinx|＋cosx的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以函数f(x)＝|sinx|＋cosx是偶函数．(3)f(x)＝x2cos(x＋π2)＝－x2sinx，x∈R因为∀x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sinx＝－f(x)，所以函数f(x)＝x2cos(x＋π2跟踪训练2解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，∴f(x)＝sinxcosx为奇函数．(2)由1-cosx∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cosx＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)，∴f(x)＝1-cos例3解析：(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin2x|是偶函数，y＝sin(π2＋2x)＝cos2x是偶函数，y＝cos(3π2－2x)＝－sin2x(2)f(5π3)＝f(5π3－π)＝f(2π3)＝f(2π3－π)＝f(－π3答案：(1)D(2)D一题多变解析：f(5π3)＝f(5π3－π)＝f(2π3)＝f(2π3－π)＝f(－π3跟踪训练3解析：f(x)＝12sin(ωx－π2)＝－12∴f(－x)＝－12cos(－ωx)＝－12cosωx＝f(∴f(x)为偶函数，又T＝π，∴2πω＝π，∴答案：偶函数±2[随堂练习]1．解析：由y＝3sin(－2x＋π3)的最小正周期为T＝2πω答案：B2．解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－2x|＝sin|2x|＝f(x)，∴y＝sin|2x|是偶函数．答案：C3．解析：对于A：y＝cosx为周期为2π的偶函数，故A错误；对于B：y＝sin2x为周期为π的奇函数，故B错误；对于C：y＝sin(2x＋π2)＝cos2x