线性运算与基底应用2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题01线性运算与基底应用

目录

【题型一】线性定理基础..........................................................................1

【题型二】基底概念计算.........................................................................2

【题型三】鸡爪形...............................................................................4

【题型四】风帆型................................................................................6

【题型五】四边型................................................................................7

【题型六】两线交点型...........................................................................10

【题型七】赵爽弦图.............................................................................12

【题型八】系数未知型...........................................................................14

【题型九】最值：均值不等式型...................................................................17

【题型十】基底与数量积.........................................................................19

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................22

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................26

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................32

热点题型归纳

【题型一】线性定理基础

【典例分析】

已知a,b是一组不共线的向量，且初=4-2〃，〃=“+3"则小，〃可以作为一组基底.（）

［答案］正确

【分扁根据基底的知识进行判断.

【详解】由a，b是一组不共线的向量，且"7=a-26，n-a+3b1

得加，〃也是一组不共线的向量，故加，w可以作为一组基底.

所以说法正确.

故答案为：正确

【提分秘籍】

基本规律

平面向量基本定理

如果％02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数

4,4,使〃=4q+/

基底

若6刍不共线，我们把{《,1}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

【变式训练】

L已知b是一组不共线的向量，^x}a+y}b=x2a+y2b,则乂=/2.（）

【答案】正确

【分析】根据平面向量的基本定理进行判断.

【详解】由于4,b是一组不共线的向量，所以平面的一组基底为｛。，4，

由于西a+y。=々a+必。，根据平面向量的基本定理可知占=%,必=y2,

所以说法正确.

故答案为：正确

2.平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这组基底唯一表示.()

【答案】正确

【分析】根据平面向量的基本定理进行判断.

【详解】平面向量的基底确定后，根据平面向量的基本定理可知，平面内的任何一个向量都可以用这组基

底唯一表示.

所以说法正确.

故答案为：正确

3.平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()

【答案】错误

【分析】根据基底的知识进行判断.

【详解】平面内的任意两个不共线的向量都可以作为一组基底.

两个共线的向量不能作为一组基底，

所以说法错误.

故答案为：错误.

【题型二】基底概念计算

【典例分析】

若a,〃是一组基底，向量y=xa+y£(x,yWR),则称(x,y)为向量y在基底a,/7下的坐标现已知向量a在基

底p=(l,-l),q=(2,I)下的坐标为(一2,2),则a在另一组基底加=(-1,1),"=(1,2)下的坐标为()

A(2,0)B(0,-2)C(-2,0)D(0,2)

【答案】D

【分析】由题设，知a=-2p+2q,若(和)为°在基底肛”下的坐标，则。=研+)"],即可得方程组求出坐

标.

【详解】:a在基底p，下的坐标为(-2,2),

：.a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).

设(x,y)为a在基底犯〃下的坐标,则a=xm+yn=(-x+y,x+2y),即(2,4)=(—x+y,x+2y),

y-x=2x=0

，解得

x+2y=4j=2

二a在基底肛"下的坐标为(02)

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

对平面向量基本定理的理解

(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底

下的分解式是不同的.

(2)基底给定时，分解形式唯一.4,4是被a,e；,/唯一确定的数值.

（3）q,e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与《共线时，4=0；当°与e2共线时，4=。;

当a=0时,4=4=。.

（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.

【变式训练】

1.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A,=（0,0）,=（1,2）B,4=（T2）,02=（5,-2）

C《=（3,5）e2=（6,10）et=（2,-3）e2=（-2,3）

［答案］B

港扁根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,e；=0,不可以作为基底，A错误；

对于B,e；与e?为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确；

对■于C,.,.♦.与6共线，不可以作为基底，C错误；

对于D,q=-/,.•.e“e2共线，不可以作为基底，D错误.

故选：B.

2.已知小《2是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（）

Aq+/，26+2e2

39

D2el+3e2,-el+-e2

答案］C

7W析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.

【详解】华/是平面内两个不共线的向量，

对于A,2e］+2e2=2（et+e2）,即向量q+/，24+26共线，A不是；

对于B,et—2e2=—2（——+^2）»即向量6+/共线，B不是；

43939

对于D,24+362=5（54+762），即向量2q+3e2,5，i共线，D不是；

1I111

对于C,因为一r=1,即向量一彳《+4与一彳q-/不共线，则向量一彳G+6与一彳G—6能作为平面的

_£-12222

~2

一个基底，C是.

故选：C

3.已知向量q,/是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（）

A.［et,et-e^B1e,+e2,et-3^}

C{—2e?,—3e।+6e?}D{2q+3e2,2e।—3e1}

【答案】C

【2•析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.

【详解】对于A,假设q,4—/共线，则存在/leR,使得q=4（%-ej,

因为与02不共线，所以没有任何一个/leR能使该等式成立,

即假设不成立，也即q,e；-e；不共线，则能作为基底；

对于B,假设4+02,61-3e2共线，则存在XeR,使得6+/=21]-3©2),

即['二।,无解，所以没有任何一个/leR能使该等式成立，

[―3X=1

即假设不成立，也即q+e?,%-3q不共线，则能作为基底；

对于C,因为-3/+&2=-3(4-202),所以两向量共线，

不能作为一组基底，C错误；

对于D,假设2+%；,2e；-3e；共线,则存在一eR,

使得2q+3e?=A(^2e,-3e2j,

⑵I=2

即《。无解，所以没有任何一个/leR能使该等式成立，

[―3X=3

即假设不成立，也即2《+3/,2.-3/不共线，则能作为基底，

故选:C.

【题型三】鸡爪形

【典例分析】

在./8C中，点。满足则()

13

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

31

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

【答案】A

【分析】根据题意画出.ABC并确定点。的位置，即可以向量CA,CB为基底表示出C。.

【详解】根据题意如下图所示：

3

根据向量加法法则可知CD=C4+AQ，义AD=3DB、所以AO=：AB

4

\^CD=CA-V-AB=CA+-(CB-CA\=-CA+-CB.

44、144

13

可得。。=一。+一。3.故选：A

44

【提分秘籍】

基本规律

鸡爪形：

如图，若D点在BC线段上，且满足3。=/13。(0</1<1)则有4。=(1-4)45+；1而：

【变式训练】

1.在“ABC中，AD=3DC>则3BC=（）

A.BA+4BDB.8A-48。C.BD-4BAD.4BD-BA

【答案】D

【分析】利用向量加法减法的几何意义即可求得3BC=48BA

【详解】ABC中，A3=3DC，

4

贝lj3BC=3（BA+AC）=3（BA+§AD）=33A+4AD

=3BA+4^BD-BA\=4BD-BAo故选：D

2.如图所示，点C在线段8。上，且BC=3CD,贝IJAO=（）

41

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.-AC--ABD.-AC--AB

33

［答案］Q

（分析］根据平面向量的基本定理求解即可.

【详解】因为3C=3C£）,所以CD=』BO,

4

因为AO=AC+CO=AC+；BO=AC+:（AQ-AB）,

3|4.1

所以二A/）=AC——AB,即AO=-AC--A8.故选：C.

4433

3.如图所示，在；ABC中，4£>为8c边上的中线，若AB="，AC=h，则A£>=（）.

人

C.—1a+1—,bD.1—a1——,b

2222

【答案】c

【分析】直接根据向量加法与减法运算求解即可.

【详解】解：因为在，ABC中，AD为BC边上的中线，

所以A£>=A8+；8C=A3+g（AC-AB）=gA8+gAC=ga+；Z?

故选：C

【题型四】风帆型

【典例分析】

如图，在.ABC中，4N=5AC,P是3N的中点，若AP=〃?A8+”4C，则机+〃=（）

【答案】D

11

【分析】利用向量的线性运算求得AP=^A3+；AC,由此求得肛〃，进而求得加+〃.

1

【详解】因为P是BN的中点，所以BP=&BN.

所以AAA所以=［,〃=',

AP=A3+BP=A3+l3N=AB+1(AN-AB)=L3+1N=13+，AC,m所以

22222424

3

zn+n=—.

4

故选：D

【变式训练】

1.在」ABC中，AD=ADBE为CQ的中点，AE=-—CA+—CB,则2=()

63

A.2B.1C.1D.-

［答案］A

【5析】利用平面向量基本定理由可得答案.

【详解】如图，AE=-(AC+AD)=-AC+-x^-AB

2、'222+1

=--CA+-x—(CB-CA\=—^―CB-+\CA

227+八>2(2+1)2(2+1),

22+15Z1

12(2+1)-6'1f-2(2+1)"3'得'=2，

故选：A.

2.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC与8。交于点0,且E0=2AE,则EB=（）

DC

A.-AB--ADB.-AB+-ADC.-AB--ADD.-AB+-AD

66666666

【答案】C

［分析］根据平面向量线性运算法则计算可得；

【详解】解：因为E0=2AE，所以AE=；AO=：AC=：（AB+A£＞）,

所以E8=AB-AE=+=-AB--AD.

6166

故选：C.

点E是AC的三等分点（EC=；AC）,

=bf则。E=（)

I2,八21,2rIf

A.—ci—bB.—ci—bC.一—bD.—a+—b

33333333

［答案］B

【2■析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.

2221

【详解】DE=AE-AD=-AC-AD=-(AB+AD)-AD=-a--b

故选：B.

【题型五】四边型

【典例分析】

已知矩形ABC。的对角线交于点0,E为A0的中点，若QE=/U8+〃A/X/l,〃为实数），则分-〃？=（）

R73-20c1+V2

A.-1D.-C.----------U.-------

2922

【答案】A

【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出力〃即可.

【详解】解：如图

AD

DO=~（DA+DCD£=-（04+00）

BC在矩形ABC。中，2、在，.D4O中,2

,13

DA+-DA+-DC\^-DA+-DC^-AB--AD,:,九=小

21221444444

J__2

「・A2-

16~164-故选：A-

【提分秘籍】

基本规律

四边型、要注意两个特征题型:

1.基底不是三角形或者四边形的边，如练习题3

2.如果与四边形的边和角度无关，则可以把四边形看成矩形，构造坐标系，用坐标运算求解

【变式训练】

1.在平行四边形A3CD中，E是边C£>的中点，AE与80交于点尸.若AB=a,AO=Z>，则AF=（）

13,„2r1r-31,-12,

A.—a+—bB.—a+-bC.-a+—bD.一〃+—/?

44334433

【答案】D

【分析】设"=/lAE（0<4<l），根据三点共线，即加，而共线，可设8F=〃8£>,用A8,A£）表

示出关系，即可解出结果.

【详解】AE=AD+O£=AO+gA8.设AF=/IAE（O</1<1）,则

BF=AF-AB=^AD+^AB^-AB=AAD+[^-\^AB，又80=A。-AB，且属F,。三点共线，则BF,80共

线，即使得=即+=

A=//八2

又AB,AD不共线，则有,2，解得<3

12,所以，

[2A=~

22（1A1212

AF=-AE=AAD^-AB\=-AB+-AD=-a-¥-b.^^D.

2.如图，C。是以A8为直径的半圆圆周上的两个三等分点，E为线段C。的中点，尸为线段花上靠近8的

一个四等分点，设AC=bf则45=（）

51.n51,

A.-a+-hB.—a+—h

8242

131r131

C.——a+—bfD.—a+—hf

16484

【答案】C

【分析】取A8的中点O,连接CO,AE,根据平面向量的线性运算计算即可.

【详解】如图，取A8的中点。，连接C。,AE,

因为C，。是以AB为直径的半圆圆周上的两个三等分点，

1JT]

所以==ABHCD,所以CO/出。，所以四边形COB£）是平行四边形，所以CQ=OB=5A8,

又F为BE匕靠近8的一个四等分点，

11o12

所以4尸=43+3"=43+,8石=日4£：+：48=4（4。+。£：）+^48

113113131

=-AC+-CD+-AB=-AC+—AB^-AB=—a+-b.

4844164164

3.在平行四边形ABC。中，BE=\EC,

DF=2FC，设AE=“，AF=6，则AC=（）

2

63「36,

A.—a+—bfB.—a+—b

7777

-31n13;

C.-a+-b;D.-a+—b

4334

【答案】B

【分析】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.

【详解】因为四边形A8CD为平行四边形，所以AC=AB+A£＞，BC=A。，DC=AB,

因为=DF=2FC，

12

所以3E=—3C,DF=-DC

33

所以AE=AB+BE=AB+1BC=AB+LA。,

33

.2_.——j.L—

AF=AD+DF=AD+-DC=AD+-AB

339

因为AE—a，AF=b，

93

AB+-AD=aAB=-a--b

377

所以，解得＜

.八9]6

AD+-AB=hAD=­b——a

377

一939636

所以AC=AB+AD=—a—b+—b——a=—a+—b

777777

故选：B.

【题型六】两线交点型

【典例分析】

12

在一ABC中，BM=-BC,CN=xCA,AM交8N于Q,BQ=-BNf则％=().

A.yB.\C.-D.-

2345

【答案】C

1?21

【分析】根据平面向量线性运算得到A0=§AB+3AN、AM^-AB+-AC,再由A、。、M三点共线,

即可得至I」AQ=/14例，从而求出x、A.

001o

【详解】解：依题意AQ=AB+BQ=A8+§8N=AB+§(AN-AB)=3AB+§AN,

110[

AM=AB+BM^AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC,又A、Q、M三点共线,

33''33'

所以AQ〃AM,即4Q=/IAM,又CN=xCA，所以AN=(l-x)AC,

121

­=—A

1?f?1A33

所以]A8+§(1_X)AC=45AB+§AC)所以.解得3.故选:C

x=—

4

【提分秘籍】

基本规律

若三点A,B,C共线，则平面内任一点0。有OA=/IOB+〃近，其中2+〃=1,反之，也成立

【变式训练】

..一2

L如图，在，ABC中，BM=ABC.NC=/AC,直线AM交BN于点、Q,BQ=-BN,则()

A

C.(A-l)(2//-3)=lD.(2A-3)(//-l)=l

【答案】C

【分析】把BQ用BA8M表示，然后由三点A,共线可得.

【详解】由题意得，8Q=§BN=§（BA+AN）=§[BA+（I_M）AC]

=：[&4+（1-〃）（BC-BA）]=：[M8A+（1-〃）BC]=|〃8A+,

因为Q,M,4三点共线，故:〃+j?=l,化简整理得（2一1）（2〃-3）=1.选：C.

33X

2._43C中，M,N分别为AC,8c的中点，AN与BM交于点、0,下列表达正确的是（）

A.CO=^NO+^MOB.CO=NO+MO

33__,

C.CO=-NO+-MOD.CO=2NO+2MO

【答案】D

【分析】取AB中点E,连CE,根据三角形重:心定理，结合向量的线性运算，即可得到结果.

取AB中点E,连CE,则点。为JWC的重心，

uuuuuiruuar]uunuuuruumruunuuuruuo

OE+OM+ON=0,——OC+OM+ON=0OC=2OM+2ON,

2

即CO=2MO+2N。，

故选：D.

3._ABC中，。为BC中点，AE=2EC,AD交BE于P点、,若AP=/U£>,则2=()

【答案】C

【分析】根据。为BC中点，得到AO=gA8+3AC,因为8,P,E三点共线，推导出AP=aA8+〃AE，则

a+b=\,结合AP=/IAO，AE=：AC得到AO=?AB+gA。，从而得到?=又a+b=l,求

3A,3ZX23/12

112

【详解】因为。为8。中点，所以AO=5A3+]AC,因为AE=2EC，所以AE=]AC,

因为8,P,E三点共线，所以设师="在（，"0），BPAP-AB=m（AE-AP）,整理得：

AP=-^-AE+—^—AB,

\+m\+m

令。=7^—,b=-^—,则AP=aA8+6AE，则a+/?=l,^L|JAP=aAB+^-bAC,

\+m\+m3

因为AP=/IAO，所以/LAO=aAB+2zMC,故AO==AB+丝AC,因为AO=，A8+，AC,

3A,3/122

【题型七】赵爽弦图

【典例分析】

我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”,

它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图''中，已知

AE=3EF,AB=a,AD=b,则AE=()

A.L+1B,”“+空匕「43,

C.—d+—hDU

252525255555

【答案】A

【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.

333339

【详解】山题意45=-4尸=一(43+3/)=-043+—£：。)=-48+—£：。

4444416

39399

=-AB+—(AD-AE)=-AB+—AD——AE,

41641616

2539-39

即上AE=」AB+二4。=二。+二人，

16416416

129

所以4后=石。+石b故选：A.

【变式训练】

L“赵爽弦图''是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用

四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E,F,G,H分别是。尸，AG,BH,CE的中

点、,AG=xAB+yAD,则2x+y等于()

55

【答案】D

【分析】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将AG用表示出来，求出x,y的值,

即可求解.

【详解】由题意可得AG=A8+BG=A8+；8H=A8+g（8C+C7/）=A8+g8C+；CE,

]142

因为EFG"是平行四边形，所以AG=-CE，所以AG=AH+/8C-WAG,所以46=^8+二/，

42

因为AG=.M?+yAO,所以工=不丫=1，

42

则2x+y=2xg+§=2.故选:D

2.已知点A,B,C,尸在同一平面内，PQ=；PA,QR=；QB,RP=；RC,则5,小S咖等于（）

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

【答案】B

【分析】先根据向量的线性运算得到4PA+6P3+9PC=0,然后再利用奔驰定理即可求解.

【详解】山QR=；Q3可得：PR-PQ=^PB-PQ）,

1212

整理可得：PR=-PB+-PQ=-PB+-PA,

由RP=gRC可得RP=g（PC-PR）,整理可得：PR=-；PC,

112

所以-5PC=gP8+gPA,整理得：4PA+6P3+9PC=0，

由奔驰定理可得：S“BC：S咏=（4+6+9）:4=19:4,

故选：B.

3.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图”，亦称

“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比"赵爽

弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边

三角形，设4O=；LA8+〃4C,若小＞=4AF，则》的值为

c

【分析】令AF=1,延长AO交8c于M,求出AB,BM,DM,再借助平面向量基本定理即可作答.

【详解】因A£）=4AF，令AF=1，则有3。=1,4。=4,△AB£）中，ZA£）B=120".

由余弦定理得ABNM+Brf_2AD-BD8SNADB=>/5T，延长交BC于“，如图,

6

由正弦定理得嬴%则有sinNAM8=5=噂'*/MA八噜，

1c/y

sinNAMB=sin(ZMAB+60)=—sin/MAB+—cos/MAB=

2214

中，由正弦定理得一^—BMBD277

ABMD而NMBD:/MAB，

sinNMBD-sinZBDMsinZBMD~~5~

因此得。M=LBM=—,于是有=BM=-BCf

555205

AM=AB+BM=AB+-BC=-AB+-ACAD=—AM=—AB+—AC

555f212121f

1644

因AZ)=2AB+/MC,山平血向量基本定理得力二五,4=五，所以九-〃=1.

4

故答案为：—

【题型八】系数未知型

【典例分析】

如图在4ABC中，点。是一A3c内（不包含边界）任意一点，则AO有可能是（）

1111.

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

32332232

【答案】D

【分析】在AB，AC,上各取两点，使每个线段分成三等分，并且连结，根据图象即可得出结果.

【详解】解：在A6，AC，上各取两点，使每个线段分成三等分，并且连结，

如下图所示：

根据图象可知，AD'^-AB+-AC,AE=-AB+-AC.AG=-AB+^-AC.

223333

所以可排除A,B,C选项.

故选：D.

【变式训练】

Ir2、2

1.如图，在ABC中，AN=-NC,P是8N上的一点，若=++,则实数m的值

93

【答案】A

(2}22

因为AP=m+-\AB+-BC=mAB+-AC,骸BP=tBN，而

、9J99

3if2

AP=AB+BP=A6+t(3C+CN)=AB+«6C—二AC)=(1—+—fAC,所以〃?=1一，且一=一，

4449

Q1

故m=17=1一―=—，应选答案A.

99

2.如图，AA6C中，AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F,设AB=afAC=b，/=xa+y。，则(毛丁)

【答案】A

【分析】延长A尸交于点由于仇A£=EC,C。与房交于尸，可知：点尸是A48C的

重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案.

【详解】延长A尸交8C于点M：E

Br)A

—>2f—1->->

AJD=DB,AE=EC,CD与BE交于F，.^.点尸是AABC的重心，,AF=-AM,AM=-(AB+AC),

32

->2f21T_*1TT11T

AF=-AM=-x-(AB+AC)=-(AB+AC)=-a+-b又，AF=xa+yb

x—_1

•••­:,贝为故答案选A

3.如图:由等边三角形A/£和等边三角形KGC构成的六角星，图中的5,D,F,H,J,L均为三等分点，

m

两个等边三角形的中心均为0,若。4=mOC+〃Q7,则一等于()

n

【答案】D

【分析】以点。为坐标原点，建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为28，得出点AC,J的坐标,

由向量的运算可求得加,〃的值，可得选项.

【详解】以点。为坐标原点，建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为2百，则A（0,2）,C（V3,1）,

A/3777--------〃=0〃=3/722

因为Q4=m0C+〃Q/,所以〈3，解得〈，所以一二彳，

加=2n3

zn=2

故选：D.

【题型九】最值：均值不等式型

【典例分析】

AABC中，。为A8的中点，点厂在线段CD（不含端点）上，且满足AF=xAB+yAC（x,ye/?）,

则工1+24的最小值为（）

xy

A.3+2夜B.2+20C.6D.8

【答案】D

【解析】AF=xAB+yAC=2xAD+yAC,因为C,F,。三点共线，所以2%+y=l且x>0,y>0,

则L2=H+2］（2x+y）=4+）+把"+2回把=,当且仅当2="，即x=Ly」时,

xyyJxy\xyy42

上式取等号，故工+士有最小值8,故选D.

【提分秘籍】

基本规律

基本不等式：，茄W号；

（1）基本不等式成立的条件：“>0,比>0；

（2）（2）等号成立的条件：当且仅当3.

（3）基本不等式的变形：

①a+6N2蚊，常用于求和的最小值；②芦）,常用于求积的最大值;

【变式训练】

1.如图，直角梯形ABC。中，已知AB//CD,N84Q=90。，AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上

一/、12

运动，且九4B+〃AD（北,则一+一的最小值是（）

mn

A.3