新教材高中数学第八章立体几何初步8-6-3平面与平面垂直二同步课件新人教A版必修第二册

8.6.3平面与平面垂直(二)

必备知识·自主学习面面垂直的性质定理(1)性质定理:两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线________________________,那么这条直线与另一个平面垂直;(2)图形:导思面面垂直有哪些性质?有什么样的应用?垂直于这两个平面的交线(3)符号:α⊥β,a⊂α,α∩β=b,a⊥b⇒a⊥β;(4)本质:面面垂直⇒_________.线面垂直【思考】若平面α⊥平面β,点A∈α,过点A作直线l⊥β,那么直线l与平面α的关系是什么?提示:直线l在平面α内,即l⊂α.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直. (

)(2)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β. (

)(3)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ. (

)提示:(1)×.不一定.只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面.(2)√.若平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α与平面β垂直,故正确.(3)√.设α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ内取一点P不在m,n上,过P在底面γ内作直线a,b,使a⊥m,b⊥n.因为γ⊥α,a⊥m,则a⊥α.所以a⊥l,同理有b⊥l.又a∩b=P,a⊂γ,b⊂γ,所以l⊥γ.故正确.2.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么 (

)A.直线a垂直于第二个平面B.直线b垂直于第一个平面C.直线a不一定垂直于第二个平面D.过a的平面必垂直于过b的平面【解析】选C.直线a与直线b均不一定垂直两面的交线.3.(教材二次开发:练习改编)已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,若α⊥β,则下列结论正确的是 (

)A.l∥β或l⊂β B.l∥mC.m⊥α D.l⊥m【解析】选A.对于A,直线l⊥平面α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,A正确;对于B,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则l∥m或l与m相交或l与m异面,所以B错误;对于C,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则m⊥α或m与α相交(不垂直)或m⊂α或m∥α,所以C错误;对于D,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则l∥m或l与m相交或l与m异面,所以D错误.3.(教材二次开发:练习改编)已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,若α⊥β,则下列结论正确的是 (

)A.l∥β或l⊂β B.l∥mC.m⊥α D.l⊥m【解析】选A.对于A,直线l⊥平面α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,A正确;对于B,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则l∥m或l与m相交或l与m异面,所以B错误;对于C,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则m⊥α或m与α相交(不垂直)或m⊂α或m∥α,所以C错误;对于D,直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则l∥m或l与m相交或l与m异面,所以D错误.关键能力·合作学习类型一面面垂直性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)【题组训练】1.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB=

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2.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAB,四边形ABCD为矩形,PA=AB,E,F分别为PC,PB的中点.证明:平面DEF⊥平面PBC.【解析】1.因为侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,所以.答案:

2.因为平面ABCD⊥平面PAB,平面ABCD∩平面PAB=AB,CB⊥AB,所以CB⊥平面ABP,因为EF∥CB,所以EF⊥平面ABP,因为PB⊂平面ABP,所以EF⊥PB,连接AF,则EF∥CB∥AD,所以A,D,E,F四点共面,因为PA=AB,所以PB⊥AF,因为AF∩EF=F,所以PB⊥平面EDF,因为PB⊂平面PBC,所以平面DEF⊥平面PBC.【解题策略】应用面面垂直的性质定理的策略(1)应用步骤:面面垂直线面垂直→线线垂直.(2)应用类型:①证明线面垂直、线线垂直;②作线面角或作二面角的平面角.提醒:面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.【跟踪训练】如图,在三棱锥P-ABC中,AP=AB,M,N分别为棱PB,PC的中点,平面PAB⊥平面PBC.求证:平面AMN⊥平面PBC.【跟踪训练】如图,在三棱锥P-ABC中,AP=AB,M,N分别为棱PB,PC的中点,平面PAB⊥平面PBC.求证:平面AMN⊥平面PBC.【证明】因为PA=AB,点M为棱PB的中点,所以AM⊥PB,又平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AM⊂平面PAB,所以AM⊥面PBC,又AM⊂平面AMN,所以平面AMN⊥平面PBC.类型二面面垂直的综合应用(直观想象、逻辑推理)角度1折叠问题

【典例】如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,求证:A′B⊥A′C.【思路导引】利用面面垂直,证明A′B⊥平面A′CD.【证明】因为AB=AD=1,BD=,所以BD2=AB2+AD2,所以三角形ABD是直角三角形,所以AB⊥AD,即A′B⊥A′D.由题意,平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD⊥平面A′BD,所以CD⊥A′B,又因为A′B⊥A′D,且A′D∩CD=D,所以A′B⊥平面A′CD,所以A′B⊥A′C.【变式探究】(变问法)求直线A′C与平面BCD、平面A′BD所成的角.【解析】取BD的中点O,连接OA′,OC.因为A′B=A′D,所以A′O⊥BD,又因为平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,所以A′O⊥平面BCD.所以∠A′CO是直线A′C与平面BCD所成的角.在Rt△A′OC中,A′O=,A′C=,所以sin∠A′CO=,所以∠A′CO=30°.所以直线A′C与平面BCD所成的角是30°.因为CD⊥平面A′BD,所以∠CA′D是直线A′C与平面A′BD所成的角.在Rt△A′CD中,A′D=CD,所以∠CA′D=45°,所以直线A′C与平面A′BD所成的角是45°.角度2直线、平面垂直关系的应用

【典例】(2020·杭州高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E是AD的中点.(1)求证:PE⊥CD;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.【思路导引】(1)利用已知的面面垂直得到线线垂直,推线面垂直进而完成线线垂直;(2)寻求线面垂直推面面垂直.【证明】(1)因为PA=PD,E是AD的中点,所以PE⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,因为CD⊂平面ABCD,所以PE⊥CD.(2)因为底面ABCD为矩形,所以CD⊥AD,由(1)得CD⊥PE,又AD∩PE=E,所以CD⊥平面PAD,因为AP⊂平面PAD,所以CD⊥AP,因为PA⊥PD,PD∩CD=D,所以PA⊥平面PCD,因为PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.【解题策略】1.关于折叠问题(1)抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况,注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.2.关于垂直关系的综合应用(1)熟练垂直关系的转化,线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.(2)垂直关系证明的核心是线面垂直,准确确定要证明的直线是关键,再利用线线垂直证明.【题组训练】1.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为

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【解析】如图所示,取BD的中点O,连接A′O,CO,则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角.即∠A′OC=90°,又A′O=CO=a,所以A′C=,即折叠后AC的长(A′C)为a.答案:a2.如图,四棱锥P-ABCD,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,AB∥CD,∠DAB=90°,PA=AD,DC=2AB,E为PC中点.(1)求证:PA⊥BC;(2)求证:平面PBC⊥平面PDC.【证明】(1)因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊥AB,PA⊂平面PAB,所以PA⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.(2)因为AP=AD,设F为PD的中点,连接AF,EF,如图,则EF

CD.又AB

CD,所以EF

AB.所以四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.因为PA=AD且F为PD的中点,所以AF⊥PD,又∠DAB=90°,所以AB⊥DA,又PA⊥AB,PA∩DA=A,所以AB⊥平面PAD,所以EF⊥平面PAD,所以AF⊥EF,又PD∩EF=F,所以AF⊥平面PCD.所以BE⊥平面PDC.又因为BE⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDC.【补偿训练】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=8,AD=4,AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点,求证:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)在△ABD中,因为AD=4,AB=4,BD=8,所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAD,又BD⊂平面BDM,所以平面MBD⊥平面PAD.(2)过P作PO⊥AD,垂足为O.

因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形,所以PO=2.过D作DN⊥AB,则.所以S梯形ABCD=,所以VP-ABCD=.核心知识面面垂直的性质定理应用易错提醒利用性质定理时要注意直线在平面内核心素养逻辑推理：在面面垂直的性质定理中得以体现方法总结平行关系的相互转化线线垂直面面垂直线面垂直判定定理性质定理判定定理判定性质性质平面与平面垂直（二）课堂检测·素养达标1.已知平面α,β及直线a满足α⊥β,α∩β=AB,a∥α,a⊥AB,则

(

)A.a⊂β B.a⊥βC.a∥β D.a与β相交但不垂直【解析】选B.由题意,α中存在直线b,b∥a,因为a⊥AB,所以b⊥AB,因为α⊥β,α∩β=AB,所以b⊥β,因为b∥a,所以a⊥β.2.(教材二次开发:习题改编)三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的 (

)A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心【解析】选C.如图所示,三个侧面两两垂直,可看成正方体的一角,则AP⊥平面PBC,因为BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,因为PH⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PH⊥BC,又AP∩PH=P,所以BC⊥平面APH,因为AH⊂平面APH,所以AH⊥BC,同理可得CH⊥AB,故H为△ABC的垂心.3.把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC,如图所示,互相垂直的平面有

对.

【解析】由已知得CD⊥AD,CD⊥BD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以平面ADC⊥平面ABD,平面ADB⊥平面BDC,又因为平面ADC⊥平面BDC,所以互相垂直的平面有3对.答案:34.在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB中点,则线段CM的长为

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【解析】如图所示,取BD的中点O,连接OA,OC,因为AB=AD=BC=CD=1,所以OA⊥BD,OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,所以OA⊥平面BCD,所以OA⊥OC.又AB⊥AD,所以DB=.取OB中点N,连接MN,CN,所以MN∥OA,所以MN⊥平面BCD.因为CN2=ON2+OC2=,,所以.答案:Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏4.在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB中点,则线段CM的长为

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【解析】选C.如图所示