高等材料力学课件第六章平面问题

第六章平面问题本章将深入探讨平面应力和平面应变状态下的应力分析和变形计算。涉及应力分量关系、应力平衡方程、边界条件、应力函数法以及应变集中等重要理论和计算方法。并针对典型工程实例进行分析讨论。thbytrtehtt6.1引言本章将探讨平面应力和平面应变状态下的应力分析和变形计算的相关理论与方法。了解平面问题的概念及其在工程中的应用意义,为后续详细内容的学习做好基础准备。6.1.1平面问题的定义所谓平面问题,是指某一工程构件在竖直断面内受力分布和变形情况可以认为是二维的情况。这种问题通常出现在薄壁结构、梁柱等构件中,是材料力学中常见的一类应用。能够准确地分析和解决平面问题,对工程设计和强度计算至关重要。6.1.2平面应力状态平面应力状态是指一个工程构件在竖直断面上只存在两个正应力分量和一个切应力分量,即在该断面上只有三个独立的应力分量。这种情况通常出现在薄壁构件、薄板等结构中,是材料力学中常见的一类问题。对平面应力状态的深入理解和掌握,对于分析和计算这类问题非常重要。6.1.3平面应变状态平面应变状态是指一个工程构件在竖直断面上只存在两个主应变分量和一个主切应变分量,即在该断面上只有三个独立的应变分量。这种情况通常出现在长条形构件、薄板等结构中,也是材料力学中常见的一类问题。理解和掌握平面应变状态的概念和分析方法非常重要。6.2平面应力状态平面应力状态是指工程构件在竖直断面上只存在两个正应力分量和一个切应力分量的应力状态。这种情况常见于薄壁结构、薄板等构件,对其进行深入分析和理解非常重要。本节将探讨平面应力状态下的应力分量关系、应力平衡方程、边界条件以及应力函数法等相关理论和计算方法。6.2.1应力分量的关系在平面应力状态下,构件的竖直断面上只存在两个正应力分量(σx和σy)和一个切应力分量(τxy)。这三个应力分量之间存在一定的数学关系,能够通过应力平衡方程得到。掌握这些关系式对于准确分析和计算平面应力问题非常重要。6.2.2应力平衡方程在平面应力状态下,构件的竖直断面上的三个应力分量(σx、σy和τxy)必须满足应力平衡方程。这些方程详细描述了应力的内力以及表面力在各个方向上的平衡关系,是分析平面应力问题的基础。掌握应力平衡方程的推导原理和应用技巧,对于正确解决平面应力问题至关重要。6.2.3边界条件在求解平面应力问题时,需要根据实际构件的支座约束条件确定对应的边界条件。边界条件可以是位移边界条件,如固定端、簧支座等;也可以是力边界条件,如自由端、简支端等。准确设置边界条件对于平面应力问题的正确计算至关重要。6.2.4应力函数法应力函数法是求解平面应力问题的一种有效方法。它利用满足应力平衡方程的应力函数来表示各个应力分量,从而简化了问题的求解过程。通过合理选择应力函数的形式,可以有效地描述不同几何条件和边界条件下的平面应力状态。该方法为平面应力问题的分析提供了一种直观可行的理论基础。6.2.5应力集中应力集中是指在某些特定结构或构件中,由于几何形状或荷载的突然变化而导致的局部应力急剧增大的现象。这种现象常见于孔洞、切口、焊接部位等区域,通常会造成构件发生局部破坏。深入理解应力集中的成因和计算方法,对于工程设计至关重要。6.3平面应变状态平面应变状态是指在一个工程构件的竖直断面上,只存在两个主应变分量和一个主切应变分量的应变状态。这种情况常见于长条形构件和薄板等结构中。理解平面应变状态的概念、分量关系和计算方法非常重要,是分析这类问题的基础。6.3.1应变分量的关系在平面应变状态下,构件的竖直断面上只存在两个主应变分量(εx和εy)和一个主切应变分量(γxy)。这三个应变分量相互之间存在特定的数学关系,可以通过应变-位移关系式推导得出。掌握这些应变分量的关系式对于正确地分析和计算平面应变问题至关重要。6.3.2应变平衡方程在平面应变状态下,构件内部的应变分量必须满足一系列应变平衡方程。这些方程描述了竖直断面上各个应变分量的平衡关系,反映了构件内部应变的内部协调性。理解并掌握应变平衡方程的推导过程和应用技巧,对于正确分析平面应变问题至关重要。6.3.3边界条件在求解平面应变问题时,需要根据实际构件的支撑条件和受力情况确定相应的边界条件。这些边界条件可以是位移边界条件,如固定端、简支端等;也可以是力边界条件,如自由端、受集中力作用的区域等。正确设置恰当的边界条件对于平面应变问题的精确计算至关重要。6.3.4位移函数法位移函数法是一种有效的求解平面应变问题的方法。它利用满足应变平衡方程的位移函数来表示各个应变分量,从而简化了问题的求解过程。通过合理选择位移函数的形式,可以有效地描述不同几何条件和边界条件下的平面应变状态。该方法为平面应变问题的分析提供了一种直观可行的理论基础。6.3.5应变集中应变集中是指在某些特定结构或构件中,由于几何形状的突然变化而导致的局部应变急剧增大的现象。这种现象常见于孔洞、切口等区域,通常会造成构件发生局部变形或损坏。深入理解应变集中的成因和计算方法,对于工程设计至关重要。6.4平面问题的解法对于平面应力和平面应变问题,存在多种有效的求解方法。应力函数法、位移函数法、有限元法和近似解法是常用的四种主要方法,每种方法都有其自身的优势和适用场景。工程师需要深入理解这些方法的原理和适用条件,才能针对具体问题选择最合适的解决方案。应力函数法应力函数法是一种有效的求解平面应力问题的方法。它利用满足应力平衡方程的应力函数来表示各个应力分量,从而简化了问题的求解过程。通过合理选择应力函数的形式,可以有效地描述不同几何条件和边界条件下的平面应力状态。该方法为平面应力问题的分析提供了一种直观可行的理论基础。6.4.2位移函数法位移函数法是一种有效的求解平面应变问题的方法。它利用满足应变平衡方程的位移函数来表示各个应变分量,从而简化了问题的求解过程。通过合理选择位移函数的形式,可以有效地描述不同几何条件和边界条件下的平面应变状态。该方法为平面应变问题的分析提供了一种直观可行的理论基础。6.4.3有限元法有限元法是一种广泛应用于工程实践中的数值求解平面问题的强大方法。该方法将连续的平面结构离散化为大量小元单元,通过数值计算每个元单元的应力应变状态,从而获得整个结构的整体解。相比于解析解方法,有限元法能更好地处理复杂的几何形状和边界条件,适用范围更广。6.4.4近似解法除了应力函数法、位移函数法和有限元法等精确求解方法外,针对一些简单的平面问题,我们还可以使用近似解法进行计算。这类方法通常采用力平衡条件或能量原理等基本理论,提出合理的假设和近似处理,从而得到问题的近似解。尽管精度不如精确解法,但近似解法计算相对简单,对于工程实践中的初步分析很有帮助。6.5实例分析下面我们将通过一些典型的工程实例,深入探讨平面问题的具体应用。这些案例涵盖了薄壁圆筒、厚壁圆筒、无限板上的孔洞以及梁的平面问题等,充分展示了各种应力分析方法在实际工程中的应用。对这些实例的深入分析,有助于学生更好地理解平面应力和平面应变问题的性质及其工程应用。薄壁圆筒薄壁圆筒是一种常见的工程构件,广泛应用于流体输送、压力容器等领域。通过分析薄壁圆筒中的应力分布,可以准确评估其承载能力并指导设计。使用应力函数法可以得到薄壁圆筒中的应力解析解,为理解薄壁构件行为提供理论基础。厚壁圆筒与薄壁圆筒不同,厚壁圆筒由于壁厚较大,其应力分布会更为复杂。采用应力函数法可以得到厚壁圆筒内部各种应力分量的解析解,从而更精确地评估其承载能力。同时还需考虑应力集中、应变集中等因素,全面分析厚壁圆筒的应力应变状态。无限板上的孔洞无限板上存在孔洞是一种典型的平面应力问题。通过分析孔洞周围的应力分布特征,可以评估结构的强度和安全性。应力函数法可以得到这种结构中应力的解析解,为工程设计提供理论指导。同时还需考虑应