必修导学案第二章平面向量

§2.1平面向量的实际背景及基本概念⑴学习目标1.通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念；2.掌握向量的几何表示；3.理解向量的模、零向量与单位向量的概念.学习过程一、课前准备（预习教材～，找出疑惑之处）复习1：位置是日常生活中我们提到较多的一个词，在几何中常用点表示位置，研究如何用一点的位置确定另外一点的位置，请同学们以学校（点A）为参照点，用图形确定出自己家的位置.复习2：力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有又有的量；而有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有没有，这类量我们称之为数量.二、新课导学※学习探究新知1：向量的概念数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量（vector）.数量和向量的异同点有哪些？试试1：下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，那么不同的点就表示不同的数量.向量能不能用几何表示出来？如果能，该如何表示呢？新知2：向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.如下图，在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.⑵以为起点，为终点的有向线段记作（注：起点在前，终点在后）.已知，线段的长度也叫做有向线段的长度，也称为模，记作.有向线段包含三个要素：起点，方向，长度.⑶有向线段也可用字母如，，，表示.反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？⑵为什么三要素中不包含终点？⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？新知3：两个特殊的向量零向量（zerovector）：长度为的向量；单位向量(unitvector)：长度等于的向量.平行向量(parallelvectors)：方向相同或相反的非零向量.若向量，平行，记作：.规定：①零向量与任一向量平行，即对任意向量，都有.②零向量的方向不确定，是任意的.试试2：下列说法中正确的有（）个⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能与零向量平行.A.0个B.1个C.2个D.3个※典型例题例1在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：⑴，点在点的正北方向；⑵，点在点南偏东方向.例2如下图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示地至、两地的位移，并求出地至、两地的实际距离.（精确到）.※动手试试练1.画出有向线段，分别表示一个竖直向上、大小为的力和一个水平向左、大小为的力.(长表示)练2.某同学向北走了，又向东走了，则该同学走过的路程是多少？位移的长度是多少？并选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.三、总结提升※学习小结1.向量的相关概念；2.向量的两种表示法；3.两个特殊的向量，尤其要注意零向量的方向.※知识拓展向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列各量中不是向量的是（）.A．浮力B．风速C．位移D．密度2.下列说法正确的是（）.A．向量与向量的长度不等B．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C．零向量没有方向D．任一向量与零向量平行3.某人南行100米，后向东行100米，则这时他位移的方向是（）.A．东偏南B．南偏东C．东偏南D．南偏东4.物理中的作用力与反作用力一对平行向量.（是或不是）5.已知腰为2，底边为3的等边，则底边上的中线向量的模为.课后作业1.某人从点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，⑴作出向量、、（表示）；⑵求的模.2.在正方体中，与平行的向量有哪些？§2.1平面向量的实际背景及基本概念⑵学习目标在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念.学习过程一、课前准备（预习教材～，找出疑惑之处）复习1：向量是的量；数量是的量；有向线段是的线段，它的三要素是，，；零向量是的向量；单位向量是的向量；平行向量是的非零向量.复习2：下列说法中正确的有①向量可以比较大小；②零向量与任一向量平行；③向量就是有向线段；④非零向量的单位向量是.二、新课导学※学习探究新知4：相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equalvector），如下图，用有向线段表示的向量与相等，记作：.思考：任意两个相等的非零向量，是否可用同一条有向线段来表示？与有向线段的起点有关吗？新知5：平行向量和共线向量同学们知道，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如果、、是平行向量，则可记为.因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinearvectors).试试：下列说法中正确的是①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.※典型例题例1如下图，设是正六边形的中心，分别写出图中与，，相等的向量.变式：与相等的向量有哪些？例2如下图所示，、、分别是正的各边中点，则在以、、、、、六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量平行的向量.AABCEFD注意：共线向量的端点不一定共线，注意向量的可以平行移动性.※动手试试练1.在四边形中，，则相等的向量是().A.与C.与B.与D.与AABCDO练2.判断下列说法的正误：①向量的模是一个正实数；②若两个向量平行，则两个向量相等；③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等；④温度有零上和零下温度，所以温度是向量；⑤物理中的作用力与反作用力是一对共线向量；三、总结提升※学习小结①相等向量的概念；②平行向量也称为共线向量.※知识拓展本章中所提到的向量都是自由向量，所谓自由向量就是在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动，所以在此基础上理解共线向量就是平行向量概念较容易.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列命题中，正确的是（）.A.B.C.D.2.若，且，则四边形的形状为（）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形3.一木块放在桌面上，木块所受重力为，桌面所受压力为，则与之间的关系为（）.A.大小不等，方向相同B.大小相等，方向不同C.大小相等，方向相同D.大小不等，方向不同4.、是线段的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出个互不相同的向量.ABCABCD①若，，则；②若，，则；③若，则或；④若，则,,,是一个平行四边形的四个顶点.课后作业1.四边形和都是平行四边形.⑴与向量相等的向量有哪些？⑵若，则向量的模等于多少？AABCDE2.一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进，逆时针方向转变度，继续按直线向前行进，再逆时针方向转变度，按直线向前行进，按此方向继续操作下去.⑴按比例作图说明当时，操作几次时赛车的位移为零？⑵按此法操作使赛车能回到出发点，应满足什么条件？请写出其中两个.§2.2.1向量的加法运算及其几何意义学习目标1.掌握向量加法的概念，结合物理学中的相关知识理解向量加法的意义；2.熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则；3.理解向量加法的运算律.学习过程（预习教材～，找出疑惑之处）一、课前准备复习1：下列说法正确的有①向量可以用有向线段来表示；②两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相同；③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；④向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上；⑤若，则，，，是一个平行四边形的四个顶点.复习2：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.二、新课导学※学习探究问题：在复习2中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，重力和拉力的合力是一对大小相等，方向相反的力.如图，已知非零向量、，在平面内任取一点，做，，则向量叫做与的和，记作：，即.新知1：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.自学的向量加法的平行四边形法则，想想两个法则有没有共通的地方？规定：零向量与向量的加法：※典型例题例1已知向量、，求作向量.小结1：在使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合.变式：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？小结2：当，不共线时，；当，同向时，；当，反向时，（或）.思考：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？新知2：向量加法的交换律和结合律：；例2一架飞机向北飞行400km，然后改变方向向东飞行300km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.※动手试试练1.如图，已知、，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则做出.练2.在静水中划船速度是每分钟20m，水流速度是每分钟20m，如果船从岸边出发径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是多少？实际行进方向与水流方向的夹角为多少？三、总结提升※学习小结1.向量求和的三角形法则和平行四边形法则；2.向量加法满足的两个运算律：交换律和结合律.※知识拓展向量在引入运算之后，向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是数学研究的基本问题.另外，向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种运算后，总是要考察一下它的几何意义，也使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.平行四边形中，，，则等于（）.A.B.C.D.2.下列等式不正确的是（）.A.B.C.D.3.在中，等于（）.A.B.C.D.4.=；=.5.已知向量、满足且，则=.课后作业1.已知正六边形，是它的中心，若，，试用、表示向量.2.在菱形中，，，求的值.§2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标1.通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2.能运用向量减法的几何意义解决一些问题.学习过程（预习教材～，找出疑惑之处）一、课前准备复习：⑴设，，则叫做与的和，记作.⑵==⑶向量加法运算的交换律：；结合律.⑷求作两个向量和的方法有法则和法则.二、新课导学※学习探究问题：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？规定1：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.由于方向反转两次仍然回到原来的方向，因此和互为相反向量，即.规定1：零向量的相反向量仍是零向量.思考：任一向量与其相反向量的和是什么？如果、是互为相反的向量，那么，，.请同学们利用相反向量的概念，思考的作图方法.如下图，已知、，在平面内任取一点，做，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※典型例题例1如下图，已知向量、、、，求作向量，.变式：作出向量.例2在中，是重心，、、分别是、、的中点，化简下列两式：⑴；⑵.变式：化简.※动手试试练1.已知、，求作.练2.设，，，试用表示.三、总结提升※学习小结1.相反向量的概念；2.向量减法的三角形法则，要注意“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※知识拓展以向量、为邻边作平行四边形，则两条对角线的向量为，，，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该加强理解并记住.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列等式中正确的个数是（）.①；②；③；④；⑤A.2B.3C.4D.52.在中，，则等于（）.A.B.C.D.3.化简的结果等于（）.A.B.C.D.4.在正六边形中，，，则=.5.已知、是非零向量，则时，应满足条件.课后作业1.化简下列各式：①；②.2.已知是的对角线与的交点，若，，，试证明：.§2.2.3向量数乘运算及其几何意义⑴学习目标1.掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2.理解两个向量共线的含义；3.掌握向量的线性运算性质及其几何意义.学习过程一、课前准备复习：⑴向量的相反向量是指与的向量，记作.零向量的相反向量是.⑵=，=.⑶若，则、是，且=.⑷向量加上的相反向量，叫做，即：.二、新课导学※学习探究问题：已知非零向量，作出：①；②.通过图形，同学们能否说明它们的几何意义？新知：我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplicationofvectorbyscalar）,记作：，它的长度和方向规定如下：⑴；⑵当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.思考：当时，的值是一个向量还是一个实数？根据实数与向量的积的定义，我们有以下的运算律：⑴；⑵；⑶.根据以上的运算律，填空：⑴=；⑵.※典型例题例1计算：⑴；⑵；⑶.思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？新知：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.例2已知两个两个向量和不共线，，，，求证：、、三点共线.变式：在四边形中，，，，证明：是梯形.※动手试试练1.计算：⑴；⑵.练2.已知向量，不共线，问与是否共线？三、总结提升※学习小结1.向量数乘的定义；2.实数与向量的积满足的运算律；3.两向量共线所满足的条件.※知识拓展1.实数与向量的积的特殊情况：当时，；而，若时，也有.2.实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如，无法运算.3.数乘向量还是一个向量.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列各式中不表示向量的是（）A.B.C.D.（，且）2.在中，、分别是、的中点，若，，则等于（）A.B.C.D.3.，，且、共线，则与（）A.共线B.不共线C.不确定D.可能共线也可能不共线4.若，与的方向相反，且，则=.5.已知，，，则与（填共线、不共线）.课后作业1.已知的三边，，，三边中点分别为、、，求证：.2.用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.§2.2.3向量数乘运算及其几何意义⑵学习目标1.掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2.理解两个向量共线的含义；3.掌握向量的线性运算性质及其几何意义.学习过程一、课前准备复习：⑴实数与向量的积是一个，记作.⑵，=.⑶当时，的方向与的方向；当时，的方向与的方向；当时，=；⑷，=；=；=.⑸判断正误：向量与向量共线，当且仅当只有一个实数，使得.二、新课导学※学习探究新知：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量、，以及任意实数、、，恒有.请同学们解释它的几何意义.※典型例题例3如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，你能用、表示、、、吗？变式：若为平行四边形的中心，，，则等于多少？例4已知任意四边形，为的中点，为的中点，求证：.※动手试试练1.已知四边形是等腰梯形，、分别是腰、的中点，、是线段上的两个点，且，下底是上底的2倍，若，，求.练2.中，，，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，，用、分别表示向量.三、总结提升※学习小结1.进一步理解向量数乘的定义；2.熟练应用实数与向量的积满足的运算律计算；3.应用两向量共线所满足的条件解决几个点共线的问题.※知识拓展⑴要证明向量、共线，只需证明存在实数，使得即可.⑵如果，数依然存在，此时并不唯一，是任意数值.⑶要特别注意向量共线定理中的向量必须是非零向量.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列各式计算正确的是（）A.B.C.D.2.下列向量、共线的有（）①；②；③；④（不共线）A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④3.若，则的取值范围是（）A.B.C.D.4.=；.5.设是两个不共线向量，若向量，与向量共线，则实数的值为.课后作业1.化简：①；②2.在平行四边形中，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.§2.3.1平面向量基本定理§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示学习目标1.掌握平面向量基本定理；2.了解平面向量基本定理的意义；3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.学习过程一、课前准备复习1：向量、是共线的两个向量，则、之间的关系可以表示为.复习2：给定平面内任意两个向量、，请同学们作出向量、.二、新课导学※学习探究问题：在复习2中，请大家想一想，平面内的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？如下图，设、是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，通过作图，发现任一向量都可以表示成.新知1：平面向量基本定理平面向量基本定理：如果、是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使.其中，我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base).理解此定理要注意：①、是同一平面内两个不共线的向量；②该平面内的任意向量都可以用、线性表示，且这种表示是唯一的；③对于基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.思考：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？新知2：两向量的夹角与垂直如图，已知两个非零向量和.作，，则叫做向量与的夹角.特别地，⑴当时，与同向；⑵当时，与反向；⑶当时，与垂直，记作：.在不共线的两个向量中，，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木块所受的重力分解为向下的力和对斜面的压力.思考：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？新知3：向量的坐标表示如图，根据平面向量基本定理，有且只有一对实数、使得，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作：，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.注意：符号在平面直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区别，在叙述中，常说点，或向量.※典型例题例1已知梯形中，，且，、分别是、的中点，设，试用为基底表示、.例2已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标.※动手试试练1.在矩形中，与交于点，若，，则等于多少？练2.若，且，且，求与的夹角.三、总结提升※学习小结1.平面向量基本定理；2.两向量的夹角与垂直；3.平面向量的坐标表示.※知识拓展在解具体问题时，要适当地选取基底，但其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测1.设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（）①与②与③与④与A.①②B.③④C.①③D.①④2.已知向量、不共线，实数、满足，则的值等于（）A.B.C.D.3.若、、为平面上三点，为线段的中点，则（）A.B.C.D.4.若、不共线，且，则，.5.已知两向量、不共线，，，若与共线，则实数=.课后作业1.已知向量，，其中、不共线，向量，问是否存在这样的实数、，使与共线？2.设、不共线，点在、、所在的平面内，且，求证：、、三点共线.§2.1平面向量的坐标运算学习目标1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；3.体会向量是处理几何问题的工具.学习过程一、课前准备复习：⑴向量是共线的两个向量，则之间的关系可表示为.⑵向量是同一平面内两个不共线的向量，为这个平面内任一向量，则向量可用表示为，则不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组.二、新课导学※学习探究问题：已知，，能得出，，的坐标吗？新知：※典型例题例1如图，已知，，求的坐标.小结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的减去的坐标.变式：你能在上图中标出坐标为的点吗？标出点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？例2已知，，求和.例3已知平行四边形的顶点，，，试求顶点的坐标.变式：若与的交点为，试求点的坐标.※动手试试练1.已知向量的坐标，求，的坐标.⑴⑵⑶⑷练2.已知、两点的坐标，求，的坐标.⑴⑵⑶⑷三、总结提升※学习小结若，，则1.2.3.4.已知，，则.※知识拓展通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序数对就表示一个向量.这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对.向量的坐标表示法将向量的加法，减法，数乘运算都统一起来，使得向量运算代数化，将数与形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为我们熟知的数量运算.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若向量与向量相等，则（）A.B.C.D.2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）A.B.C.D.3.已知，，则等于（）A.B.C.D.4.设点，，且，则点的坐标为.5.作用于原点的两力，，为使它们平衡，则需加力.课后作业1.若点、、，且，，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？2.已知向量，，，试用来表示.§2.3.4平面向量共线的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的两个向量共线条件；2.了解分点坐标公式的向量证法；3.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.学习过程一、课前准备复习：⑴若点、的坐标分别为，那么向量的坐标为.⑵若，则，二、新课导学※学习探究问题：我们知道，假设，其中，若共线，当且仅当存在实数，使，用坐标该如何表示这两个向量共线呢？新知：通过运算，我们得知当且仅当时，向量共线.※典型例题例1已知，，且，求.例2向量，，，当为何值时，三点共线.例3设点是线段上的一点，的坐标分别是，.⑴当点是线段的中点时，求点的坐标；⑵当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标.变式：当，点的坐标是什么？※动手试试练1.已知，且，求的值.练2.已知点、，线段靠近点的三等分点的坐标为多少？三、总结提升※学习小结1.向量共线坐标如何表示；2.线段的分点坐标的计算.※知识拓展1.设，其中.当且仅当时，向量共线.这句话有两方面的含义，由，可判断共线；反之，若共线，则.2.若，当时，点的坐标为.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知向量，，则与的关系是（）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2.已知三点共线，且，若点横坐标为，则点的纵坐标为（）A.B.C.D.3.点关于点对称点坐标为（）A.B.C.D.4.已知，，若与平行，则的值为.5.已知为边上的一点，且，则分所成的比为.课后作业1.已知四点坐标分别为，，试证明：四边形是梯形.2.已知点，点在直线上，且，求的坐标.§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义⑴学习目标1.在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2.掌握数量积的运算式及变式；3.掌握模长公式.学习过程一、课前准备复习：⑴向量加法和减法运算的两个法则是和.⑵向量数乘运算的定义是.二、新课导学※学习探究问题1：如下图，如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中是与的夹角.思考：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？新知：已知两个非零向量和，我们把数量叫做和的数量积（innerproduct）（或内积），记作，即.其中是和的夹角，叫做向量在方向上的投影（projection）；叫做向量在方向上的投影.如图，.规定：零向量与任一向量的数量积为.结论：⑴，=；⑵，即，=；⑶，=；⑷，即=，；⑸因为，所以.※典型例题例1已知，，且，求.变式：若，则是多少？小结：的几何意义是数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积.例2在平行四边形中，，，，求.※动手试试练1.已知，，和的夹角是，求；夹角是呢？呢？.练2.判断下列命题的真假，并说明理由.⑴在中，若，则是锐角三角形；⑵在中，若，则是钝角三角形；⑶为直角三角形，则.三、总结提升※学习小结1.向量数量积的定义；2.由定义推出的相应结论.知识拓展对比向量的线性运算，同学们能发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，而且这个数量的大小和两个向量的长度及其夹角有关.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.设，，，则与的夹角为（）A.B.C.D.2.已知，，，当时，为（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形3.已知平面内三个点，则向量与的夹角为（）A.B.C.D.4.已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为.5.已知向量满足，则.课后作业已知，与的夹角为，求：⑴；⑵；⑶.2.试证明：若四边形满足，且，则四边形是矩形.§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义⑵学习目标掌握并能熟练运用数量积的运算律.学习过程一、课前准备复习：⑴设两向量的夹角为，则；且当时，；当时，.⑵把数量叫做向量与的数量积，记作.⑶向量在方向上的投影是；的几何意义为：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.⑷设、是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①；②；③当同向时，，当反向时，，特别地，=或.④；.二、新课导学※学习探究问题：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？新知：已知向量和实数，则⑴⑵⑶※典型例题例2我们知道，对任意，恒有，对任意向量，是否也有下面类似的结论？⑴；⑵.例3已知，，与的夹角为，求：⑴；⑵；⑶；⑷.例4已知，且与不共线，为何值时，向量与互相垂直？※动手试试练1.已知，，，求，.练2.已知，求与垂直的单位向量的坐标.三、总结提升※学习小结数量积的运算律的应用；模长公式；数量积的变式应用.※知识拓展⑴数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题.⑵课本中的结论：可直接应用.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（）A.B.C.D.2.已知与的夹角为，且，则为（）A.B.C.D.3.已知，且与垂直，则与的夹角为（）A.B.C.D.4.，且与的夹角为，则=.5.已知，则=，=.课后作业1.设是两个单位向量，其夹角为，求向量与的夹角.2.用向量的方法证明：菱形的两条对角线互相垂直.§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2.理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.学习过程一、课前准备复习：⑴向量数量积的交换律：.⑵＝＝.⑶向量的数量积的分配律：.⑷＝..二、新课导学※学习探究问题：已知两个非零向量，怎样用与的坐标表示呢？新知：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即.结论：⑴若，则，或.⑵若，，则.⑶若，则.⑷设是与的夹角，则※典型例题例5已知，，，试判断的形状，并给出证明.小结：向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一.变式：已知四点，，，求证：四边形是直角梯形.例6设，，求及之间的夹角（精确到）.※动手试试练1.已知，，若，试求的值.练2.已知，求与的夹角.三、总结提升※学习小结1．用坐标表示向量的数量积，模，夹角等.2．两向量垂直的坐标表示.※知识拓展平面向量数量积的坐标表示的实质是用代数的观点研究向量（几何）问题，从知识上讲，离不开函数、方程、不等式，特别是二次函数、二元一次、二元二次方程组；从方法上讲，能够体现配方法、解方程组、解方程等数学上的基本的解题方法；从数学思想方面讲，也离不开转化的思想，函数与方程的思想和数形结合的思想.向量是代数、三角和几何的载体，是各种思想方法的纽带，具有重要地位.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知，，则等于（）A.B.C.D.2.若，，则与夹角的余弦为（）A.B.C.D.3.若，，则等于（）A.B.C.D.4.，，则=.5.已知向量，，若，则.课后作业1.已知，，，且，，求⑴；⑵、的夹角.2.已知点和，问能否在轴上找到一点，使，若不能，说明理由；若能，求点坐标.§2.5.1平面几何中的向量方法学习目标1.掌握向量理论在平面几何中的初步运用；2.会用向量知识解决几何问题；3.能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系.学习过程一、新课导学※典型例题例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如下图，，，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？变式：在中，若，判断的形状.例2平行四边形中，点、分别是、边的中点，、分别与交于、两点，你能发现、、之间的关系吗？小结：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系.※动手试试练1.设是四边形，若，证明：.练2.求证：平行四边形的对角线互相平分.三、总结提升※学习小结用向量方法解决平面几何中如全等、相似、长度、夹角等问题.※知识拓展向量方法，就是用“向量和向量的运算”来代替“数和数的运算”，就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把代数方法简单地表述为：形到数----数的运算----数到形；则向量方法可以简单地表述为：形到向量----向量的运算----向量和数到形.在运用时要注意数形结合思想和转化的数学思想的具体应用.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在中，若，则为（）A.正三角形B.直接三角形C.等腰三角形D.无法确定2.已知在中，，，,为边上的高，则点的坐标为（）A.B.C.D.3.在直角坐标系中，已知两点，，若点满足，其中且，则点的轨迹方程为（）A.B.C.D.4.已知，，，则的形状为.5.通过点，且与直线：平行的直线方程是.课后作业1.求通过点，且平行于向量的直线方程.设是四边形，证明.§2.5.2向量在物理中的应用举例学习目标掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现学科与学科之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题.学习过程一、课前准备复习：⑴力、速度、加速度、位移向量.（填是、不是）⑵动量是实数与向量的.⑶功是力与所产生位移的.⑷向量是既有又有的量，物理中的很多量都是向量，如等.（至少要填四个物理量）二、新课导学※典型例题知识点1：向量与力向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.例1用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量，则每根绳子的拉力大小是多少？知识点2：向量与速度、加速度与位移速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.例2一条河宽为，一船从出发航行垂直到达河正对岸的处，船速为.水速为，则船到达处所需时间为多少分钟